MATEMATICA LEZIONE 15 I MONOMI (Prof. Daniele

MATEMATICA
LEZIONE 15
I MONOMI
(Prof. Daniele Baldissin)
ARGOMENTI
1)
2)
3)
4)
Definizione di monomio
Riduzione in forma normale
Monomi simili, interi e frazionari
Grado di un monomio
Un MONOMIO è il PRODOTTO di più FATTORI rappresentati da NUMERI e LETTERE.
Ad esempio:
sono tre monomi.
Infatti:
Nei monomi, quindi, non compaiono MAI i segni dell'ADDIZIONE e/o della SOTTRAZIONE.
Ad esempio
non sono monomi perché in essi compaiono i segni dell'addizione e della sottrazione come è stato
evidenziato nell'immagine sottostante.
Invece
è un monomio.
Infatti, se moltiplichiamo tra loro i fattori numerici (+2) e (-3) abbiamo:
.
Successivamente moltiplichiamo i fattori letterali che hanno la stessa base, ovvero a. Il prodotto di
due potenze aventi la stessa base e una potenza avente la stessa base e con esponente uguale alla
somma degli esponenti: quindi a per a è uguale ad a alla seconda.
Quello che abbiamo adesso è un monomio esattamente come quelli che abbiamo visto prima.
Questo MONOMIO si dice RIDOTTO A FORMA NORMALE.
Possiamo affermare, quindi, che un monomio si dice ridotto a forma normale quando assume la sua
forma tipica che è quella del prodotto tra un solo fattore numerico e di fattori letterali, in
cui ciascuna lettera compare una sola volta elevata ad un certo esponente.
In un monomio ridotto a forma normale, chiamiamo:
COEFFICIENTE il FATTORE NUMERICO;
PARTE LETTERALE il prodotto dei FATTORI LETTERALI COI LORO
ESPONENTI.
Esempio:
COEFFICIENTE
PARTE LETTERALE
+3 a2b
+3
a2b
Esempio:
COEFFICIENTE
PARTE LETTERALE
-5x3y2
-5
x3y2
Esempio:
COEFFICIENTE
PARTE LETTERALE
-1/3ab2c
-1/3
ab2c
Si chiama MONOMIO NULLO il monomio che ha per COEFFICIENTE lo ZERO.
Infatti, moltiplicando per zero la parte letterale, il risultato è zero.
Si chiama SEGNO DEL MONOMIO il SEGNO DEL COEFFICIENTE del monomio.
SEGNO DEL
MONOMIO
+
-
MONOMIO
+4ab
-5a
Il segno + davanti ad un monomio può essere tralasciato. Ad esempio possiamo scrivere
indifferentemente:
+3a
oppure
3a.
Se il monomio ha coefficiente 1, esso si può tralasciare. Ad esempio possiamo scrivere:
+1a oppure
-1a oppure
+a
-a
oppure, potendo tralasciare anche il segno +
a
in questo caso il segno deve essere sempre indicato, poiché esso è -
Supponiamo di avere un monomio ridotto a forma normale. Esso potrà essere INTERO o
FRAZIONARIO. Un monomio ridotto a forma normale si dice INTERO se le lettere non
figurano a denominatore. Un monomio ridotto a forma normale si dice FRAZIONARIO se le
lettere figurano a denominatore.
MONOMIO RIDOTTO A FORMA
NORMALE
LETTERE NON FIGURANO A
DENOMINATORE
INTERO
Esempio:
3a
-1/2 a
LETTERE FIGURANO A
DENOMINATORE
FRAZIONARIO
Esempio:
-1/a
a/b
ATTENZIONE! Se troviamo scritto 2a-1 ci troviamo di fronte ad un monomio frazionario perché la
-1
lettera a è come se si trovasse a denominatore. Infatti, scrivere 2a equivale a scrivere 2/a come abbiamo
appreso parlando dei numeri relativi con esponente negativo. Quindi, a voler essere più precisi possiamo
dire che un MONOMIO è:
SE LE LETTERE COMPAIONO SOLO AL
NUMERATORE CON ESPONENTE POSITIVO
Esempio : 2a3
INTERO
SE LE LETTERE COMPAIONO SOLO AL
DENOMINATORE CON ESPONENTE
NEGATIVO
Esempio : 2/a-3 = 2a3
FRAZIONARIO
SE LE LETTERE COMPAIONO SOLO AL
DENOMINATORE CON ESPONENTE
POSITIVO
Esempio : 2/a3
SE LE LETTERE COMPAIONO SOLO AL
NUMERATORE CON ESPONENTE
NEGATIVO
Esempio : 2a-3 = 2/a3
Due MONOMI si dicono SIMILI quando hanno la STESSA PARTE LETTERALE.
Esempio:
Due MONOMI si dicono UGUALI quando, OLTRE A ESSERE SIMILI, hanno anche lo
STESSO COEFFICIENTE. Quindi due monomi sono uguali se hanno la stessa parte letterale e
lo stesso coefficiente.
Due MONOMI si dicono OPPOSTI quando hanno la STESSA PARTE LETTERALE e
COEFFICIENTE OPPOSTO. I COEFFICIENTI si dicono OPPOSTI se hanno LO STESSO
VALORE ASSOLUTO, ma SEGNO CONTRARIO (Vedi I numeri relativi).
Esempio:
Ricapitolando:
Esempio:
MONOMI SIMILI
STESSA PARTE LETTERALE
STESSA PARTE LETTERALE
MONOMI UGUALI
STESSO COEFFICIENTE
STESSA PARTE LETTERALE
MONOMI OPPOSTI
COEFFICIENTE OPPOSTO
+4a;
+1/2a
Esempio:
+4a;
+4a
Esempio:
+4a; 4a
Ora prenderemo in esame solamente MONOMI INTERI, cioè monomi le cui LETTERE figurano
esclusivamente a NUMERATORE.
Ad esempio:
è un MONOMIO INTERO dato che le LETTERE vi compaiono solo a NUMERATORE e con
ESPONENTE POSITIVO.
Dato un MONOMIO INTERO si dice GRADO COMPLESSIVO del monomio la SOMMA
DEGLI ESPONENTI delle sue LETTERE.
Torniamo al monomio precedente:
4/3a2b3.
Avremo
Monomio
Parte letterale del monomio
Esponente della lettera a
Esponente della lettera b
Somma degli esponenti delle lettere
Grado complessivo monomio
4/3a2b3
a2b3
2
3
2+3 = 5
5
Quindi il GRADO COMPLESSIVO del nostro monomio è 5.
Vediamo un altro esempio:
5x2y5z.
La prima cosa che dobbiamo osservare è che la lettera z non ha esponente.
ATTENZIONE!!! Quando una LETTERA è PRIVA DI ESPONENTE va considerata come una
potenza avente ESPONENTE 1.
Quindi avremo:
Monomio
Parte letterale del monomio
Esponente della lettera x
Esponente della lettera y
5x2y5z
x2y5z
2
5
Esponente della lettera z
Somma degli esponenti delle lettere
Grado complessivo monomio
1
2+5+1 = 8
8
Quindi il GRADO COMPLESSIVO del nostro monomio è 8.
Oltre al grado complessivo di un monomio possiamo definire anche il GRADO DI UN
MONOMIO RISPETTO AD UNA SUA LETTERA. Il GRADO DI UN MONOMIO INTERO
RISPETTO ad una sua LETTERA è l'ESPONENTE DI QUELLA LETTERA.
Ad esempio:
se vogliamo sapere il grado del monomio:
5x2y5z
rispetto alla lettera x, esso è 2, cioè l'esponente con il quale tale lettera compare nel monomio.
ATTENZIONE!!! Se in un monomio MANCA una certa LETTERA, si dice che quel
MONOMIO è di GRADO ZERO rispetto a QUELLA LETTERA.
Esempio:
4a2
è un monomio di grado zero rispetto alla lettera b. Infatti possiamo immaginare di scrivere il
monomio nel modo seguente:
4a2b0.
E come sappiamo qualsiasi numero elevato a zero è uguale a 1. Quindi sarebbe come scrivere:
4 x a 2 x 1.
Di conseguenza anche +5, o -3 sono monomi: essi sono MONOMI DI GRADO ZERO.
Infatti li possiamo immaginare scritti come:
+5a0= +5
-3x0= -3.
Ricapitolando:
Esempio:
GRADO COMPLESSIVO DI UN
MONOMIO
SOMMA DEGLI
ESPONENTI DELLE SUE
LETTERE
+4a2b
grado 2+1 =3
Esempio:
+4a2b
GRADO DEL MONOMIO
RISPETTO AD UNA LETTERA
ESPONENTE DI QUELLA
LETTERA
grado del
monomio
rispetto alla
lettera a = 2