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Corso di Laurea Magistrale in Matematica
Complementi di Analisi n. 2
Programma svolto A.A. 2009/10
Prof. Lorenzo Pisani
Proprietà delle funzioni olomorfe
Generalità sui cammini: operazioni, equivalenza. Integrale di una funzione lungo un cammino.
Analiticità dell’integrale di Cauchy.
Indice di un punto rispetto ad un circuito.
Primitive: condizioni necessarie e sufficienti per l’esistenza.
Teorema di Cauchy in un triangolo (con un punto singolare; teorema di Goursat come caso
particolare). Teorema di Cauchy in un convesso (con un punto singolare).
Formula di Cauchy in un convesso.
Formula di Cauchy in un cerchio; principio del massimo modulo.
Analiticità delle funzioni olomorfe.
Proprietà equivalenti all’olomorfia: esistenza di primitive locali e caso particolare del Teorema di
Morera. Cenni sull’incollamento di primitive locali.
Stime di Cauchy per le derivate. Teorema di Morera-Weierstrass.
Classificazione delle funzioni olomorfe su C. Teorema di Liouville; Teorema fondamentale
dell’algebra.
Zeri di funzioni olomorfe. Teorema di struttura dell’insieme degli zeri. Molteplicità di uno zero.
Prolungamento analitico.
Formula di Laurent in una corona circolare. Sviluppo di Laurent in una corona circolare. Sviluppo
di Laurent in un punto singolare isolato.
Classificazione dei punti singolari non eliminabili: poli e singolarità essenziali.
Caratterizzazione dei poli di ordine fissato, dei poli di ordine imprecisato e delle singolarità
essenziali.
Sviluppo di Laurent all’infinito.
Residuo in un punto (al finito). Teorema dei residui in un convesso.
Elementi di analisi funzionale - 1
Generalità sugli spazi di Banach. Caratterizzazione della completezza con le serie.
Sottospazi. Base topologica. Spazi separabili.
Somma diretta. Supplementare. Iperpiani.
Spazi di successioni l∞, c, c0, lp, c00: base topologica e separabilità, completezza. Disuguaglianza di
Hölder per le successioni.
Operatori lineari limitati. Somma diretta topologica. Immersioni continue.
Operatori lineari limitati dal basso. Isomorfismi topologici ed isometrie.
Completamento di uno spazio normato (senza dimostrazione).
Spazi normati di dimensione finita: equivalenza delle norme, limitatezza degli operatori lineari.
Teorema di Riesz sulla dimensione.
Spazio degli operatori lineari limitati. Convergenza forte ed in norma di operatori, caso degli spazi
di dimensione finita. Completezza dello spazio degli operatori lineari limitati.
Funzionali (lineari) limitati. Caratterizzazione degli iperpiani.
Spazio duale. Lemma di Separazione (senza dimostrazione). Immersione di uno spazio normato nel
suo biduale.
Elementi di analisi funzionale - 2
Generalità sugli spazi di Hilbert.
Isometria di Riesz e Lemma di separazione.
Proiezione su un convesso chiuso.
Proiezione su un sottospazio chiuso.
Complemento ortogonale.
Decomposizione ortogonale e conseguenze. Unicità del supplementare ortogonale.
Teorema di Riesz.
Riflessività degli spazi di Hilbert.
Successioni ortonormali.
Coefficienti e serie di Fourier (disuguaglianza di Bessel).
Comportamento della serie di Fourier rispetto alle permutazioni della successione ortonormale.
Sistemi ortonormali completi (uguaglianza di Perceval). Base hilbertiana.
Spazi di Hilbert separabili: esistenza di una base hilbertiana, isomorfismo isometrico con l2.
Cenni sulla teoria classica delle serie trigonometriche.
Elementi di analisi reale
Norme integrali sullo spazio C([a,b]).
Disuguaglianza di Hölder. Confronto tra norme di ordine diverso. Limite delle norme integrali.
Non completezza di C([a,b]) con le norme integrali.
Richiami di teoria astratta dell’integrazione secondo Lebesgue.
Spazio delle funzioni di potenza p sommabile con la relativa seminorma. Cenni sulle funzioni
essenzialmente limitate. Disuguaglianza di Hölder.
Relazione di uguaglianza quasi ovunque per funzioni misurabili.
Spazi Lp come spazi quoziente. Immersioni continue ed interpolazione.
Teoremi di convergenza dominata (in L1 ed Lp).
Rapporto tra la convergenza in media e convergenza quasi ovunque.
Teorema di convergenza dominata per le serie.
Teorema di Fisher-Riesz sulla completezza degli spazi Lp.
Densità del sottospazio delle funzioni continue a supporto compatto in Lp(RN) e Lp(A).
Testi consigliati
W. Rudin, Analisi reale e complessa, Bollati Boringhieri
P. Cannarsa, M.T. d’Aprile, Introduzione alla teoria della misura e all’analisi funzionale, Springer
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi matematica due, Liguori
H. Brezis, Analisi funzionale, Liguori