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IL PROBLEMA DELLE SCORTE
Un problema di Ricerca Operativa, di notevole interesse pratico, è “ il problema
della gestione delle scorte”, detto anche di “controllo delle giacenze di
magazzino”. Esso riguarda ogni impresa che impiega materie prime, di cui deve
rifornirsi e di cui deve conservare scorte in magazzino. In base al consumo di tali
materie prime, al costo di ordinazione e ai costi di magazzinaggio, l’impresa deve
decidere la quantità ottima da ordinare ogni volta e, di conseguenza, il numero di
ordinazioni da effettuare in un certo periodo di tempo , afinchè il costo totale sia
minimo. Notiamo che, considerando i costi fissi delle ordinazioni, risulta più
conveniente aumentare la quantità di ciascun ordine , e quindi ridurre il numero delle
ordinazioni, soprattutto se il fornitore concede sconti su acquisti di importo maggiore,
mentre, considerando i costi di magazzinaggio, risulta più conveniente avere meno
scorte e quindi fare più ordinazioni. Pertanto, gestire “il problema delle scorte”
significa attuare quella politica di approvvigionamento che rende minimo il costo
totale ottenuto dalla sommatoria dei costi di ordinazione , di magazzino e di
acquisto del materiale . Per studiare questo problema, è necessario fare alcune
semplificazioni, diversamente il “problema delle scorte” sarebbe un problema di
scelta in condizioni di incertezza, cioè dobbiamo supporre che:
1. I tempi di consegna siano nulli, cioè le consegne avvengano subito dopo
l’ordinazione, rendendo possibile effettuare quest’ultima al momento
dell’esaurimento delle scorte.
2. Il consumo sia costante per ogni unità di tempo, cioè la quantità di materie
prime ordinata sia sempre la stessa e le ordinazioni vengano fatte ad intervalli
regolari.
3. I prezzi di acquisto non subiscano variazioni nel tempo, cioè non influenzino
l’acquisto di maggiori o minori quantità di merce.
In base a tali ipotesi, indicando con la quantità di merce (materia prima) da
ordinare ogni volta, all’inizio del periodo arriva la merce ordinata. Avendo
supposto un consumo uniforme nel tempo, il livello della scorta decresce in modo
rettilineo e diventa nullo un istante prima che arriva la merce dell’ordinazione
successiva. La situazione si può schematizzare, in funzione del tempo , attraverso il
seguente diagramma detto “ a denti di sega ”. Si tratta del grafico di una funzione
periodica di periodo (il suo andamento si ripete ad ogni ), discontinua, con
discontinuità di terza specie non eliminabile [infatti lim"→$% (&) = &, mentre
lim"→$( (&) = 0] per = , 2, 3 ecc. ove presenta un salto di ampiezza &.
Diagramma “a denti di sega”
./012
&
3
4
0
2
3
5670/
ANALISI DEL COSTO TOTALE
1. Costo di ordinazione: = 9 ∙ ∙ Ogni ordinazione comporta una spesa che è indipendente dalla quantità ordinata &; è un costo fisso che deriva da
spese di corrispondenza e trattative con i fornitori, da spese amministrative di
carico e scarico, da spese legali. Nota la quantità di materia prima ;,
occorrente in genere in un anno,
<
3
è il numero = di ordinazioni da effettuare
nello stesso intervallo di tempo. Il prodotto 9 ∙
ordinazione, riferito ad un anno.
si chiama, appunto, costo di
2. Costo di magazzinaggio: = > ⋅ . Decorre dal momento dell’ingresso
@
della merce in magazzino sino al momento del prelievo e deriva dalle spese per
la conservazione della merce (assicurazione contro danni o furti, sorveglianza,
deperimento della merce). Esso si calcola in percentuale o proporzionalmente
alla scorta media
minima zero,
@
@
=
, media aritmetica tra la giacenza massima & e
AB
@
prende il nome di giacenza media delle scorte in magazzino.
Indicato con > il costo unitario della scorta nello stesso intervallo di tempo,
risulta che il costo di magazzino è proprio = > ⋅ ∙
@
3. Costo di acquisto del materiale : è riferito ad ogni unità di merce
acquistata ed è comprensivo delle spese di trasporto. Occorre distinguere il
caso in cui è costante da quello in cui si prevedono riduzioni per acquisti
superiori ad una certa quantità D. Nel primo caso si può trascurare perché non
dipende da & e, detta / la capacità di magazzino, il modello matematico risulta:
E==
+>
A<&≤/
@
Essendo I, ;, 9, &, . quantità positive, il grafico del costo riguarda solo il primo
quadrante dove la funzione presenta un minimo.
STUDIO DELLA FUNZIONE DEL COSTO TOTALE1
C. E. = ∀ ∈ ℝB ;
= MNO
→BV
E\ =
]
@
B>
@
+>
@
= 4 ed X = YZ→BV P
W
+@>0⇒
>
MNO→A% P
]@B>@
@@
Q = +∞ ⇒ = A (as. verticale dx), essendo
+>
@
> 0 ⇒ .& 4 - 29; > 0 ⇒ & = _
`(&) = a2.9; ⟹ ONcNOd ef
i=
− > @Q = 0 ⇒ E = > @ (as. obliquo)
(numero di ordinazioni nel periodo ), =
@
ZX
>
@
, a@>g ;
>
jkA
i
(frequenza delle ordinazioni)
CASI POSSIBILI
C/y
C/y
(a)
(b)
0
1
&l
/
&
0
/
&l
&
La funzione è del tipo ` = 2& + 3 con 2, n > 0 e prende il nome di iperbole non equilatera. Essendo una funzione
m
somma di due, una retta per l’origine ` = 2& e una iperbole equilatera riferita agli asintoti ` = , dal prodotto qr
costante, essa ammette un minimo quando le due funzioni sono uguali. Ponendo 2& =
m
3
m
3
si ricava & = _
m
s
da cui,
per sostituzione, si trova ` = 2_ + n_ = √2n +√2n = 2√2n . Il procedimento seguito per determinare il minimo,
m
s
s
m
ha la seguente interpretazione geometrica: Tra tutti i rettangoli di area assegnata, quello di perimetro minimo è il
quadrato. Infatti, dette & ed ` le dimensioni del rettangolo, il problema si traduce nel seguente modello:
w
w
w
u = & + `, soggetta al vincolo &` = ℎ. Risolvendo per sostituzione: ` = 3 si ha u = & + 3 e u \ = 1 − 3 y da cui si ha
& = ` = √ℎ . Ciò prova che il perimetro è minimo se la figura ha le dimensioni uguali e, quindi, se è un quadrato.
Dai due grafici precedenti si vede che in assenza di riduzioni di prezzo, per
cui ;7 è trascurabile, il minimo si ha in &l se &l < / , igura (a), mentre si
ha in / se &l > /, igura (b). Invece, se D è la quantità da acquistare per avere
diritto ad uno sconto sul prezzo 7 della merce il modello matematico diventa:
} = + > + { ~
@
|
{@ = + > + \
@
z
A<&<
≤≤€

In tal caso, si possono presentare, sostanzialmente, le situazioni seguenti:
I/`
I/`
(c)
0
&l
D
/
I‚
I4
(d)
&
0
I‚
I4
&l
/
D
&
Dalla figura (c), essendo 7′ < 7, ed &l < D < /, si vede che il minimo si ha in
D perché bisogna scegliere la funzione I4 di costo minore che è definita per
& ≥ D, ossia nell′ intervallo „D, +∞„ , a meno del vincolo / della capacità.
Dalla figura (d), invece, si vede che, pure in presenza di riduzioni, non si può
accedere ad esse in quanto il magazzino non lo consente, essendo &l < / < D
(oppure / < &l < D), per cui si ha il minimo in &l (oppure in / se risulta
/ < &l ), dovendo considerare la funzione I‚ .
Una variante al grafico (c) si presenta quando il minimo della funzione si trova
dopo la riduzione D cioè risulta D < &l < /, e questo accade se la funzione
dopo D continua a decrescere e raggiunge il minimo tra D e /, in tal caso la
soluzione di minimo costo complessivo si trova proprio in &l e non in D.