Soluzioni

Foglio 1: Antipasti
Esercizio 1
1. ∀ x ∈ N ∃ k ∈ N : x = 2k. Falso, si pensi a n = 1.
2. ∀ x ∈ N ∃ k ∈ N : x = 2k ∨ x = 2k + 1. Vero
3. ∀ x ∈ C ∃ y ∈ C : xy = 1. Falso, si pensi a x = 0.
4. ∀ x ∈ Z( ((∃ y ∈ Z : xy = 1) ∧ (x 6= ±1)) ⇒ (∃ k ∈ Z : x = 42k) ). Vero: gli
unici invertibili di Z sono ±1.
5. ∃! x ∈ Z2 : ∃ y ∈ Z2 : xy = 1. Vero
6. ∀ A ⊆ R ∃ f : R → R : ∀ x ∈ R( (f (x) = 1 ⇔ x ∈ A) ∧ (f (x) = 0 ⇔ x 6∈ A) ).
Vero
7. Non formalizzabile a causa del riferimento a “questo foglio”.
8. Paradosso del mentitore
9. ∀ p ∈ K[x](deg(p) > 0 ⇒ ∃ x0 ∈ K : p(x0 ) = 0). Falso: x2 + 1 non ha radici su
R.
10. (∃ k ∈ N : 4 = 2k) ∨ (∃ h ∈ N : 4 = 3h). Vero
Esercizio 2
1. 1 + i, i, 1, −i
√ √
√
√ √
2. 2 + π, 2π, 22 , ππ
√
√
3. (27 + 3√1 3 )i, −3 3, −3 3i, −i
27
4. 1, 0, 6 ∃, 1
5. 2 + (1 +
√
√
√
√
7)i, − 7 + 2i 7, 52 − 5i , −i7 7
Esercizio 3
1. (x + 3)(x − 3) su R, C e (x + 1)2 su Z2 .
2. x2 + 9 su R, (x + 3i)(x − 3i) su C e (x + 1)2 su Z2 .
3. (x − 1)(x − 2) su R, C e x(x + 1) su Z2 .
4. (x − 1)(x − 2)(x + 3) su R, C e x(x + 1)2 su Z2 .
Esercizio 4
1. p = q(x − 1). sı̀.
2
2. p = q( x2 + 34 x + 98 ) +
3. p = q(3x + 32 ) +
x
2
27
.
8
no.
+ 1. no.
4. p = q − 9. no.
√
√
5. p = q(x3 + 2x2 + 2x + 2 2). sı̀.
1
6. p = q(x3 − 6x2 + 2x − 1). sı̀.
Esercizio 5
1. Su R si ha x =
22
,y
13
=
−3
.
13
Su Z2 si ha x = 0, y = 1.
2. Su R si ha x =
3
,y
11
=
10
.
11
Su Z2 si ha x = 1 e y qualunque.
3. Su R si ha x = 21 , y =
−1
,z
3
= 65 . Su Z2 non ci sono soluzioni.
4. Su R non ci sono soluzioni. Su Z2 si ha x = t = z = 1 e y qualunque.
5. Su R ci sono infinite soluzioni. Su Z2 si ha x = 0, y = 1 oppure x = 1, y = 0.
6. Non ci sono soluzioni né su R né su Z2 .
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