Apprendimento delle Matematiche e contributi della neurofisiologia

Apprendimento delle Matematiche e contributi
della Neurofisiologia
Filippo Spagnolo
G.R.I.M.
Facoltà Scienze della
Formazione
Dipartimento di Matematica
[email protected]
www.math.unipa.it/~grim
Il nostro cervello è stato selezionato in milioni di anni per
poter sopravvivere nella savana africana, il materiale
genetico per il 98% è identico ad uno scimpanzé.
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Le conoscenze
matematiche dipendono
strettamente
dall’organizzazione del
nostro cervello.
L’evoluzione biologica
governata dall’evoluzione
darwiniana ne ha messo a
punto alcuni.
Sistema protonumerico.
Circuito cerebrale: accumulatore.
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La metafora
dell’accumulatore.
Come può R. Crusoe
costruire una macchina
calcolatrice?
Sorgente d’acqua,
recipiente accumulatore
d’acqua nel tronco di un
albero.
Con una canna di bambù
può deviare l’acqua per
tutto il tempo che
desidera.
Supponiamo che dei cannibali
sbarchino nell’isola. Come fa R.
Crusoe a contarli?
Ogni volta che ne vede uno devia
l’acqua nel recipiente per intervalli di
tempo regolari con la portata
d’acqua costante. Alla fine del
conteggio nell’accumulatore ci sarà
n volte il volume d’acqua deviato ad
ogni sbarco. Numero e livello
dell’acqua sono equivalenti.
Ad ogni numero di cannibali
corrisponderà un livello differente.
Si possono fare anche delle
sottrazioni.
Un inconveniente dell’accumulatore è che i numeri, insieme discreto, sono rappresentati
da quantità continue, i livelli dell’acqua.
Il modulo numerico
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Il nostro cervello
sarebbe dotato di un
accumulatore come
quello dei ratti e di altri
animali, un contatore
approssimato che ci
permette di
memorizzare e di
confrontare grandezze
numeriche.
Il linguaggio, capacità di immaginare un vasto sistema di simboli
scritti e orali, ci consente di etichettare un’infinità di numeri e quindi
di discretizzare le quantità.
Il linguaggio ci differenzia
dalle altre specie.
Concepiamo spontaneamente
vasti sistemi di simboli,
possiamo esprimere
i nostri pensieri
e comunicarli.
Possediamo capacità di
architettare progetti complessi e
di portarli a buon fine
basandoci contemporaneamente
su di una memoria
retrospettiva del passato e su
un’anticipazione delle possibilità
che ci riserva
l’avvenire.
In conclusione …
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Sistema protonumerico.
Circuito cerebrale: accumulatore.
L’accumulatore è un circuito cerebrale che ci
consente di:
Distinguere due, tre o quattro suoni;
Rappresentare intuitivamente delle quantità;
Compiere addizioni approssimate;
manipolare grandezze continue ma non numeri
discreti.
Rivalutiamo L’approssimazione …
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Valutare un numero
approssimato di oggetti di
un insieme non sembra più
facile o più difficile o
immediato che riconoscere
il loro colore o la loro
posizione.
La capacità di confrontare
due quantità numeriche è
una facoltà ancor più
fondamentale e
probabilmente più diffusa
nel mondo animale.
Effetto Distanza (Numerosity perception)
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Se le due quantità di oggetti
da confrontare sono
abbastanza distanti (2, 6)
non ci sono errori e non si
sbaglia quasi mai.
Se le due quantità
differiscono di poco allora
l’errore è sicuro.
L’effetto distanza si ritrova
sperimentalmente in tutte le
specie animali.
2+2=5 errore ragionevole
2+2=97 una logica diversa
dalla nostra.
Il bambino possiede soltanto una rappresentazione mentale
approssimativa e continua dei numeri.
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L’esperimento di Piaget
sull’invarianza del numero
con delle caramelle.
L’incapacità di conservare il
numero: cattiva
comprensione delle
intenzioni dello
sperimentatore.
Se i bambini meno di un
anno non superano i tests
piagettiani di permanenza
dell’oggetto è dovuto
all’immaturità della corteccia
prefrontale che controlla i
movimenti di presa.
Leggi spazio-temporali
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Lo stesso oggetto non può
occupare simultaneamente
diverse posizioni distinte;
Due oggetti distinti non
possono occupare la stessa
posizione;
Un oggetto fisico non può né
sparire né comparire
improvvisamente: la sua
traiettoria spazio-temporale
deve essere continua.
Ombre, riflessi e trasparenze
sono le eccezioni.
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Il nostro cervello rappresenta le quantità come
farebbe un regolo calcolatore graduato secondo
una scala logaritma. Su questo regolo, lo spazio
concesso all’intervallo tra 1 e 2 è uguale a quello
concesso tra 2 e 4 o tra 4 e 8.
Se dobbiamo scegliere a caso dei numeri siamo
portati a scegliere numeri piccoli.
L’associazione tra numeri e spazio è all’origine
dell’immagine con cui le quantità numeriche
sono rappresentate nel nostro cervello, ossia
quella di una retta numerica.
Piccoli a sinistra, grandi a destra. Quale il
numero più grande? Tra 4 e 5 oppure tra 53 e
52? I due numeri più grandi sembrano più vicini
tra di loro.
Il senso di associazione tra i numeri e lo spazio
sembra legato al senso della scrittura.
Alcune idee per lavori di ricerca …
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Classificare i ragionamenti per approssimazione.
Come si passa dagli schemi di approssimazione a
quelli di argomentazione più spinta. Devoluzione,
socializzazione di schemi.
Il ruolo del linguaggio nel passaggio dal continuo al
discreto.
Verifica dell’effetto distanza;
Stime di numerosità di oggetti (SM).
Retta numerica: più i numeri sono grandi più
vengono percepiti vicini, etc … (lavori di Gagatsis).
Confronto con culture asiatiche e con il linguaggio.
Raccolta e classificazione di strategie per il calcolo
mentale.
Quali le capacità “cosiddette” matematiche?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Senso del numero: Modulo numerico innato, saper
confrontare insiemi, etc …
Capacità numerica
Capacità algoritmica: sequenze di operazioni.
Capacità di destreggiarsi con l’astrazione. (off-line)
Una percezione di causa-effetto.
Capacità di costruire e seguire una concatenazione
causale di fatti o eventi.(con il linguaggio)
Capacità di ragionamento logico. (legata alla
precedente)
Capacità di ragionare in termini di relazioni.
Capacità di ragionamento spaziale
Nell’evoluzione
Base 10, Contare con le mani.
Dal lobo parietale al lobo frontale.
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Una strana coincidenza:
‰
‰
‰
‰
Lobo frontale, centro del linguaggio;
Lobo parietale, attività aritmetica;
Lobo parietale sinistro: controllo delle dita;
Rappresentazione linguistica dei numeri
esatti: lobo frontale.
Linguaggi Matematici
e Lingua Naturale
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Difficoltà numeriche e mancanza del senso del
numero: recitare i numeri ad alta voce (LN).
Se la lingua madre si legge da sx verso dx la linea
dei numeri segue la stessa legge. (arabi (dx→sx),
occidentali (sx→dx))
La linea dei numeri è soggettiva.
Dehane: numeri piccoli mano sx, numeri grandi
mano dx.
Cinesi e Giapponesi hanno regole grammaticali
più semplici per costruire i numeri (dieci due 12,
etc…) (quatre-vingt-dix-sept 97 …).
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Memorizzate la seguente lista di cifre: 7, 9, 6, 8.
Coprite la lista con una mano.
Contate per tre, a ritroso, da 16 a 1. Tenete
sempre coperta la lista.
Tenete coperta la lista finché non avete finito di
contare.
Il 5 era nella lista che avete memorizzato? E l’1?
Scoprite la lista.
L’1 non era nella lista. Il 5 c’era. L’immagine della retta numerica che vi
siete fatti era spostata verso il 6 e 7. Il 5 si trova nella stessa regione e
quindi si ha il dubbio mentre per l’1 si è sicuri che non appartiene in
quanto è lontano.
Memoria, LN, Metafore … Fuzzy
thinking …
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Memoria per associazione: un
pensiero ci porta ad un altro. La
mente umana è un sistema per il
riconoscimento di modelli.
Dai modelli alle “metafore”.
Il riconoscimento di immagini al
computer, volti umani, scene visive !!!
Difficoltà per il computer di fare
analogie tra modelli …
Memoria: LN + Immagini …
Ragionamento approssimato:
Il nostro cervello analizza i modelli in a) senso del Numero
modo fuzzy?
Fuzzy thinking: prendere decisioni
(Modulo numerico) sx
ragionevoli in modo rapido,
disponendo di informazioni
b) Ragionamento spaziale dx
relativamente scarse.
Ragionamento esatto LN
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Dispongo 4 carte. Ogni carta ha un numero stampato su di un lato e una
lettera sull’altro. Sulle 4 carte sono visibili i 4 simboli E K 4 7
Le carte sono stampate con la seguente regola: Se una carta ha una
vocale su di un lato, sull’altro deve avere un numero pari.
Quali carte dovete girare per assicurarvi che tutte e quattro le carte
soddisfino questa regola?
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Dovete organizzare una festa per dei ragazzi. Alcuni invitati bevono
alcolici, altri bibite analcoliche. Alcuni sono abbastanza grandi per poter
bere alcolici senza infrangere la legge, altri no. Chiedete di mettere la
carta di identità sul tavolo. A un tavolo ci sono 4 giovani che potrebbero
avere, oppure no, l’età per bere alcolici. Uno ha davanti a sé una birra, un
altro una coca-cola, ma la loro carta d’identità è girata, e quindi non
potete leggere quanti anni hanno. I documenti delle altre 2 persone,
invece, sono visibili. Una non ha l’età prevista dalla legge per bere
alcolici, l’altra sì. Purtroppo non siete sicuri se stia bevendo una bibita o
vodka o tonic. Quali documenti e/o bevande dovete controllare per
assicurarvi che nessuno stia infrangendo la legge?
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Ha una vocale
Ha una consonante
Ha un numero pari
Ha un numero dispari
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Sta bevendo alcolici
Sta bevendo una bibita
Ha l’età per bere alcolici
Non ha l’età per bere alcolici
Che rapporto tra astrazione in LN e in
Matematica?
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1° livello astrazione: oggetti reali presenti
nell’ambiente e accessibili alla percezione. (Li posso
immaginare in posizioni differenti o disposti in differenti
configurazioni nello spazio)
2° livello di astrazione: oggetti non direttamente
accessibili.
3° livello di astrazione: pensare a oggetti reali dei
quali ha appreso l’esistenza senza averli incontrati
nella realtà. Immaginari ma descritti in termini di
oggetti reali.
4° livello di astrazione: pensiero matematico. Oggetti
che non hanno alcun legame con il mondo reale.
Il pensiero off-line: il pensiero nella
modalità non in linea …
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Che succederebbe se … ?
Il pensiero off-line produce la grammatica
universale e la capacità del pensiero
matematico.
Capacità di formulare e seguire complessi
piani di azione, progettare, costruire una
vasta gamma di artefatti.
Modulo Numerico + Pensiero off-line
Riferimenti Bibliogrfici
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Spagnolo F., Toscano E., Un percorso interpretativo della Logica del '900,
Quaderni di Ricerca in Didattica, n.11, 2002,
http://math.unipa.it/~grim/quaderno11.htm.
M. Ajello – F. Spagnolo, 2002, Senso comune e Logica Fuzzy, Quaderni di
Ricerca in Didattica, n.11, Palermo, http://math.unipa.it/~grim/quaderno11.htm.
S. Dehane, Il pallino della matematica, Oscar Mondatori, Milano, 2000.
K. Devlin, Il Gene della Matematica, Longanesi & C., Milano, 2000.
M. Ferreri – F. Spagnolo, L’apprendimento tra emozione ed ostacolo,
Quaderni di Ricerca in Didattica, n.4, Palermo, 1994.
(http://dipmat.math.unipa.it/~grim/quaderno4.htm )
Butterworth, l’intelligenza matematica,
George Ghevrghese Joseph, C'era una volta il numero (Original title: The
Crest of the Peacock. Non-European Roots of Mathematics), Il saggiatore,
2000.
U.D’Ambrosio, Etnomatematica, Pitagora, Bologna, 2002.
U. Kraft, Le bugie hanno le gambe corte?, Mente & Cervello, n.4, Anno I,
2003.
E. Boncinelli, Io sono, tu sei (L’identità e la differenza negli uomini e in natura),
Mondadori, Milano, 2002.