Viaggio nel mondo dei…

Viaggio nel mondo dei…
frattali !!!
PREMESSA:
Ciao ragazzi, volevo dirvi che siete stati molto bravi a seguire
con tanta attenzione la lezione sui frattali, che era piuttosto
difficile.
Dalle domande che mi avete fatto, durante e dopo, mi sembra
che abbiate capito molte cose, bravi!
Vi scrivo sotto l’indirizzo al quale potete scaricaricare il
programma Xaos, che e’ un sofware libero che dovrebbe
funzionare su qualunque computer:
http://fractalfoundation.org/resources/fractal-software/
Se avete dei problemi potete scrivermi all’indirizzo:
[email protected]
Vi auguro un anno scolastico interessante e divertente, e…
arrivederci al prossimo anno!
Maria Carla
Cosa e’ un frattale ?
I frattali sono figure geometriche, come i rettangoli,
i cerchi, i quadrati; pero’ i frattali hanno proprieta’
speciali che le altre figure non possiedono.
Frattale matematico
super-famoso:
insieme di Mandelbrot.
Proprieta’ strane ?
Si’, per esempio se si fa lo zoom di una figura
frattale si trova la stessa forma…
… all’infinito!
Broccolo:
Dove si trovano i frattali ?
In natura:
foglia di felce
In matematica:
triangolo di Sierpinski
Movie: introduzione 1
QuickTime™ and a
decompressor
are needed to see this picture.
Perche’ ci interessano ?
La maggior parte degli oggetti in natura non ha
la forma di quadrati, triangoli, sfere o coni, ma
di figure geometriche piu’ complicate.
Si da’ il caso che le nuvole NON siano sfere, e le
montagne NON siano coni…
Molti oggetti naturali, come:
felci,
coralli,
coste,
hanno forma frattale.
Movie: introduzione 2
QuickTime™ and a
decompressor
are needed to see this picture.
Inoltre…Euclide…
La geometria che studiamo a scuola su cerchi, quadrati
e triangoli e’ stata organizzata attorno al 300 A.C.
da un matematico greco chiamato Euclide, che
ha scritto 13 libri chiamati ELEMENTI.
… i frattali sono moderni!
La maggior parte della geometria frattale invece e’
molto piu’ recente.
E’ stata organizzata intorno al 1970 dal Professor
Benoit Mandelbrot (1924 - 2010).
Movie sulla matematica classica
Mandelbrot ha detto:
“Il concetto di base che unisce lo studio dei frattali alle
discipline come la biologia e la medicina
parte dalla convinzione di un necessario superamento
della geometria euclidea nella descrizione della
realta’ naturale. Volendo essere molto sintetici, i frattali
servono a trovare una nuova rappresentazione che
parta dall'idea di base che il piccolo in natura non
e’ nient'altro che una copia del grande.”
I ricercatori in matematica, fisica e ingegneria stanno
lavorando tutt’ora sui frattali.
… e inoltre…
Anche se i frattali sono estremamente complicati,
a volte infinitamente complicati…
… alcuni di essi possono essere pero’ estremamente
facili da costruire ! (come vedremo)
… e inoltre ci sono alcune proprieta’ matematiche
semplici riguardo ai frattali che anche noi giovani
studenti siamo in grado di capire!
… e inoltre inoltre…
ci sono diverse applicazioni pratiche dei frattali
nella nostra vita quotidiana, per esempio:
1) In medicina;
2) Nelle antenne;
3) Nei telefoni cellulari;
4) Nelle previsioni del tempo;
5) In alcuni film (che voi probabilmente avete
visto!).
Che strano nome…
… deriva dal latino fractus (rotto, spezzato),
cosi’ come il termine frazione; infatti gli oggetti frattali
sono considerati in matematica oggetti di dimensione
frazionaria (cioe’ non intera).
Su questo concetto torniamo dopo, per ora notiamo che
gli oggetti naturali che hanno forme frattali sono oggetti
molto rugosi, frastagliati, non lisci.
FRATTALI IN MATEMATICA
Curva di Koch
Helge von Koch (1870-1924)
Triangolo di Sierpinski
Waclaw Sierpinski (1882-1969)
Costruiamo la curva di Koch
QuickTime™ and a
GIF decompressor
are needed to see this picture.
… piu’ lentamente…
1) dividiamo un lato del triangolo in tre parti uguali e
rimuoviamo la parte centrale;
2) sostituiamo il pezzo mancante con due pezzi della stessa
lunghezza del pezzo rimosso;
3) facciamo la stessa operazione su tutti i lati del triangolo;
… perimetro che cresce…
Iterazione 0:
lungh = 1 metro
Iterazione 1:
lungh = 4/3 = 1.33 metri
Curva di Koch dopo la prima
iterazione
3 segmenti
lungh segm = 1
12 segmenti
lungh segm = 1/3
… e quindi proseguendo…
…
12 segmenti
lungh segm = 1/3
48 segmenti
lungh segm = 1/9
192 segmenti
lungh segm = 1/81
… calcolo piu’ preciso…
iterazione num
segmenti
0
3
lungh
segm
1m
perimetro
1
4x3 = 12
1/3 m
12/3 = 4 m
2
4x12 = 48
1/9 m
48/9 ~ 5.3 m
3
4x48=192
1/27 m
192/27 ~ 7.1 m
4
4x192=768
1/81 cm 768/81 ~ 9.5 m
3m
Perimetro INFINITO !
Proseguendo la procedura tante tante volte,
il PERIMETRO della curva diventa ENORME,
grande quanto vogliamo, in matematica si dice
INFINITO !
Perimetro infinito, e l’area ?
DOMANDA:
Cosa fa l’AREA racchiusa dalla curva ?
Di solito, quando si aumenta il perimetro di una figura
geometrica aumenta anche la sua area:
Area della curva di Koch:
L’area e’ sempre racchiusa da uno STESSO CERCHIO
che circonda il triangolo di partenza.
Non importa quanto grande diventa il perimetro della
curva, l’area dentro alla curva rimane dentro al cerchio,
quindi e’ piu’ piccola dell’area del cerchio.
E quindi… l’ AREA e’ FINITA!!!
Movie: curva di Koch
Storia su Benoit e le coste
La curva di Koch e’ interessante perche’ e’ simile
ad alcuni frattali che si trovano in natura.
Mandelbrot ha osservato che le rientranze
sempre piu’ fini della curva di Koch sono proprio
quello che ci vuole per descrivere le coste
della Gran Bretagna.
Quanto e’ lunga la costa della
Gran Bretagna ?
…dipende…
Unita’ = 200 km
Lunghezza = 2400 km
Unita’ = 100 km
Lunghezza = 2800 km
Unita’ = 50 km
Lunghezza = 3400 km
…dal tipo di metro che usiamo
per misurare !
RISPOSTA: dipende dal metro con cui facciamo
le misure!
Con un metro che ha solo i DECIMETRI (poco preciso) si perdono
molto particolari, e si ottiene una certa lunghezza del perimetro.
Con um metro che ha anche i CENTIMETRI (piu’ preciso) si
includono piu’ particolari, ed il perimetro risulta piu’ grande.
Se potessimo misurare ogni roccia, ciottolo o granello di sabbia
il perimetro risulterebbe grandissimo!
Movie su misurazione costa
QuickTime™ and a
decompressor
are needed to see this picture.
Quindi la domanda e’ sbagliata!
La domanda piu’ appropriata sarebbe:
QUANTO E’ RUGOSA LA COSTA DELLA
GRAN BRETAGNA ?
Risposta: la diamo tra un poco…
Perche’ le coste sono frattali ?
Le coste sono formate attraverso semplici
processi
ripetitivi, che si ripetono per centinaia di milioni di anni.
L’infrangersi delle onde erode lentamente le linee costiere.
La marea che sale e scende erode allo stesso modo, e fa accumulare
sassolini.
Anche le tempeste giganti erodono e portano sassolini.
La forma delle coste e’ molto piu’ irregolare della forma della
curva di Koch, ma entrambe sono formate in maniere simili,
iterando (cioe’ ripetendo) all’infinito un processo semplice.
Intermezzo: fiocco di neve
I fiocchi di neve crescono espandendosi verso l’esterno dal centro,
e ramificandosi in continuazione. Il processo non e’ uguale a quello
che ci ha portato alla curva di Koch, pero’ sono molto simili !
Costruiamo il triangolo di
Sierpinski
QuickTime™ and a
GIF decompressor
are needed to see this picture.
… piu’ lentamente…
0) disegniamo un triangolo equilatero;
1) disegniamo un triangolo interno unendo i punti di mezzo
dei tre lati del triangolo di partenza;
2) anneriamo il triangolo interno, e’ come se fosse un buco;
3) ripetiamo la stessa operazione su ognuno dei triangoli piu’
piccoli, non anneriti, che abbiamo ottenuto;
4) continuiamo cosi’ all’infinito.
Esempio di frattali in 3D
Curiose proprieta’ dei frattali:
1) Auto-similarita’;
2) Dimensione frazionaria;
3) Formazione per iterazione.
PROPRIETA’ 1:
AUTO-SIMILARITA’
Figure simili in geometria:
DUE figure geometriche sono SIMILI se una di
esse, dopo essere stata ingrandita o rimpicciolita
allo stesso modo in tutte la direzioni, si puo’
sovrapporre all’altra (sono ammesse rotazioni
e riflessioni).
Primi esempi di figure simili:
QUADRATI
RETTANGOLI
TRIANGOLI
Esempi di figure NON simili:
RETTANGOLI
OVALI
TRAPEZI
Altri esempi di figure simili:
Le figure con lo STESSO COLORE sono SIMILI.
Simili o non simili ???
GIRAFFE !!!
DOMANDE PER VOI :
1) DUE CERCHI SONO SEMPRE SIMILI ?
2) DUE QUADRATI SONO SEMPRE SIMILI ?
3) DUE TRIANGOLI EQUILATERI SONO SEMPRE SIMILI ?
4) DUE TRIANGOLI RETTANGOLI SONO SEMPRE SIMILI ?
Figure auto-simili in geometria:
UNA figura geometrica e’ AUTO- SIMILE
se e’ possibile formarne una piu’ grande, simile
a quella di partenza, usando delle copie di
quella di partenza.
Auto-similarita’ in geometria:
il quadrato e’ auto-simile !
trapezio: questo e’ auto-simile,
ma in generale ?
Esempi di figure auto-simili:
ALTRE DOMANDE PER VOI :
1) UN QUADRATO E’ AUTOSIMILE ?
(SI’)
2) UN RETTANGOLO E’ AUTOSIMILE ? (SI’)
3) UN CERCHIO E’ AUTOSIMILE ?
(NO, MAI)
4) UN QUALUNQUE TRIANGOLO E’ AUTOSIMILE ?
(NO, DIPENDE DA COME E’ FATTO…)
Auto-similarita’ in natura:
pianta
scarica elettrica
foglia di felce
Auto-similarita’ nei frattali 1:
Auto-similarita’ nei frattali 2:
Movie sulla self-similarity
PROPRIETA’ 2:
DIMENSIONE FRAZIONARIA
Cosa e’ la dimensione di un
oggetto geometrico ?
.
Un punto ha dimesione 0 (no lungh, no largh, no alt)
P
L
Una linea ha dimensione 1 (lunghezza)
Un piano ha dimensione 2 (lunghezza e larghezza)
Un cubo ha dimensione 3 (lungh, largh e altezza)
… ancora sulla dimensione…
Prendiamo delle figure autosimilari (segmento, quadrato e cubo)
e raddoppiamo le loro misure: quante copie dell’originale otteniamo ?
segmento: 2 copie
(2 = 2x1=2^1)
quadrato: 4 copie
(4 = 2x2=2^2)
cubo: 8 copie
(8 = 2x2x2=2^3)
Regola generale:
Numero copie =
fattore di dilatazione ^ DIMENSIONE
Segmento: 2 copie = 2 ^ 1
Quadrato : 4 copie = 2 ^ 2
Cubo:
8 copie = 2 ^ 3
…cosa succede ad un frattale ?
raddoppiando la lunghezza dei lati otteniamo… 3 COPIE !
3 = 2 ^ 1.584…
Dimensione frazionaria:
Figura
Num copie
Dimensione
segmento
2 = 2^1
1
Triangolo di
Sierpinsky
quadrato
3 = 2^1.584… 1.584…
4 = 2^2
2
cubo
8 = 2^3
3
E quindi ?
E quindi il triangolo di Sierpinsky ha
dimensione compresa tra 1 e 2
(ha dimensione 1.584…)!
Questo e’ il motivo per cui si dice che i frattali hanno
dimensione frazionaria (o frattale), cioe’ non intera !
DOMANDA: che dimensione avra’ la curva di Koch ?
PROPRIETA’ 3:
FORMAZIONE PER ITERAZIONE
Formazione per iterazione:
I frattali matematici sono formati tramite un PROCESSO ITERATIVO
(cioe’ che si ripete).
Frattali matematici: curva di Koch, triangolo di Sierpinski ( li
abbiamo costruiti!).
Siamo partiti da una figura geometrica familiare, tipo un triangolo
o un segmento, e abbiamo eseguito una semplice procedura
per ottenere una figura piu’ complicata.
Poi si procede cosi’, all’infinito, e si ottiene una figura
complicatissima!
Forme frattali in natura (formate da un processo che si ripete):
coste (erosione), coralli e alberi (ramificazione).
Montagna frattale in costruzione:
QuickTime™ and a
GIF decompressor
are needed to see this picture.
Montagna frattale finale:
Movie su montagna frattale:
A cosa servono i frattali ?
Come dicevamo all’inizio della chiaccherata,
ci sono diverse applicazioni pratiche dei frattali
nella nostra vita quotidiana, per esempio:
1) In medicina;
2) Nelle antenne;
3) Nei telefoni cellulari;
4) Nelle previsioni del tempo;
5) In alcuni film (che voi probabilmente avete
visto!).
Movie su… “Star Trek II”
Movie su… “Star Wars III”
Movie su: antenna frattale
Movie su: antenna cellulare
Movie su: frattali e medicina
Movie finale