1) Una strana piramide E` data una piramide avente per
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1) Una strana piramide E` data una piramide avente per
1) Una strana piramide E' data una piramide avente per base un quadrilatero ABCD e vertice V, inscritta in una sfera. Si sa che AD=2BC e che le rette ottenute prolungando AB e CD si incontrano in un punto E dalla parte del segmento BC. Calcolare il rapporto fra il volume della piramide avente per base il triangolo AED e vertice V e la piramide data. _______________________________________________________________________ Indichiamo con P1 la piramide data e con P2 la piramide avente per base il triangolo AED. Le piramidi P1 e P2 hanno la stessa altezza, data dalla distanza tra il vertice V e il piano che contiene il quadrilatero base ABCD. Il rapporto tra i volumi è dato quindi dal rapporto tra l'area A1 del quadrilatero ABCD e l'area A2 del triangolo AED e non dipende dalla posizione del vertice V. Tutti gli elementi di valutazione sono pertanto contenuti nel piano del quadrilatero ABCD. E B A C D La piramide P1 è inscritta in una sfera, quindi il quadrilatero ABCD è inscritto in un cerchio e i suoi angoli opposti CBA e CDA sono supplementari. Ma anche gli angoli EBC e CBA sono supplementari, per cui gli angoli EBC e CDA sono uguali. Similmente si ricava che gli angoli ECB e EAD sono uguali. I triangoli ECB e EAD sono pertanto simili, avendo gli angoli eguali. E' quindi 2 area AED A2 AD = = =4 area EBC A2 − A1 BC Il rapporto richiesto vale pertanto 4/3. da cui volume P2 A2 4 = = volume P1 A1 3