Velocità di gruppo

Velocità di gruppo
Fino ad ora sono state prese in esame onde di tipo monocromatico (o armonico), espresse
mediante seni e coseni, dotate di pulsazione e lunghezza d’onda ben definita.
E = E0 cos(k ⋅ r − ωt ) ,
B = B0ei ( k ⋅r −ωt ) ,…
Si è visto che un’onda periodica di forma qualsiasi può essere sviluppata in serie di Fourier: essa
può essere espressa come somma di funzioni sinusoidali e cosinusoidali con pulsazioni (frequenze)
date da multipli interi della pulsazione (frequenza) dell’onda periodica.
(
)
f k ⋅ r ± ωt = A0 +
∞
n =1
(
)
(
An cos n k ⋅ r ± ωt + Bn sin n k ⋅ r ± ωt
)
=
∞
n =−∞
(
i k ⋅r ± ω t
Cn e
)
.
Si ha inoltre che una funzione f ( t ) qualunque, non necessariamente periodica, può essere
sviluppata in serie di Fourier, dove però la somma è sostituita da un integrale e dove vengono
“sommati” tra loro contributi di tipo armonico (ma con differente frequenza), ciascuno moltiplicato
per un opportuno coefficiente che ne definisce il “peso” nello sviluppo. Si ha
f (t ) =
1
2π
∞
A (ω ) eiωt d ω
−∞
Integrale di Fourier di f ( t )
dove
A (ω ) =
1
2π
∞
f ( t ) e− iωt dt
−∞
Trasformata di Fourier di f ( t )
Un’onda periodica raramente rappresenta un caso di interesse pratico. Essa infatti ha durata
spazio-temporale infinita e la sua ampiezza non subisce variazioni. Una tale onda non può
trasportare alcun segnale.
Per trasportare un segnale occorre che l’onda
presenti delle modulazioni (in ampiezza o
frequenza). Più in generale un segnale può essere
espresso come un impulso, o un pacchetto d’onde
di durata temporale finita e di estensione spaziale
finita.
Tale pacchetto può essere scritto attraverso il suo
integrale di Fourier e dunque può essere pensato
come costituito dalla sovrapposizione di onde
armoniche con frequenze diverse, alcune delle
quali contribuiranno con “pesi” maggiori di altre.
Detto ciò, se un tale pacchetto di onde elettromagnetiche si propaga nel vuoto, esso non varierà né
di forma né di durata temporale, dato che tutte le componenti di Fourier che lo compongono
viaggiano con uguale velocità, data dalla velocità della luce.
Se il pacchetto d’onde si propaga in un mezzo materiale, a causa della dipendenza dell’indice di
rifrazione (e dunque della velocità dell’onda) dalla frequenza, si avrà che le diverse componenti
viaggeranno con velocità diverse. Oltre a questo, per alcune componenti di Fourier potranno esserci
effetti di assorbimento maggiori rispetto ad altre, qualora la frequenza della componente sia vicina a
quelle proprie di assorbimento del mezzo. A causa di questi effetti il pacchetto subisce forti
distorsioni e allargamenti.
È esperienza comune che un raggio di luce può cambiare colore quando attraversa un mezzo
materiale. Questo si verifica quando il mezzo è apprezzabilmente trasparente (cioè non assorbe)
solo in un dato intervallo (banda) di frequenze. Il raggio uscente può allora contenere solo tali
frequenze mentre le altre vengono assorbite. Si realizzano in questo modo dei filtri ad assorbimento.
Se la velocità di un’onda dipende dal mezzo, è utile introdurre il concetto di velocità di gruppo,
che rappresenta la velocità con cui si muove il segnale (a differenza delle singole velocità di fase
delle varie componenti che hanno velocità differenti).
Per semplicità si consideri un’onda data dalla sovrapposizione di due componenti armoniche
piane che si propagano lungo la direzione x e solo di poco differenti tra loro per pulsazione (e
numero d’onda). Siano le due componenti di uguale ampiezza1.
L’onda data dalla sovrapposizione risulta del tipo
E = A sin ( k1 x − ω1t ) + A sin ( k2 x − ω2t ) .
In virtù della relazione trigonometrica sin a + sin b = 2 cos
E = 2 A cos
Se ω1
k1 − k2
ω − ω2
x− 1
t sin
2
2
ω2 e k1
a−b
a+b
sin
2
2
si ha
k1 + k2
ω + ω2
x− 1
t .
2
2
k2 , allora si può porre
k1 + k2
k numero d’onda intermedio tra k1 e k2 e prossimo a entrambi.
2
ω1 + ω2
ω pulsazione intermedia tra ω1 e ω2 e prossima a entrambe.
2
k1 − k2
= ∆k ( ∆k << k1 , k2 )
2
ω1 − ω2
= ∆ω ( ∆ω << ω1 , ω2 )
2
da cui
E = 2 A cos [ ∆kx − ∆ωt ] sin [ kx − ωt ] .
Questa rappresenta un’onda che si propaga con pulsazione ω non molto diversa dalle pulsazioni
ω1 e ω2 delle onde componenti. L’ampiezza di tale onda ha però anch’essa forma ondulatoria. Essa
corrisponde ad un’onda di piccola pulsazione ∆ω e piccolo numero d’onda ∆k che fornisce
l’inviluppo della somma delle due componenti. Tale inviluppo, comportandosi come un’onda,
avanza con velocità
1
Tale caso è gia stato discusso a proposito del fenomeno dei battimenti.
Onda modulata con pulsazione ω
vg =
∆ω
.
∆k
dove vg è la velocità con
cui viaggia l’inviluppo
E
0
X
Onda modulante con pulsazione ∆ω
Se v1 ≠ v2 allora vg ≠ v1 ≠ v2 2 e le onde modulata e modulante si propagano con differenti velocità.
Nelle ipotesi che le due onde componenti abbiano velocità di fase prossime tra loro si ha
∆ω d ω
=
.
∆k → 0 ∆k
dk
vg = lim
Tale velocità è chiamata velocità di gruppo dell’onda complessiva.
Le considerazioni ora svolte riguardo al caso semplice di due onde sinusoidali possono essere estese
anche al caso di un’onda composta da più di due componenti armoniche, purché i valori delle
relative pulsazioni siano confinati in una regione (banda) adeguatamente stretta. In questo caso le
velocità di gruppo sopra definita esprime approssimativamente la velocità dell’inviluppo e può
essere considerata come la velocità del segnale.
2
Al contrario di quanto visto durante lo studio dei battimenti in un mezzo elastico, dove la velocità di propagazione
delle onde non dipende dalla frequenza