simulazione gara a squadre (coppa fermat)

GARA DI MATEMATICA ON-LINE (12/10/2015)
Istruzioni Generali

Si ricorda che per tutti i problemi occorre indicare sul cartellino delle risposte un numero intero
compreso tra 0000 e 9999, o comunque una successione di 4 cifre. Si ricorda anche che occorre sempre e
comunque compilare tutte le 4 cifre, eventualmente aggiungendo degli zeri iniziali.

Se la quantità richiesta non è un numero intero, si indichi la sua parte intera. Si ricorda che la parte
intera di un numero reale x e il più grande intero minore od uguale ad x.

Se la quantità richiesta è un numero negativo, oppure se il problema non ha soluzione, si indichi 0000.

Se la quantità richiesta è un numero maggiore di 9999, oppure se non è univocamente determinata, si
indichi 9999.

Nello svolgimento dei calcoli può essere utile tener conto dei seguenti valori approssimati:
2  1,4142
5  2,2361
3  1,7321
  3,1416
I MAESTRI DEI GIOCHI MATEMATICI
Samuel (Sam) Loyd
Martin Gardner
(1841-1911)
vs
“Il re dei puzzle”
(1914-2010)
“Il giocoliere della matematica”
La maggior parte dei problemi di questa gara è tratta dai lavori di Sam Loyd e di Martin Gardner,
due creatori di giochi matematici cui dobbiamo molto e dai quali non smetteremo mai di imparare.
Gara scritta da:
Santina De Monte
Sandro Campigotto
Samuel Loyd
Martin Gardner
Ugo Tomat
1. LA STELLA DI SAM LOYD
Nel disegno a fianco è nascosta una stella regolare a cinque punte.
Riesci a trovarla? Una volta trovata, determina in quale riquadro si
trova ciascuna delle sue cinque punte. Per ciascuna moltiplica tra
loro le due coordinate, quindi somma i cinque numeri trovati.
1
2
3
4
5
6
1
2
3
2. IL CASSIERE
Un uomo si reca in banca con un assegno da 200 dollari e ordina al
cassiere "Cambiami l’assegno con alcuni pezzi da un dollaro, dieci
volte tanti da due e il resto da cinque dollari!". Come si comporterà
il cassiere? (Dai come risposta il prodotto del numero delle
banconote da uno, da due e da cinque dollari.)
4
5
6
3. PUNTI E SFERE
Tre punti vengono scelti a caso sulla superficie di una sfera. Qual è la probabilità che stiano tutti
e tre sulla stessa semisfera? (La circonferenza massima si considera appartenente alla semisfera.
Dai la risposta in percentuale.)
4. GARA DI CORSA
Saul e Sal gareggiano tra loro sulla distanza di 100 iarde . Sal vince per 10 iarde . Decidono di
sfidarsi di nuovo, ma questa volta, per bilanciare le cose, Sal inizia 10 iarde dietro la linea di
partenza. Assumendo che entrambi corrano alla stessa velocità costante di prima, chi vincerà? Di
quanto? (Scrivi 1 al primo posto se vince Saul, 2 se vince Sal, quindi usa le tre cifre rimanenti
per il distacco in decimi di iarde.)
5. IL GIOCO DEI DADI DELLA FIERA
Sul banco di una fiera vi sono riportati i numeri da 1 a 6 . Un giocatore può puntare un dollaro su
uno dei valori, quindi tira tre dadi (regolari). Se su un solo dado esce il numero su cui ha
scommesso, vince due dollari; se su esattamente due dadi esce il numero ne vince tre. Se il
valore compare su tutti e tre il banco paga con quattro dollari. Qual è la probabilità di vittoria?
(Dai come risposta la somma tra numeratore e denominatore della probabilità scritta in frazione
ridotta ai minimi termini.)
6. PRANZO AL CLUB
Ogni membro del club VM o è un veritiero, cioè risponde sempre con la verità alle domande o è
un mentitore, cioè risponde sempre il falso. Una sera sono stato invitato al club. Erano tutti
seduti attorno ad un tavolo rotondo e siccome non riuscivo a distinguere i veritieri dai mentitori,
ho chiesto loro cosa fossero e tutti mi hanno risposto di essere veritieri. Non avendo concluso
nulla, chiesi cosa fosse il proprio vicino di sinistra e tutti mi dissero che era un mentitore.
Sconsolato passai la serata conversando. Il giorno dopo chiamai il club. Mi rispose il presidente al
quale chiesi quante persone erano al club la sera prima e lui mi rispose 37 . Incerto richiamai e
mi rispose il vicepresidente che la sera prima sedeva alla sinistra del presidente. Gli posi la
stessa domanda e mi disse di non credere al presidente, che è un mentitore e che i membri
presenti erano 40 . Quanti erano i membri presenti e quanti i veritieri? (Usa le prime due cifre
della risposta per i membri presenti e le ultime due per i veritieri.)
7. TRIANGOLO DI TARTAGLIA
Quanti dei valori presenti nella riga 67 del triangolo di Tartaglia
sono divisibili per 67 ?
1
1
riga 0
1
8. SOMME DI FATTORIALI
1 2 1
Sei in grado di trovare l’unico numero di tre cifre del tipo ABC
1 3 3 1
tale che ABC  A! B ! C ! ?
...
riga 1
riga 2
riga 3
9. I DUE TACCHINI
“Questi due tacchini pesano assieme 20 libbre .”, disse il macellaio, “Quello piccolo costa due
centesimi la libbra più di quello grosso”. Il signor Smith comprò il tacchino piccolo per 82
centesimi, mentre la signora Brown pagò 2 dollari e 96 centesimi per quello grande. Quanto
pesava ciascun tacchino? Usa le prime due cifre della risposta per indicare il peso del tacchino
più grosso e le ultime due per quello più piccolo.
10. LA MOSCA E IL MIELE
Un bicchiere cilindrico, come quello in figura, è alto 8 cm ed ha una
circonferenza di 12 cm . A 2 cm dal bordo superiore, all’interno del bicchiere si
trova una goccia di miele (punto A ), mentre all’esterno a 2 cm dal fondo,
all’esterno del bicchiere e diametralmente opposta rispetto al miele vi è una
mosca (punto B ). Qual è il percorso più breve (in mm ) che la mosca deve fare
per raggiungere il miele senza volare, ma solo camminando sulla superficie del
bicchiere? (Si supponga trascurabile lo spessore del bicchiere)
11. IL LAGO
L’altro giorno sono andato a Lakewood per partecipare ad
un’asta per l’acquisto di un terreno. Nei manifesti si diceva
che il terreno era di 560 acri , lago compreso, ma la somma dei
tre appezzamenti di terreno era esattamente 560 acri , lago
escluso. Se il lago ha la forma di un triangolo e i tre
appezzamenti sono tre quadrati di superfici 370 , 116 e 74 acri
, qual è la superfice del lago?
12. NUMERI PERFETTI
Un numero n viene detto perfetto se la somma di tutti i suoi
divisori ( n escluso) fa esattamente n . Quanto vale la somma
dei reciproci di tutti i divisori dei primi dieci numeri perfetti?
A
B
370 acri
116 acri
74 acri
13. LA COLLANA
Una signora acquista dodici pezzi di una catena, quelli
indicati nella cornice della figura, e vuole farli riunire in una
catena ininterrotta di 100 anelli. L’orefice le dice che il
taglio e la risaldatura di un anello piccolo costano in tutto 15
centesimi, e quelli di un anello grande 20 centesimi. Qual è
il prezzo minimo che la signora dovrà pagare (in centesimi)
per farsi fare la collana?
14. LA MUCCA, LA CAPRA E L’OCA
Una capra ed un’oca mangiano tanto quanto una mucca. Un
pascolo è in grado di mantenere la mucca e la capra per 45
giorni, la mucca e l’oca per 60 giorni o la capra e l’oca per
90 giorni. Per quanti giorni quel pascolo riuscirebbe a nutrire
i tre animali assieme?
15. LA REGATA
Una barca sta facendo una regata. Il percorso triangolare va dalla boa A alla boa B alla boa C
e ritorno alla boa A . Tre marinai che si trovano sulla barca fanno le seguenti affermazioni:
“Abbiamo percorso i primi tre quarti del percorso in tre ore e mezza.” “Abbiamo percorso gli
ultimi tre quarti del percorso di gara in quattro ore e mezza.” “Nel tratto tra le boe B e C
abbiamo impiegato dieci minuti in più che nel tratto iniziale.” Supponendo che le boe formino
tra loro un triangolo equilatero e che le velocità siano rimaste costanti tra una boa e l’altra ,
quanto è durata (in minuti) la loro regata?
16. GIOCHI CON LE MONETE
Un certo numero di monete sono state disposte su un tavolo a formare un triangolo equilatero di
n monete sulla prima riga, n  1 sulla seconda riga e via di seguito. Una ulteriore moneta è
appoggiata su uno dei lati del triangolo. Se si fa rotolare senza strisciare quest’ultima moneta
attorno a tutte le altre, fino a tornare alla posizione iniziale, questa moneta avrà percorso
22860 . Quante sono complessivamente le monete sul tavolo?
17. ALICE NEL PAESE DELLE MERAVIGLIE
Quando Alice vide per la prima volta il suo amico felino, volle
sapere che specie di animale fosse e, siccome nel Paese delle
Meraviglie le domande vanno fatte per iscritto, essa scrisse la
domanda su un foglio. In quel paese ogni cosa è possibile leggerla
alla rovescia da destra a sinistra e dal basso verso l’alto: Alice
scrisse la domanda nel modo rappresentato a lato. In quanti modi
diversi si può leggere la frase “was it a cat I saw”? partendo da una
qualsiasi “W” e arrivando ad una qualsiasi “W”, potendo ripassare
sulle stesse lettere e muovendosi da una lettera ad una accanto in
qualsiasi direzione? (Dai come risposta le cifre delle migliaia,
centinaia, decine e unità del numero trovato.)
A
B
18. LA CARAFFA DI RUM
Su una vecchia bottiglia di rum (riportata a lato) era stampato un
vecchio gioco di palindromi. In quanti modi è possibile leggere “Red
rum & murder” partendo da una qualsiasi “R” e arrivando ad una
qualsiasi “R” potendo ripassare sulle stesse lettere e muovendosi da
una lettera ad una accanto in qualsiasi direzione? (Dai come risposta
le cifre delle migliaia, centinaia, decine e unità del numero trovato.)
19. INCONTRO VIRTUALE
“Sai Martin, ho due numeri a e b la cui somma vale 23 .”
“Interessante Sam. Allora io prendo due numeri x e y che assieme
ai tuoi mi permettono di ottenere ax  by  79 .” “Scommetto che se
calcoli ax 2  by 2 ottieni 217 … e ax3  by 3 dovrebbe fare 691 !”
“Bravo, hai capito il gioco. Chissà se chi ci legge è in grado di
calcolare ax 4  by 4 ?”
20. PERMUTAZIONI POSSIBILI
In un tubo di vetro sono contenute otto palline numerate da 1 a 8 in ordine
crescente dall’alto verso il basso (vedi figura). A fianco vi sono altri due tubi
di vetro. Le possibili procedure di spostamento sono:
1) prendere la pallina più in alto dal tubo A e metterla nel tubo B;
2) prendere la pallina più in alto dal tubo B e metterla nel tubo C.
Dopo 16 mosse, tutte le palline si troveranno nel tubo C. Quante sono le
diverse possibili configurazioni delle palline nel tubo C?
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
C