28/10 - Eurekamat

Problemi di introduzione alle funzioni
1. Un negozio noleggia biciclette applicando la seguente tariffa:
• una quota fissa di 1 euro da versare al momento del noleggio;
• una quota variabile in base alla durata del noleggio (2 euro all’ora) da versare al momento della restituzione della
bicicletta.
Il negozio affitta le biciclette a ore. Esprimi il costo complessivo del noleggio in funzione del numero x di ore. Qual è
il dominio della funzione che resta cosı̀ definita, in relazione al problema? Traccia il grafico della funzione.
2. Ai piedi della montagna c’è una temperatura di 19 ◦ C. Salendo, la temperatura cala di 1 ◦ C ogni 200 m. Esprimi la
temperatura in funzione della quota x e traccia un grafico della funzione. A che quota la temperatura scende a 0 ◦ C?
3. In un torneo sportivo ogni squadra incontra esattamente una volta ciascuna delle altre squadre. Supponi che al torneo
partecipino n squadre. Esprimi il numero di partite giocate complessivamente in funzione di n. Traccia il grafico della
funzione.
4. Indica con n il numero di lati di un poligono. Esprimi in funzione di n il numero delle diagonali del poligono. Traccia
il grafico della funzione.
5. Un cerchio il cui raggio misura r è inscritto in un quadrato.
(a) Esprimi l’area del quadrato in funzione di r. Traccia il grafico della funzione.
(b) Esprimi il perimetro del quadrato come funzione di r. Traccia il grafico della funzione.
6. Un rettangolo non degenere, la cui altezza misura x, è inscritto in un semicerchio il cui raggio misura 2.
(a) Esprimi l’area del rettangolo in funzione di x.
(b) Esprimi il perimetro del rettangolo in funzione di x.
7. Un oggetto è in vendita ad un prezzo di 80 euro. Il suo prezzo viene scontato dell’x%. Esprimi in funzione di x il prezzo
dell’oggetto scontato e traccia un grafico della funzione. Che sconto deve essere applicato perchè il prezzo raggiunga i
30 euro?
8. Un contadino deve costruire, con un filo spinato, un recinto quadrato di lato x. Il costo del filo spinato, al metro, è di
2 euro. Inoltre il contadino deve pagare 1 euro per ogni metro quadro di terreno recintato. Esprimi, in funzione di x:
(a) il costo del filo spinato;
(b) il costo del terreno recintato;
(c) il costo totale del recinto.
Il contadino spende di più per comprare il filo spinato o per il terreno?
9. Un triangolo acutangolo non degenere ABC, isoscele sulla base AB=2x, è inscritto in una circonferenza di raggio 1.
Esprimi, in funzione di x, l’area del triangolo e stabilisci qual è il dominio della funzione che resta cosı̀ definita, in
relazione al problema geometrico.
10. Ripeti l’esercizio precedente nel caso in cui il triangolo sia ottusangolo.
11. Un cilindro non degenere, il cui raggio di base misura x, è inscritto in un cono il cui raggio di base misura r e la cui
altezza misura h. Esprimi, in funzione di x, il volume del cilindro e stabilisci qual è il dominio della funzione che resta
cosı̀ definita, in relazione al problema geometrico. Traccia il grafico della funzione, dopo aver posto r = h = 4.
12. I lati di un quadrato di lato 1 vengono prolungati di una lunghezza x. Esprimi in funzione di x l’aumento del perimetro
e l’aumento dell’area del quadrato, e traccia il grafico delle due funzioni.
13. Ai quattro angoli di un quadrato di cartone il cui lato misura x si ritagliano quattro quadrati il cui lato misura 4. Il
cartone restante viene ripiegato in modo da formare una scatola senza coperchio. Esprimi in funzione di x il volume
della scatola e stabilisci qual è il dominio della funzione che resta cosı̀ definita, in relazione al problema geometrico.
Traccia il grafico della funzione.
14. Per il noleggio di un’automobile, una compagnia di noleggio applica una tariffa in base al numero di giorni.
• 25 euro al giorno fino al settimo giorno;
• 15 euro al giorno dall’ottavo giorno in poi.
La compagnia affitta le auto a giorni. Esprimi il costo complessivo del noleggio in funzione del numero x di giorni.
Qual è il dominio della funzione che resta cosı̀ definita, in relazione al problema? Traccia il grafico della funzione.
15. Spedire un pacco per posta ha un costo che dipende dal peso del pacco:
• Se il pacco pesa meno di 5 kg, si paga un costo fisso di 1 euro più 1 euro al kg.
• Se il pacco pesa più di 5 kg, ma meno di 20 kg, si paga un costo fisso di 6 euro più 0,50 euro al kg.
• Se il pacco pesa più di 20 kg, si paga un costo fisso di 16 euro.
Esprimi il costo complessivo in funzione del peso x del pacco. Quanto devo pagare se il pacco pesa 16 kg?
16. Marco vuole iscriversi in palestra. La palestra A costa 50 euro di iscrizione, più 10 euro all’ora. La palestra B chiede
80 euro di iscrizione, più 8 euro di iscrizione. Traccia il grafico delle due funzioni. Determina in che caso conviene
iscriversi alla palestra A, e in che caso conviene iscriversi alla palestra B. Quando pagherà Marco, nelle due palestre,
se le utilizza per 10 ore?
17. Si sa che i grilli friniscono più rapidamente quando la temperatura è più alta: sono stati ascoltati 11 chirps al minuto
a 6◦ C, 29 a 8◦ C, 47 a 10◦ C, 75 a 15◦ C e 107 a 20◦ C. La relazione temperatura-numero di chirps è lineare? In quanti
◦
C possiamo stimare la temperatura se i grilli friniscono 120 volte al minuto?
18. Il costo del pedaggio di un’autostrada è costituito da una quota fissa di 50 centesimi, più 10 centesimi per ogni 2 km
di strada percorsi. Traccia il grafico della funzione. Se si sono spesi 2 euro, quanti km sono stati percorsi?
19. Si vuole costruire un recinto rettangolare utilizzando un filo metallico di 10 m. Detta x la parte di filo destinata a
formare una delle due basi del recinto, determinare l’area racchiusa dal recinto in funzione di x. Qual è il dominio della
funzione? In che caso l’area è massima?
20. Nel rettangolo ABCD, la base AB è il doppio dell’altezza. Esprimi in funzione della misura della base il perimetro e
l’area del rettangolo, e traccia il grafico delle due funzioni.
21. Nel rettangolo ABCD, la base AB supera l’altezza di 1 m. Esprimi in funzione della misura della base il perimetro e
l’area del rettangolo, e traccia il grafico delle due funzioni.
22. Per costruire due aiuole, una di forma quadrata e una di forma circolare, viene utilizzato un filo metallico di 10 m.
Detta x la parte di filo destinata a delimitare l’aiuola circolare, determinare l’area racchiusa dalle due aiuole in funzione
di x. In che caso l’area è massima?
23. Un’azienda necessita di un prestito (per 1 anno) e deve valutare le seguenti due proposte:
• Banca A: costi fissi = 1200 euro; interessi = 4,5 % sulla somma prestata;
• Banca A: costi fissi = 800 euro; interessi = 5 % sulla somma prestata;
Se sia più conveniente il piano A o il piano B dipende dalla quantità di denaro richiesta. Sapresti fare un’analisi
comparativa con l’aiuto di un grafico?
24. Un innaffiatoio da 10 litri viene riempito, all’alba del giorno 0, fino all’orlo. L’innaffiatoio viene utilizzato dalla signora
Pina, che ogni mattina innaffia le sue begonie con 25 cl di acqua al giorno, e dalla signora Franca, che ogni sera innaffia
le sue piante grasse con 10 cl di acqua al giorno. Esprimi quanta acqua rimane nell’innaffiatoio alla sera dell’x-esimo
giorno. Dopo quanti giorni finisce l’acqua dell’innaffiatoio? E chi la finisce, Pina o Franca?
25. Per misurare la temperatura si può utilizzare, in alternativa alla scala Celsius, un’altra scala detta Fahreneit. Sapendo
che 0 ◦ C corrispondono a 32 ◦ F, e che 100 ◦ C corrispondono a 212 ◦ F, determina una funzione che permetta di convertire
una temperatura espressa in ◦ C in gradi Fahreneit.
26. Affittare un’auto per un giorno ha un corsto dato da un importo fisso più una cifra per ogni km percorso. Se lunedı̀ ho
pagato 39 euro facendo 26 km di strada, e martedı̀ 41,5 euro per 46 km, quant’è la tariffa fissa? E qual è la funzione
lineare che lega i km fatti al costo del noleggio?
27. Una vasca contiene 1000 litri d’acqua, ma viene praticato in essa un foro dal quale fuoriescono 0,4 litri ogni secondo.
Scrivi la formula che esprime il numero di litri presenti nella vasca dopo t secondi dall’apertura del foro. Quanti litri
conterrà la vasca dopo un quarto d’ora? Quanti secondi devono passare affinchè il contenuto della vasca dimezzi?