un `nuovo` oggetto didattico: l`approssimazione 1

UN ‘NUOVO’ OGGETTO DIDATTICO: L’APPROSSIMAZIONE 1
Carlo MARCHINI – Gruppo di Ricerca ZEROALLAZERO 2
Abstract – The features of approximation as a topic of Italian programmes from 2007 on are presented
and their relevance is emphasised. For investigating if today the topic is customary we administered a
questionnaire. It showed us that the topic is not ‘popular’ mainly among teachers of higher secondary
school. We suppose that it is a consequence of a teachers’ scarce knowledge the topic and the necessity of
a change of ‘point of view’ in the meaning of Vandebrouck (2011).
Parole chiave: Approssimazione, beliefs, area, punto di vista locale, punto di vista puntuale.
I.
INTRODUZIONE
Le ‘cosiddette’ Nuove indicazioni per l’infanzia e il primo ciclo (allievi da 3 a 5 e da 6 a 13
anni) (MPI, 2007), conferiscono un ruolo importante all’approssimazione. A mio avviso si
tratta di una novità di rilievo e per verificare quanto sia accettata e praticata ho svolto una
semplice indagine per mezzo di una sorta di questionario/intervista rivolto agli insegnanti, che
presento e commento nel seguito. A mio parere, il Ministero dell’Istruzione ha inserito
l’argomento nei programmi italiani sulla spinta di un movimento generale che si individua in
vari paesi, per esempio in Francia (Kahane, 2002) ed a Singapore (Dindyal, 2005 e anche per
rendere la scuola più attenta alle necessità sociali.
Scorrendo le Nuove indicazioni, si trovano passi che sono implicitamente o esplicitamente
legati all’approssimazione. Nella parte introduttiva dell’Area Matematico – Scientifico –
Tecnologica si afferma:
(1)Tutte
le discipline dell'area hanno come elemento fondamentale il laboratorio, inteso sia come luogo
fisico (aula, o altro spazio specificamente attrezzato) sia come momento in cui l'alunno è attivo, formula
le proprie ipotesi e ne controlla le conseguenze, progetta e sperimenta, discute e argomenta le proprie
scelte, impara a raccogliere dati e a confrontarli con le ipotesi formulate […]. In tutte le discipline
dell’area, inclusa la matematica, avrà cura di ricorrere ad attività pratiche e sperimentali e a osservazioni
sul campo, con un carattere non episodico e inserendole in percorsi di conoscenza.
A ogni livello scolastico, il risolvere problemi, anche con strumenti e risorse digitali, offre occasioni per
acquisire nuovi concetti e abilità, per arricchire il significato di concetti già appresi e per verificare
l’operatività degli apprendimenti realizzati in precedenza. […].
Riflettere sui propri percorsi di conoscenza, sia in tempo reale sia a lungo termine; rendersi conto che
ogni percorso di apprendimento può essere precisato e approfondito da passi successivi; apprezzare i
nuovi strumenti di indagine e di rappresentazione, anche in quanto potenziano e modificano le
conoscenze che già si possiedono: tutte queste dimensioni della relazione di insegnamento /
apprendimento permetteranno di approfondire la comprensione, sperimentandone in prima persona
l’aspetto dinamico, e di accrescere la motivazione ad apprendere ancora. (p. 91 – 92)
Nella parte specifica riguardante la Matematica si introduce una novità rappresentata dai
mezzi messi a disposizione dalla Informatica. Si dice, infatti :
L’uso consapevole e motivato di calcolatrici e del computer deve essere incoraggiato opportunamente
fin dai primi anni della scuola primaria, ad esempio per verificare la correttezza di calcoli mentali e scritti
e per esplorare i fenomeni del mondo dei numeri e delle forme. (p. 94)
(2)
1
Ricerca finanziata da progetto Prin 2008PBBWNT presso l’Unità Locale di Ricerche in Didattica della
Matematica dell’Università di Parma.
2
Carlo Marchini, Dipartimento di Matematica dell’Università di Parma. [email protected]
Il Gruppo di Ricerca ZEROALLAZERO è un collettivo di insegnanti-ricercatori dalla scuola Primaria
all’Università. È nato all’inizio del 1996 per studiare la possibilità di costruire un percorso verticale sui concetti
di approssimazione e di limite. Nel corso del tempo, la sua composizione è mutata. I più ‘resistenti’ di oggi sono:
M.F. Andriani, C. Bisso, S. Foglia, S. Gregori, L. Grugnetti, A. Maffini, C. Marchini, M. Rapuano, A. Rizza, A.
Speroni, V. Vannucci.
Marchini C., Gruppo di Ricerca ZEROALLAZERO (2012). Un ‘nuovo’ oggetto didattico: l’approssimazione.
Prin 2008PBBWNT
Unità Locale di Ricerca – Parma
2
Il testo ministeriale pone tra gli obiettivi al termine della classe terza di scuola primaria:
- (3) Misurare segmenti utilizzando sia il metro, sia unità arbitrarie e collegando le pratiche di misura alle
conoscenze sui numeri e sulle operazioni. (p. 95)
Tra gli obiettivi indicati al termine della classe quinta di scuola primaria vengono
presentati:
- (4) Leggere, scrivere, confrontare numeri decimali ed eseguire le quattro operazioni con sicurezza,
valutando l’opportunità di ricorrere al calcolo mentale, scritto o con la calcolatrice a seconda delle
situazioni.
- Dare stime per il risultato di una operazione.
- Utilizzare numeri decimali, frazioni e percentuali per descrivere situazioni quotidiane.
- Rappresentare i numeri conosciuti sulla retta e utilizzare scale graduate in contesti significativi per le
scienze e per la tecnica.
- Riprodurre una figura in base a una descrizione, utilizzando gli strumenti opportuni (carta a quadretti,
riga e compasso, squadre, software di geometria).
- Determinare l’area di rettangoli e triangoli e di altre figure per scomposizione.
- Rappresentare relazioni e dati e, in situazioni significative, utilizzare le rappresentazioni per ricavare
informazioni, formulare giudizi e prendere decisioni. (p. 96)
Gli obiettivi fissati al termine della classe terza della scuola secondaria di primo grado
sono, ovviamente, più impegnativi:
- (5) Eseguire addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni e confronti tra i numeri conosciuti (numeri
naturali, numeri interi, frazioni e numeri decimali), quando possibile a mente oppure utilizzando gli
usuali algoritmi scritti, le calcolatrici e i fogli di calcolo e valutando quale strumento può essere più
opportuno, a seconda della situazione e degli obiettivi.
- Dare stime approssimate per il risultato di una operazione, anche per controllare la plausibilità di un
calcolo già fatto.
- Rappresentare i numeri conosciuti sulla retta. (p. 97)
- Dare stime della radice quadrata utilizzando solo la moltiplicazione.
- Sapere che non si può trovare una frazione o un numero decimale che elevato al quadrato dà 2.
- Calcolare l’area di semplici figure scomponendole in figure elementari, ad esempio triangoli.
- Stimare per difetto e per eccesso l’area di una figura delimitata da linee curve.
- Conoscere il numero π, ad esempio come area del cerchio di raggio 1, e alcuni modi per approssimarlo.
(p. 98)
- Calcolare il volume delle figure tridimensionali più comuni e dare stime di quello degli oggetti della vita
quotidiana.
- Rappresentare insiemi di dati, anche facendo uso di un foglio elettronico. In situazioni significative,
confrontare dati al fine di prendere decisioni, utilizzando le distribuzioni delle frequenze e delle
frequenze relative e le nozioni di media aritmetica e mediana. (p. 99).
Spostandoci alle indicazioni per i Licei scientifici (MPI, 2010) nelle declaratorie relative ai
risultati di apprendimento del Liceo Scientifico si ha:
• (6) saper utilizzare strumenti di calcolo e di rappresentazione per la modellizzazione e la risoluzione di
problemi. (p. 13)
Tra le linee generali e competenze per la Matematica si trova l’indicazione:
6) costruzione e analisi di semplici modelli matematici di classi di fenomeni, anche utilizzando
strumenti informatici per la descrizione e il calcolo. […]
Al termine del percorso didattico lo studente […] conoscerà le metodologie di base per la costruzione di
un modello matematico di un insieme di fenomeni, saprà applicare quanto appreso per la soluzione di
problemi, anche utilizzando strumenti informatici di rappresentazione geometrica e di calcolo. […]
Gli strumenti informatici oggi disponibili offrono contesti idonei per rappresentare e manipolare oggetti
matematici. L'insegnamento della matematica offre numerose occasioni per acquisire familiarità con tali
strumenti e per comprenderne il valore metodologico. Il percorso, quando ciò si rivelerà opportuno,
favorirà l’uso di questi strumenti, anche in vista del loro uso per il trattamento dei dati nelle altre
discipline scientifiche. L’uso degli strumenti informatici è una risorsa importante che sarà introdotta in
modo critico, senza creare l’illusione che essa sia un mezzo automatico di risoluzione di problemi e senza
compromettere la necessaria acquisizione di capacità di calcolo mentale. (p. 34)
(7)
Marchini et al. - Un ‘nuovo’ oggetto didattico: l’approssimazione.
3
Per quanto riguarda gli obiettivi specifici di apprendimento per il primo biennio,
relativamente ad aritmetica ed algebra, si trova :
Lo studio dei numeri irrazionali e delle espressioni in cui essi compaiono fornirà un esempio
significativo di applicazione del calcolo algebrico e un’occasione per affrontare il tema
dell’approssimazione. (p. 35)
(8)
Relativamente al tema dati e previsioni, le indicazioni raccomandano:
Lo studente sarà in grado di rappresentare e analizzare in diversi modi (anche utilizzando strumenti
informatici) un insieme di dati, scegliendo le rappresentazioni più idonee. Saprà distinguere tra caratteri
qualitativi, quantitativi discreti e quantitativi continui, operare con distribuzioni di frequenze e
rappresentarle. Saranno studiate le definizioni e le proprietà dei valori medi e delle misure di variabilità,
nonché l’uso strumenti di calcolo (calcolatrice, foglio di calcolo) per analizzare raccolte di dati e serie
statistiche. Lo studio sarà svolto il più possibile in collegamento con le altre discipline anche in ambiti
entro cui i dati siano raccolti direttamente dagli studenti. (p. 37)
(9)
Passando al secondo biennio, sempre nel tema aritmetica e algebra, si afferma
esplicitamente (ed in modo stringato):
Sarà anche affrontato il tema del calcolo approssimato, sia dal punto di vista teorico sia mediante
l’uso di strumenti di calcolo. (p. 38)
(10)
Giunto al quinto anno, lo studente affronterà il concetto di limite (di successioni e di
funzioni) e a partire da esso, derivate, integrali ed equazioni differenziali.
Si è dato ampio spazio a quanto riportano le Indicazioni, per mostrare, anche visivamente,
lo spazio che è assegnato ad argomenti esplicitamente o parzialmente connessi con
l’approssimazione. Per le indicazioni si tratta di un tema da sviluppare in verticale, attraverso
i vari livelli scolastici. La numerazione ‘(n)’ non è presente nel testo, ma è funzionale ai
successivi richiami.
Il Gruppo ZEROALLAZERO ha cercato, con la pubblicazione in Italia ed all’Estero di
articoli e di libri (cfr. Bibliografia) di introdurre questa ‘cultura dell’approssimazione’, ma
come hanno mostrato anche i questionari/interviste che si presentano in seguito, i risultati
sono inferiori alle attese ed alla qualità delle proposte.
Riteniamo, come gruppo di ricerca, che l’approssimazione presenti vari aspetti importanti
per l’insegnamento della matematica. Se, nella scuola, i concetti di numero reale e di limite
sono visti come uno dei vertici della cultura matematica e delle sue applicazioni, come, per
altro, avviene in svariate nazioni, ci sembra un errore quello di trattare tali argomenti/concetti
matematici solo negli ultimi anni di scuola, in quanto c’è la possibilità di introdurli
gradualmente (Andriani et al., 2005) grazie all’approssimazione che, stando ai ‘programmi’
ufficiali è ritenuta alla portata di allievi di scuola primaria.
II.
PERCHE INSEGNARE L’APPROSSIMAZIONE.
La più recente letteratura di ricerca pone attenzione al tema (non molto frequentemente). Il
primo approccio all’approssimazione fornisce una buona possibilità di attivare la discussione
matematica in classe (Diakoumopoulos, 2010, p.1126). Inoltre Kouropatov et Dreyfus (2011,
pp. 3 - 97-98) suggeriscono:
Approximation is […] a complex, multi-faceted issue. It does relate to the definite integral, but it also
relates many other notions in mathematics such as differentiation, estimation of large numbers,
probability and measurement. Hence, approximation is, in our opinion, an excellent candidate to start
with. […] The process-nature of approximation (e.g., calculating the area of a circle by using
circumscribed polygons with progressively more sides) and the concept (object)-nature of approximation
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(e.g., an area estimate for the circle) seem to be intuitively clear for students. The idea of approximation
allows for developing didactical tools, with which a student's work may become observable.3
Mettono così in luce gli aspetti didattici che consigliano la trattazione in classe
dell’argomento.
Il contributo alla letteratura di ricerca sul tema del gruppo ZEROALLAZERO è stata la
proposta e l’analisi di attività di classe sullo stesso tema a tutti i livelli scolari, in quanto si
ritiene che se un bambino lavora su un argomento nella classe di scuola primaria (ad esempio
sulla stima di un’area mediante quadrettatura) e poi, ragazzo, lo incontra di nuovo solo alla
fine della scuola superiore (come integrale definito), è certo che gli sarà difficile riconoscere i
legami tra le cose studiate in periodi così distanti. Pertanto riteniamo che si debba dare un
posto di rilievo all’insegnamento e alla pratica continua dell’approssimazione. Abbiamo
presentato la proposta di queste attività per attirare l’attenzione dell’insegnante in quanto:
if teachers are not confident in their mathematical knowledge, they may find it difficult to ensure
that their students gain confidence and competence. (Southwell et Penglase, 2005, p. 4-209) 4
Le ragioni che ci portano a raccomandare agli insegnanti la familiarità con l’argomento ed
agli studenti l’apprendimento dell’approssimazione, al di là della importanza matematica del
tema, hanno a che fare con le esigenze della vita pratica come si trova espresso anche nei
programmi scolastici francesi. Questo punto di vista è in Kahane (2002), testo in cui viene
anche suggerita l’ipotesi che l’adozione dell’approssimazione sia ostacolata dall’idea che il
calcolo esatto sia più ‘nobile’ del calcolo approssimato, ma l’accettazione di tale posizione
epistemologica può condurre solamente alla separazione della cultura della scuola da quella
necessaria nella vita.
A riprova della natura di questo ostacolo, in Girnat (2011, p. 632) si trova un’affermazione
esplicita di una professoressa che afferma:
Mrs. D. - The beauty of mathematics is the fact that everything is logical and dignified. […] Everywhere
else, there are approximations, but not in mathematics. There is everything in this status it has ideally to
be in. 5
Un altro aspetto innovativo delle Indicazioni (principalmente da quelle del 2007) è che
esse attribuiscono all’approssimazione il ruolo di una nozione avente degli aspetti
metacognitivi che la rendono importante. Il documento Fioroni suggerisce che alla scuola
primaria, l’abitudine a stimare i risultati delle operazioni, a scegliere rappresentazioni
significative delle relazioni, in accordo coi dati (anche con l’aiuto del computer) inciti
l’allievo a trare indicazioni, a formulare giudizi e a prendere decisioni. Le Indicazioni
esemplificano queste attività con delle consegne di determinazione di aree di figure
‘irregolari’ e con problemi numerici.
3
L’approssimazione è […] un problema complesso e sfaccettato. Esso è in relazione con l’integrale definito, ma
anche con molte altre nozioni in matematica, quali la differenziazione, la stima dei numeri grandi, la probabilità
e la misura. Quindi, l’approssimazione è, nella nostra opinione, un eccellente candidato con cui iniziare. La
natura del processo di approssimazione (ad esempio calcolare l’area di un cerchio usando poligoni [regolari,
n.d.t.] circoscritti con numero di lati sempre maggiori e la natura del concetto (oggetto) della approssimazione
(ad esempio una stima dell’area per il cerchio) sembrano intuitivamente chiari agli studenti. L’idea di
approssimazione ci permette di sviluppare strumenti didattici, mediante i quali il lavoro di ogni studente può
diventare osservabile. (Trad. C.M.)
4
Se gli insegnanti non sono sicuri della loro conoscenza matematica, potrebbero trovare difficile garantire che i
loro studenti ottengano confidenza e competenza. (Trad. C.M.)
5
Signora D. – La bellezza della matematica è il fatto che ogni cosa è logica e degna di fede. […] In ogni altro
ambito ci sono approssimazioni, ma non in matematica. [In essa] ogni cosa è nello stato in cui idealmente
dovrebbe essere. (Trad. C.M.)
Marchini et al. - Un ‘nuovo’ oggetto didattico: l’approssimazione.
5
Per la scuola secondaria di primo grado, gli stessi ‘programmi’ affermano che l’argomento
‘approssimazione’ può aiutare l’alunno a sviluppare la coscienza dei vantaggi e degli
svantaggi delle proprie scelte in rapporto agli obiettivi che sta considerando. Si ritrova ciò che
Haspekian et Bruillard (2010, p. 523) chiamano “cultura matematica sperimentale”. Nelle
Indicazioni del primo ciclo non vi sono altri concetti matematici con queste caratteristiche
metacognitive. L’approssimazione ha così un ruolo particolare che non è solo quello di
aggiungere nuove informazioni. Gli aspetti metacognitivi sono presenti anche nel ‘problem
solving’, ma questo non si può considerare un concetto, bensì un metodo per affrontare i
problemi.
La presenza ‘verticale’ continua dell’approssimazione le conferisce uno statuto di attività
che si sviluppa nel tempo (scolastico) assieme allo sviluppo delle conoscenze matematiche
necessarie per ottenere risultati con differenti gradi di precisione. Si può, pertanto, ritenere
che il tema abbia aspetti di una sperimentazione continua che si lega bene ai momenti di
laboratorio. E la sperimentazione in classe è considerata (Papadopoulos & Iatridou, 2010 p.
209) un valido aiuto per coinvolgere gli allievi nella costruzione, in proprio, del sapere.
Per quanto riguarda l’apprendimento/insegnamento dell’approssimazione, Kouropatov et
Dreyfus (2011, p. 3 - 98) pongono due questioni:
Question 1. What is the structure of the approximation concept in terms of elements of knowledge and
what are suitable operational definitions for these elements that allow the researcher to identify concept
construction? Question 2. How does the process of knowledge construction occur during an instructional
intervention? 6
I due autori propongono che una soluzione per i problemi di insegnamento/apprendimento
dell’approssimazione sia ottenibile nell’ambito della « Abstraction in Content », e per
approfondire tali aspetti rimando all’articolo citato. Da parte mia ritengo che la loro proposta
possa essere arricchita sfruttando un costrutto teorico di Vandebrouck: il cambiamento di un
cambiamento di punto di vista, da puntuale a locale. Vandebrouck (2011, p. 2095) introduce
queste nozioni a proposito delle funzioni:
Indeed, the balance from conceptual embodied world to the formal axiomatic one is accompanied by the
development of local properties about functions: limit, continuity, derivability, equivalent expressions,
Taylor’ s local expansions near some points which are the basic notions of calculus. We claim that
working at university level on functions implies that students can adopt a local point of view on functions
whereas only the punctual and global points of view are constructed at the secondary school.
Per quanto riguarda il punto di vista puntuale:
[…] functions are considered as correspondences between two sets of real numbers, an element of the
first set being associated with a unique element of the second set. […]. At this level, functions are
represented by arithmetic formulas that operate as a program for calculation, such as calculus
programming. 7
6
Questione 1. Qual è la struttura del concetto di approssimazione in termini di conoscenza e quali sono le
opportune definizioni operazionali si questi elementi che permettono al ricercatore di identificare la costruzione
del concetto? Questione 2. Come avviene il processo di costruzione della conoscenza durante un intervento
educativo? (Trad. C.M.)
7
Infatti, l’equilibrio tra il mondo incarnato concettuale e quello della assiomatica formale è accompagnato dallo
sviluppo delle proprietà locali relativamente alle funzioni: limiti, continuità, derivabilità, espressioni equivalenti,
sviluppo locale con le formule di Taylor in prossimità di un qualche punto e che sono le nozioni fondamentali
dell’Analisi matematica. Affermiamo che il trattamento, a livello universitario, delle funzioni implica che gli
studenti adottino il punto di vista locale sulle funzioni, mentre i punti di vista puntuale a globale soltanto sono
costruiti nella scuola secondaria.
[…] le funzioni sono considerate come corrispondenze tra due insiemi di numeri reali, essendo un elemento del
primo insieme associato ad un unico elemento del secondo insieme. […] A questo livello, le funzioni sono
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6
A nostro avviso, questa teoria dei punti di vista si applica altrettanto bene alla gestione dei
risultati numerici ed anche alla scuola, come riportato in (5). Si può stabilire un parallelismo
tra la coppia calcolo ‘nobile’ e calcolo approssimato di Kahane con quanto Vandebrouck
suggerisce tra i punti di vista puntuale e locale. La posta in gioco con questo ultimo punto di
vista è di accostarsi gradualmente a tutti i concetti che sono intrinsecamente locali e
l’approssimazione è tra essi. La familiarizzazione con questo punto di vista e
dell’approssimazione potrebbe essere un buon aiuto all’apprendimento dei numeri reali
(González-Martín et al., 2011, p. 2 - 453), così come richiamato in (8).
Nella storia della matematica si trovano esempi di approssimazione a proposito di misure
di grandezze. Archimede in La misura del cerchio dice:
Proposizione 2. Il cerchio ha rispetto al quadrato del diametro il rapporto che ha 11 rispetto a 14. 8
Proposizione 3. La circonferenza di ogni cerchio è tripla del diametro e lo supera ancor meno di un
settimo del diametro, e di più di dieci settantunesimi.
In esse l’autore siracusano sembra affermare che ci sia un valore ‘vero’ che egli conosce
solo in modo approssimato.
Una affermazione chiara (ed un primo esempio importante) di cosa sia l’approssimazione
(in latino latitudo) si trova nell’opera di Giacomo Bernoulli (1654 – 1705), Ars Conjectandi
(1713):
A scanso di fraintendimenti, va precisato che il rapporto tra i numeri dei casi [favorevoli e contrari], da
determinare attraverso le osservazioni, non viene ottenuto con precisione assoluta, ma solo con una certa
approssimazione, cioè racchiuso tra due limiti, che tuttavia possono essere presi arbitrariamente vicini. 9
In questa citazione Bernoulli propone un teorema nel quale un dato che non appartiene
all’ambito della geometria né a quello dell’algebra, è conosciuto solo in modo approssimato,
cioè si determinano due limiti al suo possibile valore. La dimostrazione consiste proprio
nell’identificazione di questi due limiti e nella probabilità che il dato incognito si trovi proprio
all’interno dell’ intervallo da essi individuato. In questo modo Bernoulli mostra un esempio
cosciente di punto di vista locale e connette il calcolo della probabilità con l’approssimazione.
In base alla nostra esperienza, il punto di vista puntuale ha spesso la meglio in classe,
talvolta in abbinamento a quello globale. Alcuni esempi: nel calcolare l’area di una figura
‘irregolare’ disegnata su carta quadrettata (cfr. figura 2), gli studenti, spesso, contano il
numero dei quadretti interni alla figura, il numero dei quadretti attraversati dal bordo.
Indicano poi come area la somma del numero dei quadretti interni con la metà del numero dei
quadretti parzialmente contenuti. Così l’area risulta sempre un numero (di quadretti) multiplo
del ‘mezzo’ quadretto. Dal punto di vista locale, l’area è la coppia data dal numero dei
quadretti interamente contenuti e la somma del numero dei quadretti totalmente contenuti e di
quelli parzialmente contenuti (cfr. (5)), preparando in questo modo i primi passi dell’integrale
di Riemann.
Ulteriore esempio: nella ricerca del limite di una funzione f(x), abitualmente gli studenti
calcolano la funzione sul punto di accumulazione, anche se la funzione non è continua, anche
rappresentate da formule aritmetiche che operano come un programma per calcolo, proprio come un calcolo
programmato. (Trad. C.M.)
8
Si presenta qui la traduzione di Frajese, ma nella traduzione di Peyrard, uno dei massimi studiosi nel XIX
secolo delle opere greche antiche, si ha « Un cercle est au carré construit sur son diamètre, à très peu de chose
près, comme 11 est à 14. » compare una ‘cautela’, la dizione “à très peu de chose près” che introduce
l’approssimazione.
9
Si presenta qui il brano tratto dal Capitolo IV della quarta parte di Bernoulli (2002), nella traduzione italiana di
A. Schiacchitano, reperibile in http://www.sciacchitano.it/Corpo/Ars%20conjectandi.pdf. I corsivi sono del
testo.
Marchini et al. - Un ‘nuovo’ oggetto didattico: l’approssimazione.
7
se il punto di accumulazione non appartiene al dominio e perfino se si deve calcolare il limite
per x →∞. E capita di sovente che gli esercizi di analisi siano ‘costruiti’ in maniera tale che
questo approccio suggerisca le soluzioni corrette, nascondendo, così la necessità del punto di
vista locale, con le conseguenze di cui parla Vandebrouck.
Le esperienze in ricerche del gruppo ZEROALLAZERO (cfr. Bibliografia) provano,
tuttavia, che gli studenti mostrano attenzione ai problemi dell’approssimazione.
III.
LA LETTURA PRASSEOLOGICA DELLE INDICAZIONI
Le Indicazioni offrono agli insegnanti indizi per cosa realizzare nella pratica didattica e
come. Sulla falsariga della proposta di Chevallard (1999), di ogni attività umana si può
analizzare la pratica mediante una prasseologia data come una quaterna ordinata [T, τ, θ, Θ]
in cui T è un tipo di compiti, τ è una tecnica, θ è una tecnologia e Θ è una teoria.
Secondo Chevallard, la tecnologia di una tecnica è:
un discours rationnel – le logos – sur la technique – la teknê - τ, discours ayant pour objet premier de
justifier « rationnellement » la technique τ, en nous assurant qu’elle permet bien d’accomplir les tâches du
type T […] une deuxième fonction de la technologie est d’expliquer, de rendre intelligible, d’éclairer la
technique […] Enfin une dernière fonction correspond à un emploi plus actuel du terme technologie : la
production de techniques. (Chevallard, 1999, p. 226-227) 10
Dato che si vuole controllare l’approssimazione dal punto di vista dell’insegnamento della
matematica, sembra più opportuna l’analisi che Castela (2008, p. 146) svolge mediante quello
che lei definisce una organizzazione prasseologica matematica (OM). La differenza
fondamentale con la proposta di Chevallard è che l’autrice articola la tecnologia in due
componenti, una pratica, denotata con θp ed una teorica, indicata con θth. A proposito della
tecnologia, Castela afferma
Nous retenons pour notre part que la technologie d’une technique est le savoir orienté vers la production
d’une pratique efficace, qui a pour fonctions de justifier et légitimer la technique mais aussi d’en outiller
et d’en faciliter la mise en œuvre. Aux côtés d’éventuels éléments de savoir empruntés à certaines
théories pertinents (nous parlerons dans la suite de la « composante théorique » de la technologie, noté
θth) figurent dans la technologie ces savoirs qui, selon les domaines de recherche, sont qualifiés
d’opératoires, pragmatiques, pratiques. Œuvre collective forgée dans l’expérience, cette composante
pratique de la technologie (notée dans la suite θp) exprime et capitalise la science de la communauté des
praticiens confrontés dans le mêmes conditions matérielles et institutionnelles attaché du type T, elle en
favorise la diffusion au sein du groupe. (Castela, 2008, p. 143) 11
Per quanto riguarda l’approssimazione, nelle Indicazioni si possono riconoscere le
componenti di una OM secondo Castela. Nel brano (1) riconosciamo che gli argomenti di cui
viene proposta la trattazione mediante il laboratorio rientrano nell’elenco dei compiti T. La
strumentazione del laboratorio è il risultato della tecnica τ. La progettazione è connessa con la
10
un discorso razionale – il logos – sulla tecnica – la tekne – τ, discorso che ha per scopo principale la
giustificazione “razionale” della tecnica, assicurandoci che essa possa realizzare opportunamente le consegne di
tipo T […] una seconda funzione della tecnologia è di spiegare, rendere intelligibile, rendere chiara la tecnica
[…] Infine, un’ultima funzione corrisponde all’impiego più attuale del termine tecnologia: la produzione di
tecniche. (Trad. C.M.)
11
Da parte nostra consideriamo che la tecnologia di una tecnica è il sapere orientato verso la produzione di una
pratica efficace, che ha per funzione quella di giustificare e di legittimare la tecnica, ma anche quella di
attrezzarla e facilitarne la messa in opera. Accanto ad eventuali elementi del sapere presi a prestito da certe
teorie pertinenti (nel seguito parleremo di “componente teorica” della tecnologia, indicata con θth) figurano nella
tecnologia dei saperi che, a seconda dei domini di ricerca, cono qualificati come operatori, pragmatici, pratici.
Opera collettiva forgiata nell’esperienza, questa componente pratica della tecnologia (indicate nel seguito con
θp) esprime e capitalizza la scienza della comunità dei praticanti confrontati nelle stesse condizioni materiali ed
istituzionali attribuita al tipo T, essa ne favorisce la diffusione in seno al gruppo. (Trad. C.M.)
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componente teorica della tecnologia θth, mentre la sperimentazione ha a che fare con la
componente pratica della tecnologia θp. A questo punto, la teoria Θ è l’oggetto del sapere, e
può essere assegnata dall’insegnante, ma di essa fanno anche parte le ipotesi dello studente,
che è in fase di costruzione del sapere stesso. Gli strumenti e le risorse digitali realizzano
l’uso pratico della θp della componente teorica della tecnologia θth. La parte finale del brano
(1) può interpretarsi come una proposta di valorizzazione della OM nel suo complesso.
Il brano (2) propone attività metacognitiva sulla tecnica τ; il brano (3) è focalizzato sui
compiti T e sulla componente pratica della tecnologia θp, con riferimento alla teoria Θ.
Il brano (4) presenta una lunga lista di compiti T: confrontare, stimare, utilizzare, rappresentare, riprodurre, determinare. Vengono indicate le tecniche τ, che permettono l’uso di:
algoritmi, scale graduate, calcolatrici, carta a quadretti, strumenti di disegno, software,
scomposizione. I risultati numerici ottenuti con questi strumenti fanno parte della componente
pratica della tecnologia θp. La scelta degli strumenti e delle rappresentazioni, l’aspetto che ha
un connotato metacognitivo più rilevante, è subordinata alla parte teorica della tecnologia θth,
mentre la teoria Θ cambia in ciascuna di queste proposte, talora è la teoria dei numeri, altre
volte la geometria o la teoria della misura, oppure una teoria non matematica che giustifica
l’analisi di una ricerca sperimentale.
L’analisi prasseologica dei rimanenti brani tratti dalle Indicazioni viene lasciata al lettore.
Riassumendo, la OM – Approssimazione ha esempi di compiti del tipo ‘Area di una figura’
o ‘Lunghezza di una curva’ o ancora ‘Rappresentazione di dati’ o ‘Calcolo approssimato’. Le
tecniche dipendono dal problema specifico ma sono, in generale legate all’acquisizione di dati
che siano ‘opportuni per’ o ‘adatti ai’ problemi da risolvere. La tecnica è quella che produce
gli strumenti concreti o teorici da utilizzare nel compito. La componente pratica θp della
tecnologia è quella che viene permessa dai calcolatori o dalle attività di un
‘arpenteur/constructeur’ 12. La componente teorica della tecnologia, θth è legata al problema,
ma spesso un dato comune è l’uso di serie convergenti e l’integrazione. Anche la teoria Θ
cambia secondo i compiti. Nella scuola spesso si presentano attività con l’approssimazione
che hanno sullo sfondo la teoria dei numeri reali o la teoria della misura.
IV.
LA RICERCA
Lo scopo principale della ricerca è stato quello di verificare se l’approssimazione è un
argomento noto, praticato ed apprezzato e dagli insegnanti nel suo valore didattico e
motivazionale. Sulla scorta della lettura prasseologica dei programmi, abbiamo voluto testare
quali aspetti della OM-Approssimazione trovino spazio nell’attività didattica. Essendo un
tema ‘verticale’ abbiamo sottoposto ad indagine un campione di docenti in cui tutti i livelli
scolari del primo e secondo ciclo erano presenti.
L’occasione ci è stata offerta da alcuni incontri di aggiornamento per gli insegnanti
organizzati da una scuola della provincia (Parma – marzo 2011) e dalla Mathesis (Pavia –
maggio 2011) per i suoi soci. La raccolta dei dati è avvenuta sotto una forma, forse
inconsueta, di breve questionario/intervista dialogato in gruppo. Le domande sono state
proposte come vari momenti di riflessione su quanto presentato, durante il seminario, fino a
quel momento. La partecipazione al questionario era volontaria e anonima, in tal modo non
12
Si è conservata la nomenclatura proposta da Duval (2005, p. 9 – Figure 1). Arpenteur (Agrimensore) :
Misurare i bordi di una superficie: sul terreno o su un disegno (variazioni di scala di grandezze e dunque
procedure di misura). Constructeur (Costruttore): Decomporre una forma in tracciati costruibili con l’uso di
strumenti. Bisogna (spesso) passare a tracce ausiliarie che non appartengono alla figura “finale”. (Trad. C.M.)
Marchini et al. - Un ‘nuovo’ oggetto didattico: l’approssimazione.
9
abbiamo dati ‘trattabili’ in senso statistico, ma mostreremo risultati che ci sembrano
importanti.
Il questionario è costituito da cinque domande. La prima sui programmi di insegnamento
(QP), le altre quattro riguardano aspetti dell’approssimazione (QA1 – QA4). Tutte sono
domande aperte con connotati qualitativi.
Le domande sono ‘ispirate’ alla OM-Approssimazione nei suoi vari aspetti. La QP mira a
verificare se gli insegnanti del campione hanno presente e compresa la OM nelle sue
caratteristiche e nei suoi effetti, anche se non come costrutto teorico, ma come prassi.
Le domande QA sono state proposte per verificare se tecnica e tecnologia (nelle sue due
componenti) della OM sono conosciute e applicate dagli insegnanti intervistati.
La formulazione delle richieste in QA si avvale di domande ‘indirette’, nella forma:
In base alla vostra esperienza quali potrebbero essere le reazioni dei vostri allievi di fronte al problema:
….. (indicare a quale classe vi riferite).
Ciò sulla scorta di una scelta precisa. La richiesta ‘vera’ era “Come fareste voi a presentare
…?”, ma ci pareva che la domanda diretta avrebbe potuto falsare la risposta dell’insegnante,
preoccupato di fare ‘bella figura’ con il richiedente. Con la forma indiretta, a nostro avviso,
l’insegnante ha risposto sulla base delle proprie convinzioni (beliefs) 13 a proposito
dell’approssimazione. Ora i ‘beliefs’ dell’insegnante possono essere identificati in modi
diversi. Qui accettiamo la definizione di Phillip (2007, p. 259):
psychologically held understandings, premises, or propositions about the world that are thought to be true
14
Una parte del sistema di convinzioni produce la creazione di un programma personale
(personal curriculum) che si sostituisce al curriculum ufficiale e che …
it is used to structure lessons and to guide the instructional practice through various steps of contents and
methods to goals of education. (Girnat, 2011, p. 628). 15
Per questo le convinzioni possono prevalere sul testo dei programmi ufficiali e determinare
la didattica. Pertanto assumiamo che le risposte alle nostre questioni QA riflettano le
rappresentazioni che l’insegnante ha dei suoi scopi e del risultato del suo lavoro. In tale
ipotesi, a tutti gli effetti le QA possono essere considerate prossime alle domande dirette:
“Come agireste se doveste presentare la nozione…?” e l’espediente di richiedere le risposte
degli studenti ha costituito una sorta di schermo sul quale ciascun insegnante ha proiettato le
sue convinzioni. In conseguenza di tale ipotesi, possiamo ricavare indicazioni interessanti sul
tema dell’approssimazione, poiché ciò che gli insegnanti del campione presentano come
possibili pareri dei loro studenti sono, in buona parte, gli effetti della didattica che loro stessi
hanno applicato.
La forma con cui sono espresse le QA utilizza la conoscenza comune del contenuto
(“CCK” nel senso di Ball et al., (2008)), in quanto i problemi cui fanno riferimento le QA
erano stati precedentemente formulati e presentati durante sperimentazioni in classe per cui il
linguaggio necessariamente doveva essere elementare. Si è avuto così modo di confrontare le
13
La parola inglese belief è, di fatto, intraducibile in quanto riassume in sé i termini italiani: fede, credenza,
convinzione, conoscenza. Per questo nella letteratura didattica, anche in testi di lingua diversa dall’inglese, si
tende ad utilizzare la polisemia del termine inglese, lasciandolo non tradotto.
14
conoscenze mantenute su base psicologica, premesse o asserzioni sul mondo che sono ritenute essere vere
(Trad. C.M.)
15
è usato per strutturare le lezioni e guidare la pratica educativa attraverso le varie fasi dei contenuti e metodi
verso gli scopi dell’educazione (Trad. C.M.)
Prin 2008PBBWNT
Unità Locale di Ricerca – Parma
10
risposte degli insegnanti con quelle degli studenti, raccolte in precedenza (e disponibili nella
letteratura citata).
Il campione di insegnanti era composto da 45 persone, tenendo conto delle presenze nelle
due diverse occasioni di attività seminariali. I presenti non erano preparati a dover partecipare
attivamente mediante il questionario ed hanno avuto poco tempo per rispondere a ciascuna
domanda. Il fatto che il tempo fosse limitato, a nostro avviso, è utile strumento per ottenere le
prime risposte che si affacciano alla mente dell’intervistato.
La metodologia di somministrazione del questionario è stata peculiare. Prima di formulare
ciascuna domanda, durante il seminario, si era presentata un’argomentazione che avrebbe
permesso ai partecipanti di fornire risposte ‘adeguate’. A questo punto si è sottoposto agli
insegnanti uno stesso questionario in tante copie quante erano le file dei banchi dell’aula in
cui si svolgeva il seminario. In tal modo gli insegnanti hanno avuto anche modo di leggere le
risposte date dai colleghi seduti al loro fianco. Dopo avere raccolto le risposte si sono
illustrati i quesiti, con discussione tra e con i partecipanti e poi si è proceduto a presentare la
situazione successiva su cui fare le relative domande. Questa modalità inconsueta costringe a
considerare la somministrazione del questionario anche come una specie di intervista e di
discussione collettiva, ma anche il canovaccio di un’intervista e lo spunto della discussione.
V.
ANALISI DELLE DOMANDE E DELLE RISPOSTE
Questa sezione ha uno scopo preminentemente descrittivo, non avendo un campione su cui
svolgere una credibile valutazione statistica. In essa presentiamo le idee che hanno ispirato le
domande (una sorta di loro analisi a priori) e le risposte ottenute negli incontri di
aggiornamento.
L’impressione globale che abbiamo tratto dalle risposte al questionario è che da parte degli
insegnanti (del nostro campione), l’approssimazione non sia tenuta in debita considerazione o
forse neppure conosciuta come argomento matematico.
1.
QP
La QP è:
“Nella vostra esperienza quale argomento di Matematica ritenete adatto per invogliare lo studente a farsi
carico in proprio del suo apprendimento (indicare a quale classe vi riferite).”
Si tratta di una domanda molto (forse troppo) generica. Una buona conoscenza delle Nuove
indicazioni (del 2007) e della OM-Approssimazione in base al ruolo unico dell’argomento nel
quadro dei ‘programmi’ ufficiali. avrebbe aiutato a rispondere. Il titolo del seminario non
indicava l’approssimazione come tema ma parlava più genericamente di strategie didattiche
per rendere lo studente soggetto del proprio apprendimento. Avevamo ritenuto che, sulla base
dei ‘programmi’ la questione potesse essere chiara.
La maggioranza delle risposte riguardano il ‘problem solving’ come argomento di
matematica più adatto a coinvolgere e motivare gli studenti. Un simile risultato era atteso, ma
non è accettabile in quanto il ‘problem solving’, nato in contesto diverso dalle matematica
(Dunker) ed applicabile in altri campi, è una metodologia, piuttosto che un argomento
matematico.
A fianco di tale risposta è stata indicata una lista di nozioni scolastiche che richiamano altre
organizzazioni prasseologiche matematiche, oppure tipi di problemi o di tecniche. Per
esempio :
Marchini et al. - Un ‘nuovo’ oggetto didattico: l’approssimazione.
-
11
completare la tavola della moltiplicazione
trovare le aree laterali e totali dei solidi
esponenziali e logaritmi
i grafici delle funzioni
applicazione del teorema di Pitagora
trasformazioni geometriche
costruzioni geometriche
calcolo delle probabilità
uso dell’Euro.
Forse il tempo concesso per rispondere non ha permesso agli intervistati di argomentare in
modo più articolato. Una professoressa di Liceo ha spiegato che aveva risposto ‘le costruzioni
geometriche’ volendo indicare che l’utilizzazione degli strumenti grafici classici e del
software geometrico (due tecnologie) mette gli allievi in una situazione di sperimentazione
motivante così come era domandato nella QA.
Anche se esplicitamente in QA si richiedeva un argomento matematico, ci sono state
risposte fornenti indicazioni metodologiche o psicologiche come:
-
la correzione in classe dei compiti assegnati,
l’aiuto ai compagni di scuola in difficoltà.
Altre risposte suggeriscono l’impressione che per certi insegnanti non sia possibile trovare
argomenti matematici soddisfacenti le richieste di QA. Ciò fa pensare ad una sorta di
‘sconfitta scolastica’. Ad esempio insegnanti di scuola primaria e secondaria hanno scritto che
le uniche cose che interessano i loro allievi sono:
-
le figurine dei calciatori
i braccialetti e le collanine di perline
una canzone dei ‘Muse’.
Tra tutte queste risposte nessun insegnante ha indicato l’approssimazione come tema
possibile, anche se si tratta di un’importante novità delle Nuove indicazioni del 2007. Da ciò
traiamo l’impressione che gli insegnanti (del campione) non tengano conto dei cambiamenti
dei ‘programmi’ in maniera visibile o cosciente, oppure non si siano accorti degli aspetti
metacognitivi dell’argomento. Forse considerano l’approssimazione come un nuovo oggetto
didattico che, finora, non hanno approfondito/affrontato.
Gli attuali insegnanti di matematica nella scuola secondaria (che quindi hanno frequentato
corsi universitari specifici) anche se hanno avuto sicuramente un’esperienza del punto di vista
locale nei loro studi di analisi matematica, è possibile che non abbiano avuto l’occasione di
riflettere su questi aspetti alla luce delle esigenze della loro pratica professionale, stante il
quadro culturale e didattico della loro formazione con programmi in cui non era prevista
l’approssimazione. Non è escluso, inoltre, che questa formazione giochi ora il ruolo più
importante nella costruzione del curriculum personale nel senso di Girnat, senza tener conto
delle novità dei ‘programmi’.
Dopo aver raccolto i fogli con le risposte a QP e fatto una breve discussione, si sono
presentati i punti salienti delle Nuove indicazioni aventi attinenza con l’approssimazione. Per
completezza di informazione è stato anche illustrato il contributo di Kahane e la proposta dei
programmi di Singapore. Tale presentazione ha causato malumori. Una insegnante ha preso la
parola affermando che era, ancora una volta, un cumulo di buone intenzioni che, a suo dire,
non avrebbero mai avuto effetto sulla scuola. E ciò perché, a suo parere, non erano a
disposizione, assieme ai programmi, gli strumenti necessari per trasmettere l’approssimazione
nella realtà della scuola odierna. Tale risposta espressa da una sola persona, ma che appariva
Prin 2008PBBWNT
Unità Locale di Ricerca – Parma
12
come una posizione condivisa anche da altre, ci ha confermato che la OM-Approssimazione
anche se la teoria (o le teorie) su cui si basa può essere conosciuta, incontra difficoltà di
penetrazione nel sistema di convinzioni degli insegnati presenti. Sono, quindi, i tipi di
problemi T che non sono ‘standard’o la tecnica τ o la tecnologia, nelle sue due componenti ad
essere poco chiare, o solo la loro combinazione in una organizzazione prasseologica
matematica.
2.
QA1 – Il laghetto
Per mostrare che erano già disponibili attività che suggerivano un approccio al tema,
abbiamo cominciato a porre introdurre la situazione introduttiva a QA1. Il problema su cui
abbiamo posto la domanda QA1 è tratto Falcade e Rizza (2003), dunque anteriore a MPI
(2007).
Figura 1 – Il laghetto
L’enunciato del problema è :
“Immagina di vedere dall’alto un laghetto di montagna e di disegnarlo ottenendo la figura qui a fianco.
L’area della figura grigia si può misurare? Se sì, come? Se no, perché?”
QA1 per gli insegnanti è stata così formulata :
“In base alla vostra esperienza quali potrebbero essere le reazioni dei vostri allievi di fronte al problema:
L’area di un laghetto (indicare a quale classe vi riferite).”
Gli scopi del problema del laghetto, attività che in classe è stata proposta individualmente
o in piccoli gruppi, in cui gli allievi disponevano di strumenti da disegno (carta, matita, riga o
squadra), possono essere indicati come segue:
-
-
collegare l’esistenza della misura dell’area alla forma della figura più che all’esistenza di
formule per calcolarla;
attivare la ricerca di strategie di misura che non si possono basare sull’applicazione di
formule;
destabilizzare la certezza di poter sempre determinare esattamente il risultato di un
problema;
assumere la consapevolezza che il risultato ottenuto è necessariamente approssimato;
capire che è possibile scegliere fra più metodi di approssimazione o applicare uno stesso
metodo con successivi raffinamenti, rendendosi conto di ottenere risultati con diversi
gradi di precisione;
intuire che, per esempio attraverso quadrettature sempre più fini, ci si può -almeno
teoricamente- avvicinare sempre di più al valore ‘esatto’ della misura dell’area.
Si noti che nella domanda del problema non compaiono misure di lunghezza e non è
richiesta una valutazione numerica dell’area, ma la domanda è di tipo metodologico : “Esiste
l’area ed un metodo per determinarla?” La risposta è implicita in uno degli obiettivi del brano
(5). Si tratta quindi di un problema che riguarda la teoria della misura Θ. La questione
Marchini et al. - Un ‘nuovo’ oggetto didattico: l’approssimazione.
13
specifica di QA1 è se gli allievi (della classe decisa dall’insegnante) posseggono la tecnica τ
adatta allo scopo (ad esempio la scomposizione approssimata in poligoni o una quadrettatura).
Il richiamo del testo alla figura disegnata, suggerisce la tecnologia pratica dello ‘Arpenteur’ e,
nel caso di quadrettature, il conteggio, sul disegno. Dal disegno al lago c’è comunque un
fattore di scala incognito. Ma, proprio per il problema, un approccio mediante il punto di vista
puntuale o di quello globale, richiamato in alcune risposte (degli studenti e degli insegnanti)
che l’area non esiste (o non la posso misurare) perché ‘manca una formula appropriata’ non è
adeguato. Infatti l’area è ottenibile solo in modo approssimato e, sfruttando la componente
teorica della tecnologia, producendo ‘raffinamenti’ delle scomposizioni della figura, che
permettano di avvicinarsi al ‘valore vero’: l’area ottenuta da decomposizioni o da
quadrettature è data dalla coppia di numeri (parti inscritte – parti circoscritte) che possono
approssimarla meglio, grazie a possibili raffinamenti (quindi classi contigue o serie
convergenti), come previsto in (5).
Una insegnante di scuola primaria ha osservato che i suoi scolari in tale situazioni
penserebbero che l’insegnante conosca la risposta. Questa osservazione è importante: rivela,
da un lato, come nella ricerca della formula, la preminenza di un punto di vista puntuale, ma
anche l’influenza di un contratto didattico in base al quale l’insegnante è il detentore della
conoscenza. La maggior parte degli insegnanti di scuola primaria interrogati su questa
affermazione, hanno confermato la presenza di un tale atteggiamento nei loro allievi.
Pochissimi (soprattutto gli insegnanti di scuola primaria) hanno affermato che i loro
studenti avrebbero fatto uso di quadrettature e del conteggio (la tecnica e la componente
pratica della tecnologia) come suggerito in (4) e (5).
3.
QA2 – La macchia.
La domanda QA2 è più esplicita nella direzione dell’approssimazione poiché ella stessa
suggerisce una tecnica τ, la quadrettatura alla quale applicare la componente pratica θp (il
conteggio) della tecnologia, procedura richiamata in (4).
Durante il seminario abbiamo presentato il problema “La macchia” (cfr. figura 2). Esso è
inspirata a Dalla Noce et al. (2000), testo in cui si trova l’analisi a posteriori di questo
esperimento svolto con finalità diagnostiche.
La domanda QA2 per gli insegnanti è :
“In base alla vostra esperienza quali potrebbero essere le reazioni dei vostri allievi di fronte al problema:
La macchia (indicare a quale classe vi riferite).”
Il problema era stato assegnato con i seguenti obiettivi:
-
attivare la ricerca di strategie risolutive che non si possono basare sull’applicazione di
formule;
destabilizzare la certezza di poter sempre determinare esattamente il risultato di un
problema;
assumere la consapevolezza che il risultato ottenuto operativamente è necessariamente
approssimato;
capire che è possibile scegliere fra più metodi di approssimazione o applicare uno
stesso metodo con successivi raffinamenti, rendendosi conto di ottenere risultati con
diversi gradi di precisione
Nel testo del problema la teoria della misura Θ è evidente, così come la tecnica della
quadrettatura e la componente pratica della tecnologia θp, data dal conteggio. La presenza
della seconda quadrettatura richiama la componente teorica della tecnologia, θth,
Prin 2008PBBWNT
Unità Locale di Ricerca – Parma
14
mostrando la possibilità di produrre un processo di raffinamento della quadrettatura col
quale migliorare i risultati, conformandosi a quanto richiesto in (10). Si introduce così la
possibilità di miglioramento legata all’idea di continuità. In ogni caso, il punto di vista
puntuale non è ‘vincente’. I due metodi si avvalgono entrambi della stessa tecnica e della
stessa componente pratica della tecnologia, ma il loro confronto fa intervenire la
componente teorica della tecnologia e il punto di vista locale.
Che bella figura !
Mario e Giovanna devono trovare l'area di
questa figura:
Mario propone di misurare la superficie con
carta a quadretti del primo tipo:
Giovanna con carta a quadretti del secondo
tipo:
E tu che cosa faresti? Hai altre proposte?
Quanto misura secondo te la superficie della
figura? Spiega come l’hai trovata.
Figura 2 – La macchia
Per questo quesito abbiamo avuto 35 risposte. La reazione comune di 15 di esse è stata che
la soluzione proposta da Giovanna è la migliore, ma l’espressione “più approssimata” non è
stata spiegata. Solo due delle 15 risposte (una per la quinta secondaria di secondo grado e una
insegnante della scuola secondaria di primo grado) hanno esplicitamente applicato il punto di
vista locale indicando un intervallo. Una sola risposta ha proposto l’uso di una
decomposizione mediante poligoni. Le rimanenti risposte passano dalla completa
indifferenza, al fastidio. In particolare tra i professori della secondaria di secondo grado (che
insegnano anche argomenti di analisi matematica) abbiamo raccolto le seguenti risposte:
-
Nell’ipotesi che rispondessero penserei che propenderebbero per Giovanna
Risponderebbero “Giovanna” ma poi non continuerebbero.
In quinta liceo direbbero che le due scelte sono indifferenti, perché l’area non cambia.
Non si mostrerebbero particolarmente interessati perché il problema ha scarso rilievo
pratico.
Marchini et al. - Un ‘nuovo’ oggetto didattico: l’approssimazione.
-
15
D’accordo su partire dal problema concreto ma uno di questo tipo susciterebbe molta
ilarità.
Dunque, proprio quando gli studenti (o gli insegnanti) sono alle prese con l’integrazione, le
risposte rivelano incomprensione per un problema prossimo all’integrazione e che mescola
continuità e limiti. In queste risposte si percepisce con una certa evidenza la posizione
personale dell’insegnante e l’apporto delle sue convinzioni.
È interessante confrontare le risposte precedenti con quelle date dagli insegnanti di scuola
primaria alla stessa QA2:
-
I miei alunni [di terza], pur non avendo affrontato l’argomento credo che
sceglierebbero la carta a quadretti di secondo tipo.
[Gli alunni di terza, quarta e quinta] non mostrerebbero particolari reazioni,
proverebbero a contare i quadretti interi (usando probabilmente la quadrettatura più
grande) poi passerebbero ai “mezzi”… incontrando indubbiamente difficoltà con le
linee curve.
Tali affermazioni mostrano che i maestri fanno conto di avvalersi dell’intuizione dei
bambini e considerano, pertanto, che un’attività di questo genere è possibile ed importante
nella scuola primaria. Altre risposte dicono che l’attività è adatta per la scuola secondaria di
primo grado. Ne desumiamo che i più piccoli presentano
the ability to create wealthy images that individuals can handle mentally, can pass through different
representations of the concept and, if necessary, can provide the mathematic ideas on a paper or computer
screen (Lois e Milevicich, 2010, p. 1060) 16
Le risposte dei professori sembrano affermare che questo argomento non è adatto agli
ultimi anni di scolarità. Supponiamo che tale risposta sia motivata dall’evidente scelta di una
tecnologia θp, il conteggio, pratica che sembra poco matematica. Ma ciò mette in evidenza un
profondo iato tra i diversi livelli scolastici, con la possibile perdita dell’intuizione col crescere
della scolarità.
Inoltre la maggior parte delle persone che hanno risposto, mostra di adottare un punto di
vista puntuale poiché non forniscono come risposta coppie di numeri (il numero dei quadrati
contenuti e quello dei quadrati contenenti) come richiesto dalle Indicazioni in (5).
4.
QA3 – Il bersaglio
Si tratta di un’attività di tipo laboratoriale presentata da Andriani et al. (2005), ispirata ad
un quesito di Piaget et al. (1948). Il ‘gioco’, in breve, consiste nel richiedere ad ogni studente
di ricopiare su un foglio di formato A4, restando al proprio posto, un punto disegnato
dall’insegnante su un foglio dello stesso formato e mostrato dalla cattedra. Nel gioco il
docente mette in palio un premio per chi riesce a ricopiare esattamente il punto. La probabilità
che ci sia un vincitore è molto bassa ed allora l’insegnante rilancia proponendo di assegnare il
premio a chi è andato più vicino. Già a questo punto l’attività porta al concetto di intorno di
un punto in R2. In classe, dopo avere verificato i risultati, gli allievi hanno richiesto di rifare
altri tentativi. L’iterazione delle prove, con lo scopo di ‘avvicinarsi’ sempre di più conduce i
discenti ad una situazione che prepara il concetto di limite.
Gli obiettivi del problema del bersaglio sono gli stessi di quelli della macchia. Ma in
questo caso, non è a prima vista evidente la teoria della misura Θ, anche perché a differenza
16
L’abilità di creare ricche immagini che gli individui maneggiano mentalmente, possono passare attraverso
diversi rappresentazioni del concetto e, se necessario, possono fornire le idee matematiche su carta o sullo
schermo del computer. (Trad. C.M.)
Prin 2008PBBWNT
Unità Locale di Ricerca – Parma
16
degli altri 3 tre problemi su cui si ‘innestano’ le domande QA, in QA3 non si tratta di area
(integrazione), si tratta di limite (in R2). Grazie al contesto motivante, è possibile dare
maggior peso al passaggio dalla ricerca di un risultato esatto a quella di un risultato
accettabile, in base alla qualità dell’approssimazione operata.
Per gli insegnanti la domanda è:
“In base alla vostra esperienza quali potrebbero essere le reazioni dei vostri allievi di fronte al problema:
Il bersaglio (indicare a quale classe vi riferite).”
Le risposte degli insegnanti, ancora una volta, riecheggiano quelle ottenute dagli studenti
in sperimentazioni precedenti: risposte positive e negative, come quelle di due studenti di
prima liceo
“Si può accettare perché, entro certi limiti, si può avere una ”tolleranza” ovvero un margine che però può
fare considerare l’attività riuscita”
“Secondo me si può accettare un risultato non esatto perché come in questo caso nessuno è stato in grado
di centrare il bersaglio, quindi ci si è dovuti accontentare”.
E alcuni professori delle superiori esprimono a parole la loro sensazione di fastidio
attribuendola agli studenti:
-
Lo prenderebbero come un gioco senza senso, quindi non si impegnerebbero più di
tanto a centrare il bersaglio.
Alcuni direbbero che è un esercizio che non ha senso, altri andrebbero per tentativi ad
occhio.
Considererebbero l’attività come un gioco di cui non riuscirebbero a capire il fine, non
si chiederebbero neanche quale potrebbe essere lo scopo di tale attività.
Direbbero (o penserebbero) che questo gioco non abbia molto a che fare con il
programma di matematica lo farebbero contro voglia senza impegnarsi a fondo.
Si mettono alla prova, ma difficilmente si innesca un ragionamento statistico
Partecipazione che suppongo scarsa.
In generale, con qualche accezione, gli insegnanti della secondaria di secondo grado
esprimono pareri sostanzialmente negativi su tale attività. Qualcuno si rifugia dietro al fatto
che non hanno avuto un insegnamento di statistica o che avendo affrontato metodo delle
coordinate nel piano i loro studenti vorrebbero fogli quadrettati.
Gli insegnanti della scuola primaria e della secondaria di primo grado sono invece più
aperti a questo ‘gioco’, ritenendolo motivante per i loro allievi. Ma nessuno dei partecipanti
mette in evidenza il potenziale dell’attività per sviluppare l’argomento della approssimazione,
non andando al di là del tipo di problema, cogliendo così quanto previsto in (1).
Un’insegnante di scuola primaria si rende conto che sarebbe un ottimo approccio per
mostrare l’importanza di inserire un sistema di coordinate, usando il righello e la distanza del
punto dai bordi del foglio, atto a determinare la posizione del punto.
5.
QA4 – Quadrettare un rettangolo
Anche il questo caso si tratta di un’attività laboratoriale, presentata in Bisso et al. (2011) e
pensata esplicitamente per alunni del primo ciclo. Si consegna ad ogni alunno un foglio
bianco di forma rettangolare di misura 18 cm × 12 cm, e si preparano sulla cattedra 3 ceste
contenenti tanti foglietti quadrati rispettivamente di lato 7 cm (verdi), di lato 5 cm (blu) e di
lato 6 cm (rossi). Tutte le misure restano ignote agli allievi, che non hanno a disposizione il
righello, ma devono stimarle a vista.
Marchini et al. - Un ‘nuovo’ oggetto didattico: l’approssimazione.
17
L’insegnante mostra un quadrato verde e chiede a ciascun alunno, che risponde dal suo
posto, quanti ne vuole per ricoprire esattamente il rettangolo. Si annota ciò che avviene in
classe. Si ripete il quesito con i quadrati blu. Alla fine si propongono i quadrati rossi e si
consegnano i quadrati richiesti da ciascun allievo.
L’obiettivo dell’attività, coerente con quanto richiesto in (7) e (9), è mettere in luce la
differenza tra l’esistenza dell’area e la sua determinazione, eventualmente approssimata. Si
tratta quindi di un’attività relativa alla teoria della misura Θ. Appare importante anche la
distinzione tra la dicotomia le due componenti della tecnologia, quella teorica θth che in
presenza di un problema ‘concreto’ riflette sulla esistenza di una misura ‘precisa’ e quella
pratica θp che per trovare la soluzione del problema non si può esimere dal cercarne e
determinarne una soluzione attraverso un processo di misura.
La domanda QA4 per gli insegnanti è stata:
“In base alla vostra esperienza quali potrebbero essere le reazioni dei vostri allievi di fronte al problema:
Quadrettare un rettangolo (indicare a quale classe vi riferite)”
Ancora una volta la risposta degli insegnanti di secondaria di secondo grado è, per lo più,
su toni negativi ( talvolta non sembrano aver colto appieno il problema):
-
-
Il problema non specifica una ricopertura esatta e neppure la “migliore ricopertura”.
Tentativi con quadratini da 7 (per fare prima) o da 6 (con questi forse qualcuno che
“ricorda” problemi analoghi visti in aula all’inizio dell’anno, ma meno “aperti”.
Nessuno credo utilizzerebbe i quadratini da 5.
Proverebbero a svolgere il problema senza la consapevolezza del concetto di
approssimazione.
Penso tutti chiederebbero 6 quadrati. Forse ci sarebbe una predilezione per i quadrati
più grandi. Forse sottovaluterebbero la difficoltà dell’esercizio.
Penso che all’inizio gli studenti darebbero una risposta casuale senza capire cosa c’è da
fare. Ripetendo l’attività più volte si potrebbero ottenere buoni risultati.
Visto come gioco viene accettato, ma senza troppe ripetizioni.
Unica voce ‘dissonante’ quella di una professoressa che afferma:
-
Penso che l’attività possa essere accolta positivamente, con curiosità. Penso che
sceglierebbero i quadrati più piccoli, nella convinzione di ottenere una migliore
approssimazione.
Nella scuola primaria sembrano prevalere motivi estetici:
-
-
-
Alcuni sceglierebbero i quadrati in base al colore da loro preferito, altri sceglierebbero
i quadrati più grandi pensando di fare prima a ricoprire il foglio.
Prima scelgono il colore preferito. Quando iniziano a capire quale richiesta, in realtà,
devono soddisfare, si concentrano anche sulla quantità. Solo al terzo tentativo iniziano
ad avere un’idea del fatto sia necessario anche considerare la misura dei quadrati.
In terza sceglierebbero in base al colore preferito o lo stesso scelto dall’amico. In classe
4° e 5° anche in base alla grandezza dei quadretti (forse); alcuni bambini, dopo aver
visto i diversi quadrati, cerano di fare una stima del numero dei quadrati necessari.
Difficilmente ripeteranno l’attività con quadrati diversi, ma si fermeranno alla prima
prova.
Scelta del colore preferito
Nella scuola secondaria di primo grado gli insegnanti denotano la loro approvazione
rilevando il carattere ludico del problema.
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Unità Locale di Ricerca – Parma
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Anche in questo quesito, e non ostante si trattasse del quesito finale del seminario in cui si
era parlato a lungo della approssimazione, tale concetto e le sue caratteristiche sono apparse
ben poco.
VI.
CONCLUSIONE
A nostro parere le risposte ottenute si possono ritenere rivelatrici di una disistima generale
dei documenti ufficiali. Essi paiono lontani dalla scuola reale e dai suoi problemi quotidiani
ed anche appare forte il ruolo dell’esperienza dei docenti che si sono formati prima della
promulgazione delle Nuove indicazioni e che potrebbero continuare a gestire la scuola lontano
dalle esigenze di oggi, non ostante queste siano ufficializzate nei ‘programmi’.
Sembra che manchi il coraggio di affrontare « le questioni in cui la tecnica si applica ad
argomenti nuovi » (Castela, 2008, p.171). A nostro parere è evidente che la formazione degli
insegnanti non può essere un procedimento finito, in quanto i cambiamenti introdotti dai
programmi durante la loro vita lavorativa non possono essere interamente previsti prima della
loro entrata in attività. Gli insegnanti del campione hanno comprovato che senza un’adeguata
formazione è difficile adattarsi ai cambiamenti, anche se sono utili e favoriscono l’attività di
insegnamento/apprendimento. Gli sforzi dei gruppi di ricerca e delle società scientifiche
possono dare al governo suggerimenti efficaci. Essi, però raggiungono che una minoranza
troppo esigua degli insegnanti in servizio per poter sperare (come in altre occasioni si è
pensato) che questi docenti ‘esperti’ siano poi motori di un processo capace di cambiare in
breve tempo i paradigmi ricevuti con la formazione iniziale dalla maggioranza del corpo
docente.
In Italia ci sono stati pochi cambiamenti dei programmi scolastici, e tutti sono “piovuti dal
cielo” sulla testa degli insegnanti. Gli sforzi per una diffusione preventiva dei nuovi contenuti
tra gli insegnanti in servizio e quelli in formazione non sono stati sufficienti. Ed inoltre non
possono essere episodici, ma devono far parte di un processo continuo e duraturo. Sappiamo
che questa evoluzione cozza contro le difficoltà economiche (ed anche alla sotto-stima della
cultura).
Per tornare all’approssimazione, la nostra proposta è che serve una familiarizzazione con la
tecnica e le componenti della tecnologia richieste nella OM-Approssimazione ed anche il
cambiamento del punto di vista da puntuale a locale. Al momento attuale qualche cosa
potrebbe entrare nell’insegnamento degli ultimi anni della secondaria di secondo grado con
gli argomenti che richiedono intrinsecamente il punto di vista locale, limiti, derivate, sviluppi
in serie, ma sarebbe importante che la cosa fosse preparata a partire dalla scuola primaria,
sfruttando e sviluppando le potenzialità di intuizione dei più piccoli. Le ricerche che abbiamo
prodotto su questo tema ci confortano in questo approccio e ci dicono che gli allievi di scuola
primaria hanno intuizioni che devono essere valorizzate e sfruttate con una cura costante in
tutti i livelli scolastici.
VII
BIBLIOGRAFIA
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