x kx k - Liceo Scientifico Lagonegro

Matematica per la nuova maturità scientifica
A. Bernardo M. Pedone
99
Questionario
Quesito 1
Illustrare il teorema di de L’Hôpital e applicarlo per dimostrare che:
x4
= 0
lim
x
x a +∞ e
.
Teorema di De L’Hôpital
Se le funzioni f(x) e g(x) sono derivabili in un intorno di un punto c, escluso al più il punto c
stesso, se g '( x) ≠ 0∀x ∈ I (c) − {c} , lim f ( x) = lim g ( x) = 0 ,
x →c
allora lim
x →c
x→c
f ( x)
f '( x)
= lim
g ( x) x →c g '( x)
Il limite proposto si presenta però nella forma
∞
, per cui bisogna applicare un’altra
∞
formulazione del teorema di De L’Hôpital.
Se le funzioni f(x) e g(x) sono derivabili in un intorno di un punto c, escluso al più il punto c
stesso, se g '( x) ≠ 0 ∀x ≠ c , lim f ( x) = lim g ( x) = ∞ ,
x →c
x →c
f ( x)
f '( x)
allora lim
= lim
.
x →c g ( x )
x →c g '( x )
Per ricondurre questo secondo caso al precedente, è sufficiente fare riferimento alle funzioni
1
.
g ( x)
Il limite proposto si calcola allora nel seguente modo:
e
x4
4 x3
12 x 2
24 x
24
lim
= lim x = lim x = lim x = lim x = 0
x →+∞ e x
x →+∞ e
x →+∞ e
x →+∞ e
x →+∞ e
Quesito 2
Determinare i valori dei parametri m ed n in modo che risulti:
1
en
mx + n
∫0 e dx = m
e che l’integrale fra 1 e 2 della stessa funzione sia doppio dell’integrale precedente.
 1 mx + n
en
 ∫ e dx =
m

Si tratta di risolvere il sistema  02
n
 e mx + n dx = 2 e
∫
m
1
1
∫e
0
1
mx + n
 e mx + n 
1 m+ n n
en m
dx = 
e
e
e −1
=
−
=

m
 m 0 m
(
)
(
)
1
f ( x)
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 e mx + n 
1 2 m+ n m+ n
em+ n m
e
dx
e
e
e −1
=
=
−
=


∫1
m
 m 1 m
Il sistema diviene
 en m
en
m
e
−
=
1
(
)

e − 1 = 1
m
m
⇒ m m
⇒ e m = 2 ⇒ m = ln 2
 m+ n
n
e
e
−
=
1
2
e
)
e
 (
e m − 1) = 2
 m (
m
I valori di m e n che verificano le condizioni richieste sono
m = ln 2, ∀n ∈ R
2
mx + n
(
)
(
)
Quesito 3
Interpretare geometricamente la questione posta sopra.
x
La funzione integranda è f ( x) = e x⋅ln 2+ n = eln 2 ⋅ e n = e n 2 x , dove en è da considerare come un
fattore costante.
Il grafico della funzione è
L’area sottesa alla funzione nell’intervallo [1,2] è il doppio di quella relativa all’intervallo
[0,1].
Quesito 4
Illustrare il problema classico della quadratura del cerchio, la cui impossibilità Dante Alighieri
così evoca poeticamente :
“Qual è ‘l geomètra che tutto s’affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond’elli indige,
(Paradiso, c.XXXIII, vv.133-135)
Il problema della quadratura del cerchio è uno dei problemi classici dell’antichità; rimasto irrisolto
per millenni, è stato indicato da sempre come il problema per antonomasia. L’espressione “quadrare
il cerchio” e più in generale quella di “far quadrare i conti” sono rimaste ancora oggi nel linguaggio
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comune. Il problema è stato riconosciuto come irrisolvibile soltanto nel XIX secolo quando è stata
studiata la natura del numero π.
Il problema classico consiste nel determinare con i metodi della geometria classica, cioè utilizzando
come strumenti solo la riga e il compasso, un quadrato la cui area sia equivalente a quella del
cerchio.
In termini moderni, affinché un quadrato abbia la stessa area di un cerchio di raggio r dovrebbe
avere il lato di misura r π . Quindi il numero π dovrebbe essere costruibile geometricamente
con riga e compasso. E’ stato dimostrato, invece, che è possibile costruire con riga e compasso solo
alcuni numeri algebrici. Nel 1882 Lindmann ha dimostrato che π non è un numero algebrico, cioè
non è ottenibile come soluzione di un’equazione algebrica.
La letteratura su questo problema è enorme. Si può fare riferimento a dei testi classici di storia della
matematica:
Carl B. Boyer, Storia della matematica, Mondadori, Milano, 1980;
Kline M., Storia del pensiero matematico, Einaudi, Torino, 1992.
Su Internet
http://www.matematicamente.it/tesine/quadratura_cerchio/HOME.htm
http://mathworld.wolfram.com/CircleSquaring.html
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Squaring_the_circle.html
http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/accueil.htm
Quesito 5
Dare un esempio di funzione f(x) definita su tutto R ed ivi continua, tale che
lim f ( x ) = 2
lim f ( x ) = 3
x →−∞
x →+∞
Le condizioni stabilite nel testo sono le seguenti
1. la funzione f(x) è definita su tutto R
2. la funzione f(x) è continua su tutto R
lim f ( x ) = 2
3. x →−∞
questa condizione implica l’esistenza di asintoto orizzontale a sinistra per il grafico della
funzione (la retta y=2)
lim f ( x ) = 3
4. x →+∞
questa condizione implica l’esistenza di asintoto orizzontale a destra per il grafico della
funzione(la retta y=3)
La forma del grafico della funzione in base alle quattro condizioni è la seguente.
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Tale grafico è simile al grafico della funzione y =artang x.
Per tale funzione valgono le seguenti condizioni:
1. la funzione f(x) è definita su tutto R
2. la funzione f(x) è definita su tutto R
lim f ( x) = −
π
⇒ y=−
π
2
2
3. x →−∞
asintoto orizzontale a sinistra per il grafico della funzione
lim f ( x) = +
π
⇒ y=+
π
2
2
4.
asintoto orizzontale a destra per il grafico della funzione
x →+∞
Nella figura seguente si riportano i grafici delle due funzioni.
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Dal confronto dei due grafici si nota che :
y=
1
⋅ arctg x
π
,
dividendo per π e traslando verticalmente il grafico della funzione
portando l’origine del sistema di assi coordinati nel punto O(0,5/2), si ottiene la funzione:
1
5
y = ⋅ arctg x +
π
2
che soddisfa le quattro condizioni del testo.
Quesito 6
Determinare al variare del parametro k il numero delle soluzioni reali dell’equazione:
x 3 − kx 2 + 2 − k = 0
x3 + 2
x2 + 1
Porre entrambe i membri uguale a y e risolvere per via grafica il seguente sistema parametrico:

x3 + 2
y = 2
x +1

y = k

Gli zeri dell’equazione di partenza sono le ascisse dei punti di intersezione tra le rette del
fascio e il grafico della funzione rappresentato dalla prima equazione.
x3 + 2
Studio della funzione k = 2
x +1
La funzione è definita per ogni x appartenente ai reali.
Non presenta simmetrie.
Interseca l’asse delle ascisse nel punto P( 3 −2;0) .
Interseca l’asse delle ordinate nel punto Q(0; 2) .
Il primo passo consiste nell’isolare il parametro: k =
La funzione è positiva per x > − 3 2 .
x3 + 2
= −∞
x →−∞ x 2 + 1
x3 + 2
lim 2
= +∞
x →+∞ x + 1
Non presenta asintoti verticali né orizzontali
Ha l’asintoto obliquo (y=mx+q) di equazione y=x
x3 + 2
m = lim
=1
x →∞ x x 2 + 1
( )
lim
x3 + 2
−x=0
x →∞ x 2 + 1
x ( x − 1) ( x 2 + x + 4 )
q = lim
la derivata prima è y ' =
x( x 3 + 3 x − 4)
(x
2
+ 1)
2
=
(x
2
+ 1)
2
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0
1
N1>0
N2>0
N3>0
D>0
y’>0 ⇒
y’=0 ⇒
y’>0 ⇒
x<0 , x>1
x=0 , x=1
0<x<1
(la funzione è strettamente crescente per x<0 e x>1)
(la funzione presenta un massimo M(0,2) e un minimo N(1,3/2)
(la funzione è strettamente decrescente per 0<x<1)
La funzione presenta dei flessi che si possono ottenere studiando la derivata seconda. I flessi
non sono necessari per risolvere il sistema.
Dal grafico seguente si possono determinare al variare del parametro k il numero delle soluzioni
reali dell’equazione
Per
Per
Per
Per
Per
k<3/2
k=3/2
3/2<k<2
k=2
k>2
x 3 − kx 2 + 2 − k = 0 .
si ha 1 soluzione negativa
si ha 1 soluzione negativa e due soluzioni positive coincidenti
si ha 1 soluzione negativa e due soluzioni positive distinte
si ha 1 soluzione positiva e due soluzioni nulle
si ha 1 soluzione positiva
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Quesito 7
Considerate le formule:
4 3
π x e S = πx 2
3
che danno rispettivamente il volume di una sfera di raggio x e l’area di un cerchio sempre di raggio
x se ne illustrino i risultati della derivazione rispetto a x.
V =
4
V ( x) = π x 3 → V '( x) = 4π x 2
3
Derivando rispetto al raggio il volume della sfera si ottiene la superficie della sfera.
S ( x) = π x 2 → S '( x) = 2π x
Derivando rispetto al raggio la superficie di un cerchio si ottiene la lunghezza della
circonferenza.
Quesito 8
Dimostrare, utilizzando il teorema di Rolle, che se l’equazione:
xn + an−1x n−1 +..........+a1x + a0 = 0
ammette radici reali, allora fra due di esse giace almeno una radice dell’equazione:
nx n−1 + (n − 1) an−1 x n−2 +.........+a1 = 0
Teorema di Rolle
Data una funzione reale di variabile reale y = f(x), definita nell’intervallo chiuso e limitato [a, b],
se la funzione soddisfa le ipotesi:
1. è continua in [a, b]
2. è derivabile in (a, b)
3. f(a)=f(b)
segue la tesi:
esiste un numero reale c appartenente all’intervallo(a,b) tale che f’(c)=0.
Posto
f (x) = xn + an−1xn−1 +..........+ a1x + a0 , si ha
f ' (x) = nxn−1 + (n −1)an−1xn−2 + .........+ a1
Siano a e b due radici reali della prima equazione assegnata, allora
f (a) = f (b) = 0
La funzione polinomiale f(x) è continua e derivabile in R, quindi anche in [a,b]. Per il teorema di
Rolle esiste un punto c, compreso tra a e b per il quale f’(x)=0. Il punto c è evidentemente la
soluzione della seconda equazione.
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Quesito 9
Fra tutti i coni circolari retti circoscritti ad una data sfera mostrare che quello di minima area
laterale ha il suo vertice distante dalla superficie sferica della quantità r√2, se r è il raggio della
sfera.
C
S
K
O
A
B
H
CS = x
CO = x + r
KO = r
CK =
(x + r)
2
− r 2 = x 2 + 2rx
I triangoli COK e CAH sono simili, pertanto:
( x + 2r )( x + r )
CH : AC = CK : CO ⇒ AC =
x 2 + 2 xr
( x + 2r ) r
CH : AH = CK : KO ⇒ AH =
x 2 + 2 xr
x + 2r )( x + r )
(
1
x 2 + 3rx + 2r 2
=πr
Sl = ⋅ 2π ⋅ AH ⋅ AC = π r
2
x
x
2
2
( 2 x + 3r ) x − x + 3rx + 2r
x2 − r 2
S 'l = π r
r
=
π
x2
x2
x 2 − 2r 2
≥ 0 ⇒ x 2 − 2r 2 ≥ 0 ⇒ x ≤ − r 2 ∨ x ≥ r 2
πr
2
x
(
)
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r 2
−r 2
Minimo
La superficie laterale minima si ha per x = r 2
Quesito 10
Chiarire il significato di n! (fattoriale di n) e il suo legame con i coefficienti binomiali.
def
n ! =n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2 ) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅1
 n  def n ⋅ ( n − 1) ⋅ ... ⋅ ( n − k + 1)
n!
=
 =
k!
k !( n − k )!
k 
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