File di presentazione dell`attività

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Favilli, F., Maffei, L. & Romanelli, C.
Disegni sulla sabbia (SONA) ed Aritmetica: quale relazione?
Franco Favilli, Laura Maffei, Carlo Romanelli
Nucleo: Relazioni e funzioni
Esplorazione di
SONA
Per mezzo di interazione fra pari con il supporto
di
Software
SonaPoligonali
Carta e penna
Attraverso la formulazione di congetture, le discussioni collettive
guidate dall’insegnante hanno lo scopo di
Riconoscere
regolarità nel
tracciamento di
sona
Scoprire
relazioni fra le
‘dimensioni P e
Q dei sona’
Fare ipotesi sulla
relazione fra P,
Q e il numero N
di linee chiuse
Sfruttando i concetti di ‘multiplo’ e ‘divisore’ di un numero naturale, che emergeranno durante la
discussione, fino a far coincidere N con il ‘più grande divisore comune a P e Q’, l’insegnante ha cura di
Definire il concetto
di ‘Massimo
Comune Divisore’
(MCD)
Presentare
metodi
‘tradizionali’ di
calcolo di MCD
Mettere in risalto
l’efficienza dei
metodi presentati
in base al contesto
Tematica: Costruzione del concetto di Massimo Comun Divisore a partire dall‟analisi di tracciati
prodotti, con apposito software od a mano, nel rispetto di regole implicitamente assegnate e
riconosciute. I tracciati utilizzati corrispondono ad attività grafiche (i SONA) caratteristiche di
culture indigene dell‟Africa e dell‟Asia.
Finalità e obiettivi di apprendimento: Riconoscere regolarità e proprietà in contesti diversi.
Individuare multipli e divisori di un numero naturale e multipli e divisori comuni a più numeri.
Comprendere significato ed utilità del divisore comune più grande, anche in situazioni di
problem solving. Scomporre numeri naturali in fattori primi.
Metodologia: Esplorare tramite software ed attività grafica*. Riflettere e congetturare.
Argomentare fra pari e con l‟insegnante.
*Ove non sia possibile fare utilizzare il software agli alunni, tutte le attività potranno essere
condotte esclusivamente con carta e penna. In tal caso, però, poiché tutti i tracciati saranno
eseguiti a mano, occorre prevedere un tempo maggiore per il completamento delle attività
proposte. Sarebbe comunque auspicabile che in classe fosse disponibile almeno un PC con il
software installato e collegato ad un videoproiettore.
Condizione, problema o stimolo da cui nasce l'attività
Il concetto di M.C.D. risulta spesso di scarso interesse per gli alunni, soprattutto a causa
della difficoltà di riconoscere la motivazione della sua introduzione nel momento in cui
questa avviene. Per gli alunni, il concetto di M.C.D., per l‟intrinseca semplicità del suo
significato strettamente linguistico, si identifica, pressoché immediatamente, con l‟algoritmo
per il suo calcolo. L‟attività proposta si prefigge di superare questa identificazione tramite la
posizione di un problema di natura apparentemente grafico / geometrica. Infatti, attraverso
l‟analisi del tracciato (ottenuto sia tramite uno specifico software che manualmente) di
particolari linee, con questa attività viene proposto un percorso che, a partire
dall‟individuazione di regolarità in tali tracciati, arriva alla esigenza di introdurre la nozione
di M.C.D. fra due numeri.
Lo scenario da cui la proposta trae lo spunto può essere particolare stimolante per
l‟attenzione degli alunni, in quanto è rappresentato da antiche pratiche adottate da
contastorie della tradizione popolare di alcune aree dell‟Angola, ma anche dell‟Asia centromeridionale e della Polinesia. Queste persone, pressoché illetterate, accompagnano il loro
racconto disegnando sulla sabbia una serie di punti, ordinati in forma di tabella, e
tracciando, in modo obliquo, una linea continua, seguendo determinate regole ed avendo il
fine di racchiudere tutti i punti. L‟illustrazione di alcuni tipici disegni (detti SONA) prodotti
da questi contastorie, oltre a catturare ancora di più l‟attenzione degli alunni, li rende
partecipi di culture profondamente differenti da quella occidentale e mostra come tali
narratori siano capaci di valutare il M.C.D., nel momento in cui effettuano la scelta iniziale
delle dimensioni della tabella che costituisce il supporto per l‟attività grafica che
accompagna il racconto.
Questa attività, presentata in aula in maniera dinamica e interattiva con l‟impiego di
apposito software grafico e di apposite schede, favorisce la formulazione di congetture e il
loro controllo da parte degli allievi stessi.
La semplicità dei prerequisiti permette di affrontare l‟attività fin dalla classe prima di una
scuola secondaria di primo grado
Prerequisiti richiesti ai ragazzi per svolgere l’attività
Multipli e divisori di un numero. Numeri primi.
Strumenti forniti agli allievi
Software SonaPoligonali_1.1 con scheda introduttiva al suo uso. Schede per il lavoro in
classe, comprensive di tabelle per annotare i risultati delle esperienze fatte e di esempi di
disegni Sona.
Organizzazione della classe e metodologia
L‟attività proposta viene svolta nell‟aula informatica. Nelle fasi di utilizzo del software gli
alunni lavorano a coppie.
L‟utilizzo del software consente di esplorare situazioni, riflettere e congetturare. Per favorire
la riflessione, viene richiesto un uso consapevole del software tramite l‟introduzione in esso
di una limitazione al suo utilizzo. Le fasi di riflessione e congettura possono/devono essere
accompagnate da attività grafiche con carta e penna. Le congetture, presentate all‟intera
classe, devono essere sostenute da opportune argomentazioni ed offerte alla discussione fra
pari.
Nelle fasi di argomentazione e discussione collettiva il ruolo dell‟insegnante è principalmente
quello di facilitatore, lasciando alla classe il compito di obiettare, ribattere, fornire esempi e
contro-esempi a favore o contro le diverse possibili congetture, concludere il percorso che
porta gli alunni alla “scoperta” del M.C.D.
Fasi e tempi (indicativi)
La proposta didattica consiste di tre attività della durata complessiva di cinque ore e di due
altre attività, della durata di un‟ora ciascuna, pensate come raccordo fra il nuovo percorso
proposto per l‟introduzione del M.C.D. e quello tradizionale, con il relativo algoritmo di
calcolo.
Attività
1
2
3
4
5
Luogo *
classe
aula computer
aula computer
classe
aula computer
Scheda
Attività 1
Attività 2
Attività 3
Attività 4
Attività 5
Tempo
2h
1h
2h
1h
1h
* Ove non sia possibile utilizzare il software, tutte le attività potranno essere condotte
in classe utilizzando solo carta e penna.
Software utilizzato per realizzare l'unità:
Maffei, L. & Favilli, F. (2009). SonaPoligonali_1.1.zip (in allegato)
Biblio - Sitografia
Favilli, F. (2005). Matematica ed Intercultura: quale didattica? Introduzione,
inquadramento teorico e risultati di ricerca. Atti del XXII Seminario Nazionale di ricerca in
didattica della matematica. [http://www.dm.unito.it/semdidattica/favilli.pdf]
Favilli, F. (2009). Alunni di cultura minoritaria e competenze matematiche: una sfida per gli
insegnanti!. In Imperiale, R., Pesci, A., Sandri, P. & Vighi, P. (eds.), Le competenze
matematiche per l‟identità, l‟autonomia, la cittadinanza, pp. 123-128. Bologna: Pitagora
Editrice.
Gerdes, P. (1999). Geometry from Africa. Mathematical and Educational Explorations. The
Mathematical Association of America: Washington, D.C.
Maffei, L. & Favilli, F. (2004). Piloting the software SonaPolygonals_1.0: a didactic proposal
for the GCD, in Favilli, F. (ed.), Ethnomathematics and Mathematics Education Proceedings of the ICME10-DG15, pp. 99-106. TEP: Pisa.
[http://www.icme-organisers.dk/dg15/DG15_LM&FF_final_ed.pdf]
Michieli Vitturi (de), M. & Favilli, F. (2006). Sona drawings, mirror curves and pattern
designs. Proceedings of the 3rd International Conference on Ethnomathematics – Cultural
Connections and Mathematical Manipulations. University of Auckland.
[http://www.math.auckland.ac.nz/Events/2006/ICEM-3/MoreAbstracts.html]
Scheda per lo studente
Verifica dei requisiti
Cognome:
Nome:
SCUOLA
DATA
Tempo a disposizione: 30 minuti
Consegna 1. Sicuramente saprai che 3·7 = 21. Quali di queste affermazioni sono vere?
a) 3 è un multiplo di 21
b) 3 è un divisore di 7
c) 7 è un divisore di 3
d) 7 è un divisore di 21
e) 21 è un multiplo di 3
f)
21 è un multiplo di 7
g) 3 divide 21
V
F
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
V
F
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
Consegna 2. Quali di queste affermazioni sono vere?
a) Considera i numeri 3 e 5. Il loro prodotto è un numero primo
b) 33333 non è un numero primo
c) 234567894 è un numero primo
d) 13 è un numero primo
e) il triplo di numero primo è un numero primo
Consegna 3. Considera il numero 36.
E‟ un numero primo? ________________________
Se non lo è, indica almeno due suoi divisori
____________________________________________________
Scheda per il laboratorio di informatica
Il software utilizzato per l‟attività in classe è l‟applet Java SonaPoligonali_1.1. Tale versione
del software è stata implementata modificando SonaPoligonali_1.0 (Maffei & Favilli, 2004) in
modo che fosse più efficace per il raggiungimento degli obiettivi didattici dell‟unità di
apprendimento proposta.
Descrizione
SonaPoligonali_1.1 è un software grafico per disegnare i sona (al singolare, lusona), attività
grafiche sulla sabbia caratteristiche di culture indigene dell‟Africa, dell‟Asia e dell‟Oceania.
Il software traccia sona, per mezzo di un algoritmo ricorsivo, a partire da un reticolo di P×Q
punti e calcola il numero N di linee richieste per tracciarlo.
Gli input del programma sono due numeri naturali, P e Q, che rappresentano le dimensioni del
reticolo, ed un'ordinata Y0, che costituisce il punto da cui si decide di far iniziare il disegno del
lusona. Y0 deve essere un numero dispari in quanto il reticolo di P×Q punti viene inserito dalla
procedura in un rettangolo di dimensioni 2P e 2Q (Fig.1).
Fig. 1. L'interfaccia del software SonaPoligonali_1.1.
Raggiunto il limite dei 10 utilizzi consentiti, se l‟utente prova a inserire nuovi valori per P o Q, il
software mostra una finestra di avvertimento (Fig. 2) in cui l‟utente è avvertito
dell‟impossibilità di procedere. (Nota per l‟insegnante: tale limitazione è fittizia, in quanto il
software riprenderà a funzionare qualora venga chiuso e nuovamente aperto).
Fig. 2. La finestra di avvertimento del software dopo 10 prove.
Installazione
Requisiti minimi richiesti: Un browser provvisto di plugin per Java Virtual Machine.
Per installare il software è necessario estrarre la cartella SonaPoligonali_1.1 dalla cartella
SonaPoligonali_1.1.zip.
Per accedere al software è necessario aprile il file SonaPoligonali_1.1.htm. Si consiglia di creare
il collegamento a tale file sul desktop di ogni computer degli alunni, in modo che ogni alunno
possa accedere al software aprendo tale collegamento.
Attività 1
‘Impariamo a tracciare’
Cognome:
Nome:
Cognome:
Nome:
SCUOLA
DATA
Consegna 1. Osservate con attenzione la seguente figura.
Consegna 2. Provate a completare il tracciato.
Consegna 3. Ripetete il medesimo tracciato sul reticolo vuoto.
Consegna 4. Scrivete le regole che avete seguito per disegnare il tracciato.
Consegna 5. Dopo averne parlato con l‟insegnante e con i vostri compagni, dovrebbero esservi
più chiare le regole per tracciare il disegno. Con queste nuove informazioni, scrivete di nuovo le
regole che avete seguito.
Consegna 6. Qual è, secondo voi, lo scopo di tracciare tale disegno?
Consegna 7. Provate ora a disegnare il tracciato nel caso di un reticolo (3,2), tenendo
presente lo scopo e seguendo le regole individuate.
Provate poi a disegnare il tracciato nel caso di un reticolo (4,3).
Indicazioni per il docente
Attività 1
‘Impariamo a tracciare’
Tipologia: Attività di esplorazione, verbalizzazione e congettura
Obiettivo didattico: Individuare le regole di tracciamento del „disegno‟ (Lusona, sing. – Sona,
pl.).
Tempo: 2 ore
Fase 1: Osservazione e tracciamento
In questa fase gli alunni lavorano in maniera individuale. Una volta consegnata la scheda, li si
dovrà lasciarli liberi di interpretare e „leggere‟ il tracciato parzialmente disegnato (Consegna 1),
completare le linee tracciate (Consegna 2) e ridisegnare l‟intero tracciato (Consegna 3), senza
fornire loro ulteriori indicazioni (punti 1, 2 e 3).
Analisi delle Consegne 1, 2 e 3 – Gli alunni sono esplicitamente invitati ad osservare prima di
iniziare a disegnare. L‟invito non è superfluo: una „lettura‟ attenta del tracciato parziale
consente, infatti, di notare come le porzioni di tracciato della figura diano alcune indicazioni che
formeranno il supporto oggettivo alle regole, di cui sarà chiesta l‟indicazione nella successiva
Consegna 4. La „lettura‟ e l‟interpretazione del tracciato parziale porterà invece molti degli
alunni a completare il tracciato, prima, ed a ripeterlo, poi, in maniera molto diversa.
Fase 2: Descrizione e condivisione delle regole
La descrizione delle regole (Consegna 4) rappresenta il passaggio dall‟attività di esplorazione a
quella di riflessione e verbalizzazione. La successiva discussione consente agli alunni di
confrontare diversi punti di vista e di arrivare ad una determinazione di regole „oggettivamente‟
accettabili (Consegna 5).
Analisi delle Consegne 4 e 5 – Gli alunni si trovano a dover ripensare all‟attività grafica svolta,
traducendo quindi un‟attività strettamente manuale, spesso condotta in maniera istintiva, in
una di riflessione e verbalizzazione. Molto probabilmente, la maggior parte degli alunni
indicherà come regole la descrizione dettagliata di ciò che hanno fatto (ho visto…ed allora…,
poi…), le caratteristiche e le proprietà che hanno voluto attribuire ai loro disegni (ho completato
il tracciato per ottenere qualcosa di simmetrico…). La scelta di far scrivere le regole di
tracciamento è pensata nell‟ottica di favorire, negli alunni, l‟uso di un linguaggio corretto e
funzionale ad una comunicazione efficace. Scrivere le regole permette di porre maggiore
attenzione alle stesse, mentre la successiva lettura facilita la discussione collettiva permettendo
di far intervenire anche gli alunni più timidi. L‟insegnante potrà iniziare proprio da loro
chiedendo di leggere quanto scritto. Sicuramente la consegna di scrivere le regole non è facile
per alunni di una classe prima; per tale motivo l‟insegnante di volta in volta, nella discussione
collettiva, dovrà valorizzare quanto emerge di positivo. Esaminate alcune risposte potrà anche
chiedere agli alunni di revisionare quanto scritto.
Fase 3: Scopo del tracciare
Si chiede agli alunni di provare ad individuare lo scopo del disegnare il tracciato (Consegna 6) e
di disegnarne altri tenendo presenti le regole condivise e lo scopo indicato (Consegna 7).
Analisi delle Consegne 6 e 7 – Nell‟esplicitare le regole seguite nel disegnare il tracciato
(Consegna 4), alcuni alunni avranno molto probabilmente segnalato quello che, a questo punto
dell‟attività grafica, può essere ragionevolmente indicato come il suo scopo: racchiudere tutti i
punti del reticolo all‟interno del tracciato. Così come per le regole, anche per lo scopo vi
potrebbero essere anche proposte diverse, ma solo quella su indicata è sicuramente ed
incontrovertibilmente coerente con quanto risulta dall‟esempio dato (5,4). La successiva
Consegna 7 si prefigge allora di consolidare negli alunni sia la capacità di tracciare rispettando
le regole condivise che di confermare la validità dello scopo appena attribuito all‟attività grafica.
L‟ uso di carta e penna, coinvolgendo la manualità, permette di comprendere meglio le regole
precedentemente enunciate. Nei ragazzi di questa età la manualità del disegno non è ancora
completamente sviluppata, per cui, nonostante le regole per il tracciamento siano state
correttamente enunciate, l‟insegnante potrebbe ancora osservare disegni anche molto
discordanti.
Attività 2
‘Impariamo a disegnare…come il software!’
Cognome:
Nome:
Cognome:
Nome:
SCUOLA
DATA
Consegna 1: Aprite il software SonaPoligonali e, nella finestra sulla destra, inserite al posto di
P il numero 2 ed al posto di Q il numero 3; premete poi il tasto Ricomincia. Dopo, provate ad
inserire, al posto della coppia (P,Q), le coppie di numeri (5,4), (4,9), (5,2) (11,5), (20,27);
ogni volta, riportate nell‟ultima colonna della tabella che trovate qui sotto il numero N di linee
poligonali che il programma ha tracciato: N lo trovate indicato nella stessa finestra del
software. Osservate sempre con molta attenzione il modo in cui il software traccia i vari
„disegni‟ nella finestra sulla destra.
P
Q
(2,3)
2
3
(5,4)
5
4
(4,9)
4
9
(5,2)
5
2
(11,5)
11
5
(20,27)
20
27
Coppia
Numero
poligonali
N
Consegna 2: Ci sono differenze fra le regole seguite dal software e quelle seguite da voi per
fare i tracciati a mano? Se sì, quali?
Consegna 3: Secondo voi, c‟è una relazione fra il numero N di poligonali e la coppia di numeri
(P,Q)?
Consegna 4: Senza usare il software, ma facendo uso delle regole che avete individuato,
provate ora a tracciare a mano i „disegni‟ nel caso delle seguenti coppie di numeri (P,Q): (5,3),
(4,2), (3,3). Per facilitarvi il compito sono stati tracciati i reticoli per ognuno dei tre casi da
esaminare.
Attività 2
‘Impariamo a disegnare…come il software!’
Tipologia: Attività di esplorazione
Obiettivo didattico: Individuare le regole di tracciamento del „disegno‟. Fare scaturire
congetture sulla relazione fra la coppia assegnata (P,Q) di numeri naturali ed il numero N
risultante.
Tempo: 1 ora
Fase 1: Familiarizzazione con il software.
L‟insegnante presenta il software SonaPoligonali con un videoproiettore. Mostra il caso
(P,Q)=(5,4) e fa osservare che il software costruisce un reticolo di 5 punti posti in orizzontale e
4 in verticale.
L‟insegnante sceglie poi come punto di partenza Y0 un valore che soddisfi la condizione
riportata nella finestra interfaccia del software. Chiede agli alunni di indicare altri valori possibili
e spiega che quello è il punto da cui il software inizia a disegnare: i disegni ottenuti si chiamano
Sona.
L‟insegnante mostra poi il funzionamento dei pulsanti Ricomincia, Ferma, Tempo di
avanzamento.
Infine, avverte gli alunni che, per ogni attività che sarà svolta al PC, il software permetterà di
eseguire al più 10 disegni.
Fase 2: Lavoro a coppie con il software.
Agli alunni viene data una scheda con 6 coppie di numeri primi fra loro, in corrispondenza dei
quali il software disegna una sola poligonale, che racchiude tutti i punti del reticolo (Consegna
1).
Analisi della Consegna 1 – Gli alunni acquisiscono familiarità con il software, ottenendone dati
numerici e prime indicazioni sul suo modo di tracciare.
Si chiede agli alunni di provare a confrontare, sulla stessa scheda, le regole che il software
segue per tracciare le poligonali con quelle seguite tracciando a mano durante l‟Attività 1
(Consegna 2).
Analisi della Consegna 2 – Da un‟osservazione attenta del comportamento del software e da
una discussione fra pari, facilitata dall‟insegnante, si vogliono far emergere in maniera più
precisa le regole di tracciamento già delineate nel corso dell‟Attività 1. In particolare, gli alunni
avranno conferma del fatto che il tracciato può essere iniziato a partire dal punto medio di una
coppia qualunque di punti consecutivi del reticolo, purché presi entrambi lungo una stessa riga
o colonna; il tracciato viene disegnato muovendosi in direzione obliqua (inclinazione 45°)
rispetto alle linee del reticolo; si hanno cambiamenti di direzione solo in corrispondenza di punti
giacenti sul bordo del reticolo (90° se interni al bordo, 180° se vertici).
Rispetto alle regole individuate durante l‟Attività 1, in cui i tracciati sono stati disegnati a mano,
gli alunni potranno essere portati ad immaginare la tabella come se fosse contenuta all‟interno
di un rettangolo i cui lati sono degli specchi. Il differente modo di curvare in corrispondenza di
punti sul bordo che siano interni o siano dei vertici, emersi nel tracciare a mano, viene ad
essere unificato dall‟osservazione che, immaginando il tracciato come il percorso di un punto
luminoso, in corrispondenza di punti del vertice del rettangolo si ha in effetti una doppia
riflessione.
Fase 3: Lavoro a coppie con carta e penna.
Si chiede agli alunni di ipotizzare una relazione fra N e la coppia (P,Q) (Consegna 3).
Analisi della Consegna 3 – Una congettura potrebbe essere che N coincida con la differenza QP, un‟altra che N coincida con P-Q… A ciascuna congettura potrebbe essere però opposta una
diversa congettura od un contro-esempio. Il problema rimane aperto! L‟insegnante favorirà
allora l‟inizio di una discussione, che può essere accompagnata dall‟uso del software da parte
degli alunni, alla ricerca di conferme o smentite delle varie congetture: l‟uso non indiscriminato
del software, ottenuto tramite l‟introduzione di una limitazione, vuole spingere gli alunni a
pensare prima di agire... Potrebbe, comunque, rimanere negli alunni il dubbio della sensatezza
della domanda, tenuto conto del fatto che in tutti i casi esaminati N è sempre uguale a 1!
Gli alunni devono confrontarsi con il disegno, con carta e penna, di altri tracciati (Consegna 4).
Analisi della Consegna 4 – Avendo ormai individuato, in modo definitivo, le regole di
tracciamento (Consegna 2), si chiede agli alunni di applicarle producendo essi stessi dei
tracciati con valori di P e Q assegnati; gli alunni osserveranno che, mentre il caso (5,3) è
analogo a tutti i casi della consegna 1, in cui con una sola poligonale si riusciva a racchiudere
tutti i punti del reticolo, nel caso (4,2) e nel caso (3,3) sono necessarie, rispettivamente, N=2
e N=3 poligonali. Viene così introdotto il problema di cosa succede quando P e Q non sono
primi fra loro (concetto a loro non noto e da non introdurre!) e, in particolare, quando P=Q. La
proposizione di questo problema rappresenta quindi un momento di rottura con le precedenti
attività, che si presume possa essere superato avendo chiaro che lo scopo è quello di
racchiudere tutti i punti del reticolo. Il problema, oltre che a dare un senso alla domanda della
Consegna 3, dovrebbe comunque stimolare l‟attenzione e l‟interesse degli alunni in vista della
successiva Attività 3.
Attività 3
‘Alla ricerca di regolarità’
Cognome:
Nome:
Cognome:
Nome:
SCUOLA
DATA
Consegna 1: Provate a tracciare a mano, come farebbe il software, i „disegni‟ nei casi (4,6),
(6,3), (4,4).
Consegna 2: Fate tracciare al software i disegni corrispondenti alle stesse coppie (4,6), (6,3),
(4,4): sono uguali ai vostri?
Consegna 3: Pensando a quello che avete trovato ora ed a quello che avevate ottenuto
durante le Attività 1 e 2, provate a dire di nuovo che relazione c‟è, ogni volta, fra i numeri P, Q
ed il numero N. Potete utilizzare il software per fare le prove che ritenete utili per essere sicuri
di quello che pensate. Nella tabella sottostante annotate le prove che fate. Ricordate che il
software permette di fare al massimo 10 prove!
Coppia
P
Sapreste allora dire che relazione c‟è fra N e P?
e fra N e Q?
e, infine, fra N e la coppia di numeri (P,Q)?
Q
Numero
poligonali N
Consegna 4: Potete usare questa tabella per annotare le coppie prese in considerazione dai
vostri compagni ed analizzate insieme.
Coppia
P
Q
Numero
poligonali
N
Provate ora a dire che relazione c‟è fra il numero N e la coppia di numeri (P,Q).
Attività 3
‘Alla ricerca di regolarità’
Tipologia: attività di riflessione
Obiettivo didattico: riferire il numero di poligonali N a un divisore comune, il massimo, di P e
Q, con P e Q dimensioni del reticolo.
Tempo: 2 ore
Fase 1: Tracciati con carta e penna e con il software.
Viene chiesto agli alunni di tracciare con carta e penna alcuni „disegni‟ (Consegna 1).
Analisi della Consegna 1 – Gli allievi riprendono familiarità con le regole di tracciamento e
ritrovano il problema con cui avevano terminato l‟attività precedente; infatti, pur essendo nei
tre casi N diverso da 1, nel primo caso si ha che N è Q-P, nel secondo è P-Q, nel terzo è
N=P=Q.
A questo punto si chiede agli alunni di utilizzare il software per controllare se i „disegni‟ della
consegna precedente sono stati eseguiti correttamente (Consegna 2).
Analisi della consegna 2 – La consegna permette di fare una autocorrezione della consegna 1 e,
ottenutala, motiva la nuova riproposizione della domanda della Consegna 3 della precedente
Attività 2.
Fase 2: Prime congetture
Viene poi chiesto agli alunni di ipotizzare un legame fra N e P, N e Q , N e (P,Q) (Consegna 3).
Analisi della consegna 3 – La domanda della Consegna 3 della precedente Attività 2 viene ora
riproposta in forma guidata, con domande intermedie, così da rendere più semplice il percorso
che dall‟analisi attenta dei dati indicati nelle loro tabelle li dovrebbe gradualmente condurre alla
relazione cercata. Vogliamo sottolineare come il fatto che il numero di prove possibili con il
software sia 10 spinga gli alunni ad un suo uso consapevole e rende la scelta delle coppie una
esplorazione ragionata, finalizzata alla costruzione di una congettura.
Fase 2: Discussione collettiva.
Si apre la discussione in cui l‟insegnante mostra tramite un videoproiettore le prove fatte dagli
alunni che a turno interverranno. Viene richiesto a tutti di riempire una tabella con le prove
fatte dagli altri (Consegna 4).
Analisi della consegna 4 – L‟analisi dei dati ottenuti nella tabella ed in quelle precedenti
permette di arrivare, prima, a dire che il numero N di linee è un divisore comune sia a P che a
Q e, poi, a concludere che è il massimo fra i divisori comuni di P e Q, cioè il MCD(P,Q).
L‟insegnante avrà quindi cura di definire il MCD come divisore comune massimo fra due o più
numeri naturali.
E‟ facile che i ragazzi propongano congetture intermedie del tipo „se i due numeri sono pari il
numero di linee è pari‟; l‟insegnante favorirà le indagini al riguardo, al termine delle quali
dovrà comunque essere chiaro che si sta cercando qualcosa di più generale e che si può
comunque ottenere qualcosa di più preciso. Nel caso di congetture errate dovranno essere gli
stessi alunni a confutarle, avvalendosi anche del software.
L‟insegnante dovrà gestire abilmente i vari interventi degli alunni durante la discussione,
cercando di coinvolgere sia gli alunni meno propensi a intervenire sia gli alunni che sembrano
più lontani dalla soluzione.
Attività 4
‘MCD … con disinvoltura’
Cognome:
Nome:
Cognome:
Nome:
SCUOLA
DATA
Consegna 1: Considerate la coppia di numeri (20;12).
Qual è l‟insieme dei divisori di 20?
[Ti consigliamo di procedere in “maniera ordinata” da 1·20= 20, 2·10= 20 e così via]
D
20
= 1; 2; …………………; 10; 20
Qual è l‟insieme dei divisori di 12?
D
12
= 1; …………………;12
Qual è l‟insieme dei divisori comuni?
D c = ………..………
Qual è il Massimo Comune Divisore?
M.C.D. = ……
Consegna 2
Ho un mazzo di 40 carte. Quanti mazzetti uguali posso formare? Di quante carte ciascuno?
Consegna 3: Calcola il M.C.D. delle seguenti coppie di numeri, facendo uso ogni volta di
entrambi i metodi:

(36; 24)  …..

(12;84)  …..

(1680;5400)  …..
Attività 4
‘M.C.D. … con disinvoltura’
Tipologia: attività di esplorazione / riflessione / raccordo ai metodi tradizionali.
Obiettivo didattico: Calcolo del M.C.D. sia come intersezione di insiemi che tramite
l‟algoritmo usuale. Comprendere il ruolo dei fattori nella scomposizione di un dato numero.
Tempo: 1 ora (escluso il tempo previsto dall‟insegnante per il calcolo del M.C.D. per
fattorizzazione)
Fase 1. M.C.D. come intersezione di insiemi.
Dopo le prime tre attività, l‟insegnante mostra i metodi tradizionali per il calcolo del M.C.D. Il
punto di partenza è la determinazione insiemistica, che viene presentata mettendo in luce
l‟importanza di una strategia nella ricerca dei divisori di un dato numero: si parte da 1, per
trovare sia 1 che il numero dato, si prova 2 e così via, fino a completare l‟insieme dei divisori.
In questa fase potrebbero emergere alcune difficoltà; in tal caso l‟insegnante dovrebbe fornire
ulteriori esercizi.
L‟insegnante parlerà quindi di „metodo delle intersezioni‟, utilizzando l‟espressione „metodo
grafico‟ per indicare il calcolo attraverso l‟impiego dei sona.
Fase 2. Il ruolo dei divisori
La strategia per la determinazione di divisori è importante per risolvere semplici problemi ed è
propedeutica per i successivi sviluppi della proposta (Attività 5).
Fase 3. Calcolo del M.C.D. attraverso la fattorizzazione.
La richiesta c) della terza consegna, il calcolo del MCD (1680;5400) mette in luce che il metodo
delle intersezioni è inefficace quando si hanno numeri grandi. Il calcolo del MCD si potrà
comunque effettuare attraverso il software. Si potrà dunque aprire una discussione con i
ragazzi, al termine della quale l‟insegnante potrà presentare il metodo tradizionale, basato sulla
scomposizione in fattori primi, che potrebbe essere introdotta in questo momento.
L‟insegnante parlerà quindi di „metodo della fattorizzazione‟.
E‟ importante associare un nome diverso a ciascuno di questi tre metodi per evitare possibili
confusioni da parte dei ragazzi. In seguito sarà infatti richiesto espressamente l‟utilizzo dei vari
metodi.
Attività 5
‘Divisori … con disinvoltura’
Cognome:
Nome:
Cognome:
Nome:
SCUOLA
DATA
Consegna 1
Se ho 12 rose, quanti mazzetti uguali posso comporre? Di quante rose?
Se ho 8 tulipani, quanti mazzetti uguali posso comporre? Di quanti tulipani?
Utilizzando tutti i fiori disponibili, vorrei ora ottenere il maggior numero possibile di mazzi, che
contengano lo stesso numero di rose e di tulipani. Quanti mazzetti ugualmente composti posso
ottenere? Quante rose e quanti tulipani contengono?
Consegna 2
Servendoti del software, oppure a mano, disegna adesso il reticolo (12,8) e calcola il numero di
poligonali.
Pensa adesso che i puntini della “base” del tuo reticolo siano le 12 rose, mentre sulla “altezza”
siano disposti i tulipani. Quante rose e quanti tulipani sono „contenuti‟ in ciascuna di queste
poligonali?
Attività 5
‘Divisori … con disinvoltura’
Tipologia: attività di esplorazione / riflessione.
Obiettivo didattico: Risoluzione di problemi attraverso la determinazione dei divisori. Ulteriori
osservazioni sul software SonaPoligonali.
Tempo: 1 ora
Consegna 1: Problema risolubile con MCD
Viene proposto un problema risolubile con il calcolo dei divisori comuni. Stabilito che il
M.C.D.(12,8) = 4, otteniamo il numero di mazzetti la cui composizione è Rose = 12/4 = 3 e
Tulipani = 8/4 = 2.
Analisi della Consegna 1 – Questo problema può risultare abbastanza complesso. Nel caso si
riscontrassero eccessive difficoltà, si potrebbe passare all‟attività di recupero proposta
nell‟apposita scheda, che potrà essere proposta anche portando del materiale in classe. Questa
scheda potrà essere considerata come una vera e propria verifica formativa, dal cui esito
l‟insegnante dovrebbe comprendere se gli alunni siano o meno in grado di affrontare la
successiva verifica finale.
Consegna 2: Problema con utilizzo dei sona
La seconda consegna è un ritorno al software SonaPoligonali che ne mette in luce un‟ulteriore
proprietà. Si potrà infatti osservare che le 4 linee del reticolo (12,8), oltre a darci il M.C.D., che
è il numero di mazzetti, ci indicano anche la composizione di questi mazzetti.
Analisi della Consegna 2 – Se pensiamo di disporre sul lato di base del reticolo le 12 rose e sul
lato di altezza 8 tulipani, ogni linea racchiude 3 rose della base e 2 tulipani dell‟altezza: cioè la
composizione del mazzetto.
Di seguito sono riportati alcune figure riguardanti possibili utilizzi del software allo scopo di
risolvere il problema.
Attività di verifica
Cognome:
Nome:
SCUOLA
DATA
Tempo a disposizione: due ore
Consegna 1. Spiega con parole tue il significato del termine Massimo Comune Divisore (MCD).
Consegna 2. Stabilisci qual è il MCD fra le seguenti coppie di numeri utilizzando sia il „metodo
grafico‟ sia il „metodo delle intersezioni‟:
a. MCD (5,7)
b. MCD (10,4)
c. MCD (12,6)
Consegna 3. Stabilisci quali fra le proposizioni che seguono sono vere e quali sono false
giustificando le tue risposte:
a. Il MCD tra due o più numeri naturali è sempre il più grande fra questi numeri
V
□
F
□
Perché_________________________________________________________________
______________________________________________________________________
_______________________________________________________
b. Il MCD tra due o più numeri naturali può essere uguale a uno dei due numeri
V
□
F
□
Perché_________________________________________________________________
______________________________________________________________________
________________________________________________________
c. Il MCD tra due o più numeri naturali è sempre il più piccolo tra i numeri dati
V
□
F
□
Perché_________________________________________________________________
______________________________________________________________________
_______
d. Il MCD tra due numeri naturali multipli tra loro coincide con uno di essi
V
□
F
□
Perché_________________________________________________________________
______________________________________________________________________
_______
Consegna 4. Due scatole contengono rispettivamente 120 penne nere e 96 penne rosse. Si
vogliono confezionare dei pacchetti uguali contenenti il massimo numero di penne nere e rosse.
a. Quanti pacchetti si possono confezionare?
b. Quante penne rosse e quante penne nere sono contenute in ciascun pacchetto?
Attività di recupero
Cognome:
Nome:
SCUOLA
DATA
Consegna 1. Completa la tabella inserendo una X quando un numero della colonna di sinistra
è divisore di un numero della prima riga.
…è divisore di …
12
15
64
2
3
4
5
Consegna 2. Trova i divisori comuni ai numeri 20 e 45 e poi quelli comuni a 13 e 24.
Consegna 3. Disegna i reticoli (7;4), (4;4), (3;6) e traccia le poligonali in modo da racchiudere
tutti i punti. Quante poligonali ottieni?
Consegna 4. Se hai 18 caramelle all‟arancia e 24 caramelle al limone
a. in quanti gruppetti uguali fra loro puoi ripartire le 18 caramelle all‟arancia?
(es.: 1 gruppetto da 18 caramelle... 2 gruppetti da 9 caramelle... )
b. in quanti gruppetti uguali fra loro puoi suddividere le 24 caramelle al limone?
c. quanti sacchetti puoi confezionare, utilizzando tutte le caramelle, in modo che valgano
contemporaneamente tutte e tre le condizioni seguenti?

ciascun sacchetto contiene lo stesso numero di caramelle;

il numero dei sacchetti è il massimo possibile;

in ogni sacchetto vi sono caramelle di ognuno dei due tipi.
Attività integrativa
Cognome:
Nome:
SCUOLA
DATA
Consegna 1. Considera i reticoli di dimensione (4;1), (4;2), (4;3); in ciascuno dei tre casi,
quante poligonali servono per racchiudere tutti i punti del reticolo?
(4,1)  …
(4,2)  …
(4,3)  …
Consegna 2. Considera i reticoli di dimensione (5;1), (5;2), (5;3), (5;4); in ciascuno dei
quattro casi, quante poligonali servono per racchiudere tutti i punti del reticolo?
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)




…
…
…
…
Consegna 3. Se p è un numero primo e consideri i reticoli di dimensione (p,1), (p,2) .......(p,
p-1), quante poligonali ti servono per racchiudere tutti i punti di ciascuno di questi reticoli?
(p,1)  …
(p,2)  …
(p,3)  …
….... …
(p,p-1)  …
Consegna 4. Se n è un numero composto e consideri i reticoli di dimensione (n,1), (n,2)
.......(n, n-1), ottieni sempre lo stesso numero di poligonali?
(n,1)  …
(n,2)  …
(n,3)  …
….... …
(n,n-1)  …
Consegna 5. Come potresti fare per scoprire se un numero è primo?

File di presentazione dell`attività

Transcript

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