Esercizi sulle variabili aleatorie

Esercizi sulle variabili aleatorie
1. Un’azienda produce componenti elettronici in lotti da n = 1000 componenti. La probabilità
che un componente sia difettoso è pari a p = 0.01, indipendentemente dagli altri. Qual è la
probabilità che:
• il numero di componenti difettosi di un lotto sia pari a zero;
• il numero di componenti difettosi di un lotto sia minore o uguale a 80;
• il numero di componenti difettosi di un lotto sia compreso tra 80 e 120.
2. Si misurano i valori di resistenza dei componenti prodotti da una linea di produzione, e si
accettano solo quei componenti la cui resistenza X è compresa tra 96 e 104 ohm.
Determinare la percentuale dei componenti accettati, nei casi in cui:
a) X è una variabile aleatoria uniforme tra 95 e 105 ohm;
b) X è una variabile aleatoria gaussiana con µ = 100 ohm e σ = 2 ohm.
3. Il numero di meteoriti che colpisce un satellite durante ogni sua orbita si distribuisce come
una variabile casuale di Poisson. Nel compiere la sua orbita il satellite impiega 1 giorno, ed
è mediamente colpito da 3 meteoriti. Si calcoli la probabilità che nel percorrere 5 orbite il
numero di meteoriti che colpiscono il satellite sia minore o uguale a 3.
4. Un negozio di videonoleggio mette in vendita 20 DVD usati di un certo film, 4 dei quali
presentano problemi di audio.
a) Estratti casualmente 3 DVD, qual è la probabilità che soltanto il terzo estratto presenti
problemi di audio.
b) Considerando ora estrazioni sequenziali con reimmissione, si determini la probabilità
che:
• il primo DVD con problemi di audio sia il quinto estratto;
• il secondo DVD con problemi di audio sia il settimo estratto
5. La direzione di un supermercato deve acquistare un nuovo freezer per l’esposizione dei
surgelati in vendita. La durata di funzionamento in mesi di un primo modello di freezer per
supermercato è descritta da una variabile casuale con distribuzione esponenziale di
parametro 0. 01.
a) Si valuti il tempo di vita medio del freezer.
b) Si determini la probabilità che la durata del freezer sia superiore a 200 mesi.
c) Nell’ipotesi che il freezer sia già funzionante da 80 mesi, si calcoli la probabilità che
questo funzioni per altri 200 mesi e la si confronti con la probabilità ottenuta al punto
precedente.
6. Sia X una variabile casuale normale che descrive la portata del fiume Adige nel mese di
Giugno in una certa località. È noto che in tale località la portata media del fiume nel mese
di giugno è di 243 metri cubici al secondo e che P(X < 400) = 0.9.
a) Si determini la varianza di X.
b) Supponendo che la varianza valga 100, si determini la probabilità che in giugno il fiume
Adige abbia una portata compresa fra 230 e 260 metri cubici al secondo.
c) Si supponga che Y = 10 + X sia la variabile casuale che descrive la portata del fiume
Adige in una seconda località. Supponendo che la varianza di X sia 100, si calcoli P(240 <
Y < 270) e si confronti il valore ottenuto con quello ricavato al punto b).
k / 3 x = 1, 2,3

7. Si consideri la seguente funzione p ( x) =  k
x = 4 Si determini il valore di k
k / 3 x = 5, 6, 7

affinché p(x) possa essere funzione di probabilità per una variabile casuale X. Si determini
la funzione di ripartizione F(x) della variabile casuale X e se ne disegni il grafico.