Veri ca moti complessi
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Veri ca moti complessi
Verica moti complessi 27 novembre 2015 1. Un satellite ruota attorno alla Terra su un'orbita circolare MT = 5, 97 · 1024 kg a un'altezza di 10.000 km. Quanto vale la sua velocità angolare ed orbitale? 2. A quale altezza deve trovarsi un satellite per essere venere-stazionario (rimanere sempre sopra lo stesso punto della supercie del Venere MV = 4, 87 × 1024 kg, RV = 12.104 km, TV = 243 giorni)? 3. Come si rapportano le velocità angolari e tangenziali di due satelliti a diverse altezze? 4. La massa di Giove è MG = 1, 9 × 1027 kg, il raggio equatoriale RG = 71.492 km, il periodo di rivoluzione T = 12 anni. Il raggio dell'orbita della Terra attorno al Sole RT,orb = 149.598.000 Km. Calcolare l'accelerazione di gravià sulla supercie di Giove ed il raggio della sua orbita Msole = 1, 99 × 1030 kg. 5. Un cannone spara un proiettile con inclinazione di 300 e con la velocità 120 m/sec. Quanto tempo impiega il proiettile a toccare terra? Quale è l'altezza massima e la gittata raggiunta? Quanto tempo impiega per raggiungere l'altezza massima? 6. Un aereo vola con la velocità 400 km/h ad una quota di 2000 m e lancia un carico su un punto preciso sulla terra. Da che distanza dal bersaglio deve sganciare il carico? Dopo quanto tempo passa sopra il bersaglio? Quanto è la velocità di arrivo (disegnare le velocità nel punto di arrivo)? 7. Su una piattaforma rotante a 60 giri/min è posta una pallina a una distanza dal centro di 10 cm; 30 cm; 50 cm. Quanto valgono le velocità angolari e tangenziali della pallina? Tracciare il graco della velocità tangenziale in funzione della distanza dal centro. Che graco si ottiene? Soluzioni 1. La condizione di stare in orbita è determinata dalla III 0 legge di Keplero ω 2 r3 = G M dove r = R + h rappresenta la distanza dal centro del pianeta. Dunque, da questa formula si ricava la velocità angolare √ ω= √ ω= GM (R + h) 3 6, 67 × 10−11 N m/kg2 5, 97 · 1024 kg 3 (26, 4 × 106 m) √ 6, 67 · 5, 97 1 −6 −1 × 10 sec × 10−11 × 1024 × 10−6 ω= 26, 4 26, 4 √ 1 ω= × 10−6 sec−1 15, 2 × 106 = 1, 5 × 10−4 sec−1 26, 4 La velocità tangenziale è vt ≡ ω (R + h) = 1, 5 × 10−4 sec−1 26, 4 × 106 m = 39, 6 × 102 m/sec ≈ 14.300 km/h Il periodo di una rotazione T = 2π/ω = 6, 28/1, 5 × 10−4 sec−1 = 4, 2 × 104 sec = 11, 6 h 2. La soluzione per la condizione di stazionarietà si ottiene dalla formula ( R+h= ( h+R= G MV TV2 4π 2 ( )1/3 = 6, 67 × 10−11 N m2 /kg2 4, 87 × 1024 kg (243 × 24 × 3600 sec) 2 )1/3 2 4 (3, 14) 6, 67 × 10−11 N m2 /kg2 4, 87 × 1024 kg (243 × 24 × 3600 sec) 4 (3, 14) 2 )1/3 2 h = 1, 5 × 109 m − 0, 012 × 109 m ≈ 1, 5 × 109 m Si vede che l'altezza è molto grande causa piccola velocità angolare del Venere ω = 3 × 10−7 sec−1 . 3. Prendiamo due satelliti ad altezze h1 e h2 con h2 ≥ h1 . La III 0 legge di Keplero da 2 = (3, 6) 1/3 × 109 m ω12 r13 = ω22 r23 ω12 r3 = 23 2 ω2 r1 ( )3/2 r2 ω1 = ω2 r1 ( )1/2 v1,t r2 = v2,t r1 Si vede che sia la velocità angolare sia quella tangenziale diminuiscono con aumento di altezza. Questo risultato lo aronteremo nel capitolo sulla conservazione di energia e momento angolare. 4. L'accelerazione di gravità su Giove è data dalla formula g= g= G MG 2 RG 6, 67 × 10−11 N m2 /kg2 1, 9 × 1027 kg 2 (71, 5 × 106 m) ≈ 23 m/sec2 mentre il raggio dell'orbita si calcola dalla III 0 legge di Keplero, confrontandolo con il raggio dell'orbita della Terra R3 RT3 = G 2 TT TG2 ( RG = RT ( RG = RT TG2 TT2 )1/3 122 anni2 12 anni2 )1/3 = 5, 24 RT ≈ 79 × 107 m dove per il raggio dell'orbita terrestre abbiamo usato RT = 15 × 107 m = 1 U.A. 5. Il moto parabolico di un proiettile è descritto dalla formula y= v0,y g 2 x− 2 x v0,x 2 v0,x 3 la massima gittata si ottiene imponendo y = 0 (si trova a terra) √ 3 v0 = 103, 9 m/sec 2 v0 = v0 sin 300 = = 60 m/sec 2 2 2 (120 m/sec) 2 v0,y v0,x = sin 300 cos 300 = g 9, 81 m/sec2 √ 2 3 (120 m/sec) = = 1271, 23? m 2 × 9, 81 m/sec2 ( ) 2 v0,y 602 m2 /sec2 = = = 183, 5 m 2g 2 · 9, 81 m/sec2 2 v0,y 2 × 60 m/sec = = = 12, 23 sec g 9, 81 m/sec2 tx = max = 6, 12 sec 2 v0,x = v0 cos 300 = v0,y xmax xmax hmax txmax thmax 6. Il tempo necessario per colpire il bersaglio è lo stesso che impiega per arrivare a terra dall'altezza iniziale h0 . Questo tempo è th = √ 2 h0 /g = √ 2 × 2000 m/9, 81 m/sec2 = 20, 2 sec Nello stesso tempo percorre lungo asse x la distanza x = vx t = 111 m/sec · 20, 2 sec = 2242, 2 m questa è la distanza dalla quale deve sganciare il carico. Passa sopra il punto di arrivo nel tempo t = 20, 2 sec. La velocità nale è la somma vettoriale di vx = 111 m/sec e la velocità raggiunta durante la caduta vy = g t √ √ 2 2 2 2 v = vx + g t = 1112 + (9, 81 × 20, 2) m/sec = 227 m/sec ≈ 818 km/h 7. Le velocità angolari non dipendono dalla distanza dal centro di rotazione e sono uguali per tutte tre posizioni. Se la piattaforma fa n giri in un tempo t, il suo periodo sarà T = t/n. In questo caso T = 60 sec/60 = 1 sec e la velocità angolare è ω = 2π/T = 6, 28/1 sec = 6, 28 sec−1 le velocità tangenziali sono v1 = ω · r1 = 6, 28 sec−1 · 0, 1 m = 0, 628 m/sec v2 = ω · r2 = 6, 28 sec−1 · 0, 3 m = 1, 884 m/sec v1 = ω · r3 = 6, 28 sec−1 · 0, 5 m = 3, 14 m/sec La dipendenza della velocità tangenziale dal raggio è lineare ed il graco è una retta. 4