Esercizi e problemi su statistiche quantistiche e solidi

Corso di Laurea in Fisica - Corso di Struttura della Materia
G. Rinaudo - a.a.2001/02
Esercizi e problemi su statistiche quantistiche e solidi
La resistività del sodio
Il sodio metallico ha una densità di circa 2,7 g cm-3, numero di massa 23, energia di Fermi EF di
circa 3 eV e temperatura di Debye TD di circa 160 K. La sua resistività, per temperature molto basse
e campioni abbastanza puri (frazioni di impurità dell’ordine di 10-3), tende tipicamente a un valore
inferiore a 10-10 Ωm, mentre, intorno a 300 K, ha una resistività dell’ordine di 10-7 Ωm.
a) Calcolate la temperatura di Fermi TF
b) Calcolate la velocità di Fermi vF e l’energia cinetica media allo zero assoluto
c) L’energia cinetica media sarebbe la stessa a temperatura ambiente?
d) Se trattaste il gas di elettroni come un gas classico, quale energia cinetica media otterreste allo
zero assoluto? E a temperatura ambiente?
e) Calcolate la densità numerica di elettroni “liberi” presenti nel metallo
f) Calcolate la densità numerica degli atomi di sodio presenti nel metallo e quindi il numero
medio di elettroni “liberi” per atomo
g) Dalla resistività per T tendente a zero, calcolate il libero cammino medio per urti contro le
impurezze presenti nel solido.
h) Calcolate la densità numerica di fononi presenti nel metallo intorno alla temperatura di 300 K
i) Dal valore della resistività a 300 K, calcolate il libero cammino medio per urti contro i fononi.
Confrontate e commentate il rapporto fra i cammini liberi medi per urti contro i fononi e contro
le impurezze e il rapporto fra la densità di fononi e di impurezze.
Soluzione
a) Calcolate la temperatura di Fermi TF
Per esprimere l’energia in unità di temperatura anziché in eV basta usare il fattore di conversione
dato dalla costante di Boltzmann, kB≈9 ⋅10-5 eV K-1, quindi:
TF ≈ 3 eV / 9 ⋅10-5 eV K-1 ≈ 3 ⋅104 K
1
b) Calcolate la velocità di Fermi vF e l’energia cinetica media allo zero assoluto
1 2
mv F = E F
2
; vF = c
2EF
mc
2
≈ 3 ⋅108 ms −1
6 eV
6
0,5 ⋅10 eV
≈ 103 ms −1
3
< Ecin > = E F ≈ 1,8 eV
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c) L’energia cinetica media sarebbe la stessa a temperatura ambiente?
L’energia media sarebbe poco superiore a temperatura ambiente.
Infatti a temperatura ambiente solo una piccola parte degli elettroni, quelli prossimi al livello di
Fermi, possono acquistare energia, perché possono transire ai livelli energetici sopra EF che sono
poco occupati.
Questi elettroni debbono trovarsi entro una distanza dell’ordine di kBT da EF, perché l’energia che
possono acquisire dal reticolo è comunque di questo ordine di grandezza: la frazione di elettroni che
si trovano in queste condizioni è circa kBT / EF ≈ 0,03 eV/ 3 eV ≈ 10-2 (dato che a 300 K kBT≈ 0,03
eV). Inoltre l’energia che questi pochi elettroni acquistano è comunque piccola rispetto all’energia
media, perché è dell’ordine di kBT≈ 0,03 eV.
Tenendo quindi conto che solo l’un percento circa degli elettroni possono modificare la propria
energia e che la variazione è di circa 0,03 eV, possiamo stimare che l’energia media aumenta di
circa 10-2 ⋅0,03 eV<10-3 eV.
d) Se trattaste il gas di elettroni come un gas classico, quale energia cinetica media otterreste
allo zero assoluto? E a temperatura ambiente?
Per un gas classico, l’energia cinetica media è 3/2 kBT≈ 0,04 eV a temperatura ambiente, 0eV a 0K.
e) Calcolate la densità numerica di elettroni “liberi” presenti nel metallo
nel =
8π( 2me c 2 )3 / 2 3 / 2 8 ⋅ 3,14 ⋅ ( 2 ⋅ 0,5 ⋅ 106 eV )3 / 2
EF ≈
(3 eV)3/2 ≈ 0,2 ⋅ 1029 m-3 (Alonso, eq.6.16)
3
3
−7
3 ⋅ ( 2π hc )
3 ⋅ ( 2 ⋅ 3,14 ⋅ 2 ⋅ 10 eVm )
f) Calcolate la densità numerica degli atomi di sodio presenti nel metallo e quindi il numero
medio di elettroni “liberi” per atomo
nat =
N at
cm
3
=
N at moli g
1
= N Av 2,5 ≈ 7 ⋅10 22 cm -3 ≈ 0,7 ⋅10 29 m -3
3
23
mole g cm
C’è quindi circa un “elettrone libero” per atomo.
2
g) Dalla resistività per T tendente a zero, calcolate il libero cammino medio per urti contro le
impurezze presenti nel solido.
ρimp =
limp =
m*c 2 v F
2 2
nel c e ρimp
≈
m*c 2 v F
(Alonso, 6.35)
nel e 2limp
0,5 ⋅ 10 6 eV ⋅ 103 ms −1
10
29
m
−3
8
−1 2
(3 ⋅ 10 ms ) e ⋅ 1,6 ⋅ 10
−19
C ⋅ 10
−10
VsC
−1
≈ 10 −8 m
h) Calcolate la densità numerica di fononi presenti nel metallo intorno alla temperatura di 300K
La densità numerica di fononi si calcola dalla relazione generale della distribuzione di Bose (Alonso
13.17)
g ( E fon ) dE fon
dn fon =
(1)
E fon / k B T
e
−1
La distribuzione va integrata fra 0 e l’energia massima dei fononi EDebye, che è legata alla
temperatura di Debye TDebye e alla frequenza di Debye fDebye dalle relazioni:
EDebye = kB TDebye = h fDebye
A temperatura ambiente, kB T è sempre maggiore di Efon in tutto il range di integrazione, quindi si
può espandere in serie di Taylor il denominatore della (1). Inoltre possiamo porre (Alonso 13.25):
g ( E fon ) dE fon = g ( f fon ) df fon ≈
9n at
3
f Debye
2
f fon
df fon
Sostituendo nella (1) e integrando:
n fon ≈
9nat
3
f Debye
f Debye
0
∫
2
f fon
h f fon / k BT
df fon ≈
9nat k B T 9nat T
≈
≈ 20 nat ≈ 1030 m − 3
hf Debye
TDebye
A temperatura ambiente, per ogni atomo abbiamo quindi una ventina di fononi.
i) Dal valore della resistività a 300 K, calcolate il libero cammino medio per urti contro i
fononi. Confrontate e commentate il rapporto fra i cammini liberi medi per urti contro i
fononi e contro le impurezze e il rapporto fra la densità di fononi e di impurezze.
La formula per il calcolo del cammino libero medio è analoga alla precedente usata per stimare gli
urti contro le impurezze:
3
ρ fon =
l fon =
m*c 2 v F
2 2
nel c e ρ fon
≈
m *c 2 v F
(Alonso, 6.35)
nel e 2l fon
0,5 ⋅10 6 eV ⋅103 ms −1
10
29
m
−3
8
−1 2
(3 ⋅10 ms ) e ⋅1,6 ⋅10
−19
C ⋅10
−7
VsC
−1
≈ 10 − 5 m
Si vede quindi che il rapporto lfon/limp è circa pari all’inverso del rapporto nfon/nimp ≈ 104, il che
indica che la probabilità di urto dipende principalmente dalla densità dei “bersagli” e non molto dal
tipo di bersaglio (fonone o impurezza).
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