e derivabile in x 0 e si ha (f

Regole di derivazione
Proposizione Siano f e g due funzioni derivabili in x0 . Allora
• f ± g è derivabile in x0 e si ha
(f ± g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) ± g 0 (x0 );
• f g è derivabile in x0 e si ha
(f g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) g(x0 ) + f (x0 ) g 0 (x0 );
•
f
g
è derivabile in x0 se g(x0 ) 6= 0, e si ha:
f 0
g
(x0 ) =
f 0 (x0 ) g(x0 ) − f (x0 ) g 0 (x0 )
.
g 2 (x0 )
Dimostrazione
(f ± g)(x) − (f ± g)(x0 )
=
x→x0
x − x0
f (x) − f (x0 )) ± (g(x) − g(x0 ))
= lim
=
x→x0
x − x0
f (x) − f (x0 ))
g(x) − g(x0 )
= lim
± lim
=
x→x0
x→x0
x − x0
x − x0
=f 0 (x0 ) ± g 0 (x0 ).
• (f ± g)0 (x0 ) = lim
(f g)(x) − (f g)(x0 )
=
x→x0
x − x0
f (x)g(x) − f (x0 )g(x0 )
=
= lim
x→x0
x − x0
f (x)g(x) − f (x0 )g(x) + f (x0 )g(x) − f (x0 )g(x0 )
= lim
=
x→x0
x − x0
f (x) − f (x )
g(x) − g(x0 ) 0
= lim
g(x) + f (x0 )
= (∗)
x→x0
x − x0
x − x0
f (x) − f (x0 )) g(x) − g(x0 ) = lim
( lim g(x)) + f (x0 ) lim
= (∗∗)
x→x0
x→x0
x→x0
x − x0
x − x0
=f 0 (x0 ) g(x0 ) + f (x0 ) g 0 (x0 ),
•(f g)0 (x0 ) = lim
ricordando che il passaggio da (∗) a (∗∗) è giustificato dall’esistenza e finitezza dei limiti
che appaiono in (∗∗), che segue dalla derivabilità di f e g e dalla continuità di g in x0 .
1
Per determinare la derivata di un quoziente, calcoliamo prima la derivata
1 0
g
(x0 ) = lim
1
g (x)
− g1 (x0 )
=
x − x0
g(x0 ) − g(x)
= lim
=
x→x0 g(x)g(x0 )(x − x0 )
1 1 g(x) − g(x0 ) = lim
−
= (∗)
x→x0 g(x0 ) g(x)
x − x0
1 g(x) − g(x0 ) 1 lim
− lim
= (∗∗)
=
x→x0
g(x0 ) x→x0 g(x)
x − x0
g 0 (x0 )
,
=− 2
g (x0 )
x→x0
ricordando che il passaggio da (∗) a (∗∗) è giustificato dall’esistenza e finitezza dei limiti
che appaiono in (∗∗), che segue dalla derivabilità di g, dalla continuità di g in x0 , e dal
fatto che g(x0 ) 6= 0 implica g(x) 6= 0 in un intorno di x0 per il Teorema sulla permanenza
del segno.
La regola sulla derivazione di un quoziente segue allora dalla regola sulla derivazione
del prodotto applicata alla funzione f g1 e si ha:
•
f 0
g
g 0 (x ) 1 0
1
0
+ f (x0 ) − 2
=
(x0 ) = f
(x0 ) = f 0 (x0 )
g
g(x0 )
g (x0 )
=
f 0 (x0 ) g(x0 ) − f (x0 ) g 0 (x0 )
.
g 2 (x0 )
Teorema(Regola della catena)
Siano g una funzione derivabile in x0 , e sia f una funzione derivabile in g(x0 )); allora
la funzione composta f ◦ g è derivabile in x0 e si ha
(f ◦ g)0 (x0 ) = f 0 (g(x0 )) g 0 (x0 ).
Dimostrazione Per semplicita’ facciamo la dimostrazione solo nel caso g(x) 6= g(x0 )
per x in un intorno di x0 e x 6= x0 .
(f ◦ g)0 (x0 ) = lim
x→x0
=
lim
x→x0
f (g(x)) − f (g(x0 ))
=
x − x0
f (g(x)) − f (g(x0 )) g(x) − g(x0 ) lim
=
x→x0
g(x) − g(x0 )
x − x0
= f 0 (g(x0 )) g 0 (x0 ).
2
Funzioni inverse
Teorema Sia f una funzione invertibile e continua su un intervallo I, e supp. che
f sia derivabile in x0 ∈ I. Se f 0 (x0 ) 6= 0, la funzione inversa f −1 è derivabile nel punto
y0 = f (x0 ), e si ha
1
1
= 0 −1
.
(f −1 )0 (y0 ) = 0
f (x0 )
f (f (y0 ))
Dimostrazione Se y = f (x), per l’iniettivita’ e la continuità di f e di f −1 si ha
lim f (x) = f (x0 ), cioe0 lim y = y0 ⇐⇒ lim f −1 (y) = f −1 (y0 ), cioe0 lim x = x0 .
x→x0
x→x0
y→y0
y→y0
Quindi
(f −1 )0 (y0 ) = lim
y→y0
x − x0
1
(f −1 )(y) − (f −1 )(y0 )
= lim
= 0
.
x→x0 f (x) − f (x0 )
y − y0
f (x0 )
Derivate di funzioni elementari
• (loga x)0 =
1
x
x > 0, a > 0, a 6= 1;
loga e,
• (ln x)0 = x1 ,
x > 0;
• (ex )0 = ex ,
x ∈ R;
• (ax )0 = ax ln a,
x ∈ R, a > 0;
• (xα )0 = αxα−1 ,
x > 0, α ∈ R;
• (xn )0 = nxn−1 ,
x ∈ R, n ∈ Z, x 6= 0 se n < 0;
• (sin x)0 = cos x,
x ∈ R;
• (cos x)0 = − sin x,
• (tgx)0 =
1
cos2 x ,
• (arcsin x)0 =
x ∈ R;
x 6=
√ 1
,
1−x2
1
1+x2 ,
+ kπ;
−1 < x < 1;
1
• (arccos x)0 = − √1−x
,
2
• (arctgx)0 =
π
2
−1 < x < 1;
x ∈ R.
3
Dimostrazione
x + h
loga (x0 + h) − loga x0
1
0
=
• lim
= lim loga
h→0
h→0 h
h
x0
x
x
h h0 x10
1
h h0
.
= lim loga 1 +
= lim
loga 1 +
h→0
h→0 x0
x0
x0
Poniamo t =
x0
h ;
si ha
1
h
lim
loga 1 +
x0
h→0+ x0
1
h
lim
loga 1 +
x0
h→0− x0
x0
h
x0
h
=
1
1 1
loga
lim (1 + )t =
loga e,
t→+∞
x0
t
x0
1 t
1
1
lim (1 + ) =
=
loga
loga e.
t→−∞
x0
t
x0
• ex è la funzione inversa di ln x.
• ax = ex ln a e si usa la regola della catena;
• xα = (eln x )α = eα ln x e si usa la regola della catena;
• per x < 0, −x > 0 e xn = (−1)n (−x)n e segue dalla regola precedente;
sin(x + h) − sin x
sin x cos h + sin h cos x − sin x
= lim
=
h→0
h→0
h
h
• (sin x)0 = lim
cos h − 1
sin h
+ cos x lim
= cos x.
h→0
h→0 h
h
= sin x lim
cos(x + h) − cos x
cos x cos h − sin h sin x − cos x
= lim
=
h→0
h→0
h
h
• (cos x)0 = lim
cos h − 1
sin h
− sin x lim
= − sin x.
h→0
h→0 h
h
= cos x lim
4