Problemi assegnati nell`a.a. 2003
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Problemi assegnati nell`a.a. 2003
FISICA PER SCIENZE BIOLOGICHE a.a. 2003 - 2004 1^ prova scritta parziale - 12/11/03 1) Un blocco di alluminio (densità = 2.7 g ) di massa 2 Kg e' sospeso verticalmente ad cm 3 una molla di costante elastica k = 5⋅103 N m . Calcolare: a) L'allungamento della molla in aria b) L'allungamento della molla nel caso che tutto sia immerso in acqua Soluzione: mg 2 ⋅ 9.8 k x = m g ==> x = = = 3.9mm k 5 ⋅ 10 3 mg − ρ fluido V g 12.3 k x = m g - Spinta Archimede ==> x = = = 2.5mm k 5 ⋅ 10 3 m dove il volume del blocco e' stato ricavato conoscendo la massa e la densità V = ρ Al 2) Una stecca da biliardo colpisce una palla di massa m = 200 g con una forza F = 50 N. Supponendo che l'urto duri ∆t = 10 msec. Calcolare: a) l'impulso che agisce sulla palla; b) la velocità acquistata dalla palla Soluzione: J = F ∆t = 0.5 N⋅sec J 0.5 J = m vf - mv i ==> v f = = = 2.5m / sec m 0.2 2) Un giocatore di golf colpisce una palla di massa m = 46 g conferendole una velocità di 50m/sec. Sapendo che la mazza e la palla sono rimaste in contatto per ∆t = 1.7 msec. Calcolare: a) l'impulso applicato; b) la forza media esercitata sulla palla Soluzione: J = m vf - mv i = 46⋅10 -3 ⋅50 =2.3 kg m/sec J 2.3 J = F ∆t ==> F = = = 1.4 ⋅ 10 3 N −3 ∆ t 1.7 ⋅ 10 3) Un corpo di massa m = 200 g e' lasciato andare giù per un piano inclinato di θ = 30° con velocità iniziale nulla. Il coefficiente d'attrito fra il corpo e il piano e' µ = 0.2. Calcolare: a) L'accelerazione del corpo; b) Il lavoro fatto dalla forza d'attrito quando il corpo percorre una distanza D = 2 m Soluzione: a) ΣF = m a ==> a = g(senθ - µcosθ) = 3.2 m/sec2 b) Lfa = fa D cos180° = - µ mg cosθ D = - 0.68 J oppure: Lfa= (Uf +K f) - (Ui+K i) = 1/2 mv f2 - mgh con h = D sen 30° e v f = v i 2 + 2 aD 4) Una molla di costante elastica K = 102 N/m, posta in verticale, viene compressa di 10 cm e un corpo di massa m = 500 g viene appoggiato ad essa. Calcolare a che altezza arriva il corpo, quando la molla viene lasciata libera. Soluzione: kx 2 10 2 ⋅ 10 −2 mgh = 1/2 k x2 h = = = 10.2cm 2 mg 2 ⋅ 0.5 ⋅ 9.8 5) Lungo una condotta cilindrica orizzontale di raggio r1 = 2 cm e portata Q = 210 litri/min, scorre dell'acqua in moto stazionario; un manometro applicato alla condotta, indica una pressione p1= 2.5 atm. Ad un certo istante il condotto si restringe e il manometro in questo punto indica p2 = 1.9 atm. Determinare: a) La velocita' del fluido nel punto 1 b) La velocita' del fluido nel punto 2 c) Il raggio della condotta nel punto 2 Soluzione 10 −3 m 3 210 ⋅ Q 60sec = 2.8m / sec Q = S v = π r12 v 1 ==> v 1 = = 2 2 π r1 π 2 ⋅ 10 −2 ( 2(p1 − p2 ) 2(2.5 − 1.9 )1.013 ⋅105 + v 12 = + 2.82 = 11.4 m / sec ρ 10 3 p1 + ½ ρ v 12 = p 2 + ½ ρv22 v2 = π r12 v 1 = π r22 v2 r2 = r1 è ) v1 = 1 cm v2 Domande: 6) Legge di Stokes - Legge di Poiseuille 6) Forza centripeta - Moto circolare uniforme 2^ prova scritta parziale - 10/12/03 fila A 1) Un anello di raggio R = 30 cm e' caricato uniformemente con una carica q=+5⋅10-7 C. Determinare: a) La differenza di potenziale tra un punto A sull'asse a distanza xA = 20 cm dal centro dell'anello e un punto B a distanza xB = 40 cm b) La velocità che ha una sferetta di massa m = 0.5 g e carica Q = + 4.6⋅10-6 C inizialmente ferma nel punto A quando, lasciata libera di muoversi, passa per il punto B Soluzioni: 1 q q 9 -7 − VA - VB = 2 = 9⋅10 5⋅10 [2.77 - 2] ≈ 3.5 kV 2 2 2 4πε 0 x A + R x B + R 2 LA B = Q (VA - VB ) = 1/2 m v B è v B = 8 m/sec 2) Un condensatore di capacità C = 8.7 ⋅10-12 F viene caricato con una differenza di potenziale ∆V=1.2 kV applicata alle armature. Determinare: a) La carica presente sulle armature; b) L'energia elettrica immagazzinata nel condensatore Soluzioni: Q = C∆V = 10.4 ⋅10-9 C En = 1/2 C V2 = 6.3 ⋅10-6 J 3) Un filo di resistività ρ = 8.2⋅10-5 Ω m lungo 1.2 metri, di sezione A = 3⋅10-6 m2 e' collegato ad una batteria da 12 volt. Calcolare: a) La resistenza elettrica del filo; b) La corrente che attraversa il filo; c) La forza magnetica che agisce sul filo quando si trova immerso in una campo magnetico B = 1.5 T formante con il filo un angolo θ = 30°. Soluzione: l 8.2 ⋅ 10 −5 ⋅ 1.2 R= ρ = = 32.8 Ω A 3 ⋅ 10 −6 V 12 i= = = 0.37 A R 32.8 F = i l B senθ = 0.33 N 4) Un solenoide di 500 spire è concatenato ad un flusso di induzione magnetica di 1.2⋅10-4 weber. Riducendo il flusso a 3⋅10-5 weber in 0.015 sec, calcolare la f.e.m. media indotta. Soluzione: ∆Φ ( 0.4 − 1.2 )10 −4 f = −N = −500 = 2.7 volt ∆t 0.015 5) Calcolare l'angolo limite nel diamante posto in aria (indice di rifrazione del diamante n = 2.417). Assumere l'indice di rifrazione dell'aria = 1. Soluzione: n sen ϑl 1 = aria = = 0.414 ⇒ ϑl = 24.4° sen 90° ndiam 2.417 Domande 6) Ai fini della sicurezza, e' opportuno collegare i fari di una macchina in serie o in parallelo? MOTIVARE LA RISPOSTA 7) Moto di una carica in un campo magnetico 2^ prova scritta parziale - 10/12/03 fila B 1) Un disco di raggio R = 3 m e' caricato uniformemente con una densità superficiale di carica σ = +3.2⋅10-10 C/m2. Determinare: a) Il campo elettrico generato in un punto A sull'asse a distanza zA = 4 m dal centro del disco; b) Modulo, direzione e verso della forza che agisce su una sferetta di carica Q = - 6⋅10-6 C posta nel punto A. Soluzioni: − 10 3.2 ⋅ 10 z = [1- 4/5] ≈ 3.6 V/m 1 − 2 ⋅ 8.86 ⋅ 10 −12 x 2 A + R 2 F = E Q = 2.2 ⋅10 -5 N attrattiva σ E= 2ε0 2) Un condensatore di capacità C = 8.7 ⋅10-12 F viene caricato con una carica q=1.3⋅10-8 C sulle armature. Calcolare: a) La differenza di potenziale che si stabilisce fra le armature; b) L'energia elettrica immagazzinata nel condensatore. Soluzione: ∆V = q/C = 1.5 kV En = 1/2 q 2/C ≈ 1⋅ 10-5 J 3) Un solenoide, formato da 10 4 spire/m, ha resistenza complessiva 100 Ω e viene collegato ad una pila da 12 volt. Calcolare: a) La corrente che percorre il solenoide; b) Il campo magnetico all'interno del solenoide; c) La potenza elettrica dissipata nel solenoide. Soluzione: V 12 V 2 12 2 -7 4 -2 i= = = 0.12 A ; B = µ0 n i = 4 π 10 10 1.2 = 1.5⋅10 T ; P = = = 1.4 Watt R 100 R 100 4) Una spira conduttrice circolare di raggio 20 cm e di resistenza elettrica pari a 3 ohm è perpendicolare ad un campo magnetico che aumenta da zero a 1.5 T in 0.005 secondi. Trovare il valore medio della corrente indotta. Soluzione: 1 ∆Φ ( B ) 1 1.5 ⋅ π(0. 2) i = − = − R ∆t 3 0.005 2 = −12. 57 A 5) Nel vuoto la luce rossa ha una lunghezza d'onda di 6000 A. Se essa incide su una lastra di vetro di indice di rifrazione pari a 1.4, calcolare: a) La velocita' della luce nel vetro; b) La lunghezza d'onda nel vetro. Soluzione: c 3 ⋅ 108 v= = = 2.14 ⋅ 108 m sec n 1.4 λ 6000 λ vetro = 0 = = 4286A ⇒ luce violetta n 1.4 Domande 6) Nelle decorazioni luminose dell'albero di Natale a volte succede che una lampadina si fulmini. Affinché le altre continuino a funzionare, e' opportuno che le lampadine siano collegate in serie o in parallelo? MOTIVARE LA RISPOSTA 7) Forza di Lorentz 2^ prova scritta parziale - 21/1/04 fila A 1) 10 Kg di acqua a una temperatura iniziale di 15 °C vengono portati alla temperatura di 60°C. Calcolare la variazione di entropia dell'acqua. Soluzione: ∆S = m cp ln (Tf / Ti) = 10⋅4186⋅ln 333/288 = 6.1 ⋅103 J/°K 2) Una mole di gas perfetto biatomico, che inizialmente si trova in uno stato caratterizzato da t1= 0°C e p1 =0.22 atm, esegue una compressione adiabatica reversibile fino a un volume V2 = 10 litri. CalcolareV1 e p2. Soluzione: p1V1 = nRT1 ==> V1 = 21.9 litri p2V2γ = p1V1γ à p2 = 3 atm 3) Una mole di gas perfetto monoatomico, inizialmente a un volume VA = 20 litri e a una pressione pA = 3 atm, esegue il ciclo reversibile costituito dalle seguenti trasformazioni: i) Un'espansione isoterma fino ad un volume VB = 30 litri; ii) Una compressione isobara fino ad un volume VC = 10 litri; iii) Una trasformazione lineare da C ad A che chiude il ciclo. Calcolare: a) i parametri termodinamici dei tre stati e disegnare il ciclo nel piano p,V; b) il calore scambiato durante ciascuna trasformazione; c) il rendimento del ciclo. Soluzione: p A VA = 20 litri VB = 30 litri VC = 10 litri pA = 3 atm TB = TA pC = p B TA = pB = pA VA = nRTA ==> TA = 732°K pBVB = nRT B ==> p B = 2 atm pCVC = nRT C ==> T C = 244°K C QAB =LA B = nRTA ln VB/VA = 24.3 l atm > 0 Qassorbito QBC = n cp (TC - T B) = - 100 l atm (p A + p C )(VA − VC ) 2 QCA = ∆UCA + LCA = n c V (TA - TC) + = 60 + 25 = 85 l atm > 0 Qassorbito Q L 24.3 − 100 + 85 η= = tot = = 8.5% (85 + 24.3) Q ass Q AB 4) Una macchina termica lavora fra due sorgenti di temperatura. La sorgente calda e' costituita da un termostato a T1 = 313°K e la sorgente fredda e' costituita da una miscela di acqua e ghiaccio a T2 = 273°K. Sapendo che ogni ciclo T1= 313°K assorbe Q1 = 37 KJ dalla sorgente calda e fornisce alla sorgente fredda una quantità di calore Q2 tale da fondere Q1 100 g di ghiaccio, calcolare: L a) Il calore Q2; b) lavoro fornito dalla macchina per ogni ciclo; c) Il rendimento della macchina termica; Q2 d) La variazione di entropia dell'universo per ogni ciclo Soluzione: Q2= mλ = 33.3 KJ T2= 273°K L = Q1 - Q 2 = 3.7 KJ L L 3.7 η= = = = 10% Q ass Q1 37 − Q1 Q ∆S 1 = = −118.2 J o ∆S 2 = 2 = 122 J o ∆S UN = 3.8 J o K K K T1 T2 B V 2^ prova scritta parziale - 21/1/04 fila B 1) Si forniscono Q = 1.23⋅10 3 J ad un blocco di massa m = 525 g che si trova ad una temperatura di ti = 15 °C e si misura la temperatura finale tf = 25 °C. Supponendo il processo a pressione costante, calcolare il calore specifico del materiale di cui e' fatto il blocco Soluzione: Q = m cp (tf - ti) ===> cp = Q / m (tf - ti) = 234.3 J/Kg⋅°C 2) A una mole di gas perfetto monoatomico, che inizialmente si trova in uno stato caratterizzato da t1= 100°C e p 1 = 1.55 atm, si fa eseguire una espansione adiabatica reversibile fino a un volume V2 = 40 litri. CalcolareV1 e p2. Soluzione: p1V1 = nRT1 ==> V1 = 20 litri p2V2 γ = p1V1γ à p2 = 0.49 atm 3) come in A 4) Un frigorifero di Carnot lavora reversibilmente fra la temperatura ambiente T 1 = 293°K e la temperatura T 2 = 243°K. Un blocco di massa m = 3 Kg e calore T 1= 293°K specifico c = 386 J/Kg°K, inizialmente a temperatura ambiente, viene posto al suo interno per raffreddarlo fino a T2. Calcolare: Q1 L a) quanto calore occorre sottrarre al blocco per portarlo da T1 a T2; b) l'efficienza termica del frigorifero; c) il lavoro che e' necessario fornire al frigorifero; Q2 d) la variazione di entropia del blocco. T 2= 243°K e= Soluzione: Q2 = mc (T2 - T 1) = - 5.8⋅104 J T2 Q = 4.9 = 2 T1 − T2 L T2 = −216.7 J o K T1 5) Meccanismi di propagazione del calore 6) Gas perfetto L = Q2 / e = 1.2⋅104 J ∆S = mcln Prova scritta del 30/1/2003 MECCANICA 1) Una molla si allunga di 1.50 cm quando sorregge un peso di 4 Kg. Calcolare la costante elastica della molla e il lavoro necessario per allungarla di 2 cm dalla posizione di equilibrio, quando la molla si trova in orizzontale. Soluzione Kx = mg K = mg/x =2613 N/m L = 1/2 k x2 = 0.52 Joule 1) Un corpo di massa m = 0.5 Kg , partendo da fermo, , scivola per 3 metri lungo un piano inclinato di 45° e finisce su una molla di costante elastica K = 4000 N/m. Calcolare l'accelerazione che possiede il blocco lungo il piano inclinato e la massima deformazione della molla. Soluzione a = g sen 45° = 6.9 m/sec2 mgh = 1/2 k x2 con h = L cos 45° è x = 7.2 cm 2) Una forza costante di 300 dine agisce per 12 secondi su un corpo di massa 50 g. Il corpo inizialmente ha una velocità di 30 cm/s nella stessa direzione della forza. Calcolare : a) l'accelerazione che agisce sul corpo; b) lo spazio percorso in 12 sec; c) il lavoro fatto dalla forza; d) la potenza media sviluppata. Soluzione F = ma a = 300/50 = 6 cm/sec2 S = V0 t + 1/2 at2 = 7.92 m -2 L = F s = 300 10-5 7.92 = 2.4 10 J -4 P = L/t = 19.8 10 W Oppure: V = V0 + at = 1.02 m/sec -2 L = Kf - K 0 =1/2 5 10-2 (1.022 - 0.3 2) = 2.4 10 J Domande: 3) Moto circolare uniforme 4) Teorema di Bernoulli: illustrare e spiegare come in un vaso sanguigno con un aneurisma può rompersi la parete del vaso. Elettromagnetismo 1) Un protone (massa m=1.67⋅10-27kg, carica q=1.6⋅10-19C) si muove nel campo magnetico uniforme di un ciclotrone B=1.8T con una velocità di 6⋅107m/sec perpendicolare al campo magnetico. Trovare il raggio e la frequenza delle orbite. Soluzione: mv R= = 35cm qB v f = = 27.45 MHz 2πR 2) Due cariche puntiformi +q e -q ciascuna di 10-12 C distano fra loro 2 cm. Calcolare: a) il potenziale nel punto di mezzo; b) intensità direzione e verso del campo elettrico nel punto di mezzo; c) la forza che agisce su una terza carica uguale a +q posta nel punto di mezzo. Soluzione: V=0 q 1 = 180 V/m lungo la congiungente, verso la carica negativa 4πε 0 d 2 2 F = q E = 180 10-12 N Domande: 3) Resistenze in serie / parallelo 4) Lenti sottili: legge dei punti coniugati, illustrare la formazione delle immagini per una lente sottile divergente E= 2 TERMODINAMICA 1) Un cilindro di volume V=20 litri con pareti e coperchio adiabatico è occupato da n=3 moli di gas perfetto monoatomico inizialmente a temperatura TA = 400°K. Il coperchio è bloccato in modo che il volume interno del cilindro rimanga costante. Il fondo del cilindro è conduttore e viene posto in contatto con un corpo di massa m = 100 gr e cP = 374 J a temperatura iniziale Ti= 200°K. Sapendo che i due corpi raggiungono Kg o K l’equilibrio termico alla temperatura TB = 300°K calcolare: a) il calore ceduto dal gas al corpo; b) la variazione di entropia del gas e del corpo. Soluzione: Q = n cV (T B-TA ) = - 3740 J TB = -10.8 J o K TA T = mc p ln B = +15.2 J o K Ti ∆S gas = nc V ln ∆S corpo 2) Un corpo inizialmente a 30°C assorbe una quantità di calore Q = 900 cal e va a 130°C calcolare la capacità termica del corpo. Soluzione: Q = C (T B-TA ) è C = 9 cal/°C 3) Un gas perfetto monoatomico si trova in un recipiente adiabatico a T1=300°K, P1=3.7 atm e V1= 20 litri e viene lasciato libero di espandersi fino a raggiungere la pressione atmosferica, compiendo una trasformazione adiabatica reversibile. Determinare il volume finale, la temperatura finale e la variazione di entropia del gas. Soluzione: p1V1γ = p2V2γ γ = 5/3 V2 = V1 (p 1/p0)1/γ =43.8 litri p 2V2 p 2V2 = T1 = 177.8°K nR p1V1 ∆S = 0 T2 = Domanda 4) Primo Principio della termodinamica 5) Macchine termiche e frigorifere DATA 16/02/04 MECCANICA 1) Un corpo di massa m = 4 Kg si trova su un piano inclinato di θ = 30° trattenuto da una fune, che a sua volta e' collegata ad una molla fissata al terreno come in figura. Assumendo la costante elastica della molla K = 400 N/m, si calcoli l'allungamento della molla quando il θ sistema è in equilibrio. Soluzione: Kx = mgsenθ → x = (4 ⋅9.8⋅0.5)/400 = 4.9 cm 2) Per una persona che nuota nel Mar Morto, si osserva che circa 1/3 del corpo emerge dall'acqua. Assumendo come densità media del corpo umano 0,98 gr/cm3, calcolare la densità dell'acqua del Mar Morto. Soluzione Mg = ρf Vimm g ρ f =(ρc Vtot)/ Vimm ≅ 3/2 ρc = 1,5 gr/cm3 3) Un oggetto di massa m = 30 g cade verticalmente da un'altezza h=5m. Trascurando l'attrito dell'aria, calcolare: a) La velocità del corpo un attimo prima di toccare terra; b) Il tempo impiegato ad arrivare a terra. Assumendo invece che l'effetto dell'attrito dell'aria sul corpo sia come quello esercitato da una forza costante pari a fa= 0.1 N che agisce per tutto il tratto h, si calcoli, in queste condizioni, la velocità del corpo un attimo prima di toccare terra. Spiegare perché è un'approssimazione considerare l'attrito dell'aria come una forza costante su tutto il tragitto. Soluzione: vf 2= 2gh → v f = 10 m/sec vf = gt → t ≅ 1 sec Con attrito: (Kf + Uf) - (K0 + U0) = Lfa Kf = mgh - fa h = 0.97 J → vf = 2 Kf = 8 m/sec m Fa ∝ v oppure Fa ∝ v 2 Domande: 4) Forza di gravitazione universale e moto dei pianeti 5) Legge di Stokes: illustrare e spiegare il moto degli eritrociti nel sangue (VES = velocità di sedimentazione degli eritrociti) ELETTROMAGNETISMO 1) Un elettrone, inizialmente fermo, e' accelerato mediante una d.d.p. di 150 Volt. Calcolare la velocità' finale (carica e massa dell'elettrone sul formulario). Soluzione e∆V = 1/2 m v2 ==> v = 7.3 106 m/sec 2) Due resistenze R 1 ed R 2 sono collegate in parallelo e la d.d.p. ai loro capi è 120 V. Sapendo che la corrente che percorre ciascuna resistenza vale I1=0.5 A e I2=1 A, calcolare: a) Il valore di ciascuna resistenza; b) La resistenza equivalente, c) La potenza elettrica dissipata nelle due resistenze Soluzione: R1 = V/I1 =240 Ω R2 = V/I2 =120 Ω Rtot=(240 120)/360 = 80 Ω W = Itot V= 1.5 120 = 180 W 3) Due fili conduttori paralleli di lunghezza 3 m, posti a una distanza d=10cm, sono percorsi rispettivamente da correnti d'intensità I1=5 A e I2=8 A nello stesso verso. Calcolare: a) Il campo magnetico B 1 generato dal filo 1 nel punto dove si trova il filo 2; b) Modulo direzione e verso della forza che agisce fra i due fili. Soluzione ì I B1 = 0 1 =10-5 T 2ðd ì I I L F12 = I2L B1 =2.4 10-4 N oppure F12= 0 1 2 attrattiva 2ðd Domande: 4) Forza di Coulomb e campo elettrico; 5) Moto di una carica in un campo magnetico. TERMODINAMICA 1) Un’estremità di una barra di alluminio di lunghezza L=30 cm e sezione S=12 cm2 è posta in contatto con un termostato a T1=50 °C, mentre l’altra estremità è posta in contatto con una massa m=2 kg di ghiaccio alla temperatura di T0=0°C. In un certo periodo di tempo t viene trasferita dal termostato al ghiaccio una quantità di calore pari a 20 kcal (conducibilità termica dell’alluminio K=2.37 W/cm°C, calore latente di fusione del ghiaccio λ=79.7cal/g). Calcolare: a) il tempo t; b) la quantità di ghiaccio che si scioglie; c) la temperatura finale del ghiaccio; d) la variazione di entropia del sistema. Soluzione: t = QL/SK∆T => t = (20x10 3)x4.18x30 / (12x2.37x50)= 1764 s m’ = Q/λ = 251 g T = 0 °C ∆S=-Q/T1+Q/T0=(-20000/333+20000/273)=13.2 cal/K 2) Un cubo di ferro di massa 78 g alla temperatura iniziale T0=0°C alla pressione atmosferica p0 occupa un volume V1=10 cm3. Successivamente viene portato alla temperatura T 2=800°C. Sapendo che il coefficiente di dilatazione termica del ferro è β=3.6x10-5 °C-1, calcolare: a) il volume finale V2; b) la densità del ferro; c) il lavoro fatto durante l’espansione. Soluzione: V2 = V1(1+β∆T) = 10 cm3 (1+3.6x10-5 °C -1 x 800°C)= 10.28 cm3 ρ2 = m/ V2 = 78 g/10.03 cm3 = 7.58 g/cm3 ρ1 = m/ V1 = 7.8 g/cm3 L = px∆V = 1.023x10 5 Pax0.28 x10 -6 m3 = 29 mJ 3) Una mole di gas perfetto biatomico è contenuta in un recipiente alla pressione p1=1 atm ed alla temperatura T1=50°C. Se il gas subisce una trasformazione isocora raggiungendo la pressione di p2=1.1 atm, calcolare: a) la temperatura finale; b) il lavoro fatto nella trasformazione c) la variazione di energia interna. Soluzione: T2 = T 1xp 2/p1 = 323°Kx1.1atm/1atm = 355°K L=0 ∆U = nC V∆T = 1x5/2x8.31J/Kx32.3°K = 671 J Domande: 4) Le transizioni di fase 5) Il gas perfetto