analisi della varianza a due vie con interazione

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II
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DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA AEROSPAZIALE – D.I.A.S.
STATISTICA PER L’INNOVAZIONE
a.a. 2007/2008
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ANALISI DELLA VARIANZA
A DUE VIE CON INTERAZIONE
Prof. Antonio Lanzotti
A cura di: Ing. Giovanna Matrone
[email protected]
SI a.a. 07/08
Esercitazione 05_ANOVA – Ing. Giovanna Matrone DIAS
La durata della batteria di un componente meccanico
Un ingegnere è stato coinvolto nella progettazione di una batteria per un
dispositivo meccanico che sarà soggetto, durante il suo funzionamento, a
brusche variazioni di temperatura.
L’unico parametro di progetto su cui può intervenire in questa fase di
progettazione è il materiale da utilizzare per la piastra della batteria, sapendo che
per essa potrà sperimentare tre diverse alternative di scelta.
Quando la batteria sarà montata sul dispositivo e messa in uso, l’ingegnere non
potrà controllare le escursioni termiche affrontate dalla batteria. Tuttavia,
l’esperienza gli suggerisce che la temperatura prevedibilmente influenzerà la
durata della batteria.
L’ingegnere decide, quindi, di effettuare una sperimentazione nel laboratorio di
sviluppo prodotto per comprendere gli effetti della temperatura sulla durata.
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Esercitazione 05_ANOVA – Ing. Giovanna Matrone DIAS
ANOVA a due vie con interazione: lo schema
A Parametro di progetto
DURATA
B Parametro di blocco
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A
A1
Tipo di materiale
Materiale 1
A2
A3
Materiale 2
Materiale 3
Fattore
Livelli
Livelli
Fattore
B
B1
Temperatura operativa
B2
B3
70°F
15°F
125°F
Esercitazione 05_ANOVA – Ing. Giovanna Matrone DIAS
ANOVA a due vie con interazione: le prove
Test su 4 batterie per ogni
combinazione dei 3 livelli di
temperatura e 3 tipi di
materiale per la piastra
Sperimentazione completa di
2 fattori a 3 livelli ciascuno
con 4 replicazioni
# prove:
32 × 4 = 36
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Esercitazione 05_ANOVA – Ing. Giovanna Matrone DIAS
Analisi della varianza a due vie con interazione
xijk = μ + α i + β j + (αβ )ij + ε ijk
i = 1,...n ; j = 1,..., b; k = 1,..., c
μ media globale
α i effetto imputabile al primo fattore in esame al livello i-esimo
β j effetto imputabile al secondo fattore in esame al livello j-esimo
(αβ )ij effetto imputabile all’interazione tra i 2 fattori
ε ijk componente casuale di errore
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Esercitazione 05_ANOVA – Ing. Giovanna Matrone DIAS
Analisi della varianza a due vie con interazione
Test di ipotesi
H 0 = {α1 = α 2 = ... = α n = 0}
H1 = {α i ≠ 0 per almeno un i}
H 0 = {β1 = β 2 = ... = β b = 0}
H1 = {β j ≠ 0 per almeno un j}
H 0 = (αβ )ij = 0, ∀i, j
H1 = (αβ )i j ≠ 0 per almeno un i o j
{
}
{
}
ε ij ∼ N (0, σ 2 )
xij ∼ N ( μ + α i + β j + (αβ )ij , σ 2 )
(αβ )ij
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= E { xij • − x• j • } − E { xi •• − μ } = E { xij • − xi •• } − E { x• j • − μ }
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ANOVA a due vie con interazione: residui
e ijk = ε
ijk
= x ijk − x ijk = x ijk − μ − α i − β
j
( )
− αβ
ij
μ = x
α i = E ⎡⎣ x i • • − x ⎤⎦
β
j
= E ⎡⎣ x • j • − x ⎤⎦
α i = x i•• − x
β
j
= x • j• − x
(α β )ij
= E ⎡⎣ x ij • − x • j • ⎤⎦ − E ⎡⎣ x i • • − μ ⎤⎦ =
= E ⎡⎣ x ij • − x i • • ⎤⎦ − E ⎡⎣ x • j • − μ ⎤⎦ ;
(α β ) = ( x
ij •
) (
)
− x • j• − x i•• − x ;
ij
e ijk = x ijk − x ij •
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Esercitazione 05_ANOVA – Ing. Giovanna Matrone DIAS
ANOVA a due vie con interazione: la tabella
n Livelli del fattore principale A sotto studio
b Livelli del fattore secondario B
c Numero di replicazioni
Origine varianza
Somma dei quadr. degli scarti
n
(
bc ∑ xi•• − x
Fattore principale
i =1
b
nc ∑ x• j • − x
Fattore secondario
j =1
n
Interazione
b
∑∑∑ ( x
ijk
i =1 j =1 k =1
Totale
b
c
i =1 j =1 k =1
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)
− x ij •
∑∑∑ ( x
n
ijk
n-1
bc ∑
2
b-1
(
c
s.q.m.
2
c ∑∑ xij • − xi•• − x• j • + x
i =1 j =1
n
b
Errore
(
)
gdl
)
2
−x
)
)
2
(n-1)(b-1)
nb(c-1)
2
nbc-1
f
n −1
nc ∑ b
b −1
c∑ i
( n − 1)( b − 1)
∑
e
nb ( c − 1)
∑
tot
nbc − 1
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ANOVA a due vie con interazione: le prove
Durate della batteria in [h]
A1
130
155
74
180
34
Osservazioni
B2
40
80
A2
A3
150
138
188
110
159
168
126
160
136
174
122
120
B1
106
150
xijk stimati
B1
B2
B3
MediaT(A)
A1
134,75
57,25
57,50
83,17
A2
A3
155,75
144,00
144,83
119,75
145,75
107,58
49,50
85,50
64,17
108,33
125,08
105,53
MediaT(B)
45,25
Residui
B2
-23,25 -17,25 22,75
B3
75
20
70
82
58
115
139
25
96
70
104
58
82
45
60
A1
-4,75
B1
20,25 -60,75
A2
A3
-5,75
32,25
3,25
-29,75
16,25
2,25
-13,75
-4,75
-24,50
20,50
8,50
-4,50
-6,00
-34,00
24,00
16,00
28,25
-25,75
4,25
-6,75
10,50
18,50
-3,50
-25,50
SI a.a. 07/08
17,75
-37,50
B3
12,50 24,50
0,50
Esercitazione 05_ANOVA – Ing. Giovanna Matrone DIAS
ANOVA con interazione:
verifica dell’indipendenza dei residui
Grafico dei residui rispetto al tempo
60,00
40,00
Residui
20,00
0,00
0
5
10
15
20
25
-20,00
-40,00
-60,00
-80,00
Tempo
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Esercitazione 05_ANOVA – Ing. Giovanna Matrone DIAS
ANOVA con interazione:
verifica della normalità dei residui
U -1 (i/n+ 1)
Normalità dei residui
-80
-60
-40
-20
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-0,5 0
-1
-1,5
-2
-2,5
-3
Residui ordinati
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20
40
60
y = 0,04x - 4E-17
R2 = 0,9717
Esercitazione 05_ANOVA – Ing. Giovanna Matrone DIAS
ANOVA con interazione:
verifica dell’assunzione di residui non ‘strutturati’
Residui rispetto ai valori stimati
60,00
40,00
Residui
20,00
0,00
40,00
-20,00
60,00
80,00
100,00
120,00
140,00
160,00
-40,00
-60,00
-80,00
Valori stimati
Dal grafico emerge un “lieve” aumento della varianza dei residui
all’aumentare della durata della batteria
SI a.a. 07/08
Esercitazione 05_ANOVA – Ing. Giovanna Matrone DIAS
Analisi della varianza con interazione: analisi
Origine della varianza
Fattore Principale
Fattore Secondario
Interazione
Errore
Totale
ANOVA
SS
g.d.l.
MS
10683,7
2
5342
39118,7
2
19559
9613,78
4
2403
18536,75 27
686,5
77952,97 35
α = 0,05
F0
7,78
28,49
3,50
Ftest p-value
Esito
3,37 0,00225 Rigetto H0
3,37 0,00000 Rigetto H0
2,74 0,02050 Rigetto H0
Effetto del Fattore
Significativo
Significativo
Significativo
Poiché F0 > Ftest (p-value < α) in tutti e tre i casi, possiamo rigettare l’ipotesi nulla
e concludere che l’effetto di A, l’effetto di B e quello dell’interazione AB sono
significativi e quindi il modello assunto per descrivere il modello è corretto.
SI a.a. 07/08
Esercitazione 05_ANOVA – Ing. Giovanna Matrone DIAS
ANOVA con interazione: i risultati
Effetto Fattore A
Grafico degli effetti dei fattori
significativi: medie marginali
della risposta ai livelli dei fattori
significativi
150
Durata Media
140
130
120
110
100
90
80
70
60
1
2
3
A
Effetto Fattore B
150
Durata Media
140
130
120
110
100
90
80
70
60
1
SI a.a. 07/08
2
3
Esercitazione 05_ANOVA – Ing.
B Giovanna Matrone DIAS
ANOVA con interazione: i risultati
Grafico degli effetti incrociati:
Stima degli effetti incrociati dei fattori
180
Durata media x ij.
L’assenza di parallelismo tra
le spezzate evidenzia la
significatività dell’interazione
tra i fattori: notiamo che una
durata media maggiore è
assicurata dalla temperatura
più bassa, indipendentemente
dal tipo di materiale.
150
120
Materiale 1
90
Materiale 2
60
Materiale 3
30
0
0
15 30 45 60 75 90 105 120 135 150
Temperatura ( °F )
Se passiamo a temperature intermedie la durata aumenta solo per il tipo 3 di
materiale che è quello ottimale se l’obiettivo è massimizzare la durata
all’aumento della temperatura.
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Esercitazione 05_ANOVA – Ing. Giovanna Matrone DIAS