testo e soluzione del compitino del 12/06/2013

Prova scritta di Fisica Generale I
Corso di Laurea in Astronomia
– 16 giugno 2013
Problema 1
Un cubo di lato l = 20 cm è immerso per metà della sua altezza in un recipiente pieno di
acqua (ρH2 O = 1000 kg/m3 ), trattenuto da un filo ideale che esercita una tensione pari a
T = 40 N.
1. Si calcolino la densità e la massa del cubo.
Successivamente viene aperto un piccolo foro sulla parete laterale del recipiente, vicino al
fondo, e l’acqua comincia a defluire. Sapendo che il recipiente è anch’esso cubico, con lato
h = 1 m, che la superficie libera dell’acqua raggiunge inizialmente il livello h/2, e che il filo
può sopportare una tensione massima Tmax = 80 N prima di spezzarsi, si calcolino:
2. la velocità di efflusso dell’acqua nel momento in cui il filo si spezza (si assuma trascurabile la sezione del foro rispetto a quella del recipiente);
3. l’altezza di equilibrio del centro di massa del cubo zCM , rispetto al fondo del recipiente,
supponendo che al momento in cui avviene la rottura il foro venga nuovamente tappato,
e l’acqua smetta di fuoriuscire dal recipiente.
Si assuma per l’accelerazione di gravità il valore approssimato g = 10 m/s2 .
Soluzione
1. Indichiamo con V il volume totale del cubo, e con V 0 il volume della parte immersa.
Le forze agenti sul cubo, tutte orientate lungo l’asse verticale z, sono la forza peso
F~p , diretta verso il basso, la spinta di Archimede F~A , diretta verso l’alto, e la tensione
del filo T~ , anch’essa diretta verso l’alto. La condizione di equilibrio statico impone
pertanto:
Fp − FA − T = 0 ,
(1)
⇒ ρV g − ρH2 O V 0 g = T .
(2)
(3)
Risolvendo per ρ si trova ρ = 1000 kg/m3 . Il cubo ha quindi la stessa densità
dell’acqua. La massa è m = ρV = 8 kg.
1
2. Dal valore della massa ricavato al punto precedente, e assumendo g = 10 m/s2 , si vede
subito che il peso del cubo è Fp = 80 N, esattamente pari alla tensione limite che il
filo può sopportare. Pertanto il filo si spezza nell’istante in cui il cubo fuoriesce completamente dalla superficie dell’acqua. Lo stesso risultato si può facilmente ottenere
dalla condizione di equilibrio già vista al punto precedente,
ρV g − ρH2 O V 0 g = T ,
(4)
prendendo per T la tensione limite T = 80 N e risolvendo per il volume immerso
V 0 in questa configurazione. Essendo ρV g = T = 80 si vede immediatamente che il
filo si spezza per V 0 = 0. Il cubo emerge completamente quando la superficie libera
dell’acqua è scesa di l/2 = 10 cm, e si trova pertanto a un’altezza x = h/2 − l/2 = 40
cm rispetto al fondo del recipiente. Trascurando la sezione del foro ripetto a quella
del recipiente, la velocità di efflusso è data dal teorema di Torricelli:
ve =
q
2gx = 2.8m/s
(5)
3. In assenza del filo, dato che la densità del cubo è uguale a quella dell’acqua, si ha
equilibrio quando il cubo è completamente immerso con la faccia superiore allo stesso
livello della superficie libera (di nuovo è facile verificarlo risolvendo la (4) con T = 0,
ρ = ρH2 O , e trovando V 0 = V ). Come visto al punto precedente, il filo si rompe
quando la superficie libera dell’acqua è a x = 40 cm dal fondo. Successivamente il
cubo affonda nell’acqua, alzando il livello della superficie libera. Il volume d’acqua si
conserva, pertanto, se indichiamo con x0 il livello finale, deve valere:
h2 x = h2 x0 − Vcubo = h2 x0 − l3 ,
(6)
dove h indica il lato del recipiente e l il lato del cubo. Per il livello della superficie
libera si trova quindi x0 = 0.408 m. Il centro di massa del cubo all’equilibrio sarà
pertanto a xCM = x0 − l/2 = 30.8 cm dal fondo.
Problema 2
Un recipiente rigido di forma cilindrica, raggio R = 10 cm e altezza H = 10 cm, contiene
n1 = 0.1 moli di un gas ideale monoatomico alla temperatura T1i = 300 K. All’interno di
questo primo recipiente viene inserito un secondo contenitore cilindrico di raggio r = R/2
e altezza h = H/2, chiuso ad una estremità da un pistone mobile, contenente n2 = 0.01
moli dello stesso gas alla temperatura T2i = 350 K. Le pareti di entrambi i recipienti sono
perfettamente adiabatiche, di spessore trascurabile e il pistone è inizialmente bloccato.
2
1. Si calcolino le pressioni del gas nei due recipienti nello stato iniziale.
Una volta sbloccato il pistone, il gas nel recipiente interno subisce una compressione fino
al raggiungimento di uno stato di equilibrio, in corrispondenza del quale la temperatura del
gas vale T2 = 400 K. Si calcolino:
2. la temperatura finale del gas nel recipiente esterno;
3. la pressione di equilibrio;
4. la variazione di entropia del gas in entrambi i recipienti nel passaggio dallo stato iniziale
allo stato di equilibrio
Si assuma per la costante dei gas il valore R = 8.31 J mol/K.
Nota: si tenga sempre presente che, detto Vext il volume del cilindro esterno, il gas non
occupa il volume V1 = Vext , a causa della presenza del cilindro interno.
Soluzione
1. Dall’equazione di stato. Chiamiamo Vext il volume complessivo del cilindro esterno, V1
il volume occupato dal gas nel recipiente esterno, e V2 il volume del recipiente interno.
Per cui V1 = Vext − V2
pi1 (Vext − V2 ) = nRT1i
pi2 V2i = nRT2i .
(7)
(8)
Risolvendo per le pressioni si trova pi1 = 0.9 · 105 Pa = 0.9 bar e p2 = 0.75 · 105 Pa
= 0.75 bar.
2. Entrambi i gas hanno compiuto trasformazioni adiabatiche (irreversibili). In una
generica trasformazione adiabatica vale (primo principio) W = −∆U . Inolre il lavoro scambiato dal gas in un recipiente è uguale in modulo e opposto in segno al
lavoro scambiato dal gas nell’altro:
W1 = −n1 CV ∆T1
(9)
W2 = −n2 CV ∆T2
(10)
W1 = −W2
(11)
da cui:
T1 = T1i −
n2
(T2 − T2i ) = 295K
n1
3
(12)
3. All’equilibrio le pressioni nei due recipienti sono uguali, p1 = p2 = p. Per cui, indicando
con V1 e V2 i volumi occupati dal gas nei due recipienti all’equilibrio, abbiamo:
pV1 = n1 RT1
(13)
pV2 = n2 RT2
(14)
V1 + V2 = Vext .
(15)
Sommando le prime due equazioni, e risolvendo per p, si trova quindi
p=
(n1 T1 + n2 T2 )R
= 0.88 bar
Vext
(16)
4. Usando, ad esempio, la seguente espressione per la variazione di entropia di un gas
ideale,
Tf
∆S = nCP log
Ti
pf
− nR log
pi
si trova ∆S1 = −1.0 · 10−2 J/K e ∆S2 = +1.5 · 10−2 J/K
4
!
,
(17)