Derivata - Matematica e Applicazioni

5
5.1
DERIVATA
Continuità
Definizione 5.1 Sia −∞ < a < b < +∞, f : (a, b) → R e c ∈ (a, b). Diciamo che f è continua in c se
sono verificate le due condizioni:
(i)
(ii)
lim f (x)
x→c
esiste
lim f (x) = f (c)
x→c
• Si osservi che nella definizione precedente si assume che la funzione f è definita in c, ovvero che è
assegnato il valore f (c).
Esempio 5.2 I polinomi e la funzione esponenziale sono funzioni continue su R. La funzione logaritmo è
continua su (0, +∞).
Esempio 5.3 La funzione



x2 + 1


f (x) =


√


x
y
se
x≤0
se
x>0
ha una discontinuità in 0. Infatti non esiste il
limite per x che tende a zero, perchè il limite
b
destro e sinistro in 0 sono diversi.
x
44
Esempio 5.4 La funzione
f (x) =









1
x
se
x>0
0
se
x≤0
ha una discontinuità in 0. Si osservi anche che f è continua da sinistra in 0.
y
b
5.2
x
Definizione di derivata
Definizione 5.5 Siano f : (a, b) → R e c ∈ (a, b). Diciamo che f è derivabile in c se esiste finito il limite
f (x) − f (c)
.
x→c
x−c
lim
Tale limite viene indicato con f ′ (c) ed è detto derivata di f in c.
• Se una funzione f : (a, b) → R è derivabile in ogni punto c ∈ (a, b), diciamo che f è derivabile in (a, b).
Valgono analoghe definizioni nel caso di intervalli chiusi, chiusi a destra o chiusi a sinistra.
• Ponendo x = c + h si vede che il limite nella Definizione 5.5 può anche essere scritto nella forma
f (c + h) − f (c)
.
h→0
h
f ′ (c) = lim
• Per indicare la derivata f ′ (c) di f in c useremo anche le notazioni
Df (c) e
df
(c).
dx
f (x) − f (a)
′
= f+
(a) esiste finito, diciamo che f è derivabile
x−a
x→a
′
da destra in a e chiamiamo derivata destra di f in a il numero f+
(a). In maniera analoga si definisce
• Sia f : (a, b) → R. Se il limite destro lim+
la derivata sinistra.
• Sia f : (a, b) → R. Osserviamo che f è derivabile in c ∈ (a, b) se e solo se f è derivabile da destra e da
′
′
sinistra in c e f+
(c) = f−
(c).
45
Esempio 5.6 I polinomi e la funzione esponenziale sono funzioni derivabili su R. La funzione logaritmo è
derivabile su (0, +∞).
Esempio 5.7 Sia f (x) = |x|
lim
x→0−
e
lim
x→0+
∀x ∈ R. Abbiamo
y
f (x) − f (0)
−x − 0
= lim
= −1
x−0
x→0− x − 0
y = |x|
x−0
f (x) − f (0)
= lim
= 1;
x−0
x→0+ x − 0
x
′
′
quindi f è derivabile da sinistra e da destra nel punto 0, ma non è ivi derivabile, perché f+
(0) 6= f−
(0).
5.3
Tangente al grafico di una funzione
Sia −∞ ≤ a < b ≤ +∞ e sia f : (a, b) → R derivabile in c ∈ (a, b).
Definizione 5.8 La retta tangente al grafico della funzione f nel punto di ascissa c è definita come la
retta passante per (c, f (c)) con coefficiente angolare f ′ (c). Essa ha quindi equazione
y = f ′ (c) (x − c) + f (c).
Esempio 5.9 Sia f (x) = mx + q, ∀ x ∈ R. Allora f ′ (c) = m ∀ c ∈ R. La retta tangente in ogni punto
coincide con la funzione stessa.
Esempio 5.10 Siano f (x) = 1 − x2 , ∀x ∈ R, e c = 1. Allora f ′ (c) = −2 e l’equazione della retta tangente
al grafico di f nel punto di ascissa c è y = −2x + 2.
y
y = −2x + 2
(c, f (c)) = (1, 0)
x
y = 1 − x2
46
5.4
La funzione derivata
Definizione 5.11 Se f : (a, b) → R è derivabile in (a, b), la funzione
f ′ : (a, b) −→ R
f ′ : x 7−→ f ′ (x)
è detta funzione derivata di f .
y
Esempio 5.12 Sia
f′
f (x) = x3 − x2 − x + 1
∀x ∈ R.
Allora
f ′ (x) = 3x2 − 2x − 1
∀x ∈ R.
x
f
Esempio 5.13 Sia
f (x) = |x|
y
∀x ∈ R.
Allora
′
f (x) =









y = f (x)
−1
se
x<0
1
se
x>0
y = f ′ (x)
x
Si osservi che f ′ non è definita in 0 (vedi Esempio 5.7).
5.5
Derivabilità e continuità
Teorema 5.14 Siano f : (a, b) → R e c ∈ (a, b). Se f è derivabile in c, allora f è continua in c.
• Esitono funzioni continue in un punto, ma non ivi derivabili. Per esempio la funzione f (x) = |x|, x ∈ R,
è continua in 0, ma non è ivi derivabile.
5.6
Derivate di alcune funzioni elementari
Calcoliamo la derivata di alcune funzioni elementari.
47
Esempio 5.15 Sia f (x) = c
∀x ∈ R, dove c è una costante reale. Allora
f ′ (x) = lim
h→0
Esempio 5.16 Sia f (x) = mx + q
f ′ (x) = lim
h→0
c−c
0
f (x + h) − f (x)
= lim
= lim = 0.
h→0
h→0
h
h
h
∀x ∈ R, dove c è una costante reale. Allora
f (x + h) − f (x)
m(x + h) + q − (mx + q)
mh
= lim
= lim
= m.
h→0
h→0
h
h
h
Esempio 5.17 Sia f (x) = x2
∀x ∈ R, dove c è una costante reale. Allora
f (x + h) − f (x)
(x + h)2 − x2
2xh
= lim
= lim
= 2x.
h→0
h→0
h→0 h
h
h
f ′ (x) = lim
Tabella delle derivate di alcune funzioni elementari nel loro campo di esistenza.
f (x)
f ′ (x)
C
0
x
1
xn
αxα−1
α∈R
ax
ax ln a
a > 0, a 6= 0
ex
ex
ln |x|
1
x
48
5.7
Regole di derivazione
Teorema 5.18 (Algebra delle derivate) Siano f, g : (a, b) → R derivabili in c ∈ (a, b). Allora f + g e
f g sono derivabili in c e
(f + g)′ (c) =
(f g)′ (c) =
Inoltre se g(c) 6= 0, allora
Esempio 5.19 Sia f (x) =
5.8
f ′ (c) + g ′ (c)
f ′ (c)g(c) + f (c)g ′ (c).
f
è derivabile e
g
′
f
f ′ (c)g(c) − f (c)g ′ (c)
(c) =
.
g
g 2 (c)
x
2
x +1
∀x ∈ R. Allora f ′ (x) =
1 − x2
1 · (x2 + 1) − 2x · x
=
(x2 + 1)2
(x2 + 1)2
Derivata prima e monotonia - Ricerca di massimi e minimi
Teorema 5.20 Sia f : (a, b) → R derivabile. Valgono le seguenti proprietà:
1. se f ′ > 0 in (a, b), allora f è strettamente crescente in (a, b);
2. se f ′ ≥ 0 in (a, b), allora f è crescente in (a, b);
3. se f ′ < 0 in (a, b), allora f è strettamente decrescente in (a, b);
4. se f ′ ≤ 0 in (a, b), allora f è decrescente in (a, b);
5. se f ′ ≡ 0 in (a, b), allora f è costante in (a, b).
• Sia c ∈ (a, b) e sia f : (a, b) → R continua in (a, b) e derivabile in (a, b) \ {c}.
1. Se f ′ (x) > 0 per x ∈ (c, b) e f ′ (x) < 0 per x ∈ (a, c), allora c è un punto di minimo per f (x).
2. Se f ′ (x) < 0 per x ∈ (c, b) e f ′ (x) > 0 per x ∈ (a, c), allora c è un punto di massimo per f (x).
49
Esempio 5.21 Sia f (x) = x2 , allora f ′ (x) = 2x e 0 è un punto di minimo per f .
f
f ′ > 0 e f è crescente in (0, +∞)
f ′ < 0 e f è decrescente in (−∞, 0)
f ′ (0) = 0
f′
Esempio 5.22 Sia f (x) = 1 − x2 , allora f ′ (x) = −2x e 0 è un punto di massimo per f .
f′
f ′ (0) = 0
f ′ < 0 e f è decrescente in (0, +∞)
f ′ > 0 e f è crescente in (−∞, 0)
f
5.9
Teorema di De l’Hôpital
Teorema 5.23 (Teorema di de l’Hôpital) Siano c ∈ [a, b] e f, g : (a, b) → R derivabili in (a, b) \ {c} con
g(x) 6= 0 in (a, b) \ {c}. Se
0
f (x)
=
x→c g(x)
0
lim
∞
f (x)
=
x→c g(x)
∞
oppure
lim
(più precisamente se lim f (x) = lim g(x) = 0 oppure lim f (x) = lim g(x) = ±∞)
x→c
e se
x→c
x→c
f ′ (x)
x→c g ′ (x)
lim
allora
esiste,
f ′ (x)
f (x)
= lim ′
.
x→c g (x)
x→c g(x)
lim
50
x→c
• Un enunciato analogo vale per i limiti destri e sinistri e per c = ±∞.
Esempio 5.24 Consideriamo f (x) = ln(1 + x) e g(x) = ex − 1 . Osserviamo che il limite limx→0
ln(1+x)
ex −1
si
presenta sotto la forma indeterminata 0/0. Abbiamo
f ′ (x)
= lim
x→0 g ′ (x)
x→0
lim
1
1+x
x→0 ex
d
dx ln(1 + x)
d
x
dx (e − 1)
= lim
= 1,
cosicché dal Teorema di de l’Hôpital otteniamo
lim
x→0
f (x)
ln(1 + x)
= lim
= 1.
g(x) x→0 ex − 1
Esempio 5.25 Consideriamo f (x) = x e g(x) = ex . Osserviamo che il limite
presenta sotto la forma indeterminata
+∞
+∞ .
lim
x→+∞
f (x)
=
g(x)
lim
x→+∞
x
si
ex
Abbiamo
f ′ (x)
= lim
x→+∞ g ′ (x)
x→+∞
lim
d
dx x
d
x
dx (e )
= lim
x→+∞
1
= 0,
ex
cosicché dal Teorema di de l’Hôpital otteniamo
x
= 0.
x→+∞ ex
lim
Esempio 5.26 Consideriamo f (x) = x e g(x) = ex . Abbiamo
f ′ (x)
= lim
x→0
x→0 g ′ (x)
lim
d
dx x
d
x
dx (e )
= lim
x→0
1
= 1,
ex
che è diverso da
lim
x→0
Osserviamo che il limite lim
x→0
f (x)
x
= 0.
= lim
g(x) x→0 ex
f (x)
non presenta forma indeterminata e quindi non possiamo applicare il
g(x)
Teorema di de l’Hôpital.
Esempio 5.27 Sia n ∈ N. Applicando il Teorema di de l’Hôpital n volte otteniamo
xn
=0
x→+∞ ex
lim
51
∀ n ∈ N.
5.10
Derivata della funzione composta e della funzione inversa
Teorema 5.28 (Derivata della funzione composta) Siano f : (a, b) → R e g : (c, d) → R derivabili
rispettivamente in c ∈ (a, b) e f (c) ∈ (c, d). Allora g ◦ f è derivabile in c e
(g ◦ f )′ (c) = g ′ (f (c))f ′ (c).
2
2
Esempio 5.29 Siano f (x) = x2 e g(x) = ex , ∀x ∈ R. Allora (g ◦ f )(x) = ex e (g ◦ f )′ (x) = ex · 2x.
x2
Esempio 5.30 Sia f (x) = e 1−x , ∀x ∈ R. Allora
2 2
x2 2x(1 − x) − (−1)x
x2
x2
d
x
2x − x2 1−x
′
1−x
.
= e 1−x
f (x) = e
=
e
dx 1 − x
x4
x4
Esempio 5.31 Sia f (x) =
√
3
x2 − 1, ∀x ∈ R. Allora f (x) = (x2 − 1)1/3 e
f ′ (x) =
2x
1 2
(x − 1)1/3−1 2x = p
.
3
3
3 (x2 − 1)2
Teorema 5.32 (Derivata della funzione inversa) Sia f una funzione invertibile in (a, b). Supponiamo
f derivabile in c con f ′ (c) 6= 0. Allora f −1 è derivabile in f (c) e si ha
(f −1 )′ (f (c)) =
Dimostrazione.
1
f ′ (c)
.
La formula per calcolare la derivata della funzione inversa, nota la sua derivabilità, segue dalla
formula di derivazione delle funzioni composte. Infatti, dall’uguaglianza
(f −1 ◦ f )(x) = x
∀x ∈ (a, b),
ricaviamo
`
´′
1 = (f −1 ◦ f )′ (c) = f −1 (f (c)) f ′ (c).
Più difficile è dimostrare che la funzione inversa di una funzione derivabile è derivabile. (si veda: Bramanti,
Pagani, Salsa, ”MATEMATICA Calcolo infinitesimale e algebra lineare”, Zanichelli.).
Esempio 5.33 Sia f (x) = ex , ∀x ∈ R. Allora f −1 (y) = ln y, ∀y ∈ (0, +∞) e, se y = f (x) = ex ,
(f −1 )′ (y) =
52
1
1
= .
ex
y
⊓
⊔
5.11
Tabella delle derivate
F(x)
F′ (x)
C f (x)
C f ′ (x)
f (x) + g(x)
f ′ (x) + g ′ (x)
f (x) g(x)
f ′ (x) g(x) + f (x) g ′ (x)
a ln a
f (x)
g(x)
f ′ (x)g(x) − f (x)g ′ (x)
(g(x))2
ex
ex
[f (x)]α
α [f (x)]α−1 f ′ (x)
ln x
1
x
ln (f (x))
f ′ (x)
f (x)
log a (x)
1
x ln a
eg(x)
g ′ (x) eg(x)
f (x)
f ′ (x)
C
0
x
1
xα
α xα−1
x
a
5.12
x
Studio di funzioni.
Per Tracciare il grafico di una funzione seguiamo lo schema seguente. Si consiglia di leggere lo schema guardando
contemporaneamente un esercizio di studio di funzione svolto.
1. Dominio ed eventuali simmetrie. Se non è indicato il dominio, allora si determina il campo di esistenza
e lo si assume come dominio (si veda la sottosezione 2.1.1 Campo di esistenza). Se il dominio non è tutta la
retta reale si eliminano dal piano cartesiano le parti del piano da escludere.
Se il dominio è simmetrico rispetto allo 0, allora si cercano eventuali simmetrie (si veda la sottosezione 2.4 Funzioni simmetriche). Si determina f (−x) e si vede se è uguale a f (x) (in tal caso la funzione è pari) oppure
è uguale a −f (x) (in tal caso la funzione è dispari). Se nessuna delle due uguaglianze è verificata allora la
funzione non presenta simmetrie rispetto all’asse delle y o rispetto all’origine.
2. Intersezioni con gli assi. Se x = 0 è nel dominio della funzione, allora si determina l’intersezione con l’asse
delle ordinate ponendo x = 0 e calcolando il valore f (0). Si determina l’intersezione con l’asse delle ascisse
53
ponendo y = f (x) = 0 e ricavando il valore di x. Si segnano sul piano cartesiano i punti di intersezione con gli
assi.
3. Segno di f . Si studia il segno di f risolvendo la disequazione f (x) > 0. Si eliminano dal piano cartesiano le
parti del piano escluse.
4. Limiti agli estremi del dominio. Se il dominio è formato da più intervalli, allora si calcolano il limiti agli
estremi di tutti gli intervalli. Per esempio se il dominio fosse (−∞, −1) ∪ (−1, 3), dovremmo calcolare i limiti
per x → −∞, x → −1− , x → −1+ e x → 3− . Si segnano sul piano cartesiano i risultati dei limiti.
5. Asintoti. (Si veda la sottosezione 3.3 Asintoti) Dal punto precedente si deduce se esistono o meno asintoti
orizzontali o verticali. Possono esistere asintoti obliqui solo quando lim f (x) = ±∞ oppure
x→+∞
lim f (x) =
x→−∞
f (x)
f (x)
(oppure lim
). Se tale limite esiste ed è uguale ad un
x→−∞
x
x
numero reale m 6= 0, allora si calcola lim f (x) − mx (oppure lim f (x) − mx) e se anche questo limite esiste
±∞. In tal caso si procede calcolando lim
x→+∞
x→+∞
x→−∞
ed è uguale ad un numero reale q (anche uguale a zero) allora esiste l’asintoto obliquo di equazione y = mx + q.
Si segnano sul piano cartesiano gli eventuali asintoti.
6. Calcolo di f ′ . Si calcola la derivata prima di f .(Si veda la sottosezione 5.11 Tabella delle derivate)
7. Segno di f ′ . Si risolve l’equazione f ′ (x) = 0 per determinare i punti a tangente orizzontale (possibili punti di
massimo o minimo). Si risolve la disequazione f ′ (x) > 0.
8. Intervalli di monotonia. Negli intervalli in cui f ′ (x) > 0 la funzione f è strettamente crescente; negli
intervalli in cui f ′ (x) < 0 la funzione f è strettamente decrescente. (si vedano le sottosezioni 2.6 e 5.8)
9. Eventuali massimi e minimi. Dallo studio precedente si deduce l’esistenza o meno di massimi e/o minimi.
Per esempio se f ′ (x) = 0 per x = −2, f ′ (x) < 0 per x < −2 e f ′ (x) > 0 per −2 < x < −1, allora f ha un
minimo in x = −2. (Si vedano le sottosezioni 2.7 e 5.8).
10. Si traccia il grafico della funzione.
54