Le derivate in Fisica

Le derivate in Fisica
Definizione di derivata di una funzione
Sia f  x :a , b ℝ con a , b⊂ℝ e sia x ∈a , b se attribuiamo ad x un
incremento  x in modo tale che  x  x  ∈a ,b  allora  y = f  x x − f  x 
rappresenta l'incremento corrispondente subito dalla f  x  . Si definisce derivata di
f  x  rispetto ad
x il limite per
lim  x  0
 x  0 del rapporto incrementale
y
cioè:
x
y
f  x  x − f  x  d f  x 
=lim  x  0
≡
≡D x f  x =[ f  x ]' .
dx
x
x
La derivata è il rapporto tra l'incremento infinitesimo dy=df  x  subito da
a causa dell'incremento infinitesimo dx avuto da x .
Le quantità df  x  e dx prendono il nome di differenziale di f  x  e di x
rispettivamente.
f x
1. La velocità è la derivata dello spazio rispetto al tempo infatti è sufficiente
sostituire f  x  con S t  e si ottiene:


S
S t t − 
S t  d 
S t
V t=lim t  0
=lim  x  0
≡
≡Dt 
S t
t
t
dt
Se consideriamo il grafico della equazione oraria nel piano cartesiano S t  , t la
velocità del corpo in questine è, in ogni istante, data dal coefficiente angolare
della retta tangente all' equazione oraria nell' istante considerato. I punti di
massimo e/o di minimo relativo di S t  sono punti nei quali il corpo inverte il
suo moto e conseguentemente la sua velocità è zero in quanto la tangente alla
curva S t  è parallela all'asse delle ascisse cioè all'asse dei tempi.
2. Analogamente la accelerazione è la derivata della velocità rispetto al tempo
infatti è sufficiente sostituire S t  con V t e si ottiene:
a t=lim t  0


V
V t t−V t d V t 
 t 
=lim  x  0
≡
≡D t V
t
t
dt
3. Esempio moto rettilineo uniformemente accelerato:
1 2 

S t = 
a t  V 0 t  S0
2
d
S t
V t≡
≡Dt 
S t=a tV 0
dt
a≡

d V t 
 t =
≡D t V
a
dt
Nel caso di moto nel piano si ha:
a≡


d V t 
d t
 t = dV t  V
≡D t V

n
dt
dt
dt

dove il primo termine rappresenta la componente tangenziale della velocità ed il
secondo quella radiale in quanto, come ricorderete,
 V = V parallelo V perpendicolare =V   t n  V  ,
e passando al differenziale si ha
d V =d V parallelod V perpendicolare=V d  t  n d V  .
4. Esempio moto armonico:

S t = A cos t
dove A rappresenta l'ampiezza del moto armonico
V t=− 
A sin  t

a t=− 
A  2 cos t 
Osservazione importante Se S = S t fosse una qualsiasi funzione del tempo
per determinare velocità ed accelerazione del corpo in funzione del tempo e
quindi in qualsivoglia istante, si devono calcolare rispettivamente la derivata
prima e seconda di S = S t rispetto al tempo.
5. Alla luce di quanto sopra possiamo scrivere la seconda legge della dinamica nel
seguente modo:
 = d p t  ≡D t p t dove, in generale,
F
dt
p t=mt V t .
L' espressione di cui sopra ha una validità più generale della usuale F =m a in
quanto essa può essere applicata anche al caso in cui la massa del corpo non sia
costante ad esempio è utile nello studio del moto dei razzi. Come vedremo,
inoltre, sarà questa la formulazione del II principio della dinamica che si dovrà
adottare nell'ambito della teoria dell relatività ristretta.
6. La potenza è la derivata del lavoro rispetto al tempo:
P t =lim t 0
L
L t t −Lt  d Lt 
=lim  x  0
≡
≡D t Lt 
dt
t
t
o più in generale la derivata dell'energia rispetto al tempo:
P t =
d t
≡Dt tt 
dt
7. Il potenziale elettrico e il potenziale gravitazionale sono la derivata
dell'energia potenziale elettrica e dell'energia potenziale gravitazionale rispetto
alla carica ed alla massa rispettivamente:
V q=lim q 0
U
U q q−U  q d U q
=limq  0
≡
≡Dq U q
dq
q
q
V m=lim m  0
U
U m m−U m d U m
=lim m  0
≡
≡D m U  m
dm
m
m
8. Il campo elettrico generato da una carica puntiforme in quiete è uguale a
meno la derivata del potenziale elettrico rispetto al raggio
E r =−lim r  0
V
V r  r −V r 
d V r 
=−lim r  0
≡−
≡−D r V  r 
dr
r
r
 
q
d
q
infatti : E r =k 2 =− d r k r
r
9. Il campo gravitazionale generato da una massa in quiete è uguale a meno la
derivata del potenziale gravitazionale rispetto al raggio
g r =−lim  r  0
V
V r  r −V r 
d V r
=−lim r  0
≡−
≡−D r V  r 
dr
r
r
 
m
d
m
infatti : g r =G 2 =− d r G r
r
10.La corrente elettrica è la derivata della carica rispetto al tempo:
I t=limt  0
Q
Q t t−Q t d Qt 
=lim  x  0
≡
≡ Dt Qt 
dt
t
t
etc, etc ........................................
In conclusione possiamo affermare che tutte le volte che una grandezza è definita
come il rapporto di due quantità infinitesime si ha a che fare con una derivata.
Le grandezze in questione possono essere fisiche, chimiche, economiche..........
Esercizi
Esercizio
Un corpo di massa m=5 Kg si muove di moto rettilineo secondo la legge oraria
1
S t = t 33 t 2 2t−1 dove
2
S è espresso in metri e t in secondi . Dopo aver studiato
il tipo di moto a cui è soggetto il corpo determina la sua energia cinetica e la sua potenza
dopo un tempo t=3 s .
Suggerimento
1 3
2
Si deve fare lo studio della funzione S t = 2 t 3 t 2t−1 ricordando che in ogni
istante V t=
d
S t 
≡Dt 
S t . Il problema è semplificato dal fatto che, come viene
dt
detto, trattarsi di moto rettilineo.
Esercizio
Su di un conduttore la carica elettrica varia nel tempo secondo la relazione:
Qt =3  1−exp−2t  dove Q è espressa in Coulomb e t in secondi .
Determina : la carica iniziale, il tempo necessario perché la carica sul conduttore sia il
10% della carica iniziale, la corrente che fluisce nel conduttore e la potenza dissipata in
funzione del tempo sapendo che la resistenza del conduttore è R=7 K  .
Con quale dispositivo si può generare una corrente del genere?