L`Energia e la misura del cambiamento

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Capitolo
L’Energia e la misura
del cambiamento
1. L’energia di un sistema
La materia possiede una caratteristica che possa dirsi fondamentale?
La materia ha una proprietà che si manifesta in moltissime circostanze: quella di interagire. A qualunque livello si osservi, da quello microscopico delle particelle elementari, su fino alle strutture enormi, come gli ammassi di galassie, i corpi esercitano
delle azioni gli uni sugli altri, e questo produce dei cambiamenti fisici. Allo scopo di
capire come funziona l’Universo, quindi, la fisica non studia tanto i singoli oggetti,
ma piuttosto si concentra sui sistemi costituiti da parti che interagiscono, cercando di
stabilire delle relazioni fra i cambiamenti che le interazioni comportano.
Quali informazioni occorrono per descrivere la fisica di un sistema?
Sono necessarie due informazioni fondamentali: il modo in cui le sue parti sono distribuite nello spazio, che chiameremo configurazione, ed il loro stato di moto. Entrambe si ottengono stabilendo un riferimento in cui si assegnano sia delle coordinate di
posizione ad ogni punto del sistema, sia una coordinata temporale che permetta di
conoscere come le posizioni cambiano, cioè di misurare le loro velocità.
Stato di un
ì
ì -posizione nello spazio delle parti
ï
ï
ï
ï
Configurazione ï
í
ï
ï
ï
-orientamento reciproco delle parti
ï
ï
ï
î
sistema í
ï
ï
ï
ï
Stato di moto delle parti
ï
ï
ï
î
Con quali tipi di sistemi possiamo avere a che fare?
Nel caso più generale un sistema è insieme costituito da un qualsiasi numero di oggetti, capaci di spostarsi e, qualora le parti abbiano una struttura interna, di ruotare e
di deformarsi, permettendo così alla configurazione di mutare. Si può chiamare sistema anche un solo oggetto che sia capace di spostarsi, di ruotare e di deformarsi,
oppure una regione di spazio capace di deformarsi.
169
E’ importante misurare la capacità di produrre cambiamenti di un sistema?
La capacità di produrre dei cambiamenti è una proprietà fondamentale, quella che guida
ogni cosa che accade: lo stesso verbo “fare” potrebbe essere esplicitato come “modificare quello che c’era prima”. Vogliamo quindi cercare di costruire una grandezza fisica che esprima quantitativamente tale abilità. Infatti, una grandezza fisica non è
qualcosa che “si scopre”, ma piuttosto il risultato di ciò che la creatività umana escogita, intuendo quali sono le quantità che vanno osservate e misurate, perché queste,
meglio di altre, consentono di estrarre informazioni sul funzionamento del mondo.
 La Controfisica
L’energia di un sistema misura la capacità di cambiare le cose che da esso
potremmo estrarre in condizioni ideali, le
quali spesso non sono realizzabili. Ad
esempio potremmo estrarre tutta
l’energia immagazzinata negli oceani
solo se idealmente disponessimo di
una sorgente alla temperatura più bassa possibile in natura, lo zero assoluto.
Energia: E
Grandezza fisica che misura la capacità di produrre cambiamenti che in condizioni
ideali può essere ottenuta dal sistema.
Se dunque abbiamo a che fare con più sistemi con uguali caratteristiche, un opportuno confronto fra le loro energie1 ci dirà da quale di essi potremmo - in condizioni
ideali – far fruttare una maggiore capacità di modificare configurazioni oppure stati
di moto. Poter misurare l’energia significherà avere un’informazione su quanto possiamo contare sul quel sistema per manipolare l’ambiente.
A cosa è legata la capacità di produrre cambiamenti?
Poiché tutte le informazioni su di un sistema sono note quando si conoscono sia lo
stato di moto delle sue parti sia la sua configurazione nello spazio, anche la capacità
di produrre cambiamenti posseduta da un sistema dev’essere riconducibile ad una
od entrambe queste due proprietà. E’ quindi possibile distinguere due contributi
all’energia di un sistema, e precisamente diremo:
Energia Cinetica K : la capacità di produrre cambiamenti che in condizioni ideali
può essere ottenuta da un sistema grazie allo stato di moto delle sue parti.
Energia Potenziale U: la capacità di produrre cambiamenti che in condizioni ideali
può essere ottenuta da un sistema grazie alla sua configurazione nello spazio.
Quali esempi possiamo fare?
Un sistema formato da una molla compressa possiede energia grazie alla sua configurazione. Se vi si appoggia una massa in un piano orizzontale, non appena la molla
viene sbloccata, imprime velocità alla massa modificando così il suo stato di moto e
quindi conferendogli energia cinetica. La massa ha ora acquisito la capacità a sua
volta di modificare l’ambiente grazie all’energia cinetica, e questo diviene visibile
quando si scontra con un’altra massa ferma mettendola in moto, oppure con qualche
oggetto deformabile modificandone la configurazione nello spazio. Un sistema costituito da un recipiente contenente del gas caldo chiuso da un pistone possiede energia
incamerata grazie alle interazioni fra le sue molecole, che sono in continuo movimento caotico. Il gas tende ad espandersi sollevando il pistone, e modificando la configurazione spaziale dell’ambiente con cui interagisce.
Esistono altri modi in cui un sistema può incamerare energia?
Le definizioni generiche sopra espresse, vanno completate con delle istruzioni operative, che consentano di misurare il contenuto energetico (potenziale e cinetico), di un
sistema. In ogni caso l’esperienza mostra con evidenza che non vi sono altre vie per
le quali un sistema può incamerare energia e che quindi l’energia di un sistema, sep-
1 Il confronto può farsi in assoluto solo se si assegna valore zero (o minimo) all’energia dei sistemi quando questi si
trovano in uno stato da cui non si può far fruttare alcuna capacità di produrre cambiamenti. Questa scelta dello zero non sempre
risulta la più pratica, ed in generale vengono usati altri criteri. Una decisione differente per lo zero produce però dei valori
negativi di energia, che sono associati alle situazioni in cui la capacità di cambiamento è inferiore a quella posseduta nello
stato in cui è nulla. In questi casi la misura dell’energia mantiene l’interpretazione immediata di “capacità di cambiare le
cose”, solo in un confronto relativo fra sistemi con uguali caratteristiche e uguale scelta dello zero.
170
pur si presenti sotto molteplici aspetti (chimica, elettromagnetica, nucleare, gravitazionale e così via), è sempre riconducibile all’una o all’altra delle due forme, cinetica
o potenziale, e cioè:
E =U + K
L’energia dipende dal riferimento scelto?
Qualunque misura di energia sarà, per definizione, in funzione delle coordinate delle
parti del sistema e delle loro velocità. Poiché coordinate spaziali e velocità dipendono dal riferimento scelto, ne consegue che anche l’energia è, come loro, una grandezza relativa, che assume, come loro, differenti valori a seconda del riferimento. Ciò
appare del tutto naturale se si pensa che l’energia non ha consistenza in sé, ma è la
proprietà della materia che interagisce con altra materia. Non può dunque esistere,
nemmeno in linea di principio, dell’energia separata dagli oggetti che interagiscono.
Il contenuto energetico di un sistema può cambiare nel tempo?
Quale che sia il sistema, e qualunque configurazione o stato di moto assuma, deve
essere sempre possibile individuare una superficie che lo racchiude e lo separa da
ogni altra cosa che esiste. Si è soliti chiamare ambiente tutto ciò che rimane fuori dal
confine che abbiamo stabilito. Si tratta di uno schema semplificato in cui il sistema
interagisce solo con l’ambiente e viceversa, e non sono presenti terzi soggetti.
L’esperienza mostra che la capacità di produrre cambiamenti può attraversare il confine sistema-ambiente, e passare da un sistema a un altro quando questi interagiscono. I
sistemi per i quali è possibile lo scambio di energia attraverso la superficie di separazione sono detti sistemi non isolati, quelli per cui questo scambio non avviene mai
sono detti sistemi isolati. Le osservazioni indicano che i cambiamenti di questa nuova
grandezza che intendiamo costruire, cioè l’energia, non sono caotici e arbitrari, ma
seguono alcune regole. Se il sistema è isolato, l’energia rimane costante e, nello stesso tempo, al suo interno possono avere luogo trasformazioni di energia potenziale in
energia cinetica e viceversa. Se invece il sistema non è isolato, la sua capacità di compiere cambiamenti può variare nel tempo, ma si osserva che l’energia non può in
ogni caso essere né creata né distrutta. Queste proprietà vanno sotto il nome di Principio di conservazione dell’energia.
Principio di conservazione dell’energia
La somma delle energie trasferite attraverso la superficie che separa un sistema
dall’ambiente deve essere sempre uguale alla variazione di energia al suo interno:
DEsistema = Somma dei Trasferimenti
Studieremo diversi modi per mezzo dei quali l’energia può essere trasferita, ma la
proprietà fondamentale che accomuna è proprio il fatto che il “saldo” energetico del
sistema deve potersi ottenere sommando o sottraendo al contenuto iniziale le quantità entrate ed uscite. In un certo senso il processo è simile a quello che avviene in un
conto corrente, dove il denaro non viene creato o distrutto dalla banca, ma entra ed
esce tramite versamenti, assegni, bonifici e così via. Si può dunque vedere l’energia
come la moneta di scambio utilizzata dalla natura. Secondo quanto detto, la variazione DE di energia del sistema è anche una misura del cambiamento che è avvenuto nella configurazione e nello stato di moto delle sue parti.
In quali casi l’energia rimane costante?
Se si allargano i limiti stabiliti dalla superficie di separazione, fino a includere anche
le regioni con le quali avviene lo scambio, l’energia del nuovo sistema così delimitato
rimane costante, non essendoci più alcun trasferimento verso l’esterno che ora è stato
inglobato. Con questa scelta si può scrivere:
DEsistema = 0
171
ambiente
E
sistema
E
Di conseguenza, il contenuto energetico di un sistema formato dall’intero Universo
rimane costante nel tempo, perché costituisce evidentemente un sistema isolato, non
esistendo per definizione un’altra realtà fuori da esso con cui interagire. Come vedremo, applicare il principio di conservazione dell’energia permette di sapere in anticipo quali trasformazioni sono possibili e quali non lo sono, cioè di prevedere in
una certa misura cosa accadrà nel modo fisico.
2. Le forze sono gratis ma il lavoro si paga
Che cosa può far cambiare la configurazione ed il moto delle parti di un sistema?
Allo scopo di arrivare a definire operativamente l’energia come misura del cambiamento fisico che è avvenuto o deve avvenire, ci riferiremo alla forza come la causa
all’origine del cambiamento.
Forza: ogni causa di cambiamento nella configurazione spaziale o nello stato di moto
delle parti di un sistema.
Le osservazioni mostrano un fatto fondamentale riguardo all’azione delle forze, e
che converrà tradurre in una grandezza misurabile:
la situazione in cui il sistema subisce (od esercita) una forza che mantiene fisso il
proprio punto di applicazione, e la situazione in cui il punto di applicazione si sposta
durante l’azione della forza stessa, sono due fenomeni fisici differenti.
La caratteristica sorprendente delle forze per le quali non si sposta il punto di applicazione è che sono “gratis”. Non dobbiamo pagare alcun costo per averne una, qualunque siano l’intensità e la direzione che desideriamo, e per un tempo indeterminato. Vogliamo una forza diretta verso l’alto per equilibrare il nostro peso? Ecco che il
pavimento ce la fornisce, e del tutto gratuitamente. Serve una spinta lungo un angolo
a rispetto al terreno, che ci tenga parcheggiata la macchina in una strada in pendenza? L’attrito fra le gomme e l’asfalto la esercita senza alcun problema, e quando torneremo a riprenderci l’auto non dovremo pagare nulla per un tale servizio. Ganci,
muri, supporti sono sempre disponibili, per trazioni orizzontali, siano esse verso destra, verso sinistra od in qualunque altra direzione, mentre basta un cuneo per ruotare la retta lungo cui la forza agisce. Le forze con punto di applicazione fisso appaiono una sorta di “offerta promozionale” della natura, un campione gratuito per invogliarci a considerare l’acquisto di qualcos’altro che si paga. Infatti, la cosa difficile
non è disporre di una forza, ma spostare il punto in cui la forza viene applicata. Per
svolgere questo compito la natura ci presenta immancabilmente un conto in termini
di (1) carburanti, (2) sorgenti di calore, (3) mutazioni nella configurazione che riducono l’abilità futura del sistema di produrre cambiamenti.
Quale effetto ha sull’energia l’applicazione di una forza con punto fisso?

Quando su di un sistema si applica una forza F in un punto che resta fermo, questa azione non altera la capacità del sistema di produrre dei cambiamenti.
il punto di applicazione
In altri termini, se all’azione conseguono variazioni in posizione e velocità delle parti
della forza non si sposta del sistema, queste producono delle trasformazioni di energia da potenziale a cine l ' energia dell ' uomo
tica o viceversa, ma il contenuto energetico complessivo rimane lo stesso. Immaginon è cambiata
niamo ad esempio che il nostro sistema sia un uomo sui pattini che da fermo si dà
una spinta appoggiandosi a un muro. Durante lo stacco l’ambiente (in questo caso il
pianeta Terra tramite il muro) esercita su di lui una forza normale, il cui punto di
172
applicazione rimane fisso là dove tocca la sua mano. Apparentemente l’uomo acquista energia cinetica, ma questa non gli giunge certo dal muro, al contrario, è prelevata
dal serbatoio di energia potenziale accumulata chimicamente tramite il cibo ingerito.
Dopo la spinta, il contenuto energetico interno del sistema formato dall’uomo non è
cambiato. La forza esterna applicata in un punto fisso permette questa trasformazione di energia, ma non ne aggiunge di nuova. L’abilità complessiva di produrre
cambiamenti del sistema ha solo mutato di forma, rimanendo, nel complesso, identica. Quindi le forze con punto fisso sono sì disponibili “gratis”, ma non producono
nemmeno effetti di perdita o di guadagno energetici.
In quale modo un sistema acquista o perde energia per effetto di una forza?


Se la forza è applicata per un tratto Ds con la stessa direzione di F , il modo in cui
cambiano configurazione e velocità delle parti del sistema fa variare la capacità del
sistema di produrre cambiamenti, e il contenuto in energia non è più quello di prima.
Immaginiamo ora che il sistema-uomo di prima venga spinto da una molla attaccata
al muro. L’energia cinetica che acquista viene in questo caso dalla forza esterna della
molla, che sposta il proprio punto di applicazione durante il percorso. Il cambiamento di
configurazione e velocità comporta ora una variazione dell’energia del sistema, cioè
l’uomo ha acquistato, grazie alla velocità alla quale si trova, delle proprietà che prima non aveva di alterare a sua volta la configurazione dell’ambiente. Quindi, applicare una forza spostandone il punto di applicazione è una delle vie, (ma non la sola),
per la quale il sistema scambia energia con l’ambiente.
il punto di applicazione
della
forza si sposta
Le osservazioni mostrano come il cambiamento di energia che l’azione di una forza

l
'
energia
dell ' uom o
produce in un sistema, sia tanto più consistente quanto più è lungo lo spostamento

è cam biata
del suo punto di applicazione e quanto più è intensa la componente F della forza
Quali quantità sono rilevanti nello spostamento di una forza?
nella direzione dello spostamento. Vediamo alcuni esempi.
Esercizi
1. L’automobile ferma in salita.
Consideriamo il sistema costituito da un’automobile e dal pianeta Terra. Mantenere la
macchina ferma in salita tirando il freno a mano non richiede alcun consumo di carburante, mentre ne richiede lo spostamento del punto di applicazione della forza che da fuori
agisce sulla macchina. Quanto più si desidera portare il sistema nella configurazione in
cui l’auto si trova in alto, tanto più ci verrà richiesto di spostare il punto di applicazione
di una forza che abbia una componente lungo la direzione dello spostamento. In conseguenza di quest’azione il sistema (formato dall’auto e dalla Terra) nella nuova configurazione ha acquistato sia la proprietà di modificare sé stesso, accelerando verso il basso la
sua parte mobile, sia la capacità di modificare l’ambiente tramite le interazioni che possono avere luogo durante la discesa.
2. Accelerare un proiettile.
Consideriamo il sistema costituito da un proiettile. Perché questo, da fermo, raggiunga la
velocità di 100 km/h sparato per mezzo di un fucile, è necessario che per un tratto della
canna gli sia applicata una forza nella direzione in cui si desidera la velocità finale.
L’azione è prodotta dallo spostamento d’aria e di detriti che consegue all’esplosione della
polvere da sparo, e comporta un consumo di risorse immagazzinate chimicamente. In seguito a tale consumo il sistema formato dal solo proiettile ha acquistato la proprietà di
muoversi con una velocità non nulla rispetto al riferimento della Terra. Si tratta senz’altro
di una proprietà legata al contenuto di energia perché grazie a essa è in grado di modificare l’ambiente, producendo deformazioni nelle strutture con le quali va a scontrarsi.
173

F
a
3. Lasciar cadere una pietra.
Una pietra è lasciata cadere dall’alto. Apparentemente sembrerebbe un caso in cui la forza
di gravità sposta gratis il proprio punto di applicazione. In realtà il sistema formato dalla
pietra e dalla Terra ha pagato il conto perdendo una parte della propria abilità di modificare l’ambiente o se stesso che prima possedeva quando la pietra stava in alto.
4. Strofinare con una gomma.
Sia ora il nostro sistema una gomma per cancellare. L’operazione di strofinarla contro un
foglio di carta comporta lo spostamento del punto di applicazione della forza dovuta
all’attrito in una direzione parallela all’ attrito stesso. In conseguenza di tale strofinio le
parti del sistema subiscono un incremento di temperatura. Da un sistema a più alta temperatura si può, in opportune condizioni (cioè con un motore termico), estrarre una maggiore capacità di modificare l’ambiente. Quindi il sistema ha acquisito nuove proprietà
d’interazione che prima non aveva.
5. Sostenere una valigia ferma.
Sostenere ferma una grande valigia con le mani non comporta spostamento del punto di
applicazione: sembrerebbe un caso in cui la natura ci presenta un conto da pagare sebbene
la forza non si sposti. Tuttavia le fibre all’interno del muscolo durante un’azione scorrono
le une contro le altre e quindi l’esercitare una forza esterna immobile comporta lo spostamento del punto di applicazione delle forze all’interno del nostro organismo e per questo
nel sistema uomo e valigia si usa energia potenziale accumulata chimicamente tramite gli
alimenti per far compiere lavoro alle forze muscolari.
6. Mantenere la Luna in orbita.
Nessun dispendio di risorse è richiesto per mantenere la Luna lungo un’orbita approssimativamente circolare con velocità di modulo costante intorno alla Terra. In un tale moto
la traiettoria è in ogni punto perpendicolare alla retta lungo cui agisce la forza di gravità, e
questa pur continua azione non conferisce nessuna nuova proprietà energetica al sistema
che il nostro satellite costituisce. L’osservazione del mondo fisico porta dunque a dire che
nessun cambiamento nelle proprietà energetiche viene conferita ad un sistema dall’azione di una
forza, che sposta il proprio punto di applicazione perpendicolarmente alla sua direzione.

FG

F^

F
Come possiamo misurare l’effetto energetico dello spostamento di una forza?
a

F

Ds
 La Controfisica
Lo spostamento del punto appartenente all’oggetto su cui la forza è applicata non va confuso con lo spostamento della coda del vettore che rappresenta la forza. Un caso che spesso
genera confusione è lo spostamento
del punto dove è applicata la forza di
attrito. Ad esempio, quando scriviamo
su di un quaderno, il punto della carta
dove si posa l’inchiostro cambia di
volta in volta, ma è praticamente immobile, e quindi il lavoro della forza di
attrito sulla carta non può essere calcolato usando per ∆s la lunghezza del
tratto di penna, che è invece lo spostamento della coda del vettore forza.
Per fare il calcolo giusto dovremmo
conoscere le piccole deformazioni
subite dai punti di contatto al passaggio della punta della penna.
Costruiremo ora una grandezza per misurare il trasferimento di quella proprietà che
abbiamo battezzato “energia”. Sembra ragionevole che essa sia proporzionale alle
due quantità che si sono rivelate significative nelle osservazioni, cioè :

(1) la lunghezza |Ds | dello spostamento del punto appartenente all’oggetto in cui è
applicata la forza,
(2) la componente scalare (quindi con segno) F della forza lungo la direzione di tale spostamento ( forza tangenziale).
Iniziamo con la situazione semplice, in cui la forza è costante in direzione ed intensità, ed il punto appartenente all’oggetto su cui è applicata (punto di applicazione) segue

uno spostamento rettilineo Ds . Possiamo sfruttare il principio d’indipendenza dei




moti in direzioni perpendicolari. Le due forze F + F^ = F in cui si decompone F
agiscono ciascuna come se l’altra non ci fosse. Un modo per esprimere con i numeri
il trasferimento di energia può essere quindi il prodotto fra le due quantità sopra individuate:

F |Ds |



dove F = |F | cos a , intendendo sempre di prendere come angolo fra F e Ds quello per cui 0 £ a £ 180 . In tal modo il trasferimento di energia è tanto maggiore quanto
174
più lungo è lo spostamento della forza e quanto più la forza è intensa nella direzione dello
spostamento stesso. A questa grandezza si assegna il nome di lavoro elementare DL (o
più semplicemente lavoro) cioè:



DL = |F | |Ds | cos a = F |Ds |
Per fare uso di questa formula dobbiamo estendere la definizione di coseno da noi
data solo per angoli interni a un triangolo rettangolo, quindi minori di 90 . Questo si
realizza associando ad angoli 90 £ a £ 180 valori negativi del coseno, uguali in modulo a quelli dell’angolo supplementare 180 - a , come in figura. Ad esempio
avremo: cos 135 = - cos 45 = -0.707 , cos180 = - cos 0 = -1 e così via.
Qual è il significato del segno nel lavoro elementare?


Dalla formula DL = |F | |Ds | cos a si vede che una forza che compie lavoro elemen-
tare positivo, sta contribuendo allo spostamento del proprio punto di applicazione.
In questo caso, infatti, l’angolo a è minore di un angolo retto e quindi cos a > 0 . Il

suo componente F è allora orientato nel verso dello spostamento. Una forza che
compie lavoro elementare negativo invece sta contrastando il moto del proprio pun
to di applicazione. Il suo componente F è in questo caso orientato in verso contrario allo spostamento, cioè a > 90 e quindi2 cos a < 0 :
DL > 0
a
.

F

Ds

F = |F | cos a > 0

F

F
DL < 0

Ds
a

F = |F | cos a < 0
DL = 0
a
cos a = - cos(180 - a)
a
0
30
45
60
cos a
1
0.866
0.707
0.500
a
cos a
-1
180
150 -0.866
135 -0.707
120 -0.500
 La Controfisica
È importante distinguere l’azione che
causa lo spostamento dalla forza di cui
si vuole calcolare il lavoro. In generale
le parti del sistema potrebbero essere
già in moto con una loro velocità,
oppure le forze in azione possono
essere più di una. In questo contesto,
la particolare forza in esame potrebbe
addirittura opporsi allo spostamento
del proprio punto di applicazione.

Ds
F = 0

Ds

Ds
Un lavoro positivo è detto lavoro motore, mentre un lavoro negativo è detto lavoro resistente. Ad esempio in una traiettoria parabolica di caduta libera, la gravità compie lavoro
resistente prima che venga raggiunto il massimo, e lavoro motore dopo che questo è stato
scavalcato. Se invece il punto di applicazione si sposta perpendicolarmente alla retta di
azione della forza, questa non compie lavoro. Le dimensioni fisiche del lavoro sono:
2
a > 90
180-a
a

mg
a

mg
a

mg
lavoro lavoro
negativo positivo
-2
[L ] = [ N ][ m ] = [ kg ][ m ] [s] = [J]
La corrispondente unità di misura è detta joule [J] . Una forza di 1 N che sposti il proprio

Ds
CORPO IN CADUTA LIBERA
punto di applicazione di 1 m lungo la sua retta di azione compie quindi un lavoro di 1J .
Il lavoro è una grandezza fisica che descrive un processo, quello del trasferimento di
energia. Pertanto non diremo mai che un sistema possiede del lavoro: il lavoro, a differenza dell’energia, non è una proprietà dei sistemi, ma esiste solo durante le azioni di trasferimento. Diremo invece che durante lo spostamento del punto appartenente a un oggetto dove è applicata una forza, la forza compie un lavoro sull’oggetto.
Esercizi



7. Due forze F1 ed F2 , di intensità costanti che valgono rispettivamente F1 = 35.0 N ed

F2 = 10.0 N , agiscono per un certo tempo su di un blocco di massa m = 25.0 kg come
in figura. Il blocco che si trova su di un piano privo di attrito, durante questo intervallo di
Notare che non importa quale si utilizza fra i due angoli che le rette che contengono forza e spostamento formano, dato
che si tratta di angoli supplementari che hanno quindi lo stesso coseno.
2
175

F1

F2
180.0
30.0

Ds



Ds =15.0 m
tempo si sposta orizzontalmente di un tratto lungo 15.0 m . Calcolare il lavoro svolto da
ciascuna delle forze, e il lavoro svolto dalla forza peso e dalla normale relativamente allo
stesso spostamento.


Come si vede dalla figura, l’angolo che F1 forma con Ds vale 30.0 , pertanto questa

N

Ds
90.0
90.0
forza compie un lavoro motore. In base alla definizione abbiamo:


DL1 = |F1 | |Ds | cos 30.0 = (35.0 ´ 15.0 ´ 0.866)J = 455 J


L’angolo che invece F2 forma con Ds vale 180 , pertanto questa forza compie un lavoro
resistente. In base alla definizione abbiamo:


DL2 = |F2 | |Ds | cos180 = [10.0 ´ 15.0 ´ (-1)]J = -150 J

W

F1
25.0
Per quanto riguarda la forza peso e la forza normale esercitata dal piano, essendo entrambe perpendicolari allo spostamento, il loro lavoro risulta nullo:




DLW = |W | |Ds | cos 90.0 = 0.00 J
DLN = |N | |Ds | cos 90.0 = 0.00 J



Durante lo spostamento Ds quindi F1 conferisce energia al blocco, F2 gliela sottrae men

tre N e W non modificano il contenuto energetico. Complessivamente l’energia del
blocco è stata incrementata, infatti:
 DLTot = DL1 + DL2 = (455 - 150)J = 305 J
Ds
45.0

F2

a

8. Un vagone di treno scorre sui binari tirato da due forze d’intensità |F1 | = 2.00 ´ 105 N

e |F2 | = 3.00 ´ 105 N , disposte come in figura. Si trovi quanto è lungo il tratto di avan


zamento |Ds | sapendo che relativamente ad esso F1 ed F2 hanno eseguito un lavoro
complessivo di 5.00 ´ 106 J .
[R: 12.7 m ]
9. Un camion aperto trasporta una cassa di massa m = 120 kg . Lungo una strada

rettilinea il camion accelera costantemente di a = 2.50 m/s2 . Calcolare il lavoro eseguito dall’attrito statico del pianale sulla cassa, relativamente ad un tratto lungo

Ds = 210 m .
[R: 6.30 ´ 104 J ]
10. Una poltrona è spostata per un tratto di 20.0 m da una fune la cui tensione è
200 N e poi riportata al suo posto. Sapendo che nel percorso di andata la fune è inclinata di 30.0 rispetto al pavimento e che in quello di ritorno l’inclinazione è scesa
a 20.0 , si calcoli il lavoro complessivamente svolto dalla fune.
[R: 363J ]

F
45
B
A


11. Una forza F , d’intensità |F | = 600 N si mantiene parallela a se stessa mentre è
C

F
B
D


12. Una forza F , d’intensità |F | = 400 N si mantiene parallela a se stessa mentre è
C
A
D
F
E
applicata ad una particella che segue il tragitto ABCD in figura. Calcolare il lavoro

svolto da F sapendo che il segmento AB misura 15.0 cm , BC misura 12.0 cm e
CD misura 10.0 cm .
[R: 55.2J ]
applicata ad una particella che compie un giro completo dell’esagono ABCDEF in

figura, di lato 25.0 cm . Calcolare il lavoro svolto da F .
[R: 0 J ]
13. Con la penna tracciamo sul foglio una linea lunga 20.0 cm . Sapendo che la forza
di attrito radente fra la punta della penna è costante, d’intensità 150 N , si può dire
che il lavoro dell’attrito è 30.0J ?
[R: no, perché…]
176
Come si estende la definizione di lavoro al caso generale?
Per esprimere il lavoro elementare abbiamo supposto uno spostamento rettilineo e
una forza costante, ma di solito si ha a che fare con spostamenti più complessi, che
seguono traiettorie curve, e con forze che variano direzione e intensità in ogni punto
dello spazio. Per rendere operativo il concetto di lavoro in questi casi, dovremo immaginare di suddividere la traiettoria del punto di applicazione in tanti spostamenti

elementari Dsi , così piccoli da poter essere considerati rettilinei. Gli spostamenti

elementari dovranno inoltre essere così minuti rispetto alla scala sulla quale varia F ,
che gli eventuali cambiamenti di direzione ed intensità della forza al loro interno

possano essere trascurati. A ciascun Dsi potremo così associare un vettore costante


Fi , che rappresenti la forza F nel tratto interessato da quello spostamento elemen

tare, ed un angolo ai fra Dsi ed Fi . Con questi accorgimenti possiamo definire la
voro L compiuto dalla forza F , in relazione allo spostamento del suo punto di applicazione dalla posizione A alla posizione B , la somma dei lavori elementari


DLi = |Fi | |Dsi | cos ai lungo i tratti. Omettendo il pedice i per non appesantire la
formula:
L=
å DL = å


|F | |Ds | cos a =
åF


Fi
ai

Dsi

F4

F3

Ds3
a2

Ds2

F1 a1

|Ds |

Come prima, il simbolo F = |F | cos a indica la forza tangenziale, cioè la proiezione di

F lungo un trattino3 di spostamento, che è uno scalare, quindi un numero con il
suo segno.
B

F2

Ds1
A
F
Come possiamo calcolare operativamente il lavoro di una forza che cambia?
In un grafico che riporti F in funzione della posizione s del punto di applicazione,

avremo F > 0 nei punti in cui la forza tangenziale ha il verso di D s , ed F < 0

quando ha verso contrario. Ogni addendo F |Ds | è rappresentato dall’area di un

rettangolo avente per base |Ds | e per altezza il segmento che esprime F . Pertanto
l’area totale sotto il grafico di F , delimitata dalle ascisse, e dalle due rette verticali in corri-
s1
s2
s
F [ N ]
spondenza della posizione iniziale s1 e di quella finale s2 , è il lavoro complessivamente svolto
3.0
da F . Si ha L > 0 se F > 0 : in tal caso, infatti, la forza sta contribuendo allo spo-
2.0
stamento. Viceversa, nelle regioni del grafico in cui F < 0 , la forza contrasta lo spo-
1.0


|Ds |
stamento e il lavoro è negativo.
1.0 2.0 3.0 4.0 s [ m ]
Esercizi
14. Calcolare il lavoro della forza in figura relativamente agli spostamenti da s1 = 0.50 m
ad s2 = 4.5 m , e poi da s2 ad s3 = 3.0 m .
Disegnamo una griglia con quadretti di lato orizzontale 0.50 m, e lato verticale 0.50 N, per
cui l’unità di misura scelta vale: (0.50 m)(0.50 N) = 0.25 J. Possiamo procedere contando
3 Più sono piccoli i ∆s, più nel dettaglio stiamo descrivendo l’azione della forza. Se tuttavia gli spostamenti elementari si
avvicinano ad un valore nullo, il lavoro si riduce ad una sommatoria di numeri prossimi a degli zeri. Si potrebbe pensare
che il risultato di tale sommatoria sia zero, ma non è così. Infatti, più piccoli scegliamo i ∆s, più finemente stiamo suddividendo la traiettoria, e maggiore sarà il numero degli addendi. Quando la lunghezza degli spostamenti elementari si approssima a zero, il loro numero si approssima ad infinito, e questo impedisce che la sommatoria dia un risultato nullo.
Stiamo sommando addendi sì di entità microscopica, ma in numero infinito. E’ un po’ come scomporre una torta nelle
sue briciole e poi ricomporle: otterremo di nuovo la torta. Quindi, mentre il singolo ∆s va perdendo di significato facendosi piccolissimo, così non è per l’intera sommatoria che ci dà L: essa andrà stabilizzandosi attorno ad un valore. Accadrà
che ad un certo punto, per quanto possiamo fare ancora più piccoli gli spostamenti elementari, il valore di L corrispondente non cambierà più in modo significativo. L’ambiguità di risultato dovuta alla scelta arbitraria dei ∆s si elimina assumendo come lavoro il numero attorno a cui la sommatoria che dà L si stabilizza.
177
F [ N ]
3.0
2.0
1.0
1.0 2.0 3.0 4.0 s [ m ]
per per metà i quadretti tagliati dalla linea: commetteremo un errore casuale che
compenserà le stime eccessive con quelle per difetto. Per andare da s1 ad s2 si hanno 30
quadretti interi (in celeste) e 10 mezzi quadretti (in viola) per un lavoro totale:
L12 = (30 + 10 ) ´ 0.25 J = 8.8 J
2
F [ N ]
Andare da s2 ad s 3 fa compiere alla forza un lavoro opposto a quello nel verso della
traiettoria, cioè da s 3 a s2 , perché percorrendola al contrario cambia il segno di cos a e
con esso il segno di F . Si ha allora: L23 = -(10 + 5 ) ´ 0.25 J = -3.1J
9.0
2
6.0
15. Calcolare il lavoro della forza in figura durante lo spostamento da s1 = 0.50 m ad
3.0
-3.0
s2 = 4.5 m . Esiste un punto in cui la forza è perpendicolare alla traiettoria?
[R: 9.4 J ]
1.0 2.0 3.0 4.0 s [ m ]
-6.0
-9.0
3. Energia cinetica di una particella
Adesso che abbiamo una grandezza per misurare il trasferimento di energia,
possiamo calcolare il contenuto di energia cinetica di un sistema. Individueremo
uno stato in cui l’energia cinetica è nulla (o la minima possibile), e troveremo il lavoro che serve per portare il sistema da quello stato nella condizione che ci interessa.
Inizieremo dal sistema più semplice, quello costituito da una singola particella ferma che viene dotata di velocità.
Che cosa s’intende per particella o punto materiale?
Abbiamo visto che la particella è un oggetto così piccolo rispetto alle distanze in gioco da potersi considerare puntiforme, e cioè incapace di ruotare e di vibrare, ma solo
di traslare. Durante qualunque processo una particella non subisce cambiamenti
nella sua struttura interna, giacché non ha una struttura interna per definizione. Che
cosa debba considerarsi una particella dipende dal contesto: a seconda di quali sono
le distanze significative per lo studio del sistema, potremo considerare particelle degli oggetti di dimensioni anche molto grandi rispetto alle nostre, come i pianeti di un
sistema solare o le stelle in un ammasso globulare. Viceversa, quando si è interessati
alla struttura interna, non possono considerarsi particelle nemmeno organismi microscopici come una cellula o un batterio. In questo paragrafo definiremo l’energia
cinetica di un sistema pensando che le sue parti siano assimilabili a punti, cioè escluderemo la possibilità che l’energia possa essere incamerata anche all’interno delle parti stesse,
che idealmente penseremo come punti privi di un’ulteriore struttura.
Come si misura l’energia cinetica di una particella?

Per portare una particella ferma fino ad avere velocità v , bisogna accelerarla: occorre cioè che una forza agisca su di essa spostando il proprio punto di applicazione in
modo che alla fine del processo produca una velocità finale con la direzione ed il
verso desiderati. Questo lavoro è senz’altro un modo per esprimere numericamente
quella proprietà che abbiamo chiamato “energia cinetica”, in quanto è per effetto della sua velocità che la particella ha acquistato la capacità di modificare la configurazione e lo stato di moto degli oggetti nell’ambiente. Infatti, un oggetto in moto con

velocità v è in grado di accelerarne altri tramite quelle interazioni ravvicinate che
chiamiamo urti, e quando ciò accade, cambia la propria velocità.
178
Il lavoro per far raggiungere una data velocità dipende dalla forza applicata?
La risposta è negativa, ed è facile rendersi conto che vale la seguente proprietà:
Un oggetto può raggiungere una stessa velocità per l’azione di infinite forze differenti
che abbiano lavorato per tratti di diversa lunghezza.
Ad esempio pensiamo a un’auto di massa m = 1000 kg che parta da ferma e lungo

un rettilineo raggiunga una velocità finale | v | = 20.0 m/s . Possiamo pensare che

questo sia avvenuto per l’azione di una forza |F1 | = 1000 N applicata per un tratto



|Ds1 | = 200 m oppure tramite una forza |F2 | = 2000 N applicata per |Ds2 | = 100 m .
In entrambi i casi:


F1// |Ds1 | = F2// |Ds2 | = 2.00 ´ 105 J
Nel caso generale, per calcolare il lavoro necessario per portare una particella da

ferma fino alla velocità v , dobbiamo considerare la possibilità che la traiettoria non
sia rettilinea e che la forza non sia costante. Suddividiamo la traiettoria in tanti spo
stamenti Ds sufficientemente corti da ritenersi dei segmenti di retta, e tali che al loro interno la forza resti costante, e quindi il moto della particella entro il segmento
sia uniformemente accelerato. La forza lungo ogni segmento può sempre essere



scomposta in un componente normale ed uno tangenziale, F = F^ + F , il primo dei


quali non compie mai lavoro perché perpendicolare al tratto Ds . Il lavoro di F ,


parallelo a Ds , sarà F |Ds | , dove F è il componente scalare (quindi con segno)

nella direzione dello spostamento. Lungo Ds useremo i simboli: v1 e v2 per le
componenti delle velocità all’inizio ed alla fine del tratto, a per il componente


F = ma


F = ma


F^ = ma ^

Ds 2

Ds1


F^ = ma^


F = ma
dell’accelerazione, e vm per la velocità media4. Supponendo di non dover introdurre
grandezze istantanee (vista la brevità del tratto), dalla cinematica risulta:

1
|Ds | = vm Dt = (v2 + v1 )Dt
2
a =
Dv v2 - v1
=
Dt
Dt

Per il lavoro elementare DL svolto sul tratto Ds abbiamo pertanto:
v - v1 1


1
1
DL = F |Ds | = ma |Ds | = m 2
(v2 + v1 ) Dt = mv22 - mv12
2
2
2
Dt
E per il lavoro complessivo lungo tutta la traiettoria?
Calcoliamo il lavoro L lungo la traiettoria addizionando i lavori elementari di tutti
i tratti per. Come si vede, i termini intermedi si elidono a coppie nella sommatoria:
L = DL1 + DL2 + ... + DLN =
= 1 mv22 - 1 mv12 + 1 mv32 - 1 mv22 +
2
2
2
2
1
2
2
2
2
mv 4 - 1 mv 3 + ... + 1 mv finale =
2
2
2
2
= 1 mv finale
- 1 mviniziale
2
2
Essendo la velocità per definizione tangente alla traiettoria, la sua componente lun
go ciascun Ds è sempre positiva e coincide con tutta l’intensità, quindi nella formu

la trovata si può anche scrivere v finale = |v finale | e viniziale = |viniziale | . Se la velocità ini-
4
Ricordiamo che vm è quel valore costante di velocità al quale si deve percorrere lo spazio Ds per impiegare lo stesso
tempo Dt occorso al moto reale. Nel caso del moto rettilineo uniformemente accelerato la velocità media è pari alla
media delle velocità iniziale e finale: vm =
1
2
(v2 + v1 )
179


F = ma

Ds


ziale è nulla |viniziale | = 0 ( la particella è inizialmente ferma) , indicando v finale sem
plicemente con v si ottiene l’espressione per l’energia cinetica di una particella che si

muove con velocità v :
Energia Cinetica K

di una particella che si muove con velocità v , è il lavoro che bisogna compiere per portare

la particella, da ferma, fino ad avere velocità v :

K = 1 m |v |2
2
Essendo K un lavoro, la sua unità di misura sarà il joule. Il risultato trovato, che
lega il lavoro svolto e la variazione di energia cinetica, può essere così riassunto :
Teorema dell’energia cinetica
Il lavoro complessivamente svolto su di un sistema formato da un unico oggetto puntiforme
è pari alla variazione dell’energia cinetica di quell’oggetto:
L = K fin - K in = DK
Come si calcola l’energia cinetica di un sistema di particelle?
Si devono sommare i lavori che è stato necessario fare per portare tutte le parti che

formano il sistema da ferme fino alle loro velocità attuali vi e cioè:
K =

F

fd

Ds



Ds =10.0 m
90.0
1
m
2

| vi | 2
Esercizi
30.0

N
å

Ds

16. Sulla superficie ruvida di un piano una forza d’intensità |F | = 45.0 N , inclinata di
30.0 rispetto all’orizzontale, trascina un blocco di massa m = 25.0 kg per un tratto lun
go |Ds | = 10.0 m . Sapendo che il blocco era inizialmente fermo, e che nell’istante in cui la

forza cessa la sua azione, la sua velocità ha intensità | v | = 2.60 m/s , calcolare il lavoro di


F e quello svolto dall’attrito dinamico fd .
Consideriamo il sistema fisico costituito dal solo blocco, che assumiamo essere puntifor  

me. Su di esso agiscono quattro forze: F , fd , N e W , le ultime due delle quali compiono
lavoro nullo dato che sono sempre perpendicolari allo spostamento. Calcoliamo l’energia
cinetica finale del blocco:

K fin = 1 m | v | 2 = ( 1 ´ 25.0 ´ 2.602 )J = 84.5 J
90.0
2

W
2
Applicando al sistema-blocco il teorema dell’energia cinetica considerando che il lavoro

complessivamente svolto su di esso sarà la somma del lavoro LF di F e del lavoro Ld
dell’attrito dinamico otteniamo:
y
h
vi

 W
Ds
0m
vf
= 0 m/s
LF + Ld = K fin - Kin = (84.5 - 0)J = 84.5 J

Il lavoro di F può essere calcolato per via diretta:


LF = |F | |Ds | cos 30.0 = (45.0 ´ 10.0 ´ 0.866)J = 390 J
da cui per differenza si ottiene il lavoro dell’attrito dinamico:
Ld = (K fin - Kin ) - LF = (84.5 - 390)J = -306 J


e ovviamente il lavoro di F risulta motore mentre quello di fd resistente.
17. Una massa m = 5.00 kg cade partendo ferma da un’altezza di h . Trascurando il contrasto fatto dall’aria, e sapendo che la forza di gravità durante la caduta ha svolto un lavoro di 35.0J si trovino il valore dell’altezza iniziale, e l’energia cinetica un istante prima che la massa tocchi terra.
180
Calcoliamo il lavoro LW del peso e uguagliamolo al valore fornito per ricavare h iniziale:


LW = |W | |Ds | cos 0 = mgh

h=
LW
mg
=
35.0
m = 0.714 m
5.00 ´ 9.81
e applicando il teorema dell’energia cinetica si ha:
LW = K fin - Kin = K fin = 35.0 J
da cui ricaviamo la velocità finale:
K fin = 35.0 J =

1
m |v |2
2


| v |=
2K fin
m
=
2 ´ 35.0
m/s = 3.74 m/s
5.00
18. Una massa puntiforme m = 3.00 kg viene lanciata in verticale verso l’alto con una

velocità iniziale d’intensità | v |= 8.50 m/s e raggiunge un’altezza massima di 3.20 m . Si
y
3.20 m
vf
= 0 m/s
vi
= 8.50 m/s

Ds
trovi il lavoro svolto dalla forza di contrasto che l’aria ha esercitato durante la salita.
[R: LA = -13.8 J ]
19. Una massa puntiforme m = 2.50 kg viene lanciata da terra con velocità iniziale di in
tensità | v | = 7.00 m/s avente inclinazione J = 40.0 rispetto all’orizzontale. Conside-
0m

W
randolo un moto di caduta libera, calcolare il lavoro della forza peso relativamente alla
parte di traiettoria fino alla massima altezza.
[R: LW = -25.3 J ]
20. Un blocco di massa m scivola, partendo da un’altezza h = 4.50 m , lungo un piano
inclinato di un angolo J e privo di attrito. Si calcoli la velocità con cui giunge a terra

usando il teorema dell’energia cinetica.
[R: v fin = 9.37 m/s ]
21. Un blocco di massa m = 4.00 kg scivola su di una superficie piana priva di attrito
con una velocità d’intensità

v0
= 6.00 m/s . A un certo punto la superficie diviene ruvida
ìï
ïï
h ïí
ïï
ïï
î

Ds
J

W
J

v0
e il blocco, dopo aver percorso un tratto, si arresta. Calcolare il lavoro Ld svolto dalla for-

fd
za di attrito dinamico. Se la velocità iniziale fosse stata il doppio, l’attrito avrebbe dovuto
compiere un lavoro 2Ld per fermare il blocco? E se fosse stata più piccola di un fattore

v
3.5 ? Supponiamo ora che l’intensità della velocità iniziale sia 12.0 m/s : per dimezzarla
bisogna sempre ridurla di 6.00 m/s . Anche in questo caso l’attrito deve svolgere un lavoro pari al valore Ld trovato?
[R: Ld = -72.0 J , L = 4Ld , L = 12.25Ld , L = 3Ld ]
22. Lungo un piano inclinato di J = 30.0 , una cassa di m = 14.0 kg inizialmente ferma


in fondo, viene tirata su da una forza |F | = 950 N per un certo tratto Ds come in figura.

Sapendo che F compie un lavoro di 1400 J , si trovi quanto è stato lungo lo spostamento,
che altezza da terra ha raggiunto la cassa e qual è la sua velocità nell’istante in cui la forza
cessa di agire.
[R: 1.47 m, 0.735 m,13.3 m/s ]
4. La potenza
Quando abbiamo costruito la grandezza fisica detta lavoro, al posto del prodotto
di “forza per spostamento” si sarebbe potuta considerare l’alternativa del prodotto
“forza per tempo di applicazione”. Alcuni indizi avrebbero supportato tale scelta: ad
esempio costa tanta più fatica sostenere con le braccia un peso fermo quanto più a
lungo lo si fa. Abbiamo visto però che la staticità è in questo caso apparente, perché
le fibre dei nostri muscoli, mentre reggono il peso, scorrono le une sulle altre, e il
181

F

Ds
J
 La Controfisica
L’energia che rilascia la digestione di
una porzione di biscotti al cioccolato è
circa otto volte quella di una stessa
quantità in chilogrammi di un esplosivo come il tritolo. Ma il rilascio attraverso i processi chimici della digestione è assai lento, quindi la potenza
molto bassa. Al contrario il tritolo
quando esplode, rilascia il suo contenuto energetico in un milionesimo di
secondo, con una potenza ordini di
grandezza maggiore di quella dei biscotti.
 La Controfisica
Un sistema di pulegge opportunamente progettato può consentire di sollevare grandi masse tirando una corda
con la forza delle sole braccia. Vi riesce semplicemente riducendo la potenza che dobbiamo erogare. Anziché
applicare una grande forza per poco
tempo il dispositivo permette di applicare un piccola forza per lungo tempo,
mantenendo inalterata l’energia totale
da fornire. Chiaramente questo procedimento, se portato agli estremi ha
degli svantaggi: più lungo il tempo per
cui agiamo, maggiori sono le dissipazioni di varia natura, ad esempio il
numero di volte che dobbiamo sollevare le braccia per tirare la corda.
punto di applicazione si sposta di continuo. Inoltre un gancio può svolgere lo stesso
compito senza alcun impiego di energia. Pertanto abbiamo concluso che, quando si
solleva o si accelera un oggetto le quantità che contano sono la forza applicata ed il
tratto di spostamento. Tuttavia anche il tempo che s‘impiega per eseguire del lavoro
riveste una sua importanza nella pratica, e quindi conviene introdurre una grandezza che esprima quanto rapidamente il lavoro viene eseguito. Questa misura è ben realizzata dal rapporto:
DL
Dt
fra il lavoro DL eseguito nell’intervallo Dt , e l’intervallo temporale stesso. Un rapporto fra due grandezze differenti fornisce il quantitativo di ciò che sta al numeratore associato ad una unità della grandezza al denominatore: in questo caso si tratta del
lavoro eseguito in un secondo. Questa grandezza è detta potenza, indicata con P e
misurata in J/ s , unità detta Watt5 con simbolo W . La potenza misura la velocità
alla quale viene eseguito il lavoro: ad esempio bisogna fornire 75 J di lavoro ogni
secondo per tenere accesa una lampadina da 75W . Una grande centrale nucleare
può rendere disponibili fino a un miliardo di Watt ( 1 GW ), cioè ogni secondo può
arrivare a compiere un lavoro di 109 J . La rapidità nel rilascio dell’energia
E cos’è invece un kilowattora?
Si tratta dell’unità di misura per il lavoro usata commercialmente al posto del joule, e
che si riferisce al tempo misurato in ore. Il kilowattora è formato da mille wattora
(simbolo Wh), e il lavoro in wattora si ottiene moltiplicando la potenza in watt per il
tempo espresso in ore. Ad esempio per tenere accesa un’ora e mezza una lampadina da
100 W occorre un lavoro di (1.5 ´ 100) Wh = 150 Wh . Poiché in un’ora vi sono
3600 s , se lavoriamo alla potenza di un watt, in un’ora abbiamo prodotto un lavoro
di 3600J = 1 Wh , quindi:
y
3.6 ´ 106 J = 1 kWh
15.5 m
Si ha anche 1 kWh = 860 cal . Quando acquistiamo il lavoro dalle compagnie elettriche, lo paghiamo mediamente qualche centesimo di euro al kilowattora.

Ds
Esercizi
24. Quanta potenza deve erogare il motore di un argano per sollevare in quattro minuti
un carico di 80.0 kg in cima ad un palazzo alto 15.5 m ? Quanto costa sollevare duemila di questi carichi se l’energia si paga 5 centesimi al kilowattora? Quanto costerebbero
se si volesse eseguire l’operazione in un decimo del tempo?
0m

W
Non è nota la forza esercitata dall’argano, anche se possiamo intuire che pure in un tragitto in linea retta verticale, essa ha intensità variabile. Infatti, deve prima accelerare il carico
(supposto inizialmente fermo a terra), e poi fare in modo che si arresti sospeso nel punto
più alto. Applicando il teorema dell’energia cinetica si può però calcolare il lavoro
dell’argano LA conoscendo quello della gravità LG :
LA + LG = DK = 0

LA = -LG
avendo posto DK = 0 dato che il carico è supposto fermo all’inizio ed alla fine.

LA = -LG = -mg |Ds | cos180 = -80.0 ´ 9.81 ´ 15.5 ´ (-1)J = 1.22 ´ 104 J
Trasformiamo i 4 minuti in secondi (ed anche in ore) assumendo che in questo contesto il
tempo sia un numero esatto, che non influisce sulle cifre significative:
5 Nel passato era molto diffusa un’altra unità di misura, il cavallo-vapore, approssimativamente pari al lavoro che in un
secondo era in grado di erogare mediamente un cavallo. Risulta 1 CV = 748 W .
182
4 min = 4 ´ 60 s = 240 s
4 min = (4 / 60)h = (1/15)h
La potenza si ottiene dividendo il lavoro svolto per secondi impiegati
P = 1.22 ´ 104 J/ 240 s = 50.8 W
quindi l’argano deve compiere un lavoro di 50.8 J ogni secondo che passa.
Per avere il lavoro in wattora moltiplichiamo la potenza per il tempo espresso in ore e per
il numero di carichi. Poi per convertire in kilowattora dividiamo per 1000 :
æ
1ö
LA = 2000 ´ çç50.8 ´ ÷÷÷ Wh = 6.77 ´ 104 Wh = 67.7 kWh
è
15 ø
quindi sollevare di mille carichi costa: 67.7 KWh ´ 5 Cent = 339 Cent
La potenza dipende inversamente dal tempo, quindi eseguire lo stesso lavoro in un decimo del tempo comporta moltiplicare la potenza per 10 e con essa il costo, cioè
P = 508 W ed un prezzo di 3390 Cent .
Quanta potenza serve per muovere un corpo a velocità costante, se c’è un contrasto?
Come sappiamo, l’azione di una singola forza costante su di un corpo produce un
moto uniformemente accelerato. Consideriamo ora l’eventualità che l’effetto di una
forza, d’intensità costante o variabile, sia quello di far muovere un oggetto a velocità

di modulo costante | v | giacché su di esso operano anche azioni di contrasto al movimento. E’ ad esempio la situazione di un blocco trascinato su di un pavimento con
attrito, oppure di uno sportivo che è tirato a fare sci d’acqua, o anche di un paracadute che cade nella fase in cui ha raggiunto la velocità limite costante e così via. In tutte
queste situazioni, in ogni intervallo Dt l’oggetto percorre sempre un tratto lungo



Ds =| v | Dt . Dato che F compie un lavoro DL = |F | Ds , eroga una potenza:

 
|F | Ds
DL
=
= |F | | v |
Dt
Dt
Esercizi
25. Lungo un piano ruvido, un blocco di massa m è tirato da una forza orizzontale


d’intensità |F | = 15.0 N . A causa del contrasto fatto dall’attrito, l’effetto di F non è quel
lo di accelerare il blocco ma di mantenerlo a una velocità costante | v |= 2.40 m/s . Calco
lare la potenza che sta erogando F e il lavoro totale svolto ogni secondo complessivamente sul blocco.
Relativamente ad un tratto lungo Ds , che il blocco percorre in un intervallo Dt, la forza


F compie un lavoro DL = |F | Ds e quindi eroga una potenza:


|F | Ds
DL
=
= |F | v = (15.0 ´ 2.40) W = 36.0 W
Dt
Dt
Il lavoro svolto ogni secondo sul blocco è nullo dato che non varia l’energia cinetica.
26. Un motore eroga una potenza di 4.50 kW per far funzionare una pompa che solleva
ad un’altezza di 11.0 m un quantitativo di acqua pari a 900 kg ogni minuto. Calcolare
l’energia dissipata ogni secondo a causa degli attriti.
[R: 2.88 k J /s ]
27. Calcolare quanto tempo occorre, in assenza di attriti, a un motore di 22.0 kW per sollevare un peso di 400 kg in cima a un edificio alto 70.0 m .
[R: 12.5 s ]
183
5. Energia potenziale nei sistemi di oggetti
A quanti livelli può essere incamerata l’energia?
L’energia di un sistema può essere immagazzinata su due livelli differenti: al livello degli
oggetti e al livello delle particelle (molecole, atomi) che formano gli oggetti.
Questo vale tanto per l’energia cinetica che per quella potenziale. Un sistema può
possedere energia cinetica sia per lo stato di moto degli oggetti, sia per lo stato di
moto delle particelle che formano gli oggetti. Analogamente il sistema può aver incamerato energia potenziale tanto grazie alla configurazione degli oggetti che lo
formano, quanto grazie alla configurazione delle particelle all’interno di questi oggetti. L’energia incamerata al livello degli oggetti la chiameremo energia meccanica, a
sua volta suddivisa in cinetica e potenziale. All’energia incamerata al livello delle
particelle, daremo il nome generico di energia interna Eint , perché noi osserviamo
dalla scala degli oggetti e non ci è possibile sapere se è l’energia cinetica delle particelle o quella potenziale delle loro interazioni:
E = (U + K )degli oggetti + (U + K )dentro agli oggetti


energia meccanica
energia interna
Ci occuperemo ora solo dell’energia potenziale meccanica, cioè la capacità di compiere lavoro che un sistema possiede per la configurazione al livello degli oggetti.
Qual è l’origine microscopica delle forze sulla scala degli oggetti?
Le interazioni fra gli oggetti di un sistema sono il risultato dell’insieme di azioni a
distanza che avvengono fra l’enorme numero di particelle elementari che li costituiscono. Sulla scala degli oggetti non è possibile osservare il dettaglio della separazione fra le particelle, e allora le interazioni ci appaiono avvenire “a contatto”. Anche se a esse assegniamo nomi differenti, come forze muscolari, trazioni di motori,
forze di attrito, e così via, si tratta solo dei vari modi in cui si manifestano su questa
scala le forze elettriche microscopiche fra le particelle. La forza gravitazionale invece,
continua ad agire a distanza perché gli effetti combinati non si cancellano come repulsione ed attrazione nel caso della forza elettrica, ma essendo solo attrattivi si
sommano sempre.
Che succede quando cambia U al livello degli oggetti?
L’energia potenziale meccanica U è legata al lavoro delle forze interne al sistema,
quelle che esprimono le interazioni al livello degli oggetti. Quando U varia, il sistema spende (o guadagna) un poco della “capacità di modificare” che ha immagazzinato nella configurazione degli oggetti. Le forze fra le sue parti operano un trasferimento di energia compiendo lavoro, e il sistema lo paga (o ne trae vantaggio) con il
cambio di configurazione. Vale la seguente, importante considerazione:
Un lavoro pagato col solo cambio di configurazione non può dipendere dalla traiettoria che gli oggetti hanno seguito per portarsi dalla configurazione iniziale a quella finale. Infatti, poiché le
traiettorie da una configurazione all’altra sono infinite, dovremmo avere infiniti valori
differenti per il lavoro, e non potremmo mai dire quant’è il lavoro fatto.
Quindi non tutti i sistemi possiedono la capacità di produrre cambiamenti fisici per
effetto della loro configurazione al livello degli oggetti. Questo accade solo quando
fra le sue parti agiscono forze di natura tale che una volta fissata la posizione di partenza e quella di arrivo, svolgono sempre un lavoro identico, qualunque sia stato il
percorso del loro punto di applicazione, e che sono dette forze conservative.
184
Forza Conservativa
è quella per cui il lavoro svolto non dipende dalla traiettoria seguita dal punto di applicazione, ma solo dalle coordinate delle posizioni iniziale e finale.
Quali delle interazioni fra gli oggetti sono conservative?
Le forze sulla scala degli oggetti non sono in generale conservative. Il motivo è che il loro
lavoro può modificare anche l’energia interna e non può quindi essere espresso come variazione dell’energia potenziale del sistema al solo livello degli oggetti, ma più in generale anche di ciò che accade al livello delle particelle, che è ignoto. Quando lavorano motori, agiscono muscoli o ci sono attriti, l’effetto non è soltanto di modificare
la configurazione e la velocità degli oggetti, ma è frequente che ad esso si affianchi
una variazione della loro temperatura, che come vedremo è la grandezza fisica che
esprime il contenuto energetico interno. In un certo senso è come se il risultato del
lavoro sfuggisse al nostro controllo, che opera solo sulla scala degli oggetti, per andare a nascondersi al livello delle particelle.
Il lavoro delle forze sulla scala degli oggetti può essere espresso come variazione
dell’energia potenziale solo nel caso in cui non modifica l’energia interna.
Possiamo ora dare una definizione operativa di energia potenziale, legandola al lavoro svolto dalle forze conservative interne durante i cambiamenti nella configurazione. Fissata una configurazione di riferimento, scegliamo di utilizzare come misura
dell’energia potenziale il lavoro che svolgerebbero le forze conservative al suo interno se il sistema si spostasse nella configurazione di riferimento.
Energia potenziale U
L’energia potenziale di un sistema è il lavoro svolto dalle forze conservative quando le sue
parti si spostano, dalla configurazione attuale, nella configurazione di riferimento.
Come tutte le grandezze fisiche, anche l’energia potenziale è uno strumento inventato dall’uomo per studiare la natura: la bontà della definizione qui data sarà confermata dalla sua utilità nell’analisi dei processi fisici che ora vedremo.
Perché ci occorre una configurazione di riferimento?
E’ la scelta stessa di misurare l’energia potenziale servendosi dei cambiamenti di configurazione a obbligarci ad avere un punto dove “agganciarsi”. L’energia potenziale è un po’
come la distanza, oppure l’altezza, che sono a loro volta legate al cambiamento di posizione. Cos’è la distanza? È lo spazio da percorrere per portarsi in una posizione di riferimento. Non possiamo dire semplicemente “la mia distanza è 4 km”, “l’altezza del mio mento è
1.70 m”, ma dobbiamo sempre riferirci a qualcosa. Chiaramente, a una scelta differente
della posizione di riferimento, corrisponderà un valore differente dell’energia potenziale,
proprio come l’altezza del mento è 1.70 m rispetto al pavimento ma 12 m rispetto alla
strada. Affinché il sistema, dalla configurazione attuale raggiunga questa condizione di
riferimento, deve subire delle modifiche. Per alcuni sistemi occorrerà una guida da parte
di forze esterne affinché ciò avvenga, mentre altri vi saranno spinti dalle interazioni fra i
suoi componenti. Quale che possa essere la causa che conduce nella configurazione di riferimento, durante il processo le forze interne spostano il loro punto di applicazione
compiendo un lavoro, sia esso motore o resistente. Useremo questo lavoro come misura
della capacità di produrre cambiamenti che il sistema possiede grazie alla sua configurazione spaziale, e a esso diamo il nome di energia potenziale.
Come si calcola il lavoro delle forze interne quando sono conservative?
Quando un sistema di oggetti, per qualsiasi ragione, si sposta da una configurazione
A in una nuova configurazione B , le forze interne conservative eseguiranno il lavoro LAB . Nella figura, per semplicità, abbiamo raffigurato un solo oggetto del si-
185
R
B
stema e ne abbiamo illustrati gli spostamenti. Supponiamo ora di realizzare lo stesso
spostamento verso B seguendo una via ben più lunga. Portiamo quest’oggetto del
sistema da A fino allo stato di riferimento R , e poi, successivamente, da R raggiungiamo B . E’ una via scomoda, come se per andare da Roma a Firenze decidessimo
di passare per Milano: tuttavia alla fine saremo comunque giunti a Firenze. In questo caso le forze d’interazione compiranno prima il lavoro LAR e poi il lavoro
LR B . Sappiamo che, per quanto articolata sia la traiettoria seguita, essendo una for-
za conservativa a operare, il lavoro complessivamente svolto deve essere lo stesso di
prima, e cioè:
A
LAB = LAR + LRB
Sistema
Dalla definizione di energia potenziale risulta LAR = U A . Il termine LRB invece
non trova diretto riscontro nell’energia potenziale, però sappiamo che LB R = U B .
R
Tuttavia percorrere al contrario la traiettoria da R verso B significa solamente in
vertire il verso di tutti gli spostamenti Dsi degli oggetti del sistema, e quindi cam-

Fi
biare il segno di tutti i coseni degli angoli coinvolti cos ai nella formula di L , con il
risultato
ai
B
ai
alla
fine
avremo
cambiato
di
segno
a
tutto
il
lavoro:
LRB = -LB R = -U B . Si ottiene:

Dsi
R
che

Fi

Dsi
B
LAB = U A -U B = -(U finale -U iniziale ) = -DU
Abbiamo così mostrato l’utilità pratica dell’energia potenziale: quando un sistema
cambia configurazione, possiamo ottenere il lavoro svolto dalle forze interne senza
eseguire materialmente il calcolo suddividendo la traiettoria in spostamenti elementari. Più semplicemente, LAB si ottiene calcolando la differenza fra il valore
dell’energia potenziale nella posizione iniziale quello nella posizione finale.
Esercizi
28. Un sistema si porta da uno stato in cui l’energia potenziale vale 200 J in uno dove vale
500 J . Si dica se le forze conservative interne hanno agevolato o contrastato questo cambio di configurazione.
In base alla definizione, il lavoro delle forze conservative vale:
L = -(U fin -U in ) = -500 J+ 200 J = -300 J
Quindi le forze conservative hanno compiuto lavoro resistente, opponendosi al cambio di
configurazione.
29. L’energia potenziale di un sistema vale inizialmente U 1 = 800 J . Il sistema si porta in
uno stato 2, e durante la trasformazione le forze interne conservative compiono un lavoro
di - 3500 J . In seguito il sistema raggiunge uno stato 3 in cui U 3 = 600 J . Calcolare il lavoro complessivo delle forze interne conservative.
[R: 550J ]
30. Un sistema si trova in uno stato A in cui U A = - 700 J , e passa in uno stato B mentre le
forze conservative interne compiono LAB = -500 J . In seguito raggiunge uno stato C, e
nella trasformazione il lavoro delle forze conservative interne è LBC = 940 J . Infine ritorna nello stato A. Calcolare il lavoro delle forze conservative interne durante quest’ultima
trasformazione. Cambia il risultato se U A = 600 J ?
[R: -440 J, no ]
186
6. Energia potenziale della forza peso
Come si sposta il punto di applicazione della forza peso se l’oggetto è esteso?

La forza peso W su di un corpo esteso è la risultante delle forze gravitazionali attrattive che il pianeta esercita su ciascuna delle particelle che lo formano. Queste sono
vettori paralleli tutti verticali, e quindi è verticale anche il vettore risultante, di intensità semplicemente pari alla somma delle intensità. L’esperienza mostra che, ai fini
degli effetti che la gravità produce sull’equilibrio e sul moto del corpo, esiste sempre un
punto, detto baricentro, e indicato con G , dove possiamo pensare tutta la massa con
centrata, ed ivi pensare applicata la forza peso W . La determinazione del baricentro è
in generale un problema complesso, tuttavia se l’oggetto ha degli assi di simmetria,
come un parallelepipedo, una sfera o un cilindro, il baricentro si trova sempre nel loro incrocio. Lo spostamento del punto di applicazione della forza peso è quindi lo
spostamento del baricentro.
G

W
La forza gravitazionale in prossimità della Terra è conservativa ?
La risposta è sì, e per dimostrarlo supponiamo che per un qualunque motivo, ad
esempio un’azione esterna come in figura, il baricentro di un corpo di massa m si
muova da una posizione A a una posizione B seguendo una particolarissima
traiettoria fatta solo di tratti orizzontali e verticali. Riguardo a questo processo la
gravità compie del lavoro sul corpo perché si sposta il suo punto di applicazione.
LGRAV > 0
LGRAV < 0
B
yB

W

Ds2
LGRAV = 0

W
 La Controfisica

W

Ds1
yA
A

W
Qual è il segno del lavoro della gravità sul corpo?
Il lavoro della forza peso sul corpo sarà negativo nei tratti di salita, in cui essa contrasta lo spostamento, mentre sarà positivo nei tratti di discesa in cui lo agevola.
Lungo i tratti orizzontali, il lavoro della gravità sul corpo è invece nullo, essendo la
direzione della forza ortogonale a quella dello spostamento.
Quanto vale il lavoro della gravità sul corpo ?
Per il calcolo del lavoro riguardante l’intero movimento da A in B , ricordiamo che

si deve eseguire la somma dei prodotti della lunghezza |Ds | di ciascuno spostamento rettilineo del baricentro (dove può pensarsi applicata la forza peso) per la componente scalare (con segno) F della forza lungo quella direzione. Ognuno dei prodotti ha segno positivo se la forza agevola lo spostamento, negativo se lo contrasta:
187
Attenzione a non confondere il lavoro della gravità con quello della mano
che solleva il corpo.






LAB = mg |Ds1 | mg |Ds2 | ...  mg |Dsn | = mg ( |Ds1 |  |Ds2 | ... |Dsn | )
B
yB

mg

DsAB
yA
a = 180°
A
Dato che il modulo mg della forza peso rimane sempre costante, lo abbiamo raccolto a fattor comune. Dalla somma degli spostamenti fra parentesi sono esclusi i

tratti orizzontali, lungo i quali mg non compie lavoro perché perpendicolare allo
spostamento. Fra i tratti in verticale, invece, dovremo escludere tutti quelli che sono
percorsi prima verso l’alto e poi verso il basso, giacché comportano due lavori uguali
ma di segno opposto, che nella somma si elidono. Rimane quindi solamente il tratto netto percorso in verticale. Il risultato è che, durante lo spostamento da A in B , la gravità
compie sul corpo lo stesso lavoro che compirebbe se le due posizioni fossero esattamente una sopra all’altra ( yA quota di partenza e yB quota di arrivo più in alto). La

lunghezza dello spostamento vale |DsAB | = yB - yA , ma la componente del peso
lungo lo spostamento vale mg cos180 = -mg , da cui:

mg
LAB = -mg (yB - yA ) = mg (yA - yB ) = mg (yiniziale - y finale )
Se lo spostamento fosse da B in A non cambierebbe la sua lunghezza ma solo la
componente della gravità in quella direzione, che varrebbe mg cos 0 = mg da cui:
LBA = mg (yB - yA ) = mg (yin - y fin )
Il lavoro del peso su di un corpo non dipende dalla particolare traiettoria seguita ma solo
dalla differenza di altezza (yin - y fin ) . Il lavoro ha segno negativo se il corpo sale:
y fin > yin , e la gravità contrasta lo spostamento. Ha invece segno positivo se scende, cioè
se y fin < yin , e la gravità agevola lo spostamento.
Questa indipendenza del lavoro dalla traiettoria indica che la forza peso è conservativa. Per convincersi che il risultato qui dimostrato nel caso particolare di un percorso a tratti orizzontali e verticali è del tutto generale basta pensare che qualsiasi
traiettoria può essere scomposta in tale modo, a patto di effettuare una quadrettatura dello spazio sufficientemente raffinata.
Possiamo dire che ogni forza costante in intensità e verso è conservativa?
B
4J
3J
A
A
C
B
Si, infatti la dimostrazione sopra può essere ripetuta per qualunque forza costante
nello spazio, e si tratta quindi di una proprietà generale di questa classe di forze così
semplici. Se per assurdo le forze costanti non fossero conservative potremmo sfruttare la gravità come sorgente illimitata di energia. Infatti , immaginiamo che per andare dalla posizione A alla posizione B la forza peso compia un lavoro di 3 J lungo la
traiettoria rettilinea in figura, e di 4 J lungo la traiettoria curvilinea. Allora potremmo portare su delle sfere seguendo il percorso rettilineo, in modo da spendere 3 J di
lavoro contro la gravità (è il minimo che occorre per farle arrivare ferme in cima).
Quassù costruiremmo una guida curva avente la forma della seconda traiettoria e
lasceremmo rotolare le sfere lungo di essa: queste arriverebbero in fondo con
un’energia cinetica pari al lavoro del peso, e cioè 4 J . Ci sarebbe per noi un guadagno netto di 1J d’energia ogni volta, e la possibilità di ripetere il percorso
all’infinito, cioè disporremmo di una sorgente energetica inesauribile!
Esercizi
31. Un cubetto di ghiaccio di massa m = 0.0500 kg nella posizione A in figura scivola
dentro ad una bicchiere a coppa fino a giungere nel punto più basso B, lo scavalca e risale
dalla parte opposta fino alla posizione C . Calcolare il lavoro della gravità durante gli spostamenti da A da B, da B fino a C, e da A fino a C , sapendo che A e C si trovano rispettivamente 3.00 cm e 2.00 cm più in alto di B.
188
Ponendo un riferimento con lo zero delle ordinate alla base del bicchiere, ed introducendo
le altezze delle tre posizioni, si ha:
yA
yC
LAB = mg(yA - yB ) = 0.0500 ´ 9.81 ´ 3.00 ´10-2 J = 1.49 ´10-2 J
yB
LBC = mg(yB - yC ) = 0.0500 ´ 9.81´(-2.00 ´10-2 )J = -0.981 ´10-2 J
LAC = mg(yA - yC ) = 0.0500 ´ 9.81´(3.00 - 2.00) ´10-2 J = 4.91´10-2 J
Come si esprime l’energia potenziale della forza peso ?
Vogliamo ora ricavare un’espressione per l’energia potenziale gravitazionale U grav .
Bisognerà scegliere una posizione di riferimento. Qualunque quota andrebbe bene,
ma se scegliamo il livello del suolo, dove l’altezza y è zero, otteniamo una formulazione più semplice per U grav . In base alla definizione, l’energia potenziale gravitazionale di un corpo il cui baricentro si trova ad una quota y è pari al lavoro fatto
dalla forza gravitazionale quando il baricentro si porta nella posizione di riferimento, quindi:
U grav = LArif = mgyiniziale - mgy finale = mgy - 0 = mgy
y
Se y > 0 la formula produce U grav > 0 , infatti, si tratta di calcolare del lavoro motore, giacché la forza gravitazionale favorisce il movimento verso la quota y = 0 , e per
questo l’energia potenziale è positiva. Se invece il corpo si trova in una buca a quota
y < 0 la formula produce U grav < 0 . Che in questo secondo caso l’energia potenziale
A

mg
sia negativa esprime che la gravità ostacola lo spostamento verso la posizione di riferimento al livello del suolo, compiendo del lavoro resistente.

Ds
A quale sistema è associata l’energia potenziale gravitazionale mgy ?
Come sappiamo l’energia potenziale è uno strumento matematico che permette di
descrivere un’interazione quindi non si può mai associare a un solo oggetto, ma piuttosto
ad un sistema. In questo caso il sistema è costituito dal corpo di massa m e dal pianeta Terra. In effetti, quando solleviamo un oggetto, stiamo producendo una deformazione del sistema oggetto-pianeta, modificando la distanza che li separa. A questa
variazione di configurazione è associato un cambiamento nel contenuto di energia.
Tuttavia, nel sistema corpo-pianeta Terra, solo il primo ha la possibilità di essere
spostato ed è l’unico responsabile dei cambiamenti di configurazione. In questo senso è giustificato parlare di energia potenziale gravitazionale del corpo, sebbene essa sia in
realtà associata al sistema che comprende l’intero pianeta Terra.
Esercizi
32. Calcolare l’energia potenziale gravitazionale di un aeroplano di massa 5000 kg che
vola a quota 10000 m , e quella di 2000 kg di roccia alla profondità di 1000 m .
Indicando l’energia potenziale dell’aereo con U A e con U R quella della roccia:
U A = mAgyA = (5000 ´ 9.81 ´10000)J = 4.91´108 J
U R = mR gyR = [2000 ´ 9.81 ´ (-1000) ]J = -1.96 ´ 107 J
Che relazione c’è fra il lavoro della gravità e quello della mano che muove il corpo ?
E’ importante non confondere il lavoro della gravità con quello dell’eventuale forza esterna che produce la “deformazione” del sistema (l’allontanamento/avvicinamento del corpo
rispetto alla Terra), e che nella figura è rappresentata da una mano. Sebbene occorra
un’azione esterna per gli spostamenti cui la gravità si oppone (come un sollevamento),

l’intensità della forza F che causa lo spostamento non ha alcuna influenza sul lavoro che la gravità svolge. Un corpo che si trovasse a quota y1 potrebbe giungere ad una quota inferiore
189

Ds
0
A

mg
 La Controfisica
Quando solleviamo un oggetto da
terra non esercitiamo una forza
d’intensità costante. Il corpo è, infatti,
inizialmente fermo e viene prima accelerato. Per fare questo occorre intervenire con una forza maggiore del suo
peso. Per fermare il corpo dobbiamo
poi permettere che il suo peso ne deceleri la risalita, il che comporta esercitare per un certo tempo una forza
d’intensità minore del peso
y2 sia portato gentilmente dalla nostra mano, sia in caduta libera: in entrambi i casi il la
voro della gravità è mgy1 - mgy2 . Quello che cambia con l’intensità della forza F , è
l’energia cinetica con la quale il corpo raggiunge la posizione di arrivo. Dal teorema
dell’energia cinetica, infatti, giacché Lgrav = -DU grav :
DK = Lgrav + LF = -DU grav + LF
Qui il termine DU grav è fissato una volta scelte le quote di partenza e di arrivo, mentre il maggiore o minor lavoro dell’eventuale forza esterna va tutto a modificare la
velocità finale del baricentro del corpo. Immaginiamo un foglio di carta lasciato andare dalla quota y partendo da fermo. Il lavoro svolto dalla resistenza dell’aria è
maggiore se il foglio è lasciato andare aperto, minore se viene accartocciato, ma il
lavoro svolto dalla gravità vale mgy in entrambi i casi. Il teorema dell’energia cinetica permette il calcolo della velocità con cui il baricentro del foglio raggiunge la terra:

m | v | -0) + (0
- mgy ) = L
(
 
2
1
2

F
DK

| v |=
2
m
(mgy - LF )
DU grav
Esercizi
33. Un uomo di 80.0 kg si lancia da 4000 m , ed un istante prima di toccare terra ha una
velocità di 5.50 m/s . Calcolare il lavoro del contrasto dell’aria sul paracadute.
Dal teorema dell’energia cinetica:
 2 1  2
1
= -DU grav + LA = mgyin -mgy fin + LA
2 m v fin - 2 m vin

LA = 1 m v fin
2
2
- mgyin = 80.0 ⋅ ( 1 ´ 5.502 - 9.81 ´ 4000)J = -3.14 ´ 106 J
2
In quale caso la forza esterna compie lo stesso lavoro della gravità?
Se non cambia l’energia cinetica del corpo, posto nell’equazione DK = 0 , si ha
Lgrav = -LF . Quest’eventualità si ha, ad esempio, quando raccogliamo un oggetto da
terra e lo riponiamo su di uno scaffale. In entrambi i casi, il corpo è fermo all’inizio
ed alla fine del processo per cui abbiamo compiuto sul corpo un lavoro di pari intensità ma di segno opposto rispetto a quello svolto dalla gravità.
7. L’energia non si crea ed è indistruttibile
Che cosa accade quando il sistema compie o subisce del lavoro?
Quando fissiamo la superficie di separazione di un sistema, dividiamo implicitamente l’intero Universo in due parti: la regione interna (il sistema) e quella esterna
(l’ambiente). Anche le forze si dividono di conseguenza in interne ed esterne, ed entrambe
le categorie possono eseguire del lavoro. Il teorema dell’energia cinetica stabilisce
che il lavoro complessivamente svolto da tutte le forze, interne ed esterne, è pari alla
variazione dell’energia cinetica totale del sistema. Supponiamo ora che le forze interne
che compiono lavoro siano tutte conservative , cioè Lint = -DU , e scriviamo il teorema
dell’energia cinetica separando i due contributi:
DK = Lint + Lest = -DU + Lest
raccogliamo al primo membro le proprietà del sistema:
190
DK + DU = DE = Lest
Come avevamo anticipato in termini intuitivi, il lavoro delle forze esterne produce
un trasferimento di energia DE dall’ambiente o verso l’ambiente. Quando l’ambiente
compie lavoro sul sistema (o viceversa), il contenuto totale di energia cinetica e potenziale del sistema cambia di una quantità pari al lavoro svolto dalle forze esterne.
E se invece lavorano solo le forze conservative interne al sistema?
In questo caso il membro di destra dell’equazione precedente diviene nullo:
DK + D U = 0
e quindi a ogni variazione di energia potenziale deve corrispondere un uguale cambiamento di energia cinetica con segno opposto, in modo che l’energia complessiva
non vari, cioè DEsistema = 0 . Quindi il lavoro svolto all’interno, dalle forze fra le parti del sistema, produce una trasformazione di energia dalla forma potenziale a quella cinetica e viceversa. Questo risultato, detto teorema di conservazione dell’energia, non
è una nuova legge di natura perché ha lo stesso contenuto fisico delle leggi della dinamica da cui è stato ricavato, tuttavia è utile perché descrive i fenomeni in termini di
una quantità che non cambia (l’energia) anziché di quantità che variano. Esso può essere visto come una forma parziale del più ampio (e già anticipato a inizio capitolo)
principio di conservazione dell’energia, che invece è una nuova legge di natura valida in
ambiti della fisica ben più ampi di quello della meccanica, e di cui ci occuperemo
quando inseriremo nel computo anche l’energia interna. Possiamo quindi dedurre la
seguente corrispondenza:
Lavoro Esterno
Lavoro Interno


Trasferimento di Energia
Trasformazione di Energia
Possono le due cose avvenire contemporaneamente?
Quando il sistema scambia lavoro con l’esterno, deve necessariamente mutare forma
per far sì che le forze spostino il punto di applicazione. Se a questi cambiamenti corrisponde anche lavoro delle forze interne si ha, oltre al trasferimento , anche una trasformazione interna di energia da potenziale a cinetica o viceversa.
Da che cosa è pagato il lavoro delle forze esterne?
Per rispondere consideriamo il sistema che ingloba ogni cosa: l’intero Universo, rispetto al quale, per definizione, non esistono forze esterne. Quindi potremo sempre
scrivere DEUniverso = 0 . Sistema e ambiente sono ora inglobate entrambe del membro di sinistra dell’equazione, pertanto:
DESistema + DEAmbiente = 0
y

DEAmbiente = -DESistema
e quindi ad ogni aumento del contenuto energetico nel sistema corrisponde una
uguale diminuzione nell’ambiente o viceversa. Il lavoro svolto sul sistema è pagato
dall’ambiente con una diminuzione della propria energia. Pertanto:
L’energia non può essere creata, ma soltanto trasformata: anche una moderna centrale nucleare, idroelettrica o geotermica non genera energia dal nulla ma si limita ad attingere
dall’ambiente per convertirla da una forma all’altra.
Esercizi
34. In assenza di attriti, calcolare la velocità con la quale un pendolo di massa m e lunghezza  = 2.50 m , lasciato andare da un angolo iniziale J = 20.0 , passa per il punto
più basso. Mostrare poi che risale fino alla stessa altezza dalla parte opposta.
191
J


T
y1
y2

W
Consideriamo il sistema formato dal pendolo e dal pianeta Terra. In un asse verticale con
lo zero al livello del suolo, indichiamo con y1 ed y2 le quote del pendolo rispettivamente
nella posizione più alta e più bassa. Il principio della conservazione dell’energia si scrive:
DK + DU = Lest
La forza esterna al sistema, quella della tensione del filo, non compie lavoro essendo sempre perpendicolare alla traiettoria. L’unica forza interna ad agire, la gravità, è conservativa. Esprimiamone la variazione di energia potenziale e sostituiamo:
DU = mgy2 - mgy1
DK + (mgy2 - mgy1 ) = 0

DK = mg(y1 - y2 )
Sostituendo alla variazione di energia cinetica la sua espressione, e ricordando che inizialmente il pendolo è fermo:


1
1
DK = m | v2 | 2 - m | v1 | 2
2
2
 2

1
m v2 = m g(y1 - y2 )  v2 = 2g(y1 - y2 )
2
Dalla figura risulta y1 - y2 =  -  cos J , quindi:

v2 = 2g (1 - cos J) = 2 ´ 9.81 ´ 2.50 ´ (1 - cos 20.0) m/s = 1.72 m/s
Per calcolare la quota di risalita y 3 applichiamo ancora il teorema di conservazione
dell’energia, considerando che ora il pendolo è fermo tanto nell’istante iniziale che in quello finale.
DK + DU = Lest

DU = mgy 3 - mgy1 = 0

y 3 = y1
Se quindi le uniche forze che lavorano sono conservative, nel sistema pendolo-Terra si ha
un continuo scambio fra le due forme dell’energia, che passa dall’assumere il valore massimo per quella potenziale nel punto più alto, dove l’energia cinetica è nulla, al punto minimo dove è massima la cinetica e minima quella potenziale.
35. Una pompa esegue un lavoro di 1.50 ´ 104 J per riempire il serbatoio di una palazzina che si trova ad un’altezza di 25.0 m . Si calcoli la capacità del serbatoio in litri, ricordando che 1 = 1 dm 3 e che la densità dell’acqua è 1.00 kg/dm 3 .
[R: 61.2  ]
36. Sulle montagne russe, un vagoncino inizialmente fermo, di massa m = 35.0 kg , viene
spinto per un tratto di 15.0 m da una forza di 320 N parallela alle rotaie, che lo porta più
in alto di 5.00 m . In assenza di attriti, si calcoli la velocità finale del vagone.
[R: 13.3 m/s ]
J
37. Fino quale altezza risale un pendolo di massa m e lunghezza L , lasciato andare da
un angolo J come in figura, se lungo la verticale condotta per il punto di sospensione, a
metà del filo, si inserisce un piolo? Come influisce sulla risposta la quota cui si trova il
piolo?
[R: y2 = y1, non influisce ]

N

38. In un piano orizzontale senza attrito, una forza costante orizzontale |F | = 100 N viene

F


Ds

W
J
h
applicata ad un blocco di massa m = 6.50 kg , inizialmente fermo, per un tratto lungo


|Ds | = 4.00 m . Nell’istante in cui F cessa di agire, il blocco si trova davanti ad un piano
inclinato di un angolo J = 25.0 . Si trovi l’altezza massima da terra, h , fino alla quale
riesce a salire prima di fermarsi e tornare indietro. Si trovi la velocità con la quale giunge

di nuovo a terra.
[R: h = 6.27 m , v fin = 11.1 m/s ]
192
A
39. Nel sistema qui a lato, privo di attriti, le masse sono inizialmente tenute ferme e si ha
mA = 3.00 kg ed mB = 1.50 kg , mentre la corda e la puleggia hanno massa trascurabi-
le. Calcolare la velocità del sistema quando B è scesa di 2.50 m .
[R: 4.04 m/s ]
A
B
40. Lungo un profilo a forma di cilindro avente R = 3.5 m scivola un blocco di massa
m = 3.0 kg partendo fermo dalla posizione A. Sapendo che nel punto più in basso B la

velocità vale v = 4.2 m/s si trovi il lavoro delle forze di attrito e la forza normale in B.

[R: LA = -77 J , |N | = 45 N ]
41. Lungo una superficie cilindrica avente R = 5.0 m scivola un blocco di massa m partendo fermo dalla posizione A. Supponendo assenti gli attriti, si trovi la massima altezza
h che viene raggiunta dopo che il blocchetto si è staccato dal punto C, sapendo che
l’angolo è a = 40 .
[R: h = 2.8 m ]
R
B
A
R
a
h
C
42. Un’astronave giocattolo di massa 0.250 kg , viene spinta in alto da un piccolo razzo
(di massa trascurabile) che esercita su di lei una forza costante di 10.0 N , e che si spegne
a 40.0 m di altezza. Trascurando il contrasto dell’aria, si calcoli il lavoro svolto complessivamente dal razzo sull’astronave, e l’altezza alla quale questa inizia a ricadere.
[R: 400 J,163 m ]
43. Un mattone di massa m = 2.00 kg è lasciato cadere da fermo dentro ad una piscina
profonda 3.00 m . Sapendo che l’acqua rallenta la caduta spingendo con una forza costante d’intensità 5.00 N , si calcoli il lavoro complessivamente svolto dall’acqua quando
il mattone ha toccato il fondo. Si calcolino poi l’energia cinetica, l’energia potenziale, e
l’energia del mattone quando si trova a metà della profondità della piscina.
[R: -15.0 J,14.4 J, 29.4 J ]
44. Un blocchetto di massa mA = 4.00 kg , scivola su di un piano orizzontale con una ve
locità di 1.50 m/s . Calcolare il lavoro che deve fare una forza F d’intensità 2.00 N , inclinata di un angolo a = 25.0 per poterlo arrestare completamente. Calcolare lo sposta
mento Ds del punto di applicazione di F riguardo a tale lavoro.
[R: 2.48 m ]

v
45. Si consideri il binario qui a lato, dove la pallina viene lasciata andare da ferma parten
do da un’altezza h . In caso di assenza di attriti, si stimi il valore di v in un punto qualunque a quota y . Si trovi poi il valore che h deve avere se si vuole che la pallina com
pleti il “giro della morte”, e quanto vale v in A ed in B in questo caso.
h
2R
y

F
a
A

vA

v
R
Consideriamo il sistema formato dalla pallina e dal pianeta Terra, e consideriamo la pallina un punto, in modo da poter trascurare quella parte di energia cinetica che le serve per
ruotare su se stessa mentre cade. L’unica forza esterna à la normale del binario, che essendo sempre perpendicolare alla traiettoria non lavora. Lungo il tragitto si ha sempre:
DK + DU = L = 0
e deve pertanto in ogni punto essere costante l’energia meccanica del sistema:
h
U in + K in = U + K

m gh = m gy + 21 m | v | 2

vB


| v | = 2g(h - y )
Nel punto A dato che la pallina percorre una traiettoria circolare è necessaria

un’accelerazione centripeta acp . Questa viene esercitata dall’azione combinata della normale e della gravità. La normale ha un’intensità variabile, ma la gravità non può mai
193

vA
2R

acp
scendere, quindi il minimo valore di accelerazione centripeta è quello che può fornire la
gravità da sola, cioè in A si ha:



|acp | ³ g  ( | vA|2 /R ) ³ g  | vA | 2 ³ Rg
Il risultato precedente vale per qualunque posizione lungo il tragitto, quindi in particolare vale nel punto A:
 2
vA = 2g(h - yA ) = 2g(h - 2R)
Sostituendo si ottiene la condizione per la minima altezza per completare il giro:
5
2 g (h - 2R) ³ R g  h ³ R
2
Al valore minino h = 5 R corrispondono:
2

| vA | = 2g(h - yA ) = 2g( 5 R - 2R) = gR
2

| vB | = 2g(h - yB ) = 2g( 5 R - 0) = 5gR
2
8. Energia potenziale della forza elastica
Fx = -kx < 0
x
0
Fx = 0
Quando una forza si dice elastica?
Come abbiamo già visto, se in un piano orizzontale senza attrito attacchiamo una
massa al capo di una molla (di massa trascurabile), ed avente l’altro estremo vincolato, vediamo che esiste una posizione di equilibrio dove la molla è rilassata. Non appena si tenti di allontanare la massa da questa posizione, la molla tende sempre a riportarcela. Se fissiamo un asse di riferimento come in figura, con l’origine nella posizione di equilibrio, e indichiamo con Fx la componente orizzontale della forza di ri-
0
chiamo, e con x la coordinata del capo della molla, le osservazioni mostrano che Fx
Fx = -kx > 0
si fa tanto più intensa quanto maggiore è l’allontanamento dalla posizione di equilibrio, dove la forza vale zero. Guardando la figura, si ha Fx positiva, quando la mol-
x
la viene compressa, e cioè quando x < 0 . Per una molla allungata avremo viceversa
Fx < 0 e x > 0 . Questo comportamento è espresso matematicamente dalla legge di
0
Hooke:
Fx =- kx
Fx
x
Fx = -kx
La costante elastica k > 0 , misurata in N/m , determina la rigidità della molla: a parità di deformazione, più k è grande, maggiore è la forza. Una forza di richiamo proporzionale alla distanza da una posizione di equilibrio si dice forza elastica.
L’andamento di Fx in funzione di x è una retta a pendenza negativa6, passante per
l’origine.
Qual è il segno del lavoro della forza elastica?
In generale il lavoro è positivo quando forza tangenziale e spostamento hanno lo stesso
verso. Nel caso della molla, ciò accade quando la massa si sta avvicinando al punto di
equilibrio, e quindi la forza elastica agevola il movimento. Questo può avvenire tanto da
valori negativi di x , cioè avvicinandosi all’equilibrio da sinistra, quanto da valori positivi,
6
Confrontando con l’equazione di una retta per l’origine y = mx , posto sulle ordinate y  Fx si ha m = -k .
194
cioè avvicinandosi all’equilibrio da destra. Viceversa, il lavoro della molla è negativo
quando la massa si allontana dall’equilibrio, e quindi la forza contrasta lo spostamento.
Anche il lavoro negativo è possibile sia che l’allontanamento avvenga comprimendo la
molla ( x < 0 ), sia estendendo la molla ( x > 0 ):
il lavoro della forza elastica è postivo nelle fasi in cui la massa si avvicina all’equilibrio,
negativo in quelle di allontanamento.
La forza elastica è conservativa?
Si, la forza elastica è conservativa, cioè il lavoro che essa svolge non dipende dal
percorso seguito dal suo punto di applicazione. Per la massa agganciata alla molla, il
solo spostamento possibile è lungo una linea retta. In questo caso, quindi, l’unica
libertà di movimento concessa, quando si va da una posizione x1 ad un’altra x 2 , è
di viaggiare più volte avanti ed indietro lungo la traiettoria rettilinea prima di giungere a destinazione. Poiché la forza elastica non ha intensità costante, per trovare il
lavoro da essa eseguito dobbiamo calcolare l’area sotto il grafico di F in funzione
della coordinata lungo la traiettoria, cioè x . Faremo il calcolo solo nel caso in cui la
punta della molla si allontana dall’equilibrio verso destra, cioè x 2 > x1 > 0 : si può
dimostrare che il risultato ha validità generale.
In questa situazione risulta

F
180
(essendo x > 0)
x2
x1
0
cos a = cos180 = -1 , da cui abbiamo per la forza tangenziale F :

F = |F | cos180 = |-kx | (-1) = -kx

Ds
F
Per il caso in esame, il grafico di F è quindi lo stesso di Fx ed il lavoro è negativo in
x1
quanto F < 0 perché la massa si allontana dall’equilibrio. Il valore assoluto di L è
l’area del trapezio delimitato dal grafico di F , dalle due rette verticali in corrispondenza di x1 ed x 2 , e dall’asse delle ascisse. Moltiplicando la metà della somma delle
basi (-kx1 - kx 2 )/2 per l’altezza (x 2 - x1 ) e cambiando segno, si ha:
-kx 2
1
1
1
1
L = - (-kx 2 - kx1 )(x 2 - x1 ) = k (x 2 + x1 )(x 2 - x1 ) = kx12 - kx 22
2
2
2
2
Come si vede7: il lavoro dipende solo dalle posizioni iniziale e finale x1 ed x 2 . Pertanto
la forza elastica è conservativa e possiamo introdurre una funzione energia potenziale.
Qual è il segno dell’energia potenziale elastica?
L’energia potenziale elastica è pari al lavoro che la molla compie sulla massa quando
questa si sposta dalla sua posizione in quella scelta come riferimento. Prendendo come
posizione di riferimento l’ equilibrio, l’energia potenziale sarà sempre positiva, dato che la molla
agevola in ogni caso questo tipo di spostamento.
Come si calcola l’energia potenziale elastica?
In base alla definizione, per calcolare il valore dell’energia potenziale elastica di una molla
con l’estremo che si trova a distanza x dalla posizione rilassata, basta porre x1 = x ed
x 2 = 0 nella formula per il lavoro:
7 Alternativamente, poiché la variazione del prodotto di due grandezze di cui una è funzione dell’altra si ottiene moltiplicando il valor medio di quella dipendente per la variazione di quella indipendente, possiamo scrivere che
L = Fm // (x 2
- x 1 ) . Siccome la forza dipende linearmente dall’allungamento x , si ha che il valor medio è la media dei
valori assunti negli estremi (risultato che abbiamo già usato nel teorema della velocità media):
Fm =
1
2
(F1 + F2 ) = - 1 k (x1 + x 2 ) , da cui:
2
L = - 1 k (x1 + x 2 )(x 2
2
195
- x1 ) =
1
2
-kx1
2
2
kx 1 - 1 kx 2
2
x2
L
x
Uelastica = Lx 0 =
1 2
1
kx - 0 = kx 2
2
2
Dalle proprietà dell’energia potenziale, il lavoro che la molla compie sulla massa quando
questa si sposta dalla posizione x1 alla posizione x 2 si può esprimere:
æ1
ö 1 2
1
1
L = -DU = - çç kx 22 - kx12 ÷÷÷ = kx iniziale
- kx 2finale
è2
ø 2
2
2
Esercizi
46. Calcolare il lavoro che occorre eseguire su di una molla di costante elastica
k = 80.0 N/m per allungarla da 20.0 cm fino a 30.0 cm , sapendo che a riposo misura 15.0 cm .
Poiché la punta della molla dove applichiamo la forza è ferma all’inizio e alla fine, la
sua energia cinetica non cambia. Allora il lavoro che noi eseguiamo su di essa, è
uguale e contrario a quello che fa la molla su di noi. Si ha:
x iniziale = (0.200 - 0.150) m = 0.050 m x finale = (0.300 - 0.150) m = 0.150 m
da cui si ha il lavoro resistente della molla:
2
Lmolla = 1 kx iniziale
- 1 kx 2finale = 1 ´ 80.0 ´ (0.0502 - 0.1502 )J = -0.80 J
2
2
2
e quello motore che dobbiamo compiere sarà pertanto 0.80 J .
h 47. Una pallina di massa m = 0.200 kg è posta a contatto con l’estremo di una molla di
costante elastica k compressa per un tratto x = 0.100 m . Sapendo che quando la molla è
rilasciata la pallina sale su per una guida curva priva di attrito, fino a un’altezza
h = 30.0 cm , si calcoli la costante della molla. Si calcoli poi l’altezza a cui salirebbe se
lungo la guida l’attrito compisse un lavoro di modulo 0.0350 J .
Consideriamo il sistema formato dalla pallina, dalla molla e dal pianeta Terra e come
istanti iniziale quello in cui è liberata la molla, finale quello di massima altezza. In entrambi gli stati, l’energia cinetica è nulla. Dato che la forza normale esterna al sistema non
compie mai lavoro possiamo scrivere:
1
 (0 - kx 2 ) + (mgy - 0) = 0
DK + DUel + DU grav = Lest
2
2mgh æ 2 ´ 0.200 ´ 9.81 ´ 0.300 ö÷
= çç
k=
÷ø÷ N/m = 118 N/m
è
x2
0.1002
Inserendo anche il lavoro dell’attrito si ha:
1
DK + DUel + DU grav = LA 
 - kx 2 + mgy = LA
2
Il lavoro dell’attrito è in questo caso resistente LA = -0.0350J . Sostituendo:
y=
h
LA + 12 kx 2
mg
æ -0.0350 + 1 ´ 118 ´ 0.1002 ö÷
2
= ççç
÷÷ m = 0.189 m
9.81 ´ 0.300
èç
ø÷
48. Due palline identiche di massa m = 0.200 kg sono a contatto con gli estremi di una
molla avente k = 150 N/m compressa di un tratto x = 0.100 m . Si trovi la velocità con
cui le palline si staccano dalla molla una volta che questa viene sbloccata, e la quota h

massima raggiunta.
[R: | v | = 1.94 m/s , h = 19.2 cm ]

F
J


Ds

49. Lungo un piano liscio, un cubetto di massa m = 0.340 kg è tirato da una forza F di
20 N che forma un angolo J = 25 con l’orizzontale. La forza agisce solo per un tratto

|Ds | = 1.5 m , e poi il cubetto è lasciato andare. Si calcoli quanto si comprime una molla
avente k = 7500 N/m posta sul suo tragitto.
196
[R: x = 0.085 m ]
50. Su di una guida liscia lunga d = 20 m con respingenti finali, scivola un cubetto di
massa m = 0.250 kg con saldate due molle aventi kA = 80 N/m e kB = 130 N/m , e
A
B
masse trascurabili. Sapendo che la molla A si comprime al massimo di x A = 0.20 m , cal-
d
colare la massima compressione della molla B. Calcolare quanto tempo passa fra due urti
consecutivi contro lo stesso respingente.
[R: x B = 0.16 m , Dt = 11 s ]
51. Su di un tavolo privo di attrito e alto h = 0.900 m , una molla di costante elastica
k = 500 N/m viene compressa di x = 4.00 cm e su di essa appoggiata una pallina di

massa m = 30.0 g . La molla viene rilasciata e la pallina parte in avanti con velocità v0 . Si
h
trovi la velocità della pallina quando la sua altezza è h / 2 , e si dica a quale distanza d
[R: 5.95 m/s , 1.65 m ]
dalla base del tavolino la pallina tocca terra.

d

F1
4
52. Un vagone di massa m = 1.50 ´ 10 kg fermo, viene tirato per un tratto



|Ds | = 25.0 m lungo una rotaia, da una forza |F1 | = 500 N e frenato da |F2 | = 200 N

F2
180
25.0
come in figura. In assenza di attriti, calcolare la velocità che ha raggiunto quando le forze
cessano. Calcolare k della molla dei respingenti in fondo al binario, sapendo che, quando
il vagone vi va a sbattere, si contrae di x = 3.50 cm .
[R: 0.918 m/s , 1.03 ´ 107 N/m ]
53. Sulle montagne russe, un carrello di m = 70.0 kg , fermo sulla cima di una collina alta
yA = 20.0 m , inizia a scivolare. In assenza di attriti, calcolarne la velocità quando passa
sulla cima di un’altra collina alta yB = 15.0 m . Calcolare il lavoro che dovrebbero fare
gli attriti per farlo giungere fermo sulla seconda collina.

Ds

vB
yA
yB
[R: 9.90 m/s, -3.43 ´ 103 J ]
54. Sulle montagne russe, a un carrello di m = 60.0 kg a quota yA = 0.0 m , viene im-

vB
pressa una velocità di 10.0 m/s . Calcolare la velocità con cui passa per la sommità di una
collina alta yB = 3.00 m , sapendo che il lavoro complessivamente svolto da tutti gli attri- yB
ti è -2000 J . Calcolare la velocità che gli dovrebbe essere impressa per fermarsi esattamente su quella sommità, se il lavoro degli attriti fosse nullo.
[R: 4.30 m/s, 7.67 m/s ]

vA
55. Sulle montagne russe, un carrello di m = 80.0 kg passa per un punto alto

yA = 5.00 m con una velocità |vA | = 7.00 m/s . Calcolare di quanto si deve comprimere

vA
la molla di un respingente in fondo al binario, a quota zero, per arrestare il carrello, sa- y
A
pendo che k = 1500 N/m e che ogni attrito si può trascurare.
[R: 81.7 cm ]
9. L’energia dei corpi rigidi rotanti
Consideriamo un corpo rigido che ruota attorno ad un asse fisso. Come sappiamo
tutti i punti del corpo descrivono delle circonferenze attorno all’asse di rotazione, con
 
uguale velocità angolare w . Le velocità lineari v1, v2 ... delle particelle che formano il
corpo sono legate a w dalle distanze b1, b2 ... delle loro rette dall’asse, ed il legame è la
caratteristica proprietà della rotazione di corpo rigido:

| v1 | = wb1

| v2 | = wb2
197
...

v2
b2
A
b1

v1
w
rotazione attorno ad un asse
per A perpendicolare al foglio
Secondo tale relazione, quanto più lontano la particella si trova dall’asse, tanto più essa è
 
veloce. Essendo l’asse fisso, tutti i vettori v1, v2 ... restano sempre paralleli a uno stesso
piano, che nelle figure è il piano del foglio.
Come si esprime l’energia cinetica di un corpo rigido rotante?
L’energia cinetica si ottiene sommando quelle delle particelle che formano il corpo:


K = 1 m1 | v1 | 2 + 1 m2 | v2 | 2 +...
2
Momenti d'inerzia
Sostituendo si ottiene:
2
anello
I = MR
cilindro pieno
I = 1 MR2
sfera piena
I
guscio sferico
I
barretta (centro)
I
barretta (estremo) I
2
2
= 2 MR2
5
= 2 MR2
3
= 1 M 2
12
= 1 M 2
3
K = 1 m1(wb1 )2 + 1 m2 (wb2 )2 + ... = 1 (m1b12 + m1b22 + ...)w 2 = 1 I w 2
2
2
2
2
dove è stata utilizzata la grandezza I = m1b12 + m2b22 + ... detta momento d’inerzia, già
introdotta studiando la rotazione di corpo rigido. Ricordiamo che I è tanto maggiore quanto più il corpo “resiste” alla rotazione, cioè quanto più la sua massa è distribuita lontano dall’asse. Abbiamo quindi ottenuto la formula:
Energia cinetica di un corpo rigido in rotazione
Krot = 1 I w 2
2
Come si scrive il teorema dell’energia cinetica per un corpo rigido in roto--traslazione?
Consideriamo un corpo rigido che ruota attorno ad un asse, e contemporaneamente
quest’asse trasla. La velocità di ogni suo punto sarà la composizione vettoriale
 



v = vT + vR della velocità di traslazione vT con quella di rotazione vR . Entrambi
questi movimenti contribuiscono all’energia cinetica di un corpo in rototraslazione:

K = 21 m | vT | 2 + 21 I w 2


di traslazione
di rotazione
e in maniera analoga si scrive il teorema dell’energia cinetica:
Lest = DKT + DK rot
Fra tutti i possibili moti di rototraslazione, considereremo ora il rotolamento lungo un
piano di un corpo a sezione circolare, ad esempio un cilindro od una sfera.
Come si ripartisce l’energia di traslazione e di rotazione in un corpo che rotola?
Consideriamo un cilindro e una sfera, entrambi di massa M e raggio R che rotolano
senza strisciare. La loro energia cinetica sarà ripartita fra energia cinetica di traslazione ed energia cinetica di rotazione in proporzioni che dipendono dalla forma del
corpo. Il motivo di questa differente ripartizione è il diverso momento d’inerzia:
IC = MR2 /2 , I S = 2MR 2 / 5 . Ricordando che in un moto di rotolamento, se “affet-
tiamo” il corpo perpendicolarmente all’asse attorno a cui ruota, otteniamo per sezioni tutte circonferenza. Come abbiamo visto studiando il rotolamento, i centri di tali

circonferenze avanzano con velocità | vT | = wR . Da questo si ha:
cilindro:
Ktrasl
Krot
=
1 M (wR)2
2
1 ( 1 MR 2 )w 2
2 2
=2
sfera :
Ktrasl
K rot
=
1 M (wR)2
2
1 ( 2 MR 2 )w 2
2 5
=
5
2
L’energia cinetica di traslazione di un cilindro che rotola è il doppio di quella di rotazione, mentre l’energia cinetica di traslazione di una sfera che rotola è due volte e
mezzo quella di rotazione. Analoghi calcoli possono essere fatti con altre forme.
198
w
Esercizi
56. A un cilindro di massa M = 20.0 kg e raggio R = 1.50 m , capace di ruotare at-
torno al suo asse centrale, posto orizzontalmente, viene avvolta una fune ideale. Al
capo della fune è appesa una piccola massa m = 1.20 kg . Trascurando gli attriti, si
R
calcoli la velocità angolare del cilindro quando la massa è scesa di un tratto
h = 4.00 m ,
m
Applichiamo il teorema dell’energia cinetica al sistema costituito dal cilindro, dalla
corda (di massa trascurabile essendo ideale), dalla piccola massa che scende e dal
pianeta Terra. Con tale scelta Lest = 0 . Fra l’istante in cui la massa è lasciata, e quello
h
in cui è scesa di un tratto h si ha:
Lest = 0 = DU + DKT + DKrot 
dove I =
1
MR2 .
2
mg(y fin - yin ) + ( 1 mv 2 - 0) + ( 1 I w 2 - 0) = 0
2
2
Osservando poi che yin - y fin = h , ed inoltre che un punto sul ci-
lindro che ruota si muove alla stessa velocità con cui scende la massa appesa, cioè
v = wR , abbiamo:
mgh = 1 m w 2R2 + 1 I w 2 = 1 m w 2R2 + 1 ( 1 MR2 )w 2
2
2
2
2 2
Risolvendo rispetto alla velocità angolare otteniamo:
æ 1
1
4mgh
4 ´ 1.20 ´ 9.81 ´ 4.00 ö÷÷
ç
w=
= çç
÷ rad/s = 1.93 rad/s
ççè1.50
R 2m + M
2 ´ 1.20 + 20.0 ø÷÷
57. Un pallone da calcio di massa M e raggio R (guscio sferico) rotola giù per una
discesa alta h = 5.00 m , la cui inclinazione è a = 30 . Calcolare la sua velocità
quando giunge in fondo. Il risultato dipende dalla massa della palla, dal suo raggio o
dall’inclinazione della discesa?
[R: 7.67 m/s,no ]
58. Si ripeta il calcolo del precedente problema facendo rotolare per la stessa discesa
anche un cilindro e una sfera piena sempre di massa M e raggio R , commentando il
risultato ottenuto, giustificando il motivo per cui uno dei tre arriva prima in fondo.
[R: 8.09 m/s, 8.37 m/s ]
7.50 m/s
59. Si decide di condurre un esperimento per misurare il momento d’inerzia I di una
ruota di bicicletta di massa m = 5.50 kg e raggio R = 20.0 cm facendola rotolare giù
per una discesa alta 3.00 m . Sapendo che la velocità con cui giunge in fondo è
[R: 0.110 kg ⋅ m2 ]
7.50 m/s , si calcoli I .
w
R
60. Una piattaforma cilindrica di R = 4.00 m e massa m = 50.0 kg si trova in rota-
zione alla velocità angolare w = 20.0 rad/s . Calcolare il lavoro che deve fare un freno
esterno sulla piattaforma per dimezzarne la velocità angolare.
[R: -2.00 ´104 J ]
25 N
61. Ad un cilindro di raggio R = 30.0 cm e massa m = 6.00 kg , girevole attorno al suo
asse centrale fissato a terra, è avvolto ed incollato un filo lungo esattamente quanto il pe
rimetro. Il filo viene srotolato completamente da una forza F costante di intensità 25.0 N .
Si calcoli la velocità angolare finale del cilindro.
[R: 18.7 rad/s ]

vT
62. Una massa m = 5.00 kg è agganciata a un filo ideale che passa per la gola di una car-
rucola (di massa trascurabile) ed è avvolto attorno ad un rocchetto cilindrico di massa
M = 45.0 kg e raggio R , come in figura. Mentre la massa scende, il cilindro rotola senza strisciare. Si calcoli la velocità del cilindro, inizialmente fermo, nell’istante in cui m è
scesa di 6.00 m .
[R: 5.18 m/s ]
199
m
10. Quando cambia l’energia interna
Poniamo ora il caso più generale in cui alcune delle forze interne al sistema che compiono lavoro non siano conservative. Questo significa che può variare anche l’energia incamerata al livello delle particelle, che viene chiamata energia interna:
Energia interna E int
L’energia interna di un sistema è la somma delle energie cinetiche e potenziali di tutte le particelle all’interno dei corpi che formano il sistema8, con esclusione di quelle
dei moti ordinati collettivi dovuti alla traslazione ed alla rotazione dell’oggetto, cioè:
E int = U int + K int
 La Controfisica
Il
principio
di
conservazione
dell’energia, ha validità in abiti assai
più ampi di quello della meccanica
classica, e come tutti i principi fisici
nasce dalle osservazioni. Non possiamo, infatti, “dimostrare” che, al livello
microscopico, quel lavoro che al livello degli oggetti appare non conservativo, si possa esprimere come differenza
DE-interna, fra i valori di una funzione
E-interna, che dipende solo dallo stato
delle particelle: lo assumiamo come
risultato delle osservazioni, cioè come
legge fisica.
Per studiare queste situazioni non è più sufficiente il teorema di conservazione
dell’energia da noi dimostrato, ma bisogna usare la sua estensione, il principio di conservazione dell’energia, che per un sistema di oggetti comprende, al primo membro, anche la variazione di energia interna:
DK + DU + DEint =
åTrasferimenti
In questo capitolo ci limiteremo a considerare il solo modo di trasferire energia che finora
abbiamo studiato, cioè il lavoro.
Quand’è che ha luogo una variazione di energia interna?
Fino ad ora abbiamo analizzato solo il caso di forze non conservative che lavorano
dall’esterno sul sistema: ad esempio la nostra forza muscolare che solleva una pietra agendo
dall’esterno sul sistema formato da una pietra e dalla Terra. In questa situazione, il trasferimento di energia dovuto al lavoro non conservativo viene semplicemente scritto nel
membro di destra della legge di conservazione dell’energia. Adesso consideriamo una
forza non conservativa che agisce dall’interno sul sistema. In questo caso, anche il soggetto
che esercita la forza fa parte del sistema! Se dunque consideriamo un nuovo sistema
composto da noi, da una pietra e dal pianeta Terra, quando solleviamo la pietra, nel conto
del lavoro eseguito sul sistema non c’è solo quello della forza che noi esercitiamo sulla
pietra, ma anche il lavoro della forza che la pietra esercita su di noi. Nel caso di azioni a
contatto, lo spostamento della parte di sistema che esercita la forza (la nostra mano) e
quello della parte che subisce la forza (la pietra) sono identici, e le forze che agiscono sono
uguali ed opposte per il principio di azione e reazione. Pertanto:
Il lavoro complessivo delle forze interne, che agiscono a contatto, è sempre nullo.
Tuttavia esiste una classe di fenomeni in cui gli effetti energetici non possono essere descritti
in termini di lavoro. Ad esempio, i punti dove la forza di attrito è applicata sono molteplici, e quindi è impossibile conoscere il loro spostamento, che avviene al livello atomico!
Fenomeni come l’azione di motori, gli attriti di varia natura e le forze muscolari, comportano modifiche energetiche anche al livello molecolare ed atomico . Le forze muscolari attingono
a riserve di energia stipata chimicamente nelle molecole degli alimenti, i motori in quelle
dei carburanti. Se il motore, il muscolo, le superfici che si sfregano fanno parte del sistema, queste modifiche di energia al livello molecolare vanno sempre incluse nel bilancio.
Come vedremo, l’energia interna di un corpo si ripartisce equamente fra tutte le componenti potenziali e cinetiche possibili per le
particelle, e si manifesta producendo degli effetti misurabili attraverso la grandezza detta temperatura. La temperatura è senz’altro una
delle proprietà che consentono a un sistema di produrre cambiamenti fisici: siamo quindi autorizzati a trattarla come un’espressione
del suo contenuto energetico, coerentemente con la definizione generica di energia come “capacità di cambiare” che abbiamo dato.
8
200
Come si calcola la variazione di energia interna?
Un calcolo diretto non è possibile in generale, tuttavia sostituendo al secondo membro il
lavoro delle forze esterne, si ha modo di ricavare la variazione di energia interna del sistema per differenza:
DEint = Le - DK - DU
Esercizi
63. Calcolare la variazione nell’energia interna di un’automobile ( m = 1500 kg ) deter-
minato dall’azione dei freni, che la rallenta da 100 km/h a 70.0 km/h .
Trasformiamo le velocità in unità del SI:
km
1000 m
m
km
1000 m
m
= 100 ´
= 27.8
= 70.0 ´
= 19.5
100
70.0
3600 s
3600 s
h
s
h
s
Sul sistema formato dalla sola automobile, si ha una complessiva riduzione di energia cinetica dovuta alla frenata:
 2
 2
DK = 1 m v fin - 1 m vin = 1 ´ 1500 ´ (19.52 - 27.82 )J = -2.94 ´ 105 J
2
2
2
e poiché nel sistema non lavorano forze esterne, né si ha variazione di energia potenziale:
DU + DK + DE int = Le

DE int = -DK = 2.94 ´ 105 J
l’energia interna aumenta cioè esattamente di quanto è diminuita l’energia cinetica.
64. Un bambino di massa m = 34.0 kg , scende lungo uno scivolo alto 3.00 m , e quando
giunge alla base possiede una velocità di 5.00 m/s . Si trovi l’incremento di energia interna complessivo del bambino e della rampa prodotto dal lavoro della forza di attrito. Si dica quale velocità avrebbe il bambino in fondo alla rampa in assenza di attrito.
La scelta del sistema è un’operazione fondamentale per la risoluzione di questo tipo di
esercizi. Procederemo allo svolgimento scegliendo tre sistemi differenti, per riottenere lo
stesso risultato.
a) Il sistema è costituito dal bambino, dallo scivolo e dal pianeta Terra.
Poiché tutte le forze sono interne, non c’è lavoro attraverso la superficie che separa il sistema dal resto dell’Universo, cioè, si tratta di un sistema isolato. Due delle parti del sistema, il bambino e la Terra interagiscono tramite una forza conservativa, la cui energia
potenziale si scrive mgy . La gravità compie un lavoro motore, quindi l’energia potenziale diminuisce ed aumenta quella cinetica. Altre due parti, la rampa ed il bambino, interagiscono tramite una forza non conservativa, l’attrito, il cui lavoro modifica sia l’energia
interna sia l’energia cinetica del sistema. Poiché il sistema è isolato, la sua energia complessiva non cambia:
DK + DU + DEint = 0
Dato che l’unica parte mobile del sistema è il bambino, per la variazione di energia cinetica abbiamo:
2
DK = 1 mv 2fin - 1 mvin
=
2
2
1
2
2
(34.0 kg)(5.00 m/s)
- 0 = 425 J
Il cambiamento di energia potenziale risulta invece:
(
)(
)(
)
DU = mgy fin - mgyin = 0 - 34.0 kg 3.00 m 9.81 m/s 2 = -1001J
Imponendo la conservazione dell’energia otteniamo:
425 J- 1001J + DEint = 0

DEint = 576 J
alla quale corrisponde un aumento di temperatura delle due parti che fanno attrito, cioè il
bambino e la superficie dello scivolo. In assenza di attrito lavora solo la forza di gravità,
ed essendo DEint = 0 si scrive DK + DU = 0 . Sostituendo:
2
( 1 mv 2fin 1 mvin
) + ( mgy fin - mgyin ) = 0
2
2
201
3.00m
v fin = 2gyin = 7.67 m/s
b) Il sistema è costituito dal bambino e dallo scivolo. Il sistema non è isolato ma su una
delle sue parti lavora una forza esterna, la gravità. Per calcolarne il cui lavoro utilizziamo
la variazione di energia potenziale di un sistema ausiliario, quello formato dal bambino e
dal pianeta Terra. Abbiamo:
(
)
Lest = -DUest = - mgy fin - mgyin = 1001J
La variazione di energia cinetica è DK = 425 J come nel caso precedente, perché il
bambino continua ad essere l’unica parte mobile. Viceversa, al sistema così identificato
non può essere associata alcuna energia potenziale perché la sola forza interna che lavori,
l’attrito, è non conservativa:
DK + DEint = Lest

425 J+ DEint = 1001J
che riproduce il risultato precedente DEint = 576 J in quanto l’energia interna della Terra non varia. In assenza di attrito si ha DEint = 0 per cui DK = Lest . Sostituendo:
1
mv 2fin
2
(
2
- 1 mvin
= - mgy fin - mgyin
2
)
che riproduce il valore precedente v fin = 2gyin = 7.67 m/s .
c) Il sistema è formato dal bambino e dalla Terra: in questo caso l’attrito diviene una
forza esterna ma non possiamo calcolarne il lavoro perché ci è ignoto lo spostamento del
suo punto di applicazione, che
d) Il sistema è formato dal solo bambino. Si tratta ancora di un sistema non isolato, su cui
lavorano due forze esterne, una conservativa ed una non conservativa. Ad esso può associarsi la sola energia cinetica del bambino e l’energia interna del bambino quindi:
B
DK + DEint
= Lest = Latt + Lgrav
Questa scelta del sistema non è efficace per risolvere il problema. Infatti, separando la vay1
B
riazione di energia interna del bambino DEint
da quella della rampa dello scivolo, non
y*
possiamo più ricavare questa quantità. Per risolvere l’equazione così impostata occorrerebbe calcolare Latt , e questo non è possibile non essendo noto lo spostamento del punto
3.00 m/s
1y
2 1
di applicazione della forza di attrito lungo lo scivolo.
65. Da un’altezza y1 = 2.50 m (quota dei baricentri) sono lasciati cadere un blocco di fer-
ro di massa m f = 3.30 kg ed una palla di massa m p = 0.300 kg . Il blocco si arresta al
0
contatto col suolo, mentre la palla risale fino ad una quota y* < y1 . Si calcolino: (a) La variazione di energia interna DEint del sistema ”pianeta Terra – blocco di ferro” che la caduta comporta; (b) Il valore di y* e la variazione di energia interna DEint del sistema
“pianeta Terra – palla” sapendo che nella fase di risalita, quando la quota della palla vale
1
y , la
2 1
2.80m
1.30m
sua velocità è 3.00 m/s .
[R: DEint = 80.9 J , DEint = 2.33 J , y* = 1.71 m ]
66. Lungo un piano inclinato, un blocco di massa m = 4.50 kg comprime di un tratto
Dx = 0.350 m una molla di costante elastica k = 4.00 N/m . La molla è rilasciata, ed il
blocco si stacca da essa nell’istante in cui raggiunge la sua lunghezza di riposo. Sapendo
che, quando il blocco si ferma, la sua quota del suo baricentro è passata da y1 = 1.30 m
a y1 = 2.80 m , calcolare l’incremento di energia interna del sistema “blocco – molla –
piano inclinato” causato dall’ attrito fra le due parti.
h

F
[R: DEint = 4.10 J ]
67. Sulle montagne russe, un vagoncino inizialmente fermo di massa m = 40.0 kg viene
spinto per un tratto di rotaia lungo Ds = 10.0 m da una forza di 400 N parallela alle ro-
202
taie, che lo porta in un punto più in alto di h = 5.00 m . Sapendo che, per vincere gli attriti, sul mozzo delle ruote è dissipato il 15% del lavoro, si calcoli la velocità del vagone nella posizione più in alto e l’incremento di energia interna del vagone. [R: 600 J, 8.48 m/s ]
w
R
68. A un cilindro di M = 20.0 kg e raggio R = 1.50 m , capace di ruotare attorno al suo
asse centrale, posto orizzontalmente, viene avvolta una fune ideale. Al capo della fune è
appesa una piccola massa m = 1.20 kg . Quando la massa è scesa di un tratto
h
m
h = 4.00 m , la velocità angolare del cilindro è w = 1.10 rad/s . Calcolare la variazione di
energia interna del sistema formato dal cilindro, fune e massa.
[R: 31.8 J ]
69. Una sfera di raggio R = 4.00 m e massa m = 60.0 kg si trova in rotazione alla velo-
cità angolare w = 24.0 rad/s . Calcolare l’incremento complessivo di energia interna prodotto da un meccanismo di frenamento dentro la sfera che riduce la velocità angolare ad
w
[R: 9.83 ´104 J ]
un terzo del valore.
11. Energia nel cibo e nei carburanti
Al livello degli oggetti, è possibile accumulare riserve in forma di energia potenziale,
da rilasciare in seguito grazie ad opportune reazioni chimiche, come la combustione dei
carburanti, o i processi di digestione e assimilazione del cibo. Analizziamo l’esempio di
un uomo che solleva un peso da terra cambiando la prospettiva della nostra osservazione.
Includiamo l’uomo all’interno del sistema che desideriamo studiare. L’azione che esercitano i suoi muscoli è ora interna, pertanto la conservazione dell’energia impone:
DE = Lest = 0
Infatti, non ci sono più forze che dall’esterno compiono lavoro sul sistema. Il contenuto
energetico adesso comprende anche le riserve accumulate attraverso il cibo nel corpo
dell’uomo. Quando i muscoli si contraggono o si distendono, compiendo del lavoro
sull’ambiente, attingono all’energia che l’organismo rende disponibile per mezzo di reazioni chimiche. Una reazione chimica è solo un’altra delle vie tramite cui si manifesta
l’interazione elettrica fra atomi e molecole. Senza entrare nel dettaglio di ciò che effettivamente avviene, diremo che un certo quantitativo di energia potenziale chimica risulta immagazzinato nel sistema, e la sua variazione andrà senz’altro inserita nel primo membro della
legge di conservazione dell’energia, che diviene:
DK + DU grav + DU chim = 0
Poiché l’oggetto sollevato è fermo all’inizio ed alla fine si ha DK = 0 , il che significa che
l’energia potenziale uscita dal “serbatoio chimico” è pari a quella entrata nel “serbatoio
gravitazionale” del sistema:
DU chim = -DU grav = -(0 - mgy ) = mgy
Un’ analoga trattazione vale per l’energia chimica fornita dai carburanti tramite reazioni
come la combustione della benzina. Quando un’auto accelera, da ferma fino a una velocità v , la variazione dell’ energia potenziale chimica della benzina va inserita nel membro
di sinistra quando applichiamo la legge di conservazione dell’energia. Tenendo presente
203
 La Controfisica
Carburanti e cibo, pur essendo stoccaggi energetici al livello molecolare,
non possono essere considerati energia
interna per due motivi. Primo perché
riguardano reazioni sulla scala degli
oggetti. Secondo perché l’energia
interna si riferisce al contenuto energetico disordinato ed indistinto che
nasce dal moto di agitazione termica, e
si ripartisce equamente fra le componenti potenziali e cinetiche, e non è
questo il caso.
che nel processo il motore si riscalda per attrito, modificando così anche la sua energia
interna, possiamo scrivere:
0 - mv ) + DU
(
2
1
2
chim
+ DEint = Lest = 0
DK
Se le gomme non slittano, infatti, si ha Lest = 0 ( il lavoro esterno dell’attrito fra le gomme l’asfalto è nullo, visto che il punto di contatto, diverso in ogni istante, resta fermo).
Esercizi
70. Un uomo di massa m = 70.0 kg , partendo da fermo, sale una rampa di scale alta
4.00 m , e quando arriva in cima la sua velocità è 0.450 m/s . Quanta dell’energia potenziale chimica, accumulata tramite gli alimenti ingeriti, ha consumato?
Risolviamo il problema con due differenti scelte per il sistema
a) Il sistema è costituito dall’uomo e dalla Terra. Si tratta di un sistema isolato, in quanto
la forza d’attrito statico che si esercita fra gli scalini e le scarpe dell’uomo permettendogli
di salire, non compie lavoro mantenendo fisso il punto di applicazione durante il contatto.
Abbiamo pertanto Lest = 0 . L’uomo è fermo all’inizio ed alla fine della scala, per cui
DK = 0 . E’ pure DEint = 0 giacché non vi sono motivi per cui la temperatura del si-
stema debba variare apprezzabilmente nel processo. Dobbiamo invece considerare sia la
variazione di energia potenziale gravitazionale della coppia uomo-Terra, sia quella delle
reazioni chimiche all’interno dell’uomo:
DK + DU chim + DU grav = Lest = 0
æ1
ç mv 2fin èç 2
2
1
mvin
2
(
)
ö÷
+ DU chim + mgy fin - mgyin = 0
ø÷
2
DU chim = - 1 mv fin
- mgy fin =
2
(
)(
2
) (
)(
)(
)
= - 1 70.0 kg 0.450 m/s - 70.0 kg 9.81 m/s 2 4.00 m = -2754 J
2
b) Il sistema è costituito solo dall’uomo.
Su di esso lavora la gravità, che ora è una forza esterna, quindi:
DK + DU chim = Lest
abbiamo: v Lest = -DUest = - (mgy fin - mgyin ) ,
da cui lo stesso risultato precedente:
2
DU chim = - 1 mv fin
- mgy fin = -2754 J .
2
71. Un’automobile di massa m = 1200 kg , partendo da ferma, sale sulla cima di una collina alta 800 m , e quando arriva in cima la sua velocità è 12.0 m/s . Trascurando le interazioni con l’aria ed il terreno, calcolare l’incremento di energia interna dell’auto sapendo
che ha consumato 1.50 di benzina, il cui contenuto di energia potenziale chimica è
34 ´ 106 J / .
[R: 41 ´ 106 J ]
204
m
12. Energia potenziale gravitazionale

Ds = rA - rB
Abbiamo visto come il lavoro della forza peso possa essere espresso dalla formula
L = mg (yin - y fin ) . Sappiamo però che la forza peso è un’approssimazione che esprime la forza dovuta alla gravità solo sulla superficie del pianeta stesso, e che quando
ci allontaniamo dal pianeta, l’intensità di questa forza non può più ritenersi costante

ma viene regolata dalla legge |F |= Gm1m2 /r 2 . Cerchiamo ora un’espressione gene-
rA
rB
rale per il lavoro che sia valida anche in questo caso.
Come possiamo calcolare il lavoro della forza gravitazionale?
Consideriamo una massa m che si sposti nello spazio circostante un pianeta di massa M , da una distanza rA dal centro del pianeta, ad una distanza rB come in figura.
Il calcolo del lavoro LAB della forza gravitazionale è più complesso rispetto a quello svolto per la forza peso: a rendere difficili i conti è il fatto che la forza gravitazionale varia di intensità lungo la traiettoria. Nella formula per il calcolo del lavoro
lungo un tratto rettilineo:


L = |F | | Ds | cos a

possiamo sostituire | Ds |= rA - rB e cos a = 1 ( a = 0 in quanto sia la forza che lo
spostamento sono diretti verso il centro del pianeta). Però non sappiamo cosa mette
re al posto di |F | giacché l’intensità della gravitazione cambia lungo lo spostamento.
Infatti, la sua espressione GMm /r 2 contiene il valore di r che varia da rA ad rB . Se
sostituissimo nella formula il valore minimo GMm /rA2 assunto dalla forza otterremmo un lavoro troppo piccolo, e se viceversa sostituissimo il massimo della forza
GMm /rB2 , avremmo un lavoro troppo grande, cioè:
GMm
rA2
(rA - rB ) < LAB <
GMm
rB2
(rA - rB )
Useremo allora un valore intermedio approssimato, ponendo al posto di r 2 il prodotto delle distanze massima e minima (quadrato della media geometrica):
M
 La Controfisica
Potremmo pensare di approssimare la
distanza radiale r con la media aritmetica degli estremi: (rA+rB)/2, ma dovendo approssimare il valore del quadrato di r, la media geometrica degli
estremi dell’intervallo, √rArB , risulta
più accurata (come si conferma giungendo allo stesso risultato tramite
l’uso del calcolo integrale). La il valore
di r medio così ottenuto, non è esattamente a metà strada ma un po’ più
vicino al minore dei due valori.. Infatti
la media geometrica di due numeri è
sempre più piccola della loro media
aritmetica. Questo è dimostrabile se si
riportano rA ed rB di seguito su un
segmento e si traccia la circonferenza
che ha tale segmento come diametro.
La media aritmetica (MA) è il raggio
della circonferenza, mentre, per il secondo teorema di Euclide, la media
geometrica (MG) è l’altezza relativa
all’ipotenusa del triangolo rettangolo
inscritto, di cui rA ed rB sono proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. Si vede
allora bene che MA>MG in quanto
ipotenusa del triangolo rettangolo
piccolo, di cui MG è cateto.
r 2  rArB
il risultato sarà tanto migliore quanto più le due posizioni sono vicine. Sostituendo:
LAB
æ r
rB
ç A
GMm
=
(rA - rB ) = GMm ççç
çç r r
rArB
è A B rA rB
ö÷
æ1
1 ö÷
÷
ç
÷÷÷ = GMm çç - ÷÷÷
çè rB rA ÷ø
÷÷ø
Questa formula può essere applicata anche al caso di due posizioni molto distanti fra
loro, semplicemente suddividendo la traiettoria fra rA ed rB in piccoli spostamenti,
prima da rA ad r1 , poi da r1 ad r2 , eccetera, così brevi da poter applicare a ciascuno
il risultato trovato prima. Si ottiene una serie di addendi della forma 1/r ciascuno
prima sommato e poi sottratto, in modo che dopo le semplificazioni rimangono solo i
valori iniziale e finale:
æ
ö
ç1
1
1
1
1
1
...
1÷
LAB = GMm çç - +
+
+
+ ÷÷÷
çç r
rA
r2
r1
r3
r2
... rB ÷÷ø
è 1
Quanto vale l‘energia potenziale gravitazionale di un sistema di due masse?
Nei problemi di gravitazione, si usa come posizione di riferimento per l’energia potenziale quella in cui le masse sono a distanza infinita le une dalle altre. In questa condi205
MG
MA
 
rB
rA
zione, infatti, le masse non si influenzano più con la gravità ed è quindi naturale assumere nulla l’energia potenziale gravitazionale. Questa scelta comporta che l’energia
potenziale gravitazionale sarà sempre negativa, perché il lavoro che fa la gravità quando
due o più masse sono prese e separate fino a distanza infinita, è sempre resistente.
Dalla formula del lavoro sopra ricavata, si ottiene l’energia potenziale U A di un sistema formato da massa m a distanza rA dal centro del pianeta M , sostituendo un
valore infinito alla distanza di arrivo, cioè rB  ¥ :
æ1
1 ö÷
GMm
U A = LA¥ = GMm ççç - ÷÷ = ÷
çç¥
÷
rA ø
rA
è
Come si vede, il valore negativo dell’energia potenziale indica che durante lo spostamento di m all’infinito la forza dovuta alla gravità compie lavoro resistente.
Esercizi
72. Calcolare l’energia potenziale gravitazionale di un meteorite di massa
m = 800 kg che si trovi a passare ad un’altezza di 3000 km dalla superficie terrestre.
Dobbiamo innanzitutto calcolare la distanza r del meteorite dal centro della Terra,
ricordando che RT = 6370 km :
r = RT + 3000 km = 9370 km
e quindi l’energia potenziale gravitazionale risulta:
-11
24
æ
ö
GMT m
ç 6.67 ´ 10 ´ 5.98 ´ 10 ´ 800 ÷÷
10
U == - çç
÷
÷÷ J = -3.41 ´ 10 J
çè
r
9.370 ´ 106
ø
73. Un satellite di m = 2.50 ´ 103 kg deve essere portato dalla superficie della Terra
ad un’orbita distante 2000 km dalla superficie. Calcolare il lavoro fatto dalla gravità
durante il trasferimento. Questo lavoro coincide, a parte il segno, con l’energia che
devono fornite i razzi per mandare il satellite in orbita?
[R: -0.38 ´ 1011 J, no ]
Quanto vale l’energia di un satellite in orbita circolare?
Sappiamo che un satellite può occupare un’orbita circolare di raggio R solo se si

muove alla velocità | v | = GM /R . La sua energia totale sarà data dalla somma di
quella potenziale e di quella cinetica, quindi:
E =U + K = -

GMm 1
GMm 1 GM
1 GMm
+ m |v | 2 = + m
=R
R
R
2
2
2 R
cioè nel moto orbitale risulta K = - 1 U ed E = 1 U = -K .
2
2
E’ possibile per un corpo sfuggire all’attrazione di pianeta?

Abbiamo studiato a suo tempo il problema dell’altezza massima h = |v | 2 /2g rag
giunta, in assenza di aria, da un oggetto lanciato verticalmente con velocità v . Come
si vede, maggiore è la velocità, più alta la quota massima toccata. Ebbene, per ogni
pianeta di massa M , è possibile determinare un valore di velocità così elevato che il
corpo a cui viene impresso non torna più indietro ma sfugge all’attrazione gravitazionale. Possiamo calcolare tale valore in modo analogo a come abbiamo ottenuto
l’altezza massima h raggiunta lanciando un oggetto sulla superficie terrestre, cioè
imponendo che la velocità si annulli a quella quota. Analogamente il valore minimo
di velocità che rende possibile sfuggire del tutto al pianeta sarà quello che la gravità
annulla non in un tratto finito di altezza h , ma in un percorso di lunghezza infinita.
Applicando la conservazione dell’energia fra l’istante A in cui il corpo viene lanciato
e quello B in cui si trova a distanza infinita risulta:
206
E =U + K = -
GMm 1  2
GMm 1 
+ m vA = + m vB
rA
rB
2
2
2

ed essendo rA = RT = 6370 km , rB  ¥ e vB = 0 si ha:
-

GMm 1  2
GMm
+ m vA = + 0  vA =
RT
2
¥
2GM
RT
Il valore così trovato viene detto velocità di fuga ed è la stessa per tutti gli oggetti, indipendentemente dalla massa. Essa non dipende nemmeno dal fatto che il proiettile
venga lanciato verticalmente oppure ad un certo angolo rispetto al terreno, infatti
quando avrà raggiunto distanza infinita, il pianeta potrà considerarsi un punto, rendendo ininfluente l’inclinazione iniziale. Cambiando prospettiva, la conservazione
dell’energia può essere applicata in maniera analoga anche ad un corpo che parte da
fermo da una distanza infinita, pertanto questo toccherà la superficie del pianeta
proprio alla velocità di fuga. Come si vede sostituendo nell’espressione di
E = U + K , per un corpo che sia alla velocità di fuga l’energia complessiva risulta nulla.
Esercizi
74. Calcolare la velocità di fuga dalla Terra.
Sostituendo i valori MT = 5.983 ´ 1024 kg , RT = 6.370 ´ 106 m si ottiene:
vF =
2GMT
RT
=
2 ´ 6.67 ´ 10-11 ´ 5.983 ´ 1024 m
= 1.12 ´ 104 m/s = 11.2 km/s
6
s
6.370 ´ 10
Si tratta di una velocità ampiamente supersonica: accelerare nell’atmosfera un corpo
fino alla velocità di fuga lo danneggerebbe per l’impatto con l’aria ed il riscaldamento. Si preferisce allora portare prima la navicella che deve lasciare la Terra prima su
di un’orbita bassa, a una quota sopra ai 160km e velocità orbitale 8km/s e poi da lì, in
assenza di aria, farle raggiungere la velocità di fuga.
75. Calcolare la velocità di fuga dalla Terra per una navicella che si trovi in orbita a
quota 800 km.
[R: 10.6 km/s ]
76. Una sonda spaziale di massa m = 300 kg deve lasciare la Terra spinta dai motori

di un razzo che esercitano una forza costante di |F | = 7.50 ´105 N . Calcolare
l’altezza h a cui possono essere spenti i motori, e l’energia da fornire alla sonda.
[R: 24.3 km,1.82 ´ 1010 J ]
77. Un meteorite di massa m = 120 kg che proviene da grandissima distanza, si
schianta sulla superficie della Luna ( M L =
1
M
81 T
, RL = 1.74 ´ 106 m ). Si calcoli: (1)
l’energia potenziale gravitazionale del meteorite al momento dell’impatto, (2) il valore minimo di energia cinetica che perde nell’impatto. [R: -3.40 ´ 108 J, +3.40 ´ 108 J ]
78. Calcolare la velocità di fuga dal Sole nella posizione della Terra sapendo che il
raggio dell’orbita terrestre è rT = 150 ´ 106 km ed in quella di Marte, sapendo che il
raggio dell’orbita di Marte è rM = 228 ´ 106 km .
[R: 42.0 km/s, 34.0 km/s ]
79. La cometa ISON nel novembre 2013 è passata alla distanza minima di 1.10 milioni
di chilometri dalla superficie del Sole (M S = 1.99 ´ 1030 kg, RSole = 7.00 ´ 108 m)
provenendo dall’infinito, e descrivendo un’orbita aperta. Stimare la sua velocità nel
punto di minima distanza dal Sole.
[R: 384 km/s ]
207
MTerra = 5.983 ´ 1024 kg
RTerra = 6.370 ´ 106 m
M Sole = 1.99 ´ 1030 kg
RSole = 7.00 ´ 108 m
Che segno ha l’energia di un corpo a velocità superiore o inferiore a quella di fuga?
È la conservazione dell’energia ad imporre che un corpo dotato di velocità di fuga
abbia energia meccanica totale nulla, perché risulta nulla l’energia a distanza infinita
(dove energia potenziale e cinetica sono zero). Quindi si ha E = U + K = 0 sia
quando è appena partito dalla superficie terrestre, sia in qualsiasi posizione intermedia. Un corpo con velocità inferiore a quella di fuga sarà sempre legato dalla gravità al pianeta, e la sua energia totale risulta negativa, viceversa se la velocità è superiore a quella di fuga, l’energia è nel complesso positiva. Se quindi un meteorite
giunge in prossimità della Terra con energia totale positiva, viene certo deviato dalla
sua traiettoria originale dall’attrazione del pianeta, ma non si schianta sulla superficie terrestre. Se viceversa l’energia è negativa, il meteorite viene catturato, e a seconda della velocità potrà cadere sul pianeta od orbitarvi intorno.
MS
Esercizi
80. Due sonde spaziali uguali vengono lanciate dalla Terra, la prima puntando in
direzione del Sole, mentre la seconda dev’essere fatta uscire dal sistema solare. Indicando con R il raggio medio dell’orbita terrestre ed M S la massa del Sole, e trascu-
rando l’attrazione della Terra, si confrontino le energie minime che devono essere
fornite alle sonde dai razzi dei due motori.
La sonda possiede la velocità orbitale della Terra di intensità v0 = GM S /R : per
farla cadere sul Sole bisognerà annullare tale velocità accendendo i razzi in verso
contrario al moto, fintanto che non si azzera l’energia cinetica. I razzi dei motori devono quindi diminuire del 100% la velocità della sonda e cioè sottrarle un’energia
cinetica
1
mv02
2
. Nel secondo caso si devono realizzare le condizioni minime di fuga
dal Sole, che corrispondono a rendere nulla o positiva l’energia totale della sonda
alla distanza R dal Sole a cui si trova, dove al momento è negativa. Questo è ottenuto se i razzi fanno raggiungere alla sonda una velocità d’intensità v tale che:
GmM S
GM S
1
³ 0  v2 ³ 2
 v 2 ³ 2v02  v ³ 2v0
mv 2 R
R
2
La via più economica a tale obiettivo è sfruttare la velocità orbitale già posseduta,
cioè far spingere i razzi nella stessa direzione del moto. In tale modo, per arrivare alle condizioni di fuga si dovrà aggiungere alla velocità orbitale solo la differenza:
v - v0 = 2v0 - v0 = ( 2 - 1)v0
che corrisponde ad incrementare la velocità del 41% (infatti
nire un’energia cinetica supplementare pari a:
1
m[(
2
2 - 1 = 0.41 ) ed a for-
2 - 1)v 0 ]2 = 1 m(3 - 2 2)v 02
2
Considerato che 3 - 2 2 = 0.17 , si conclude che mandare una sonda fuori dal sistema solare richiede cambiare la sua energia cinetica di una frazione che è solo il 17%
di quella che serve per farla cadere sul Sole. Quindi, per tutte le nostre sonde, che
ovviamente partono orbitando con la Terra, il Sole risulta il posto di più difficile accessibilità del sistema solare.
81. Calcolare la distanza massima dalla superficie della Terra che può raggiungere
una sonda di massa m = 1.30 ´ 104 kg , che parta dalla superficie del pianeta ad un
terzo della velocità di fuga, e l’energia posseduta da essa a metà del tragitto.
[R: 7.96 ´ 105 m, -7.24 ´ 1011 J ]
82. Una sonda spaziale di massa m = 1.40 ´ 104 kg , in orbita attorno alla Terra ad
un’altezza di 600 km dal suolo, dev’essere portata ad un’altezza di 800 km . Calcolare il lavoro che devono eseguire i razzi dei motori per realizzare il trasferimento.
[R: 1.12 ´ 1010 J ]
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