1 Definizione formale di gioco in forma estesa.

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Definizione formale di gioco in forma estesa.
Una game form in forma estesa, finita, è:
- un insieme finito N (assumeremo N = {1, ..., n})
- un albero finito T = (V, L) con radice v̄ ∈ V.
(Dove: V è un insieme finito. Gli elementi di V sono detti vertici o nodi, ed
L ⊆ P2 (V ) = insieme dei sottoinsiemi con 2 elementi di V. Gli elementi di
L sono detti lati o rami).
Un albero finito T è un grafo non orientato finito (V, L) che è connesso e
privo di cicli semplici. Una n-pla di elementi di V, (v1 , ....vn ) si dice catena
o cammino se {vi , vi+1 } ∈ L ∀i = 1, .., n − 1. Se v1 = vn , diremo che è un
ciclo. Se, inoltre, nessun lato è ripetuto (cioè: {vi , vi+1 } 6= {vk , vk+1 } per
i, k = 1, ...., n − 1, i 6= k) diremo che è un ciclo semplice.
Un grafo non orientato (V, L) è connesso se ∀vi , vj ∈ V, ∃ un cammino di
estremi vi e vj (cioè ∃ un cammino (v1 , ..., vn ) con v1 = vi e vn = vj ).
Indichiamo con Z l’insieme dei nodi terminali.
Diciamo che un nodo vi precede vj se c’è un cammino semplice da v̄ a vj
che ha vi tra i suoi vertici.
Gli elementi di Z sono i vertici che non precedono strettamente alcun vertice
(cioè vi precede vj e vi 6= vj ).
- una funzione etichetta P : V \Z −→ {0, 1, ..., n}
(assegna ad ogni vertice o nodo il “giocatore” cui spetta giocare in tale nodo.
Il “giocatore” 0 è la natura).
- ogni nodo con etichetta in {1, ..., n} ha seconda etichetta in {1, ..., k}.
- una funzione f : Z −→ E (che ad ogni nodo terminale associa un’etichetta che rappresenta un esito finale).
- ogni ramo uscente dal nodo con etichetta 0 ha etichetta in [0, 1]. E tale
che la somma delle etichette sui rami uscenti da un nodo con etichetta 0 è
uguale a 1.
- ogni ramo uscente da un nodo con etichetta in {1, ..., n} ha etichetta tale
che soddisfi alle seguenti condizioni:
A) Siano dati i nodi x, y (non necessariamente distinti) che hanno stessa
etichetta in {1, ..., n} e stessa seconda etichetta. Allora, per ogni ramo
uscente da x ∃! ramo uscente da y che ha la stessa etichetta di x.
B) Se un nodo vi precede strettamente vj , e questi due nodi hanno 1a etichetta uguale allora devono avere 2a etichetta diversa.
C) ∀i ∈ {1, ..., n}, ∀x, y, z ∈ V con prima etichetta i, ∀ ramo con etichetta
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b uscente da x, se y e z hanno uguale tra loro la 2a etichetta, e se y “segue”
x e b (cioè ∃ cammino da v̄ ad y tale che x è un vertice e b è etichetta di un
lato di questo cammino), allora:
∃ nodo w e ramo (con etichetta) c uscente da w tali che
(1) w ha 1a e 2a etichetta identiche ad x.
(2) z “segue” w e c.
(3) l’etichetta b è uguale a c.
Se abbiamo tutto quello elencato all’inizio e le condizioni A) e B),
abbiamo una game form finita in forma estesa.
Se vale anche la condizione C), diciamo che abbiamo una game form a memoria perfetta.
Se poi abbiamo º1 , ...., ºn preordini totali su E, abbiamo un gioco finito
in forma estesa.
Mi limito solo a dire che i giochi per i quali è violata la condizione B)
hanno proprietà strane.
Ecco un esempio:
Esempio 1.1 {di Isbell}
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Esempio 1.2 {Esempi vari di giochi}
Sono omessi tutti i dettagli irrilevanti.
Nell’ultimo albero si ha che quando gioca II, questi non sa se III ha già
giocato oppure no.
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Idea di strategia.
Definizione 2.1 Una strategia per un giocatore i è una applicazione che ad
ogni insieme di informazione del giocatore i associa una delle sue possibili
scelte in quell’insieme di informazione.
Insieme di informazione per il giocatore i : insieme dei nodi con 1a etichetta
i e con 2a etichetta uguale.
Scelte (“mosse”): per ogni nodo di insieme di informazione, abbiamo etichette sui rami uscenti che sono replicate per ogni altro nodo dello stesso
insieme di informazione.
Una mossa consiste nello scegliere una di queste etichette.
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Osservazione fondamentale. Una data n-pla di strategie (un profilo di strategie) determina univocamente una distribuzione di probabilità su Z (ovverossia sugli esiti finali). Se non ci sono mosse della natura, allora determina
un unico elemento di Z.
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Da gioco in forma estesa a gioco in forma strategica.
Il passaggio è ovvio, avendo la nozione di strategia.
Si noti che l’intelligenza dei giocatori rende ragionevole la considerazione
delle strategie. E si può pensare che un giocatore intelligente non abbia
bisogno di guardare al gioco in forma estesa, ma gli basta guardare al gioco
in forma strategica. Ovvero, sceglie la sua strategia dall’inizio!
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Equilibrio di Nash e messa in discussione (SPE).
Dato gioco in forma estesa, con l’idea di strategia lo posso “convertire” in
forma strategica.
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In questo modo abbiamo “già pronta” l’idea di equilibrio di Nash per gioco
in forma estesa: non sarà altro che l’equilibrio di Nash della forma strategica.
Tuttavia.....
Due equilibri di Nash. Ma (B, R) non è credibile!
Quindi non tutti gli equilibri di Nash sono ugualmente attendibili.
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