Magnetismo nella Materia

Proprietà magnetiche della
materia
February 14, 2014
Paola Giacconi
1
Spira percorsa da corrente
Consideriamo una piccola spira circolare di raggio r percorsa da una corrente
I immersa in un campo magnetico non uniforme generato, ad esempio, da
un solenoide, vedi figura 1.
Per semplicità ipotizziamo che il campo B = (Br , 0, Bz ) sia simmetrico
rispetto all’asse z in modo tale che Br abbia lo stesso valore in ogni punto
della spira, che la componente Bz del campo diminuisca con la quota e che sia
1
nulla la sua componente azimutale. Determiniamo la forza F = (Fr , 0, Fz )
alla quale la spira è soggetta, dove con Fr si intende la componente di F
lungo il raggio della spira e con Fz la componente di F lungo l’asse z mentre
la componente azimutale della forza è nulla. Quindi, se la corrente nella spira
gira in senso antiorario, si avrà, nel sistema cgs
I
dl × B
c
I
I
dFr = dl Bz =⇒ Fr = 2πr Bz
c
c
I
I
dFz = dl Br =⇒ Fz = 2πr Br
c
c
(1.1)
dF =
f orza def ormante
(1.2)
f orza verso il basso
(1.3)
La spira percorsa di corrente, in questo caso, è quindi attratta verso zone
di campo magnetico più intenso.
Ora, ricordando che Φ(B)s.c. = 0, esprimiamo Br in funzione di Bz . A
questo scopo prendiamo in considerazione una superficie chiusa a forma di
cilindro circolare retto di altezza dz e raggio r uguale al raggio della spira
in modo tale che la superficie di base del cilindro sia parallela alla superficie
della spira e tangente all’asse della spira stessa. Si avrà quindi
Φ(B)s.c. = Φ(B)basi + Φ(B)sup. laterali
= πr2 [Bz (z + dz) − Bz (z)] + 2π r Br dz = 0 ,
(1.4)
e quindi
r
Br = −
2
Bz (z + dz) − Bz (z)
dz
r
=−
2
dBz (z)
dz
;
(1.5)
il segno meno ci dice che Br aumenta se Bz0 < 0, cioè se Bz diminuisce,
mentre diminuisce se Bz aumenta. Sostituendo l’espressione ottenuta per
Br , eq. (1.5), nella eq. (1.3) otteniamo:
dBz (z) πIr2
dBz (z)
~
ẑ
Fz = −
−
ẑ = − µ (1.6)
c
dz
dz dove µ ≡ (πIr2 /c) è il modulo del momento magnetico orbitale della spira,
la cui direzione è perpendicolare alla spira stessa ed il verso è stabilito con
la regola della mano destra seguendo con le dita il verso della corrente in
modo che il pollice indichi quello del momento. Le dimensioni del momento
magetico nel sistema cgs − gauss sono [µ] = gauss · cm3 . Più in generale,
sapendo che l’energia magnetica di una spira di momento magnetico µ in un
campo esterno B è U = − µ · B si ha
F = −∇U = ∇( µ · B)
2
(1.7)
In conclusione dalla eq. (1.6) o dalla sua espressione più generale eq. (1.7),
si evince, come risulta chiaro anche dalla figura 1, che:
1. quando µ è parallelo a B la forza è diretta verso zone di campo
magnetico crescente
2. quando µ è parallelo a −B la forza è diretta verso zone di campo
magnetico decrescente .
2
Magnetismo nella materia: fenomenologia
Supponiamo ora di porre diversi materiali all’interno del campo magnetico
generato dal solenoide di cui al paragrafo precedente e di misurare la forza
alla quale tali materiali sono soggetti. Si osserva che:
1. generalmente si nota la presenza di una forza che si annulla quando si
interrompe la corrente che circola nel solenoide;
2. la forza è massima non quando il campione è collocato al centro della
bobina dove il campo magnetico Bz è massimo, ma quando il campione
è posto agli estremi del solenoide stesso dove è elevato il gradiente di
Bz . In altre parole, come nel caso della spira percorsa da corrente,
anche in questo caso la forza dipende dalla variazione di Bz ;
3. per alcune sostanze la forza è repulsiva, per altre debolmente attrattiva e per altre ancora fortemente attrattiva.
Si dicono:
1. diamagnetiche quelle sostanze che vengono debolmente respinte
verso regioni dove il campo magnetico è meno intenso. Sono diamagnetici la maggior parte dei composti inorganici e praticamente
tutti i composti organici. L’ elemento maggiormente diamagnetico
è il Bismuto Bi il cui valore della suscettività magnetica è χBi =
−1700 × 10−7 , mentre per il Rame e per l’Argento si hanno rispettivamente i seguenti valori della suscettività magnetica χCu = −100 × 10−7
e χAg = −190 × 10−7 .
2. paramagnetiche quelle sostanze che vengono attratte verso regioni
dove il campo magnetico è più intenso. Sono debolmente paramagnetici
i metalli alcalini (paramagnetismo di Pauli dovuto agli elettroni liberi
che si muovono nel reticolo cristallino) mentre presentano un paramagnetismo più intenso i sali quali il nitrato di zolfo e il cluroro di rame
3
(N iSO4 , CuCl2 ) ed alcuni metalli come il Platino P l la cui suscettività
magnetica è χP l = 3600 × 10−7 e l’ Alluminio Al con χAl = 220 × 10−7 .
3. ferromagnetiche quelle sostanze che vengono fortemente attratte
verso regioni dove il campo magnetico è più intenso. Sono ferromagnetici cinque elementi della tavola periodica degli elementi: il Ferro
(magnetite) F e, il Nichel N i, il Cobalto Co, il Disprosium Dy ed il
Gadolinium Gd. Gli ultimi due elementi fanno parte del gruppo VI
delle Terre rare. Le sostanze ferromagnetiche hanno un comportamento
paramagnetico al di sopra di una determinata temperatura, detta temperatura critica o temperatura di Curie1 Tc , mentre diventano dei magneti permanenti per T < Tc . In altre parole, per temperature inferiori alla temperatura critica le sostanze ferromagnetiche compiono una
transizione di fase di II specie, cioè una transizione di fase senza scambio di calore, diventando dei magneti permanenti. (Le transizioni di
fase solido–liquido o liquido–vapore sono transizioni di fase di I specie
in quanto avvengono con scambio di calore).
Qui di seguito sono riportati i valori della temperatura critica Tc e della
temperatura di fusione Tf di alcune sostanze ferromagnetiche:
3
• Ferro
Tf = 1808o K ,
Tc = 1043o K,
• Nichel
Tf = 1726o K ,
Tc = 631o K,
• Cobalto
Tf = 1768o K ,
Tc = 1295o K.
Modello di Bohr per il diamagnetismo
Il diamagnetismo può essere spiegato in maniera completamente soddisfacente
solo facendo riferimento alla meccanica quantistica. Tuttavia è possibile
cogliere la natura del fenomeno facendo riferimento al modello atomico di
Bhor, storicamente noto come vecchia teoria dei quanti, che ha avuto un
ruolo fondamentale nello sviluppo della moderna meccanica quantistica.
Facciamo quindi le seguenti assunzioni:
1
Maria Sklodowska Curie nata il 7 novembre 1867 a Varsavia da una famiglia della
piccola nobiltà polacca. Premio Nobel per la Fisica e la Chimica. La madre era cattolica
osservante ma alla sua morte Maria perse ogni fede religosa e rimase atea per tutta la
sua vita. Insegnante di Scienze con una grande passione per la Fisica, nel 1891 salı̀ su
un vagone di IV classe con 40 rubli in tasca (una somma che le avrebbe garantito la
sopravvivenza per al massimo un mese) diretta a Parigi a studiare Fisica. Lı̀ incontrò il
compagno della sua vita Pierre Curie. Questa celebre coppia di scienziati dette alla luce
Irène, anch’ella premio nobel per la Fisica.
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1. supponiamo di aver generato un campo magnetico esterno non uniforme
tutto diretto lungo l’asse z : B = (0, 0, Bz ),
2. supponiamo che gli elettroni ruotino in orbite stazionarie di raggio r
attorno ai nuclei. Durante il moto non vi è quindi emissione di energia2 :
la materia è stabile (ipotesi ad hoc di Bohr).
Supponiamo ancora che le orbite degli elettroni attorno al nucleo siano circolari e T sia il periodo dell’orbita in modo tale che, in assenza di campo
magnetico esterno, ci sia equilibrio tra la forza coulombiana e la forza centrifuga
e2
= m ω02 r .
2
r
(3.1)
L’atomo può quindi essere assimilato ad una spira percorsa da una corrente
I con
I=
eω0
e
=
,
T
2π
(3.2)
dove con e abbiamo indicato la carica elettronica e con ω0 la velocità angolare
dell’elettrone, cambiata di segno, in assenza di campo magnetico esterno, in
modo tale da tenere conto del fatto che la corrente fluisce in verso opposto
rispetto al moto dell’elettrone nella sua orbita stazionaria attorno al nucleo.
Accendiamo ora il campo B = (0, 0, Bz ), l’elettrone, in moto orario (I in
senso antiorario), subirà la forza di Lorentz
F =
e
v×B
c
(3.3)
che, in questo caso, risulterà parallela alla forza centrifuga (vedi figura 2).
La condizione di equilibrio stabilita dall’equazione (3.1) impone, in questo
caso, che la velocità angolare dell’ elettrone diminuisca di una quantità ∆ω
in modo tale che:
e
ω r B = 2 m r ω ∆ω
c
(3.4)
da cui
∆ω =
eB
2mc
f requenza di Larmor .
2
(3.5)
L’energia emessa per unità di tempo per irraggiamento da una particella carica ac2e2 2
celerata con accelerazione a è dE
dt = 3c3 a dove e è la carica elettronica e c la velocità
della luce.
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La velocità angolare finale dell’ elettrone sarà quindi
ω = ω0 − ∆ω .
(3.6)
Supponiamo ora che il moto dell’elettrone avvenga in senso antiorario (I in
senso orario): in questo secondo caso la forza di Lorentz risulterà antiparallela alla forza centrifuga (vedi figura 3) e quindi la condizione di equilibrio,
data dall’ eq. (3.1), impone che la velocità angolare dell’elettrone aumenti
della quantità ∆ω data ancora dall’eq. (3.5).
Pertanto, in questo secondo caso, la velocità angolare finale dell’ elettrone
sarà
ω = ω0 + ∆ω .
(3.7)
Le due equazioni (3.6)–(3.7) ci dicono che la variazione di velocità angolare,
eq. (3.5), produrrà una variazione del momento magnetico sempre antiparallela al campo magnetico esterno, qualsiasi sia il verso di rotazione
dell’elettrone nella sua obita attorno al nucleo. Infatti, quando l’elettrone
ruota in senso orario e quindi la corrente in senso antiorario, vi sarà
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una diminuzione di velocità angolare e quindi un momento magnetico
indotto che punta verso l’asse z negativo mentre invece, quando l’elettrone
ruota in senso antiorario e quindi la corrente in senso orario, vi sarà un
aumento di velocità angolare e quindi di nuovo un momento magnetico
indotto che punta sempre verso l’asse z negativo. Quindi, in entrambi i
casi, il momento magnetico indotto risulta opposto al campo magnetico esterno . La variazione del momento magnetico è data da:
∆µ = −
e2 B 2
πr2
∆I ẑ = −
r
c
4mc2
momento magnetico indotto
(3.8)
È importante osservare che il risultato ottenuto non dipende dal tipo di forza
che tiene l’elettrone legato all’atomo ma solamente dall’ ipotesi che l’orbita
sia stazionaria cioè che r non varii. Questo fatto rende i risultati ottenuti
molto generali anche se attualmente essi sono basati su di un modello atomico costruito ad hoc. Naturalmente tutto ciò vale a patto che ∆ω/ω 1. In
sintesi, l’effetto che l’applicazione di un campo magnetico B produce sulle
orbite degli elettroni si può rappresentare in questi termini: ogni elettrone
continua a ruotare su di un’orbita di raggio costante, ma la sua velocità angolare (± ω0 ) subisce un incremento ∆ω dato dall’ equazione (3.5). Questo
incremento della velocità angolare dipende solamente dall’intensità del campo
applicato e dal rapporto carica/massa. Nel semplice modello sopra discusso
7
abbiamo considerato solo l’ orbita di un elettrone che ruoti su di un piano
perpendicolare al campo magnetico se volessimo tenenere conto del contributo di tutti gli elettroni dovremmo fare una media su r e sull’ angolo tra il
piano dell’orbita e la direzione di B, il risultato per il momento magnetico
indotto sarebbe quindi
e2 B 2
hr i
momento magnetico indotto totale (3.9)
6mc2
dove n è il numero di elettroni per grammo di materiale.
Proviamo ora a dare una stima di questo effetto, nel caso di un campo
magnetico abbastanza intenso3 . Il numero n di elettroni per grammo è circa
lo stesso di quello che si ha in una sostanza di peso atomico 2 e il raggio è il
raggio atomico caratteristico:
∆µtotale = −n
n ∼ 3 × 1023 g −1
r ∼ 0, 5 × 10−8 cm
B ∼ 20 × 103 gauss
∆µtotale ∼ 70 × 10−3 gauss · cm3
∂B
∼ 19 × 102 gauss/cm
se
∂z
∂B
allora
Ftotale = ∆µtotale
∼ 13 dine .
∂z
Il valore ottenuto è in buon accordo con i valori sperimentali, la forza risultante, decisamente debole, dà ragione del fatto che il diamagnetismo è
un fenomeno poco appariscente effettivamente rilevabile solo per quelle
sostanze con momento magnetico intrinseco nullo. Il diamagnetismo
anomalo della grafite è dovuto ad una struttura interna particolare che consente a taluni elettroni di circolare piuttosto liberamente all’interno di un
gruppo di atomi del reticolo cristallino.
È utile introdurre un nuovo vettore m, magnetizzazione, definito come il
rapporto tra il momento magnetico totale ed il volume, nonchè la suscettività
magnetica χm
µ
≡ χm B ,
(3.10)
m≡
V
ues
[m] = [B] =
= gauss ,
cm2
χm
grandezza adimensionale .
Per le sostanze diamagnetiche χm < 0.
3
L’intensità del campo magnetico terrestre varia la sua intensità dall’equatore ai poli
da un valore di 0,2 gauss ad un valore di 0,7 gauss
8
4
Paramagnetismo
Anche il paramagnetismo può essere spiegato in maniera completamente soddisfacente solo facendo riferimento alla meccanica quantistica, in quanto esso
è dovuto alla quantizzazione del momento angolare dell’atomo. Tuttavia
è possibile darne una pittura intuitiva assimilando il momento magnetico
orbitale dell’elettrone a quello di una spira percorsa da corrente e quello intrinseco a quello di un ago magnetico. Il momento angolare totale è la somma
del momento angolare orbitale L e del momento angolare intrinseco di spin
S. Si ha quindi:
L = r × p,
p = mv,
(4.1)
(4.2)
che nel caso di orbita circolare diventa
L = mωr2 .
(4.3)
Tenendo conto dell’ eq. (4.3) e dell’ eq. (3.2) il modulo del momento magnetico orbitale assume quindi la forma
µ=
eL
πr2 I
=
.
c
2mc
(4.4)
L’equazione (4.4) può essere estesa anche al caso in cui il momento angolare
sia quantizzato e l’elettrone e/o l’atomo abbiano un momento angolare di
spin:
µ =
e
(L + 2S) ,
2mc
(4.5)
il fattore 2 è chiamato fattore di Landè (lavoro del 1923).
Fu Ampère ad avanzare l’ipotesi secondo cui i corpi magnetizzati contengono al loro interno minuscole spire nelle quali circola in permanenza della
corrente. Il momento magnetico associato a queste spire è usualmente orientato a caso dando cosı̀ un contributo totale nullo. Quando però viene acceso
un campo magnetico esterno i momenti magnetici tendono ad allinearsi con
il campo esterno, in quanto essi subiscono un momento torcente M = µ × B.
Tali effetti si sommano ed il corpo risulta quindi polarizzato magneticamente
o magnetizzato: per le sostanze paramegnetiche vale ancora l’equazione
(3.10) e si ha χm > 0. Il materiale paramagnetico è quindi attratto verso
zone di campo magnetico crescenti. Oggi sappiamo che l’ipotesi di Ampère è
molto vicina alla moderna descrizione anche se non la rispecchia in dettaglio
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in quanto non dà alcuna spiegazione dello spin. Possiamo quindi affermare
che il comportamento paramagnetico dei materiali è dovuto al momento
magnetico proprio, eq. (4.5), che prevale su quello indotto, eq. (3.9), rendendo cosı̀ non rilevabile per molti materiali il comportamento diamagnetico.
La magnetizzazione usualmente, ha una intensità modesta e scompare
quando il campo magnetico esterno viene spento. Fanno eccezione i materiali ferromagnetici nei quali la magnetizzazione può raggiungere valori elevatissimi mantenendosi tale anche quando il campo magnetico esterno viene
spento.
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Ferromagnetismo
Il ferromagnetismo ha fatto letteralmente scervellare l’uomo per lungo tempo
e la sua completa comprensione, in termini della fisica atomica, non è ancora
del tutto soddisfacente.
Per magnetizzare un peszzo di Traferro si può ad esempio usare un dispositivo
come quello rappresentato in figura 4
Il ferromagnetismo è dovuto solo allo spin (S) dell’ elettrone e non al mo10
mento angolare totale dell’atomo ed è presente solo se la temperatura del
materiale è minore di una determinata temperatura critica caratteristica dell’ elemento in questione. Se T > Tc il materiale si comporta come
un materiale paramagnetico.
Il primo a proporre un modello in grado di spiegare tale comportamento
della materia, introducendo un parametro fenomenologico corrispondente alla
temperatura critica Tc di Curie, fu Weiss 4 : modello di Weiss per il ferromagnetismo. Tale modello non è derivato dai principi primi della fisica atomica
ma è semplicemente basato sull’idea del campo medio molecolare, secondo la
quale il campo magnetico che agisce su un generico atomo è dato dalla somma
del campo magnetico esterno e del campo magnetico molecolare medio creato dagli atomi immediatamente vicini a quello considerato: campo medio
di interazione tra primi vicini.
Per comprendere, almeno a livello qualitativo, le caratteristiche del comportamento forromagnetico è istruttivo studiare l’andamento della magnetizzazione, ad esempio del ferro, in funzione del campo magnetico esterno
applicato: il grafico di tale curva prende il nome di ciclo di isteresi per il ferromagnete. Si veda figura.5 dove la magnetizzazione è indicata con B (per
noi m), campo di induzione magnetica interno al ferromagnete, ed il campo
esterno con H (per noi Bext ) campo magnetico esterno. In fig.4 è mostrato il
circuito usato per magnetizzare due travi di ferro (Traferro).
Inizialmente il ferro non è magnetizzato, m = 0 e Bext = 0. All’aumentare
del campo esterno cresce la magnetizzazione m, ramo O → P della curva. Si
noti come l’andamento sia altamente non lineare, nella fase iniziale a piccoli
incrementi di Bext corrispondano grandi incrementi di m, mentre quando i
valori del campo esterno diventano particolarmente elevati la curva si appiattisce: la magnetizzazione ha ragiunto il suo valore di saturazione (P).
Supponiamo ora di diminuire il campo magnetico esterno fino a spegnerlo, osserviamo che quando Bext = 0 vi è ancora una magnetizzazione residua
(nel grafico punto Q): il nostro pezzo di ferro è diventato un magnete permanente. Se ora invertiamo il verso della corrente nel solenoide in modo
da invertire il segno del campo magnetico, notiamo che la magnetizzazione
continua a rimanere positiva e, seguendo la curva P → R, si inverte passando
per lo zero molto rapidamente. Tutti gli stati tra i due stati di saturazione
P ed R sono altamente instabili, il ferromagnete si posiziona quindi o in P o
in R a seconda del segno del campo magnetico esterno. Se infatti di nuovo si
porta la corrente e quindi il campo esterno a zero, m segue il ramo R → P
della curva raggiungendo ancora il valore positivo di saturazione P. Alternando la corrente nel solenoide tra valori grandi positivi e grandi negativi
4
Pierre Ernest Weiss, fisico francese nato nel 1865 e morto nel 1940
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la curva m − B va avanti e indietro seguendo molto da vicino i due rami
R → P e P → R. Se però B varia in modo arbitrario si ottengono curve più
complicate che in generale giacciono fra le curve P → R e R → P .
È importante osservare che non si può scrivere una relazione tra m e
B del tipo (3.10) in quanto il valore di m in un certo istante dipende non
soltanto dal valore di B in quell’istante ma dall’intera sua storia passata. Il
ciclo di isteresi rappresenta un tipico esempio di fenomeno irreversibile
in cui l’autointerazione svolge un ruolo fondamentale. Per quanto concerne
la suscettività magnetica χm , la relazione che la lega alla magnetizzazione
e al campo magnetico esterno diviene più complicata rispetto all’equazione
(3.10). Possiamo tuttavia affermare che,per le sostanze ferromagnetiche,
χm assume valori grandi positivi quando T < Tc .
La curva di isteresi dipende anche dal tipo di materiale, dalla sua composizione e dai dettagli della sua preparazione.
Cerchiamo ora di comprendere, a livello qualitativo, perchè in un ferromagnete un piccolo campo esterno produce una grande magnetizzazione.
L’idea essenziale è che in presenza di un campo esterno i magneti atomici tendono ad allinearsi con il campo, ma a tale allineamento si oppone
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l’agitazione termica. Per le sostanze paramagnetiche, o per T > TC , l’effetto
globale è quindi una debole magnetizzazione mentre per i ferromagneti, a
causa della loro struttura atomica, per T < TC gli elettroni degli atomi risultano talmente vicini da produrre un effetto cooperativo di allineamento che
rappresenta, per il metallo, la configurazione stabile di minima energia.
Il meccanismo per cui si raggiunge tale minimo di energia è estremamente delicato e dipende dalla distanza interatomica e dalle caratteristiche
cristallografiche del metallo.
In questa sede non entreremo nei dettagli, ma ne daremo una descrizione
qualitativa descrivendo il ciclo di isteresi di figura 5. Le forti interazioni
tra gli elettroni degli atomi (interazione primi vicini) generano, all’ interno
del cristallo ferromagnetico stesso, delle regioni dette domini di Weiss, di
dimensione del micron e contenenti 1011 /1017 atomi, nelle quali esiste, al di
sotto della temperatura critica, una magnetizzazione spontanea che tende ad
allineare tutti gli spin.
In assenza di campo esterno ogni dominio ha una diversa orientazione del
vettore di magnetizzazione e quindi la magnetizzazione totale del materiale
risulta mediamente nulla.
Accendendo il campo magnetico esterno, i diversi domini, compatibilmente con la struttura cristallografica del materiale, tendono ad orientarsi
parallelamente al campo magnetico esterno. All’aumentare del campo aumenta il numero di domini allineati fino a che tutto il blocco di materiale
non diventa un unico dominio con tutti gli spin allineati al campo esterno.
Un’ ulteriore aumento del campo non può produrre un aumento di magnetizzazione: il materiale ha raggiunto la saturazione (P) ed il minimo della
sua energia interna.
Il processo di magnetizzazione non è reversibile in quanto, spegnendo il
campo magnetico esterno, risulta energeticamente favorita, causa l’interazione
tra dominii adiacenti (domain walls interaction) una configurazione interna
di parziale orientamento dei dominii. A questo proposito è importante osservare che invertendo il campo magnetico esterno la magnetizzazione non
si inverte istantaneamente in quanto, per rompere l’ordine raggiunto con i
dominii parzialmente allineati (campo esterno nullo), è neccessario fornire al
ferromagnete un’ energia di soglia attraverso il campo magnetico esterno (in
figura Hc ) che nella fattispecie prende il nome di campo coercitivo. Il campo
coercitivo innesca il meccanismo di inversione della magnetizzazione fino a
fare raggiungere al materiale la saturazione opposta (R) ed un nuovo minimo
dell’energia interna.
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