Impostiamo tutte le equazioni per un angolo θ generico: dove x0 = 0

Un ragazzo lancia un sacchetto di sabbia in cima ad un muro alto 4 m e posto 1,3 m davanti a
lui. Il sacchetto si stacca dalle mani del ragazzo ad un'altezza di 1,5 m da terra. La velocità del
lancio è 7,5 m/s, l'angolo con l'orizzontale è 80°, l'attrito con l'aria è trascurabile.
• In quanto tempo raggiunge la massima altezza e quanto vale quest'ultima ?
• In quanto tempo raggiunge la cima del muretto ?
• Quanto tempo impiega a scendere dalla sua massima altezza ?
Impostiamo tutte le equazioni per un angolo θ
generico:
x (t )=x 0 + V 0 x t
dove
1
y (t )=y 0 +V 0 y − g t 2
2
V 0 x =V 0 cos θ
x0 = 0 ed y0 = h1
V 0 y =V 0 sen θ
nelle condizioni finali x = d ed y = h2 ossia
d =V 0 cos θ⋅t
1
h2 =h1 + V 0 sen θ⋅t− g t 2
2
risolvendo la prima equazione rispetto alla t si ottiene immediatamente risposta alla
seconda domanda
t=
d
1,3
=
=0,9982 ≈ 1,0
V 0 cos θ 7,5⋅0,17365
s
Il tempo di salita si calcola dalla considerazione che nel punto più alto la velocità
diventa nulla da : V y =V 0 y −g ⋅t si ottiene il tempo in cui il sacchetto di sabbia
giunge all'apice (hMAX per Vy=0).
V 0 y 7,5⋅0,9848
=
=0,7537 ≈ 0,75
g
9,8
che sostituito in y(t) da
t apice =
y (t apice )=h1 +
s=
V 0 sen θ
g
V 20 sen2 θ
(7,5⋅0,9848)2
=1,5+
=4,28 ≈ 4,4
2g
2⋅9,8
m (la massima altezza)
Il tempo di discesa si calcola molto semplicemente sottraendo il tempo di salita al
tempo totale di volo ossia: tdiscesa = ttotale – tsalita = 0,9982 – 0,7537 = 0,2445 ≈ 0,24 s
oppure si calcola il tempo necessario, partendo da fermo, per scendere dal punto più
alto 4,28 m all'arrivo a 4,00 m ossia:
√
2⋅0,28
=0,239 ≈ 0,24
9,8
s