Circonferenze

CIRCONFERENZE E LORO EQUAZIONI
In questa scheda esamineremo le circonferenze con centro nell’origine e le loro
equazioni.
La figura rappresenta una circonferenza con
centro nell’origine e raggio r.
P = (x; y) è un punto della circonferenza
perciò la lunghezza di OP è uguale al raggio.
Usando il teorema di Pitagora si ottiene l’equazione standard della circonferenza con
centro nell’origine e raggio r.
P
r
O
y
x
x2 + y 2 = r 2
Per esempio, l’equazione x2 + y 2 = 100 rappresenta la circonferenza di raggio 10 e l’equazione x2 + y 2 = 36 rappresenta un circonferenza di raggio 6. Entrambe le circonferenze
hanno il centro nell’origine.
ESEMPIO 1 a. Disegnare la circonferenza di equazione x2 + y 2 = 9
b. Descrivere la regione x2 + y 2 > 9.
SOLUZIONE:
u
y
"
x2 + y 2 = 9
a. L’equazione x2 + y 2 = 9 rappresenta una
circonferenza di centro l’origine e raggio 3.
x2
b. La regione
+
circonferenza.
y2
> 9 è l’area esterna alla
!
x
ESEMPIO 2 - Calcolare l’area tra la circonferenza di equazione x2 + y 2 = 4 e la circonferenza di equazione x2 + y 2 = 64.
SOLUZIONE:
y
La prima circonferenza ha raggio 2
e la seconda ha raggio 8.
L’area della cerchio minore è π ×
22 = 4π ≈ 12, 6.
L’area del cerchio maggiore è π ×
82 = 64π ≈ 201, 1.
Poiché il cerchio più piccolo giace all’interno del più grande, l’area
della parte compresa tra i due è:
" x2 + y 2 = 64
x2 + y 2 = 4
!
x
64π − 4π = 60π ≈ 188, 5
La parte compresa tra i due cerchi nell’esempio precedente può essere rappresentata dalla
disequazione:
4 < x2 + y 2 < 64
Se le circonferenze sono incluse la disequazione è 4 ≤ x2 + y 2 ≤ 64.
ESERCIZI
1.
a. Disegnare nel piano cartesiano la circonferenza di equazione x2 + y 2 = 25.
b. Tratteggiare la regione del piano descritta dalla disequazione x2 + y 2 < 25.
2.
a. Disegnare nel piano cartesiano la circonferenza di equazione x2 + y 2 = 100.
b. Tratteggiare la regione del piano descritta dalla disequazione x2 + y 2 > 100.
3.
a. Disegnare nel piano cartesiano le circonferenze di equazioni x2 + y 2 = 16 e
x2 + y 2 = 36.
b. Tratteggiare la regione del piano descritta dalla disequazione 16 < x2 + y 2 <
36.
4.
a. Disegnare un sistema di riferimento cartesiano con le coordinate che variano
negli intervalli −10 ≤ x ≤ 10 e −10 ≤ y ≤ 10.
b. Disegnare nel riferimento cartesiano la regione 36 ≤ x2 + y 2 ≤ 81 e calcolarne
l’area lasciando la risposta come multiplo di π.