LE PROPRIET`A DEI LOGARITMI 1. Introduzione Per risolvere le

LE PROPRIETÀ DEI LOGARITMI
1. Introduzione
Per risolvere le equazioni esponenziali del tipo
(1)
2x = 23
è sufficiente osservare che, se le due potenze hanno la stessa base allora per essere uguali devono avere anche gli stessi esponenti e quindi
possiamo dire che l’equazione 2 si risolve semplicemente ponendo
x = 3.
Ma lo stesso metodo non è applicabile per risolvere le equazioni esponenziali del tipo
(2)
3x = 7
in quanto non c’è modo per scrivere il numero 7 come una potenza di
base 3.
Per le equazioni esponenziali sappiamo che:
ax = b ammette una ed una solo soluzione se a > 0, a 6= 1 e b > 0
e nel caso che abbiamo esaminato in 2 siamo certi che la soluzione esiste
ma non abbiamo in mano un metodo per calcolare la soluzione.
potremmo dire che la soluzione è quel numero x tale che dato per
esponente alla base 3, rende la potenza 3x = 7. Tutto questo lo si
esprime in modo più compatto dicendo che x = log3 7 e si legge x è il
logaritmo in base 3 di 7, cioè x è l’esponente a cui bisogna elevare 3
per ottenere 7. Cioè possiamo dire che
3log3 7 = 7.
In generale abbiamo quindi che le scritture del tipo
ax = b
e
x = loga b.
1
2
LE PROPRIETÀ DEI LOGARITMI
2. Definizione
Siano dati due numeri reali a e b con a > 0 e a 6= 1 e b > 0. Si dice
logaritmo in base a di b e lo si indica con la notazione
x = loga b;
il numero x tale che
ax = b.
3. Proprietà
(3)
(4)
(5)
(6)
loga b + loga c = loga (b · c);
b
loga b − loga c = loga
;
c
loga (bc ) = c loga b;
loga N
logb N =
.
loga b
4. Dimostrazioni
Proprietà 3. Indichiamo con
x = loga b e y = loga c
in questo modo per come abbiamo definito i logaritmi abbiamo che
ax = b e ay = c.
loga b + loga c = x + y
= loga ax+y
= loga (ax · ay )
= loga (b · c).
Proprietà 4. Indichiamo con
x = loga b e y = loga c
in questo modo per come abbiamo definito i logaritmi abbiamo che
ax = b e ay = c.
LE PROPRIETÀ DEI LOGARITMI
3
loga b − loga c = x − y
= loga ax−y
= loga (ax · a−y )
1
x
= loga a · y
a
1
= loga b ·
c
b
.
= loga
c
Proprietà 5. Indichiamo con
x = loga b e y = loga c
in questo modo per come abbiamo definito i logaritmi abbiamo che
ax = b e ay = c.
loga b − loga c = x − y
= loga ax−y
= loga (ax · a−y )
1
x
= loga a · y
a
1
= loga b ·
c
b
= loga
.
c
Proprietà 6. Iniziato in questo modo: supponiamo di saper calcolare i
logaritmi in una determinata base, ad esempio a, e di voler calcolare il
logb N.
Come al solito conviene porre
x = logb N
ed utilizzare la sua notazione esponenziale
bx = N.
4
LE PROPRIETÀ DEI LOGARITMI
Se sappiamo calcolare il logaritmo in base a di qualsiasi numero allora
lo sappiamo fare anche nel caso particolare di loga N, ma per quanto
abbiamo detto segue
loga N = loga (bx )
= x loga b
= (logb N) · (loga b).
Da cui con una semplice inversione abbiamo la formula per il cambiamento di base:
loga N
logb N =
.
loga b
5. Logaritmi in breve
Per definizione il logaritmo in base a di un numero positivo x, con
a > 0 e a 6= 1, è l’esponente che occorre dare alla base a per ottenere
il numero x. In simboli:
loga x = y ⇐⇒ x = ay .
Per risolvere un’equazione logaritmica bisogna innanzitutto ricordare che l’argomento del logaritmo, qualunque sia la sua base, deve essere
positivo, quindi occorre sempre, prima di fare qualunque calcolo, eliminare i valori che portano ad argomenti negativi o nulli.
Inoltre è utile richiamare quelle che sono le proprietà fondamentali
dei logaritmi:
loga b + loga c = loga (b · c);
b
loga b − loga c = loga
;
c
loga (bc ) = c loga b;
loga N
logb N =
.
loga b
Oltre a queste proprietà è utile ricordare anche l’ovvia uguaglianza
loga 1 = 0,
valida per ogni valore di a.