Roberto Sozzi
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Roberto Sozzi
Valutazione Economica degli Effetti Sanitari dell’Inquinamento Atmosferico: La Metodologia dell’EEA Taranto 23-24 luglio 2012 La Modellistica: dalle Emissioni alle Concentrazioni Roberto Sozzi Arpa Lazio Percorso EEA per giungere alla quantificazione degli impatti sanitari sulla popolazione e dei relativi impatti economici. Stima della distribuzione nello spazio e nel tempo della concentrazione al livello del suolo delle principali sostanze inquinanti (CO, SO2, NO2, O3, PM10, PM2.5, IPA, metalli, ecc.) Questa stima deve essere realizzata nella maniera più realistica possibile perché l’errore ad essa associato si propaga attraverso tutti i passi della metodologia, rendendo irrealistici i risultati finali ottenuti. La stima della distribuzione spazio-temporale della concentrazione delle diverse sostanze inquinanti schematicamente comporta i seguenti passi logici: 1. Individuazione delle possibili sorgenti potenzialmente inquinanti (centri abitati, strade, impianti industriali, ecc.) 2. Individuazione delle sostanze emesse da sorgente 3. Quantificazione delle modulazione temporale 4. Modalità di emissione temperatura e portata) A questo punto sappiamo: • • • Cosa viene emesso Dove come quantità emesse (velocità di ciascuna e loro emissione, Una volta emesse, le sostanze inquinanti sono inglobate nelle masse d’aria in movimento nella Bassa Troposfera e vengono: 1. Trasportate dal moto medio delle masse d’aria 2. Diffuse dalla turbolenza tipica di questa parte di troposfera 3. Vengono in contatto con la superficie terrestre e quindi catturate con processi chimico-fisici (deposizione secca) 4. Vengono catturate dalla pioggia e quindi depositate al suolo (deposizione umida) 5. Reagiscono chimicamente tra loro (chimica dell’atmosfera) Processi complessi che richiedono conoscenze approfondite di • Fluidodinamica • Meteorologia della parte bassa della Troposfera • Chimica dell’atmosfera Modelli: insieme completo di relazioni matematiche che descrivono quantitativamente la fisica e la chimica dei processi di dispersione degli inquinanti in aria. Possono essere più o meno complessi a seconda della complessità del problema da trattare e della realisticità che si richiede. Questi modelli matematici vengono poi tradotti in Codici di Calcolo per ottenere numericamente i campi di concentrazione desiderati ⇒ Modelli Meteorologici ⇒ Modelli di dispersione degli inquinanti in aria Un Operatore non ha mai a disposizione una black box informatica che gli consenta di operare con una conoscenza limitata dei processi Deve essere un professionista del settore, soprattutto se è necessario lavorare con una elevata risoluzione spaziale e temporale Il punto di partenza per la quantificazione realistica dell’inquinamento atmosferico Conoscenza approfondita della parte bassa della Troposfera dove hanno luogo normalmente i processi di dispersione degli inquinanti emessi dalle varie sorgenti, il loro impoverimento e la loro reattività chimica Prima tratteremo la Fisica dei Bassi Strati della Troposfera Poi la Dispersione degli Inquinanti in Aria Caratteristiche Generali del Planetary Boundary Layer (PBL) Troposfera → parte dell’Atmosfera (involucro gassoso che circonda l’intero globo terrestre) Stratificazione tipica 120 Termosfera 100 Mesopausa Quota (km) 80 La Troposfera è la parte più bassa dell’atmosfera a diretto contatto con la superficie terrestre. Mesosfera 60 Stratopausa 40 Stratosfera 20 Tropopausa Troposfera 0 -100 -80 -60 -40 -20 0 Temperatura (°C) 20 40 Ai fini dello studio dell’inquinamento atmosferico, siamo interessati solo ad una porzione di essa, quella a più diretto contato col suolo. Questo strato di Troposfera si estende dal suolo fino ad una quota che varia durante il giorno e da giorno a giorno (estensione massima di 1 – 2 km nelle ore diurne e soleggiate). Possiede caratteristiche fisiche e chimiche nettamente distinte dal resto della troposfera. Prende il nome di: Planetary Boundary Layer (PBL) Strato Limite Planetario Atmospheric Boundary Layer 25 Individuazione preliminare del PBL 20 Quo ta (km) 2000 15 1900 1800 10 Quo ta (m) m) 1700 5 1600 1500 1400 0 1300 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 Temperatura (°C) Profilo verticale di temperatura nella Troposfera 1200 1100 1000 10 11 12 13 14 15 Temperatu ra (°C ) 16 17 18 CARATTERIZZAZIONE DEL PBL Il PBL è un sistema fisico che si deve studiare nel contesto della Fluidodinamica Sistema fisico ⇒ miscuglio di gas Per il suo studio è necessario definire: • • • • un un un un dominio di indagine sistema di coordinate di riferimento insieme di variabili fisiche che descrivono il PBL insieme di variabili chimiche che descrivono il PBL Dominio di Indagine Volume geometrico entro cui si studia un fenomeno (in questo caso lo stato ed il moto delle masse d’aria dell’Atmosfera). Il Dominio di Indagine ha: • la caratteristica principale di avere sempre la superficie terrestre come sua frontiera inferiore; • è differente se si sta effettuando uno studio di Meteorologia Generale o di Micrometeorologia Il primo tipo di dominio spaziale è costituito da tutta l’atmosfera che circonda la Terra. Un modello che adotta un tale dominio di calcolo è un Modello Globale Il secondo tipo di dominio è costituito da una porzione di atmosfera sovrastante un’area limitata della superficie terrestre (Modello ad Area Limitata) Sistema di riferimento ⇓ A differenza della Meteorologia a grande scala, nello studio del PBL si usa un Sistema di riferimento Cartesiano Ortogonale ⇓ Asse x diretto in direzione W–E (positivo verso E) • Asse y diretto in direzione S-N (positivo verso N) • Asse z diretto Basso-Alto (positivo verso l’alto) Alto Nord z y x Est Consideriamo una generica porzione d’aria (Particella) in un punto P(x,y,z) dello spazio La particella si muove ⇒ Velocità della Particella Velocità della particella ⇒ Vento (Vettore) Come ogni vettore, anche il vento è descritto dalla sue tre componenti rispetto agli assi del sistema di riferimento: ⇒ Vx oppure u ⇒ Vy oppure v ⇒ Vz oppure w componente rispetto all’asse x componente rispetto all’asse y componente verticale (che spesso viene trascurata) Velocità del vento Direzione di Provenienza del Vento (0°: da N; 90°: da E; 180°: da S; 270°: da W) Altre Variabili di Interesse Temperatura T (in gradi Kelvin) Pressione Barometrica P (in hPa o mb) Temperatura e pressione variano da punto a punto e con la quota. E’ possibile impiegare una relazione approssimata per stimare la pressione barometrica ad una generica quota z nota la temperatura T(K) a quella quota p = p0 ⋅ exp[− (0.0342 T ) ⋅ z ] Aria Secca Aria priva di acqua (acqua liquida, solida e vapor d’acqua) E’ un’astrazione che, però, ben rappresenta le situazioni polari Aria secca ⇒ Gas perfetto p = Rd ρT ρ = 0.34837 Densità dell’aria: Calore Specifico a pressione costante: ρC p = 350.125 Cp p T p T 2 ( T − 250) = 1005 + 3364 Composizione tipica dell’Aria Secca Componente Simbolo Peso Molecolare Concentrazione (% in volume) Azoto N2 28.01 78.084 Ossigeno O2 32.00 20.946 Argon Ar 39.95 0.934 Biossido di Carbonio CO2 44.01 0.030 Neon Ne 20.18 2.821 10-3 Elio He 4.00 0.524 10-3 Metano CH4 16.04 0.150 10-3 Kripton Kr 83.80 0.114 10-3 Idrogeno H2 2.02 0.050 10-3 Xeno Xe 132.30 0.009 10-3 Ozono O3 48.00 0.007 10-3 Ammoniaca NH3 16.04 0.001 10-3 Iodio I2 253.81 0.001 10-3 Biossido di Azoto NO2 46.01 0.0001 10-3 Biossido di Zolfo SO2 64.06 0.00002 10-3 Monossido di Azoto NO 30.00 0.00002 10-3 Acido Solfidrico H2S 34.08 0.00002 10-3 Monossido di Carbonio CO 28.01 tracce Nell’aria è sempre presente dell’acqua soprattutto allo stato gassoso (vapor d’acqua) ⇒ Aria Umida. Contenuto di vapor d’acqua • Tensione di vapore e (pressione parziale di vapor d’acqua, mb). Massimo valore tensione di saturazione = pressione di saturazione es. • Umidità relativa RH (%): 100 e/es • Umidità assoluta a: massa di acqua in 1 m3 di aria • Umidità specifica q: grammi di acqua per grammo di aria umida • Rapporto di mescolanza r: grammi acqua per grammo di aria secca Aria umida = gas perfetto, rispetta l’equazione di stato Tv è la temperatura virtuale Tv = T (1 + 0.608q ) p = Rd ⋅ ρ ⋅ Tv Alcune Considerazioni Termodinamiche A) Equazione Idrostatica In una particella, in assenza di moto verticale, la gravità bilancia esattamente il gradiente verticale di pressione dp = − gρ dz B) Temperatura Potenziale e stabilità statica Conseguenza del Primo Principio della Termodinamica applicato ad una particella in movimento adiabatico in aria. Se T è la temperatura della particella in un punto del PBL a pressione p e la si trasporta adiabaticamente alla pressione di riferimento p0 (es. 1000 mb) la sua temperatura diventa θ. θ ⇒ Temperatura potenziale Relazione esatta tra θ e T: Relazione approssimata tra θ e T: 1000 ϑ =T p R Cp ϑ ≅ T + 0.0098 ⋅ z Relazione tra il gradiente verticale di T e di θ dϑ dT = + 0.0098 dz dz ad un gradiente di temperatura di –0.0098 K/m corrisponde un gradiente di temperatura potenziale di 0 K/m La temperatura potenziale può essere considerata come una nuova definizione di temperatura che applicata al profilo verticale di temperatura (relativo a un’ora diurna e soleggiata) visto in precedenza, si ottiene sorprendentemente ciò che appare nella figura 1400 1200 Quota (m) Prima non si notava alcunché di particolare, ora si nota chiaramente una porzione di atmosfera in cui possono essere individuati tre strati corrispondenti a zone con diversi gradienti verticali di temperatura potenziale. 1000 800 600 400 200 0 300.4 300.8 301.2 301.6 Temperatura Potenziale (K) 302.0 Nelle ore diurne con soleggiamento (cui si riferisce il profilo termico precdente), si nota: • una zona vicino al suolo (dθ/dz negativo) • una zona intermedia (dθ/dz circa nullo) • un'altra zona (dθ/dz molto positivo) ⇒ ⇒ Strato Superficiale SL ⇒ Strato Rimescolato ML Strato di Entrainment EL • una zona superiore (dθ/dz positivo, ma inferiore alla precedente, che continua con gradiente circa uguale fino alla sommità della troposfera) ⇒ Atmosfera Libera Dalle relazioni precedenti si ha che: - se dT/dz < -0.0098 (K/m), dθ /dz < 0 - se dT/dz = -0.0098 (K/m), dθ /dz = 0 - se dT/dz > -0.0098 (K/m), dθ /dz > 0 Come si comporta una particella in aria se si altera di poco la sua posizione verticale con una perturbazione verticale δz? d 2 (δz ) g ∂θ + ⋅ δz = 0 2 dt θ ∂z Il movimento verticale della particella dipende dal gradiente di temperatura potenziale ⇒ Se dθ /dz è positivo: δz = g ∂θ N = 0 θ 0 ∂z w0 ⋅ sen( N ⋅ t ) N 12 La particella oscilla attorno alla propria posizione originale con frequenza N (Frequenza di Brunt-Vaisala) ⇒ Se dθ /dz è negativo: w δz = 0 2 g ∂θ exp θ ∂z 12 g ∂θ t − exp − θ ∂z 12 t La particella si allontana indefinitamente dalla propria posizione originale. ⇒ Se dθ /dz è nullo: la particella non reagisce alla perturbazione Profilo verticale di temperatura potenziale in una tipica situazione diurna e soleggiata 2000 1800 Free Atmosphere 1600 Entrainment Layer Quota (m) 1400 1200 1000 800 Mixed Layer 600 400 200 Surface Layer 0 290 291 292 293 294 Temperatura potenziale virtuale (°K) 295 Se si ha una struttura del PBL come quella della figura precedente (gradiente temperatura potenziale positivo in SL, nullo in ML, positivo in EL) Se si rilascia al suolo una particella con una componente verticale positiva della velocità, essa: ⇒ abbandona il SL senza ritornare, accelerando, ⇒ attraversa indisturbata il ML, ⇒ si blocca nel EL e ridiscende garantendo la conservazione della massa. Il PBL è una vera e propria trappola per le particelle emesse al suo interno ed in particolare per quelle emesse al suolo. Chi è il motore dell’Atmosfera e del PBL, cioè la causa prima dei moti delle masse d’aria ed, in ultima analisi, della vita sulla Terra? Il Sole Bilancio Energetico del PBL Il PBL è una macchina termica gigante che trasforma l’energia solare in movimento dell’aria. Il sole è, quindi, la principale fonte di energia del PBL. Il sole emette radiazione elettromagnetica nell’intervallo 0.1÷1 µm (visibile) come un corpo nero a Temperatura di 6000K. (radiazione ad onda corta). Solo un ristretto numero di gas presenti in aria può assorbire direttamente una porzione di questa energia (≈7%). Una parte di radiazione solare è assorbita e riflessa dalle nubi (≈ 27%) Un’altra parte è riflessa dalle particelle sospese (≈17%) Un’altra parte è riflessa direttamente dal suolo (albedo ≈6%) Circa il 43% della radiazione solare arriva direttamente al suolo! Radiazione Solare incidente Radiazione riflessa dal suolo ⇒ Radiazione Globale Rg αRg ⇒ Albedo = -α (α = coefficiente di albedo) Energia solare trasferita al suolo: E = (1-α α) Rg SOLE Assorbimento e scattering molecolare Riflessione Trasmissione Assorbimento e scattering da aerosol Assorbimento e scattering Trasmissione Riflessione Riflessione Assorbimento Assorbimento Assorbimento OCEANO SUOLO Ci sono due reazioni del sistema fisico al trasferimento di radiazione solare: ⇒ L’atmosfera (corpo caldo) ⇒ emette radiazione all’infrarosso I ↓ verso la superficie terrestre ⇒ Il suolo (corpo caldo) ⇒ emette radiazione infrarossa I↑ ↑ verso l’atmosfera Questi due contributi energetici sono ad onda lunga. Legge di Stefan-Boltzmann I = σT 4 La quantità di energia disponibile al suolo (Radiazione Netta) è pari a: RN = (1-α α) Rg + I ↓↑ ↓ I↑ 800 1 1 2 3 4 Flusso Radiative (W/m²) 600 Radiazione solare globale Albedo Infrarosso dal cielo infrarosso terrestre 400 3 200 0 2 -200 4 -400 -600 0 800 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 Ora Locale Rg Flusso Radiative (W/m²) 600 RN Nelle ore diurne (dopo l’alba e prima del tramonto) l’energia disponibile all’interfaccia aria-suolo è positiva, mentre nelle ore notturne è negativa. 400 200 0 0 2 4 6 8 10 12 Ora Locale 14 16 18 20 22 24 24 A fronte di questa disponibilità energetica si ha che: ⇒ Una parte di energia disponibile viene trasmessa per conduzione al suolo (Flusso di Calore nel suolo G) ⇒ una parte viene usata per evaporare l’acqua presente nel suolo e nella vegetazione (Flusso Turbolento di Calore Latente HE) ⇒ il resto viene emessa dal suolo e trasmessa ai primi millimetri d’aria e si trasforma in movimenti irregolari delle masse d’aria del PBL (Flusso Turbolento di Calore sensibile H0) Meccanismo a bolle di Oke per il trasferimento di H0 all’aria del PBL ⇒ RN è positiva nelle ore diurne fino a che Rg ≥ 20 W/m2 ⇒ RN è sempre negativa di notte nelle aree rurali ⇒ G è una frazione di RN ⇒ La ripartizione tra HE e H0 dipende dal tipo di suolo e dalla umidità presente sullo stesso. L’aria che passa sopra la superficie terrestre scambia energia ed altera le proprie caratteristiche fisiche: ⇒ riceve dal suolo H0 e HE e queste sono le sorgenti di energia convettiva. ⇒ a causa della rugosità del suolo, perde energia per attrito (perdita di energia meccanica). Si genera quindi, come per tutti i fluidi turbolenti in moto su una superficie rugosa, una turbolenza meccanica. ⇒ nelle ore diurne quando RN>0 l’energia persa per attrito è quasi sempre minore di quella acquisita per convezione (Situazioni convettive) ⇒ nelle ore notturne (Rn<0), c’è solo una perdita globale di energia (Situazioni Stabili). ⇒ lo stato del PBL è differente di giorno e di notte ⇒ anche il modo con cui si disperdono gli inquinanti è diverso nei due casi Situazioni Convettive 2000 1800 Free Atmosphere 1600 Entrainment Layer Profilo di temperatura potenziale ⇒ Quota (m) 1400 1200 1000 800 Mixed Layer 600 400 200 Surface Layer 0 290 291 292 293 294 Temperatura potenziale virtuale (°K) ⇐ Struttura dei vortici turbolenti 800 700 600 Profilo della velocità del vento ⇒ Altura (m) 500 400 Viento Geostrófico 300 200 100 0 0 1 2 3 4 5 Velocidad del viento (m/s) 6 295 Si vengono ad instaurare: ⇒ un flusso ascendente di aria (up-draft) ⇒ un flusso discendente di aria (down-draft) Gli inquinanti emessi vengono catturati dai flussi ascendenti e discendenti e presentano pennacchi caratteristici. Estensione verticale del PBL ⇒ Altezza di Rimescolamento (secondo la nomenclatura usata nei modelli di dispersione degli inquinanti) Presenta un’evoluzione diurna caratteristica: ⇒ è minima nelle prime ore della mattina (dovuta soltanto alla turbolenza meccanica) ⇒ aumenta con l’arrivo di energia solare fino al tramonto ed in particolare in modo proporzionale all’integrale nel tempo del Flusso Turbolento di calore sensibile. ⇒ decade molto rapidamente al tramonto con il venir meno dell’apporto energetico solare. Situazioni Stabili 1000 Profilo di temperatura potenziale ⇒ Quota (m) 800 600 400 200 0 290 292 294 296 Temperatura potenziale virtuale (°K) ⇐ Struttura dei vortici turbolenti 800 700 600 Profilo verticale del vento ⇒ Altura (m) 500 400 300 200 CLP Nocturna 100 0 0 1 2 3 Velocidad del viento (m/s) 4 298 Evoluzione Giornaliera dell’altezza di Rimescolamento Descrizione Statistica della Turbolenza Moto Turbolento Osservazioni sperimentali dei fluidi geofisici (es. atmosfera) regime di moto irregolare ed apparentemente privo di logica. Possiamo individuare: ⇒ un comportamento sostanzialmente regolare (moto medio) ⇒ cui si sovrappongono disturbi di dimensione e durata variabile I disturbi a scala maggiore tendono a frantumarsi in disturbi a scala sempre più piccola, suggerendo una sorta di cascata dimensionale Moto laminare Moto Turbolento La Turbolenza del PBL Se si misurano le tre componenti del vento e la temperatura con sensori a risposta rapida si vede che: Le variabili presentano un andamento abbastanza regolare cui si sovrappongono irregolarità elevate che paiono “rumore” con caratteristiche di un segnale casuale. Segnale = andamento medio regolare + fluttuazioni irregolari (turbolente) Caratteristica esteriore rilevante della turbolenza nel PBL ed in tutti i fluidi turbolenti di interesse geofisico. La quantificazione della Turbolenza deve essere necessariamente dedotta dall’analisi delle fluttuazioni (irregolarità) contenute nel segnale. Vel _ x (m/s) 2.0 1.0 0.0 -1.0 -2.0 -3.0 0 100 200 300 400 500 Tiempo (s) 600 700 800 900 Vel _ y (m m/s) 3.0 2.0 1.0 0.0 -1.0 -2.0 0 Vel. vertical (m/s) 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 0 100 200 300 400 500 Tiempo (s) 600 700 800 900 100 200 300 400 500 Tiempo (s) 600 700 800 900 Ipotesi di Reynolds Ogni segnale meteorologico è la sovrapposizione di un andamento medio regolare e di fluttuazioni turbolente apparentemente casuali aventi media nulla. A(t ) = A + A' (t ) Un esempio è la componente u del vento: u (t ) = u + u ' (t ) Indicatori statistici di turbolenza del PBL ⇒ standard deviation che, per la componente u del vento, è: σu = ( 1 N ui − u ∑ N − 1 i =1 ) 2 = 1 N 2 ( ) u ' ∑ N − 1 i =1 Il quadrato della deviazione standard è la varianza. ⇒ dalla varianza delle tre componenti del vento, è calcolabile l’energia cinetica turbolenta (energia posseduta dall’aria a causa della turbolenza presente) definita come: TKE = { 1 2 σ u + σ v2 + σ w2 2 } Tra due variabili si può definire la covarianza. Considerando, per esempio, la temperatura potenziale θ e la componente w del vento: {( )( )} 1 N 1 N w'θ ' = ∑ θ − θ ⋅ w − w = ∑ {θ ' w'} N i =1 N i =1 Si può dimostrare che: la covarianza tra una delle componenti del vento ed una variabile scalare (temperatura e umidità) rappresenta (a meno di una costante) il flusso turbolento della variabile scalare nella direzione della componente del vento. Flusso Turbolento di Calore Sensibile 1 N H 0 = ρC p ∑ w'θ ' N i =1 ∂θ ∂z < 0 ∂θ ∂z = 0 ∂θ ∂z > 0 ⇒ H0 > 0 ⇒ Situazione Convettiva ⇒ H0 = 0 ⇒ Situazione Adiabatica ⇒ H0 < 0 ⇒ Situazione Stabile Flusso Turbolento di Calore Latente H E = w'q' Covarianze tra le componenti u e v del vento e la componente w (a meno di una costante) sforzo di taglio orizzontale dovuto all’attrito delle masse d’aria sulla superficie terrestre. In particolare lo sforzo di taglio è dato da: τ = ρ ⋅ u*2 dove u* (friction velocity) è la velocità di scala definita come: 1 2 u* = N 2 1 N u ' w ' + v ' w ' ∑ i i N ∑ i i i =1 i =1 N 2 Parametri che caratterizzano la turbolenza del PBL ⇒Forzante Convettiva: Flusso Turbolento Calore Sensibile H 0 = ρ ⋅ C p ⋅ w'θ ' ⇒Forzante Meccanica: Friction velocity 2 u* = u ' w' + v' w' 4 ⇒ Altezza di Rimescolamento zi Parametri Accessori Temperatura di Scala T* T* = − w'θ ' u* Lunghezza di Monin-Obukhov T u*3 L=− kg w'θ ' Velocità convettiva di scala g H0 w* = z T ρC i p 13 2 RIASSUMENDO Condizioni Convettive: u* > 0 H0>0 T*<0 L<0 Condizioni Adiabatiche: u*>0 H0 =0 T*=0 L →±∞ Condizioni Stabili: u*>0 H0<0 T*>0 L>0 Modello Matematico del PBL PBL ⇒ porzione di troposfera ⇒ Fluido Newtoniano Viscoso A) Dominio di Calcolo e Variabili. Dominio di calcolo = porzione di troposfera a forma di parallelepipedo a base inferiore al suolo e superiore oltre l’altezza di rimescolamento. Sistema di coordinate = cartesiano ortogonale meteorologico. Variabili considerate = valori istantanei di ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ componenti u, v e w del vento temperatura potenziale θ pressione barometrica p densità dell’aria ρ ⇒ concentrazione di d’acqua come vapore liquido e solido Relazioni base del Modello • • • • legge di conservazione della massa legge di conservazione della quantità di moto legge di conservazione dell’entalpia equazione dei gas perfetti (Per semplicità non si considera l’acqua liquida e le sostanze inquinanti presenti nel PBL) 1. Conservazione della massa Nell’ipotesi di fluido incomprimibile: ∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z Conservazione della Quantità di Moto ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2u 1 ∂p ∂u ∂u ∂u ∂u + u + v + w = fcv − +ν 2 + 2 + 2 ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v 1 ∂p ∂v ∂v ∂v ∂v + u + v + w = − f cu − +ν 2 + 2 + 2 ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂y ∂y ∂z ∂x ∂ 2 w ∂ 2 w ∂ 2 w ∂w ∂w ∂w ∂w 1 ∂p +u +v +w = −g − +ν 2 + 2 + 2 ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂z ∂y ∂z ∂x Conservazione dell’Entalpia ∂ 2θ ∂ 2θ ∂ 2θ ∂θ ∂θ ∂θ ∂θ +u +v +w = ν θ 2 + 2 + 2 + Source / Sink ∂t ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x Conservazione del vapor d’acqua ∂ 2q ∂ 2q ∂ 2q ∂q ∂q ∂q ∂q + u + v + w = ν q 2 + 2 + 2 + Sorce / Sink ∂y ∂z ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x Legge dei Gas Perfetti p = ρRT In tutte le equazioni si considerano i valori istantanei delle variabili. Le variabili sono 7(u,v,w,ρ,p,q,θ), le equazioni sono 7, il sistema è formalmente chiuso. In teoria: • se si conoscessero le condizioni iniziali del fluido • e le condizioni al contorno il sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali dovrebbe potersi risolvere. Data la complessità matematica, non è possibile una sua risoluzione analitica, tuttavia è sperabile una sua soluzione almeno numerica. Ciò in pratica non è possibile perché: ⇒ le equazioni non sono lineari e hanno caratteristiche tipiche dei sistemi caotici (sono deterministiche, ma il loro comportamento risulta estremamente irregolare e apparentemente stocastico); ⇒ per una loro risoluzione numerica su un dominio di calcolo realistico sarebbero necessari computer con potenze di calcolo lontane dalle possibilità attuali; ⇒ si dovrebbero fornire al modello le condizioni iniziali e al contorno relative alle variabili istantanee in tutto il dominio di calcolo. Cosa totalmente impossibile in pratica, soprattutto per il fatto che i sistemi caotici risultano estremamente sensibili a piccoli errori proprio nelle condizioni iniziali. v (ms-1 ) u (ms-1 ) Che l’irregolarità, o meglio la caoticità, sia intrinseca alle variabili meteorologiche misurate nel PBL è un’evidenza sperimentale. 10 8 6 4 2 0 4 2 0 -2 -4 -6 T (K) w (ms -1 ) 3 2 1 0 -1 -2 302 301 300 299 298 297 0 600 1200 1800 tempo (s) 2400 3000 3600 Questo modello, corretto e chiuso, non può essere impiegato in pratica Ciò che realisticamente si può conoscere, sono i valori medi delle variabili caratteristiche del PBL e pochi altri indicatori statistici (come varianze e covarianze). E’ necessario, quindi, costruire un modello in cui siano presenti non i valori istantanei, ma i valori medi ed eventualmente varianze e covarianze. Per poter costruire un modello matematico utilizzabile in pratica Si usa l’ipotesi di Reynolds secondo cui una variabile F è la somma di un valor medio e di una fluttuazione a media nulla: F = F + F' Legge di Conservazione della Massa ∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z Legge di conservazione della Quantità di Moto ∂ u ' u ' ∂ u ' v' ∂ u ' w' ∂u ∂u ∂u ∂u +u +v +w = fcv − + + ∂t ∂x ∂y ∂z ∂ x ∂ y ∂ z ∂ v' u ' ∂ v' v' ∂ v' w' ∂v ∂v ∂v ∂v +u +v +w = − fcu − + + ∂t ∂x ∂y ∂z ∂ x ∂ y ∂z ∂ w' u ' ∂ w' v' ∂ w' w' ∂w ∂w ∂w ∂w +u +v +w = −g − + + ∂t ∂x ∂y ∂z ∂ x ∂ y ∂ z La presenza dell’ultimo termine implica che la turbolenza deve sempre essere considerata, anche quando si sia interessati soltanto alle variabili medie. Ciò sottolinea il fatto che il valore medio di una componente del vento non dipende solo dal valore medio delle altre, ma anche dalla loro covarianza. Legge di Conservazione dell’Entalpia ∂ θ ' u ' ∂ θ ' v' ∂ θ ' w' ∂θ ∂θ ∂θ ∂θ +u +v +w = − + + + Source / Sink x y z ∂t ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ Legge di Conservazione del vapor d’acqua ∂ q' u ' ∂ q' v' ∂ q' w' ∂q ∂q ∂q ∂q +u +v +w = − + + + Source / Sink ∂t ∂x ∂y ∂z ∂ x ∂ y ∂ z Legge dei Gas Perfetti p = ρRT Trascurando per semplicità l’equazione del vapor d’acqua nel modello le variabili sono: p, ρ , θ , , , u v w u ' u ', v' v', w' w' , ' ' , ' ' , ' ' , u v u w v w u 'θ ', v'θ ', w'θ ' Le variabili sono 15, le equazioni sono sempre 6 ⇓ il sistema di equazioni non è chiuso. Mancando equazioni, bisogna individuare relazioni semiempiriche che esprimono le variabili in eccesso (varianze e covarianze) in funzione delle variabili medie. Schemi di Chiusura Il modo più semplice per esprimere le variabili in eccesso (varianze delle componenti del vento e covarianze tra temperatura e singole componenti del vento) è la Chiusura di Tipo K: v' w' = − K m ∂v ∂z w' F ' = − K F ∂F ∂z u ' w' = − K m ∂u ∂z KF Coefficiente di diffusività turbolenta w'θ ' = − K k ∂θ ∂z Ipotesi di base ⇓ Flusso/covarianza verticale/orizzontale di una variabile proporzionale al gradiente locale verticale/orizzontale della variabile stessa. Coefficiente di proporzionalità = Diffusività turbolenta Alcuni esempi: ⇒ Condizioni Stabili: ⇒ Condizioni Convettive: K m ( z ) = ku* z ⋅ (1 − z / h ) 1. 5 (1 + 4.7 z / L ) K m ( z ) = 2.5w* zi (1 − z zi )( z zi ) 1 .5 Molte sono le relazioni semiempiriche che esprimono i vari coefficienti K (coefficienti di diffusività turbolenta). Tutte sono dipendenti dai parametri che caratterizzano la turbolenza del PBL, cioè: ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ u* H0 zi w* Un Modello Matematico di PBL può ottenere una soluzione solo per via numerica e può essere impiegato in almeno due maniere distinte: Maniera ricostruttiva: ricostruzione della distribuzione spaziale e temporale dei campi meteorologici e di turbolenza in un dominio spaziale limitato e in un periodo limitato, ma passato, per cui si dispone di misure realizzate al suolo e/o in quota. Questo impiego è spesso dettato dall’esigenza di analizzare situazioni passate per comprendere meglio i fenomeni che hanno avuto luogo. Maniera predittiva: si prevede la distribuzione spaziale dei campi meteorologici e di turbolenza (+24, +48, +72 ore). nell’immediato futuro Ovviamente si conoscono solo le misure al suolo e/o in quota al tempo t0, inizio della previsione. I modelli Globali, operando con continuità, sono sempre in grado di fornire (a bassa risoluzione) la distribuzione spaziale e temporale delle variabili meteorologiche sia per periodi passati che per l’immediato futuro e quindi possono fornire, previa opportuno processing, le necessarie condizioni iniziali ed al contorno. Utilizzo Ricostruttivo Dati del Dominio Misure Meteo Locali Analisi da Modello Globale Processing Assimilazione t=t0 Misure Meteo a t Assimilazione Previsioni Globali a t Modello ad Area Limitata t=t+∆t Output a t (Campi) Utilizzo Predittivo Dati del Dominio Misure Meteo Locali Analisi da Modello Globale Processing Assimilazione t=t0 Downscaling Previsioni Globali a t Modello ad Area Limitata t=t+∆t Output a t (Campi) Teoria della Similarità Modellizzazione fluidodinamica del PBL ⇒ del tutto generale e valida in ogni situazione …. … ma … è costituita da un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali di problematica integrazione. In analogia con quanto fatto dalla Fluidodinamica stessa, si è cercato (con successo) di ottenere delle relazioni per i profili verticali delle principali variabili medie, delle varianze e delle covarianze basate completamente sulle osservazioni sperimentali in: • situazioni quasi stazionarie • e con terreno piatto ed omogeneo. Quando queste ipotesi non sono soddisfatte completamente, le relazioni dedotte perdono una parte di validità, pur restando una descrizione abbastanza realistica dei profili verticali. Le relazioni cercate dalla Teoria della Similarità hanno le seguenti caratteristiche : • sono algebriche • sono basate sulle osservazioni sperimentali • dipendono dai parametri descrittori della turbolenza del PBL, cioè u*, H0, T*, L e zi Di fatto, l’insieme delle relazioni individuate per le principali variabili meteorologiche medie e per i principali momenti statistici costituisce, in un terreno piatto ed omogeneo, un modello alternativo di PBL totalmente algebrico e del tutto generale. La Relazione di Similarità (universale) che descrive il profilo verticale della velocità del vento entro il SL è quindi: u (z ) = u* z z ln − ΨM k z0 L La Relazione di Similarità del profilo del valor medio di temperatura potenziale media θ nel SL θ ( z ) = θ z0 + T* z z ln − ΨH k z0 L Commenti ⇒ nel SL, in un sito piano e omogeneo, in condizioni quasi-stazionarie, noto z0, u* e 1/L è possibile ottenere il profilo verticale della velocità media del vento e della temperatura potenziale. ⇒ Come anticipato, si è quindi ottenuto un modello del profilo verticale della velocità del vento e della temperatura potenziale: - alternativo a quello fluidodinamico, - ristretto al solo SL e - di tipo algebrico (molto più facilmente utilizzabile nella pratica) Sono state determinate Relazioni di Similarità anche per le varianze e le covarianze delle principali variabili di interesse micrometeorologico. Relazione di Similarità del profilo verticale di σθ nel SL 2(1 + 9.5 z L )−1 3 = T* 2(1 + 0.5 z L )-1 σθ se z/L < 0 se z/L ≥ 0 Relazione di Similarità del profilo di σw nel SL. (1 + 3 z L )1 3 = 1.25 ⋅ u* (1 + 0.2 z L ) σw se z L < 0 se z L > 0 Modello di Similarità del SL 200 200 160 160 120 120 Ta = 293 K U* = 0.2 m/s Quota (metri) Quota (metri) Z0 = 0.2 m 80 80 H0 = 100 W/m2 40 40 0 0 292.4 292.8 Tempe ratura Po ten ziale (K) 200 200 160 160 160 160 120 120 120 120 80 40 80 40 0 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Dev. Std. comp. u/v (m/s) 1.8 80 40 0 0.4 Quota (metri) 200 Quota (metri) 200 Quota (metri) Quota (metri) 292 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Dev. Std. comp. u/v (m/s) 1.8 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Velocità vento (m/s) 80 40 0 0.4 293.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Dev. Std . co mp. w (m/s) 1.2 0.2 0.4 0.6 Dev. Std . te mp eratu ra (K) 0.8 2 Relazioni di Similarità per l’intero PBL Sono state sviluppare anche Relazioni di Similarità valide per l’intero PBL che si basano sulla conoscenza di: ⇒ forzante meccanica u* ⇒ forzante convettiva H0 ⇒ estensione verticale del PBL zi ⇒ un nuovo parametro di scala w* (convective velocity scale) che è nullo nelle situazioni stabili mentre nelle situazioni convettive è definito come: 13 g H0 w* = z T ρC i p N.B. Il rapporto zi/w* rappresenta il tempo impiegato da una bolla turbolenta che parte dal suolo a raggiungere la sommità del PBL. Se zi=1000m e w*=1.5 ms-1, il tempo impiegato dalla bolla è circa 11 minuti. Modelli Prognostici, Diagnostici e Processori Meteorologici 1. Modello Prognostico del PBL Molte applicazioni pratiche (es. simulazione della dispersione degli inquinanti in aria e previsioni meteorologiche) richiedono la conoscenza, nello spazio e nel tempo, delle principali caratteristiche del PBL. Il tipo ed il numero delle variabili micrometeorologiche richieste dalle varie applicazioni pratiche può essere il più vario e va da una descrizione dettagliatissima del PBL e degli strati nuvolosi (per i modelli di simulazione della dispersione degli inquinanti di tipo fotochimico) ad una descrizione molto più sommaria per modelli di simulazione di screening. Ci sono tre modi per risolvere questo problema: ⇒ utilizzo di unl modello prognostico numerico del PBL basato sulle leggi prognostiche di conservazione. (prognostico = capace di stimare la variazione temporale di una variabile oltre che la relativa variazione spaziale). Di questo tipo di modello si è trattato finora. ⇒ si può usare una base teorica più semplice (di tipo diagnostico) fondata prevalentemente sulle misure sperimentali disponibili, rinunciando però alla previsione della loro variabilità nel tempo e lavorando quindi per stati quasi stazionari ⇒ si possono usare solo le misure sperimentali quando il problema è prevalentemente locale ed i modelli (es. di dispersione degli inquinanti in aria impiegati sono stazionari e semplici. Modelli Meteorologici Prognostici Numerici Informazioni rete Meteo - micro Analisi a grande scala Previsione a grande scala Condizioni al contorno Modello prognostico numerico Condizioni iniziali Basato sull’integrazione spaziotemporale delle equazioni fluidodinamiche del PBL Struttura terreno (land use, orografia, ecc.) Campi meteo-micrometeo per modelli dispersivi Alcuni Modelli prognostici disponibili •RAMS (Regional Atmospheric Modeling System) sviluppato da Colorado State University; •HOTMAC (Higher Order Turbulence Model for Atmospheric Circulation) sviluppato da YSA Corporation (Santa Fe , New Mexico); •ARPS (Advanced Regional Prediction System) sviluppato dal Center for Analysis and Prediction of Storms (CAPS), University of Oklahoma. La disponibilità di uno di questi modelli non garantisce automaticamente la capacità di ricostruire le variabili di interesse: ⇒ richiedono condizioni iniziali ed al contorno nel dominio di calcolo e la determinazione di ciò richiede un lavoro non semplice e la disponibilità di misure e di previsioni a scala globale; ⇒ questi modelli non sono (e non possono essere) user-friendly e richiedono specialisti per la loro gestione. 2. Modello diagnostico del PBL. E’ un modello molto meno complesso che : ⇒ si basa prevalentemente sulle misure sperimentali ottenute al tempo in cui si richiede di ricostruire i campi meteorologici di interesse; ⇒ considera la variazione nel tempo del fenomeno meteorologico come una successione di stati quasi-stazionari; ⇒ utilizza relazioni fisiche semplici, (normalmente la legge di conservazione della massa e le relazioni di similarità). Il modello è decisamente più semplice di quello prognostico, ma la sua realisticità dipende completamente dalla bontà delle misure su cui si basa. Informazioni del PBL ottenute dal modello ⇒ Distribuzione al suolo (Campo 2D): Radiazione Netta, cioè la disponibilità energetica esistente all’interfaccia aria suolo; Flusso di calore nel suolo, cioè la porzione di energia disponibile catturata dal suolo e trasmessa alla vegetazione; Friction velocity, cioè la forzante meccanica della turbolenza dell’intero PBL; Flusso turbolento di calore sensibile, cioè la forzante convettiva della turbolenza del PBL; Flusso turbolento di calore latente, cioè l’entità dell’evapotraspirazione, termine che costituisce il link con il bilancio idrico superficiale. ⇒Distribuzione spaziale (Campo 3D): Il campo vettoriale medio del vento, cioè il campo delle tre componenti medie del moto dell’aria; Il campo della temperatura (potenziale) media dell’aria; Il campo dell’umidità media dell’aria; Il campo della deviazione standard delle componenti del vento (longitudinale, trasversale e verticale) σu, σv e σw; ….. ed anche …. - la deviazione standard della temperatura potenziale; - l’Energia Cinetica Turbolenta, - la dissipazione dell’energia cinetica turbolenta, - i Tempi Euleriani e Lagrangiani di scala. Applicazione al LAZIO Misure: rete S.M.A.M. Lazio + radiosondaggio S.M.A.M Pratica di Mare 4760000 Dominio 4740000 4720000 2100 2000 1900 Viterbo 1800 4700000 Monte Terminillo Rieti 1700 1600 1500 4680000 1400 1300 Civitavecchia 1200 4660000 1100 Roma Urbe 4640000 1000 Guidonia 900 800 Fiumicino Ciampino 700 600 4620000 500 400 Pratica di Mare Frosinone 4600000 Latina 300 200 100 1 4580000 0 4560000 4540000 220000 240000 260000 280000 300000 320000 340000 360000 380000 400000 213 km (W-E) → 93 celle 290 km (N-S) → 99 celle Coordinate terrain-following Radiosondaggio di Roma – Pratica di Mare 4000 ⇐ Contro brezza Qu uota (m) 3000 2000 ⇐ Brezza di Mare 1000 0 2 4 6 8 10 Ve locità del vento (m/s) 12 0 60 120 180 240 Direzione (°N) 300 360 Ricostruzione Campo di Vento Ricostruzione campo nel SL con algoritmo 3D 4760000 4740000 4720000 4700000 4680000 4660000 4640000 4620000 4600000 4580000 4560000 4540000 220000 240000 260000 280000 300000 320000 340000 360000 380000 400000 Ricostruzione Campo di Vento Ricostruzione campo alla sommità del dominio con algoritmo 3D 4760000 Completa congruenza col regime di controbrezza rilevato dal radiosondaggio 4740000 4720000 4700000 4680000 4660000 4640000 4620000 4600000 4580000 4560000 4540000 220000 240000 260000 280000 300000 320000 340000 360000 380000 400000 Ricostruzione Campo di Vento Ricostruzione campo a 50 metri dal suolo con algoritmo 3D 4760000 La ricostruzione evidenzia sia l’influenza profonda dell’orografia che le caratteristiche di brezza mostrate dal radiosondaggio 4740000 4720000 4700000 4680000 4660000 4640000 4620000 4600000 4580000 4560000 4540000 220000 240000 260000 280000 300000 320000 340000 360000 380000 400000 Ricostruzione Campo di Vento Ricostruzione campo a 150 metri dal suolo con algoritmo 3D 4760000 La ricostruzione evidenzia come salendo con la quota le masse d’aria ruotino in senso antiorario come evidenziato dal radiosondaggio e siano sempre meno influenzate dalla presenza dell’orografia 4740000 4720000 4700000 4680000 4660000 4640000 4620000 4600000 4580000 4560000 4540000 220000 240000 260000 280000 300000 320000 340000 360000 380000 400000 3. Modello 1D (Processore) per modelli di dispersione degli inquinanti di tipo ingegneristico. Per stima preliminare d’impatto di sorgenti inquinanti spesso si usano modelli semplificati che richiedono una descrizione semplificata della meteorologia e turbolenza Le ipotesi meteorologiche che tali modelli fanno sono: ⇒ variazione nel tempo della meteorologia = sequenza di stati stazionari; ⇒ campo di vento e di temperatura omogeneo in orizzontale; ⇒ sia la velocità del vento che la temperatura verticale dato dalle relazioni di Similarità; ⇒ la turbolenza atmosferica deve essere descritta in maniera semplice. hanno un profilo In pratica, tutti i modelli di questo tipo richiedono: • velocità e direzione del vento ad una quota di riferimento, • temperatura dell’aria ad una quota di riferimento, • una descrizione della turbolenza del PBL differente a del modello considerato, seconda • altezza di rimescolamento (unica per tutto il dominio) La principale differenza tra un modello ed un altro sta proprio nella descrizione della turbolenza. ⇒ Modelli moderni: u*, H0 e L ⇒ Modelli “antichi”: usano un parametro sintetico detto Classe di Stabilità Atmosferica. Classe di stabilità atmosferica. Tradizionalmente tutta la variabilità della struttura del PBL era condensata in 6 classi differenti: Categoria A(1): Categoria B(2): Categoria C(3): Categoria D(4): Categoria E(5): Categoria F(6): situazioni diurna molto convettive con vento basso e forte insolazione situazione diurna mediamente convettiva con vento moderato e media insolazione situazione diurna con vento forte e insolazione bassa situazione diurna e notturna con vento molto forte, insolazione praticamente nulla e copertura del cielo situazione notturna con vento elevato e media copertura del cielo situazione notturna con vento molto debole e assenza di nubi. Determinazione pratica delle categorie di stabilità. E’ importante ricordare che quando si utilizzano le Classi di stabilità Atmosferica non si può sperare che i calcoli della dispersione degli inquinanti in aria siano realistici, se non in situazioni molto prossime all’adiabaticità. Misure Meteorologiche Tipologia di Postazioni Meteorologiche Postazioni meteorologiche tipo - Misura diretta dei principali parametri meteorologici rilevanti - Misura diretta dei parametri di turbolenza atmosferica Postazioni meteorologiche secondarie Sistemi remote-sensing - Misura diretta dei principali parametri meteorologici rilevanti - Stima indiretta dei parametri di turbolenza atmosferica Misura del profilo verticale di alcune variabili meteorologiche Postazione Meteorologica Tipo Sensori ⇒Anemometro ultrasonico triassiale ⇒Termoigrometro ⇒Sistema radiativo ⇒Barometro ⇒Sistema di misurazione del flusso di calore nel suolo + Sistema di acquisizione, elaborazione e trasmissione dei dati Anemometro Ultrasonico Triassiale Strumento ad elevata precisione, risposta rapida e privo di inerzia che misura: - le tre componenti del vettore vento (u,v,w) - la temperatura virtuale dell’aria (Ts) con frequenza di campionamento pari ad almeno 10 Hz Calcolo diretto di: - valore medio della velocità e direzione del vento - valore medio della temperatura virtuale dell’aria - deviazione standard della direzione del vento - matrice varianza-covarianza delle componenti del vento - vettore covarianza componenti del vento-temperatura - friction velocity u* - flusso turbolento di calore sensibile H0 - lunghezza di Monin-Obukhov (L) Sistema radiometrico Radiazione infrarossa dall’atmosfera RG Temperatura della struttura per correzione misure infrarosso α RG Radiazione infrarossa dal suolo Flusso di calore nel terreno Una piastra di flusso a - 5 cm Un termometro a - 5 cm Un termometro a - 10 cm Un termometro a - 50 cm Termoigrometro Barometro Pluviometro Profilo verticale di temperatura RASS Sistema elettroacustico spesso accoppiato col SODAR. Altri profilatori ……. Teoria di base della Dispersione degli Inquinanti in Atmosfera Dispersione degli Inquinanti nel PBL Evoluzione spazio-temporale della concentrazione in aria di una sostanza emessa in un punto della spazio ad un certo istante t0 Obiettivo = individuare un modello matematico in grado di descrivere la variazione spazio-temporale della concentrazione dell’inquinante immesso in aria L’ambiente in cui si disperde l’inquinante è il PBL e quindi la turbolenza che ne caratterizza lo stato dovrà certamente condizionare profondamente il processo di dispersione Sono possibili due distinti approcci teorici: ⇒ Approccio Euleriano ⇒ Approccio Lagrangiano Approccio Euleriano Lo stato del PBL e la dispersione degli inquinanti vengono descritti in un quadro di riferimento in cui le varie proprietà del fluido come la velocità u(x,y,z,t) e la concentrazione dell’inquinante c(x,y,z,t) sono definite in ogni punto x dello spazio e del tempo t. In sostanza, tale descrizione si realizza scrivendo: • le varie equazioni che descrivono il fluido (aria) • le equazioni di conservazione delle differenti specie inquinanti. Approccio Euleriano = descrizione fluidodinamica di un mezzo continuo e presuppone una visione totalmente deterministica del fenomeno. Approccio Lagrangiano Nella descrizione lagrangiana l’inquinante non è considerato un fluido continuo immesso in un altro fluido, ma un insieme di particelle (con caratteristiche analoghe al concetto di particella dato in Meteorologia) tra loro indipendenti ed individuabili singolarmente, immesse in un fluido il cui moto è noto (moto medio e fluttuazioni turbolente). La descrizione del moto di ciascuna particella, strettamente legato al moto generale del fluido, non può più essere ritenuto deterministico, ma stocastico a causa della turbolenza del PBL. La concentrazione degli inquinanti nel PBL viene descritta analizzando la traiettoria (posizione nel tempo) di ogni particella entro il fluido. La posizione di ogni particella X(x0,t0,t) e la sua velocità U(x0,t0,t) ad ogni istante temporale dipende: ⇒ dalla posizione della particella al tempo iniziale t0 ⇒ dal tempo attuale t ⇒ dal livello di turbolenza del fluido entro cui si trovano a muoversi le particelle 1. La Descrizione Euleriana Il modello matematico di PBL è costituito dalle equazioni di conservazione della quantità di moto, della massa e dell’energia, oltre alla legge dei gas perfetti. Per descrivere anche la dispersione della varie specie inquinanti immesse in aria, è necessario aggiungere a queste le equazioni di conservazione di ciascuna delle specie chimiche che si intende studiare (una per ciascuna specie chimica considerata). ( ) ( ) ( ) ∂ ck ∂c ∂c ∂c ∂ ∂ ∂ +u k +v k +w k = − u ' ck ' − v ' ck ' − w' ck ' + R + S ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z K=1,2,..,N Considerazioni: ⇒ il termine R (Reazioni Chimiche) dipende dalla concentrazione media di ogni specie considerata e quindi le N equazioni restano ancora tra loro legate; ⇒ l’insieme delle equazioni dipende direttamente dalla Meteorologia attraverso il campo di vento medio; ⇒ ne dipende anche implicitamente attraverso le covarianze (flussi) tra la concentrazione dei vari inquinanti e le componenti del vento; ⇒ anche in questo caso, il sistema complessivo di equazioni non è chiuso. E’ necessaria una Ipotesi di Chiusura per il sistema Analogamente a quanto visto per il modello di PBL, le possibili chiusure sono numerose e di varia complessità. La più usata ⇒ chiusura di tipo K: I flussi turbolenti vengono espressi mediante i gradienti locali delle variabili medie u ' ck ' = − K xx ∂ ck ∂x v' ck ' = − K yy ∂ ck ∂y w' ck ' = − K zz ∂ ck ∂z Kxx, Kyy, Kzz ⇒ Coefficienti di diffusività turbolenta Impiego di una chiusura di tipo K Disaccoppiamento delle equazioni di bilancio di massa degli N inquinanti dalle equazioni che descrivono l’evoluzione delle variabili meteorologiche Operativamente, è possibile prima ricostruire il campo di vento (che è poi, apparentemente, l’unica variabile meteorologica che interessa) e poi risolvere le equazioni di dispersione degli inquinanti. Apparentemente La turbolenza atmosferica è stata tutta condensata nei coefficienti di diffusione Kxx, Kyy, Kzz. Determinazione diretta mediante il modello meteorologico o indiretta mediante parametrizzazioni che si fondano tutte, direttamente o indirettamente sulla Teoria della Similarità Per semplificare ulteriormente, si ipotizzi che le varie specie considerate non reagiscano chimicamente tra loro e non presentino decadimenti. In questo caso il termine R si annulla e le equazioni per i diversi inquinanti risultano tra loro indipendenti. Consideriamo quella di un generico inquinante: ∂ ∂c ∂c ∂c ∂c ∂ c ∂ ∂ c ∂ ∂ c +u +v +w = − K xx + K yy + K zz + S ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x Equazione Semiempirica Euleriana per la descrizione della dispersione di un inquinante in aria Equazione di base della descrizione euleriana della dispersione di un inquinante in aria Semiempirica ⇒ Risultato delle semplificazioni introdotte 1) Chiusura di tipo K 2) Disaccoppiamento dal modello meteorologico 3) Parametrizzazione dei coefficienti di diffusività turbolenta Note. La chiusura di tipo K presuppone che i flussi nelle tre direzioni siano tra loro indipendenti. Questo non è molto realistico, soprattutto nelle situazioni convettive dove questo modello presenta i maggiori limiti. Soluzioni Analitiche Tipiche In termini generali, l’equazione semiempirica euleriana, con tutte le semplificazioni adottate e con la conoscenza del campo di vento medio, non consente una soluzione analitica. Se, però, si considerano situazioni fortemente idealizzate, è possibile ottenere alcune soluzioni analitiche, due delle quali rivestono un’importanza applicativa notevole. 1. Soluzione Base Puff 2. Soluzione Base Plume Puff 1. Soluzione Base Puff Si considerino le condizioni seguenti: ⇒ sorgente nell’origine del sistema di riferimento (0,0,0) con asse x nella direzione media del vento; ⇒ dalla sorgente al tempo t0=0 viene emesso un puff istantaneo di inquinante (q = massa dell’inquinante); ⇒ il campo di vento è uniforme sia in orizzontale che in verticale e la velocità vale U; ⇒ i coefficienti di diffusività turbolenta Kxx, Kyy, Kzz sono costanti. Nota La soluzione Base puff è l’idealizzazione di un rilascio istantaneo di una sostanza inquinante. Un esempio è il rilascio di una sostanza pericolosa dovuto ad un evento accidentale che, per esempio, depressurizza istantaneamente un contenitore in cui tale sostanza era contenuta a pressione superiore a quella atmosferica 2. Soluzione Base Plume Si considerino le condizioni seguenti: ⇒ una sorgente posta nell’origine del sistema di riferimento (0,0,0) con asse x posto lungo la direzione del vento medio; ⇒ dalla sorgente e dal tempo t0=-∞ in poi viene emessa una quantità costante di inquinante (Q = tasso di emissione = quantità di inquinante per unità di tempo). Da questo punto nello spazio parte quindi un pennacchio (plume) di inquinante; ⇒ il campo di vento è considerato uniforme in senso orizzontale e verticale e la velocità è pari a U; ⇒ i coefficienti di diffusività turbolenta Kxx,Kyy,Kzz sono costanti. Nota Questa situazioni ideale simula una sorgente punto che emette con continuità come, per esempio, il fumo di una ciminiera emesso da un impianto termoelettrico. 2. La Descrizione Lagrangiana Dispersione di inquinante ⇓ Movimento di un elevato numero di particelle. La massa di ogni particella si conserva nel tempo (se non hanno luogo reazioni chimiche o processi di decadimento)… …. quindi …. il campo della concentrazione media cambia solo per la ridistribuzione delle particelle nello spazio. Se l’asse x è diretto lungo la direzione verso cui spira il vento, l’asse y nella direzione trasversale e z in direzione verticale ad un istante t0 una particella viene emessa da una sorgente posta nel punto P0=P(x0,y0,z0;t0) e si muove seguendo i movimenti dell’aria del PBL (medi e turbolenti). La particella emessa si muoverà in maniera apparentemente disordinata, come l’aria del PBL, e il suo moto potrà essere descritto solo in termini probabilistici. La Teoria Lagrangiana abbandona quindi una descrizione deterministica del fenomeno di trasporto e dispersione di una specie in aria a favore di una descrizione puramente statistica. Una particella che a t0 si trova nella posizione X0(x0,y0,z0), negli istanti successivi t può muoversi nell’aria con un movimento disordinato e casuale, giungendo ad una nuova posizione X(x,y,z). X ⇒ X(x,y,z;t) è la traiettoria della particella. 160 Asse Y 120 80 40 0 -40 0 200 400 600 Asse x 800 1000 Se si considerano moltissime particelle diverse, tutte emesse nel punto X0(x0,y0,z0), al tempo t0, al tempo t, per la casualità intrinseca al loro moto, derivante dalla turbolenza del PBL, esse potranno trovarsi in punti diversi dello spazio, cioè: ciascuna particella possiederà una traiettoria differente. 160 120 Asse Y 80 40 0 -40 -80 0 200 400 600 Asse X 800 1000 Si consideri un punto P(x,y,z) ad un dato istante t. L’approccio Lagrangiano costruisce un modello stocastico della distribuzione ⇒ delle particelle emesse al tempo t ⇒ delle particelle emesse a tutti gli istanti precedenti determinandone spazio-tempo. l’influenza nel punto desiderato dello La complessità formale della formulazione generale del modello lagrangiano è formidabile. Si vedrà più avanti come costruire da essa (o meglio aggirandola, mantenendone i fondamenti teorici) un modello formalmente più semplice e straordinariamente realistico. Modelli di dispersione di Tipo Stazionario Modello gaussiano Plume Deriva dalla soluzione base plume dell’equazione euleriana della dispersione di un inquinante in aria che ne costituisce lo scheletro, su cui però è stato aggiunto un apparato sostanzialmente semiempirico. E’ stato il primo tipo di modello impiegato per scopi applicativi ed ingegneristici. Può essere applicato per stime di prima approssimazione quando: ⇒ il suolo è privo di orografia significativa, ⇒ le sorgenti sono ciminiere abbastanza elevate che emettono in modo pressoché continuo inquinanti poco reattivi, ⇒ i parametri meteorologici e micrometeorologici presentano una variazione temporale abbastanza lenta, ⇒ il PBL è in condizioni quasi adiabatiche Fotografia, integrata in un’ora, di un plume di una ciminiera elevata con tasso di emissione Q (g/s). Tre Zone Distinte 1 2 3 A A Zona 1 (zona ascensionale). Il plume esce verticale dalla sorgente per piegarsi sottovento con baricentro orizzontale. Se h è l’altezza fisica del camino e hm è la quota del baricentro del plume, si definisce plume rise: ∆h = hm-h 1 2 3 A A Zona 2 (dispersione senza interazione col suolo). Dopo il livellamento,il plume si dilata (più o meno a seconda della turbolenza senza raggiungere il suolo). Zona 3 (interazione col suolo). La parte bassa del plume giunge al suolo dove subisce una riflessione totale o parziale a seconda del tipo di suolo e di inquinante. In questa zona il plume interagisce col suolo e, nelle situazioni convettive, con la sommità del PBL (quota di rimescolamento) Ipotesi = riflessione totale del plume al suolo e alla quota di rimescolamento. Se si tiene conto delle riflessioni multiple, si ha la forma completa del Modello Gaussiano Stazionario y2 C ( x, y , z ) = ⋅ exp − ⋅ fz 2 2πσ yσ zU 2 σ y Q 1 z + 2 jz − h 2 1 z + 2 jz + h 2 i m i m + exp − f z = ∑ exp − 2 σ 2 σ j = 0, ±1, ±2 ,.... z z formula che, una volta noto: • il tasso di emissione Q (g/s) • le coordinate (x,y,z) del punto dove si vuol conoscere la concentrazione (punto ricettore) • la velocità del vento U (m/s) supposta costante in orizzontale e verticale • le standard deviation σy e σz • la quota di livellamento del plume hm consente di determinare (con i limiti sottolineati) la concentrazione dell’inquinate in esame nel punto ricettore. Sistema di Coordinate adottato. Semplificazioni più usate: ⇒ concentrazione solo al livello del suolo ⇒ si trascurano tutte le riflessioni tranne quella al suolo. y2 hm2 C ( x, y,0) ≅ exp − 2 ⋅ exp − 2 πσ yσ zU 2σ y 2σ z Q Ulteriore semplificazione: concentrazione al suolo sottovento alla sorgente. hm2 C ( x, y,0) = ⋅ exp − 2 πσ yσ zU 2σ z Q Sovrapposizione degli effetti ⇒ in un punto ricettore la concentrazione è la somma dei contributi dovuti a tutte le sorgenti presenti in quel punto. e Nel modello gaussiano plume i fumi emessi da una sorgente punto vengono: ⇒ trasportati dal vento nella direzione sottovento ⇒ dispersi in senso trasversale (y) e questa dispersione, di tipo gaussiano, è regolata dal parametro σy ⇒ dispersi in senso verticale (z) e questa dispersione, di tipo gaussiano, è regolata dal parametro σz σy e σz ⇒ Parametri di dispersione del modello gaussiano In questi due parametri si vengono a riassumere tutte le interazioni che i fumi hanno con la turbolenza del PBL sia nella fase di emissione che nella fase di dispersione in atmosfera ⇒ Interazione con la turbolenza dell’atmosfera Questa è l’interazione più importante e studiata e dipende dal livello di turbolenza del PBL. Per un modello gaussiano plume, ciò è riassunto nei due parametri di dispersione σyt e σzt. La determinazione dei parametri di dispersione σyt e σzt può essere condotta seguendo due metodi: ⇒ Metodo Moderno: i due parametri sono funzione dei parametri che caratterizzano la turbolenza del PBL (u*, H0, L, zi) ⇒ Metodo Antico : i due parametri sono espressi in funzione della Categoria di Stabilità Atmosferica Metodo Moderno ⇒ Parametro di dispersione trasversale 12 0.25w*2 σ y = t ⋅ + u*2 1 + 0.9 x w* ( ziU ) NB: questa relazione si può usare anche in condizioni stabili, ponendo w* a zero. ⇒ Parametro di dispersione verticale Situazioni Convettive: 2 σ z2 = σ zm + σ zc2 σ 2 zc = 0.33w*2t 2 2 2 σ zm = σ zmu = 1.2u*2t 2 exp[− 0.6t u* hm ] 2 2 σ zm = σ zmu = 1.2u*2t 2 exp[− 0.6] per tu* / hm < 1 per tu* / hm ≥ 1 Situazioni Stabili: 2 σ z2 = σ zmu (1+ 1.11t u* L ) N.B. t=U/x Metodo Antico La turbolenza è descritta in modo bulk dalle Classi di Stabilità Atmosferica. Sono state impiegate diverse parametrizzazioni semiempiriche derivanti da campagne sperimentali ormai molto antiche. ⇒ Relazioni Pasquill-Gifford. - derivano dalla campagna di Prairie Grass con emissioni al suolo con suolo piano, non urbanizzato e a bassa rugosità con tempo di mediazione 10 minuti fino a distanze sottovento inferiori a 1000 m. σ y (x ) = k1 x [1 + (x k2 )]k3 σ z (x ) = k4 x [1 + (x k2 )]k5 A B C D 10000 E F 1000 A B 10000 C 1000 sig_z (m) sig_y (m) D 100 E 10 10 1 1 100 1000 10000 Distanza Sottovento (m) 100000 F 100 100 1000 10000 Distanza Sottovento (m) 100000 Innalzamento del Pennacchio All’emissione, i fumi caldi salgono verticalmente con aumento progressivo della sezione trasversale a causa dell’inglobamento progressivo di aria esterna; Successivamente il plume si piega in direzione sottovento, perdendo progressivamente la propria individualità (quantità di moto e galleggiamento) Al termine il plume presenta un baricentro che procede orizzontale sottovento (altezza efficace del plume). In pratica, ad una distanza sottovento baricentro del plume risulta pari a: x l’altezza hm ( x ) = h + ∆h( x ) h = altezza fisica del camino, ∆h = innalzamento del plume, plume rise, (variabile con x) del I Parametri che definiscono il plume rise sono: ⇒ Condizioni di emissione: - velocità di emissione dei fumi w0 - temperatura dei fumi T0 Nota: questi parametri dovrebbero sempre comparire in un inventario delle emissioni e dovrebbero essere sempre rilevati e registrati quando tali emissioni vengono controllate direttamente. ⇒ Parametri meteorologici: - velocità del vento U - temperatura dell’aria Ta - Stabilità del PBL. Potenzialità Ascensionale del plume (Galleggiamento) (Buoyancy Flux): Fb = w0 r02 g T0 − Ta T0 Determinazione del plume rise. ⇒ Ad una distanza x > xmax il plume raggiunge una quota di livellamento del plume ed Plume Rise all’equilibrio è pari a: Situazioni Convettive 21.425 F03 4 U ∆h = 35 38.710 F0 U a a xmax = 49 Fb5 8 xmax = 119 Fb5 8 se F0 < 55 se F0 ≥ 55 Situazioni Stabili 13 ∆hmax F = 2.6 b UN a xmax = 2.0715 U N g dθ N = ⋅ T dz a ⇒ A distanze intermedie x<xmax, il plume rise è dato da: Fb1 3 x 2 3 ∆h( x ) = 1.6 U IL MODELLO STAZIONARIO IBRIDO Crisi del modello gaussiano e nascita del modello ibrido Journal of Applied Meteorology vol. 28, pp.206-224 (1989) Several regulatory models (gaussian plume models) were tested ... with Kincaid, Illinois, and Bull Run, Tennessee tracer datasets .... for their performance in an “operational” or “regulatory” application, i.e., for their ability to predict ground-level concentrations (GLCs) for specific averaging time -1, 2, 24 h - without regard to the validity or accuracy of individual model components (plume rise, dispersion parameters, etc.). When predicted and observed concentrations at the Kincaid site were unpaired in space and time, (such a model) predicted the maximun hourly averaged SO2 GLC to within 30%-70%. When the concentrations were paired in space and time, none of the models predicted the concentration field with any accuracy, i.e. the correlation coefficients between observed and predicted concentrations were often negative. S. Hanna US-EPA + American Meteorological Society (AMS) Comitato AERMIC obiettivo ⇒ costruzione di un modello che: • fosse relativamente semplice e di tipo stazionario, • capace di simulare realisticamente le situazioni convettive • capace di utilizzare i parametri della turbolenza atmosferica • capace di diventare “regulatory”. Dal Documento Finale: “ AERMIC’s initial focus were on the regulatory models that are designed for estimating near-field impacts from a variety of industrial source types. The basic approch in EPA’s present regulatory platform for near-field modeling has, with very few exceptions, remained fundamentallly unchanged since the beginning of the air programs some 20 years ago. During this time, significant scientific advances have been made which have yet to be incorpored into the basic approch. AERMIC, formed to make a major transformation in regulatory modeling, took a meaninful step toward this objective by selecting ISC3 for our initial efforts. AERMIC chose a phased approch to updating the modular ISC3 model in the the AERMIC MODEL (AERMOD). “ Struttura del PBL convettivo e variabili di controllo. Parametri: ⇒ Friction velocity u* ⇒ Flusso Turbolento di calore Sensibile H0 ⇒ Lunghezza di Monin-Obukhov L ⇒ Altezza di Rimescolamento zi Caratteristica principale di una situazione convettiva La distribuzione della componente verticale w ⇒ ha media nulla, ⇒ non è gaussiana ⇒ non è simmetrica. Dato che il modello gaussiano stazionario ipotizza per la componente w della velocità del vento una distribuzione gaussiana, è evidente la ragione per cui tale modello fallisce nelle situazioni convettive. ⇒ La velocità verticale più probabile è negativa ⇒ Nel PBL si stabilisce un’alternanza di di flussi verticali: → Updraft (più intensi ma meno estesi) → Downdraft (più estesi ma meno intensi) Crisi del concetto di quota di livellamento del baricentro. Esperimenti in campo (campagna CONDORS - Briggs) Risultati sostanzialmente coincidenti con quelli di laboratorio C y ( x, z ) = Q 2π U ⋅ (C dir + C ind ) dove la relazione per il plume diretto è: F ∞ − (z − Ψ − 2nz )2 j i + = ∑ j ⋅ ∑ exp 2 2σ zj j =1 σ zj n =1 2 Cdir − (z + Ψ j + 2nzi )2 + exp 2 2 σ zj e per il plume indiretto è: F ∞ − (z + Ψ − 2nz )2 j i + = ∑ j ⋅ ∑ exp 2 σ σ 2 j =1 zj n =1 zj 2 Cdir − (z − Ψ j + 2nzi )2 + exp 2 2 σ zj In definitiva si ha che: C ( x, y , z ) = C y y2 exp − 2 2π σ y 2σ y 1 σ zj = σ j ⋅ x U Ψ j = zs + w j ⋅ x U Confronto tra Cy prodotta da: ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ un modello gaussiano normale, un modello ibrido, le simulazioni numeriche ad alta risoluzione di Lamb e i dati di laboratorio di Willis. Zs=zs/zi X=x⋅⋅w*/(U⋅⋅zi) Confronto tra le simulazioni di un modello gaussiano (in alto), di un modello ibrido (al centro) e i risultati ottenuti in water tank (in basso) da Perry et al. (1989) Modelli Euleriani Il Modello Euleriano Il modello Euleriano è un modello differenziale basato sulle equazioni della fluidodinamica che descrivono il PBL, in cui si tiene conto: - del bilancio di massa dell’aria nel suo complesso, del bilancio della quantità di moto del bilancio dell’entalpia del bilancio dell’umidità della legge dei gas del bilancio di ciascuna specie inquinante presente in aria. Nelle equazioni di bilancio delle specie inquinanti presenti si vengono a trovare due termini importanti: - un termine di sorgente che rappresenta l’introduzione di inquinante nel dominio di calcolo, - un termine che rappresenta i processi di deposizione le reazioni chimiche che hanno luogo nel PBL. In linea di principio, il modello euleriano non distingue tra meteorologia e dispersione degli inquinanti Esempio Monodimensionale per una specie chimica ∂u ∂ u ' w' 1 ∂ p =− + fv− ∂t ρ ∂x ∂z ∂v 1 ∂ p ∂ v' w' =− − fu− ∂t ρ ∂y ∂z 1 ∂ Rn ∂ θ ' w ' ∂θ = − ∂t ρC p ∂z ∂z ∂q ∂ q' w' =− ∂t ∂z ∂C ∂ C ∂ w'C ' = −u − +S ∂t ∂x ∂z Modello Euleriano di tipo K Tra le possibili relazioni di chiusura, sicuramente la più utilizzata è la chiusura di tipo K: in un punto dello spazio, il flusso della specie in una direzione coordinata risulta proporzionale (attraverso il coefficiente di diffusività turbolenta relativo a quella direzione) al gradiente della concentrazione media della sostanza in quella direzione. Per esempio, nel caso monodimensionale, tra il flusso turbolento verticale di sostanza ed il gradiente della concentrazione media della stessa vale la relazione Kzz = coefficiente di diffusività turbolenta in direzione z w' C ' = − K zz ∂C ∂z Utilizzando questa chiusura, il sistema complessivo di equazioni si separa in due modelli indipendenti: - un modello prognostico di PBL per la ricostruzione dei campi meteorologici medi e dei principali indicatori della turbolenza - un modello di dispersione (Modello Euleriano K) costituito dalle sole equazioni di bilancio di massa delle differenti specie inquinanti che, come unica informazione meteorologica, richiede il campo medio del vento ai vari istanti di interesse. Equazione di un generico inquinante k che costituisce il modello di dispersione (si trascura il trasporto lungo la verticale): Reazioni chimiche dipendenti dalla concentrazione media delle specie chimiche presenti ∂ Ck ∂ Ck ∂ Ck ∂ Ck + u +v +w ∂t ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ Ck = K xx ∂x ∂x ∂ ∂ Ck ∂ ∂ Ck + K yy + K zz ∂y ∂z + S + R (C1 , C2 ,.., C N ) ∂ y ∂ z S = termine di sorgente Se, però, si è interessati alla Chimica dell’Atmosfera e quindi, oltre al trasporto ed alla diffusione turbolenta delle specie inquinanti, si vogliono trattare anche le reazioni chimiche che hanno luogo tra tali sostanze Il problema si complica. ⇒ Si devono individuare le specie chimiche che si vogliono considerare. Sia N il numero di tali sostanze Per esempio: si vogliono considerare gli Ossidi di Azoto ed una loro chimica semplificata. Specie coinvolte: NO, NO2 O3 e O2 ⇒ Si dovranno considerare N equazioni di conservazione, una per ognuna delle specie chimiche considerate, visto che siamo interessati alla loro evoluzione nello spazio e nel tempo. Per ognuna di queste equazioni dovranno essere note le condizioni iniziali ed al contorno. Ognuna di esse dovrà essere opportunamente approssimata alle differenze finite e trasformata in un problema algebrico risolubile da parte di un computer. Nell’esempio: Le sostanze considerate sono 4, tuttavia l’Ossigeno presente in aria non varierà apprezzabilmente nell’atmosfera vista la sua abbondanza e quindi possiamo ritenerlo costante. Quindi le sostanze cui siamo interessati sono 3: NO, NO2 e O3. ⇒ Si considerano le reazioni chimiche che coinvolgono le sostanze considerate. Sia M il numero di tali reazioni. Nell’esempio: NO+O3 → NO2+O2 O+O2 → O3 NO2+hν ν → NO+O NO2+O → NO+O2 Costante Costante Costante Costante di di di di reazione reazione reazione reazione k1 k2 J k3 ⇒ Per ogni sostanza chimica si scrive la corrispondente equazione differenziale ordinaria che ne esprime quantitativamente la cinetica. Nell’esempio: le sostanze di cui si è interessati sono 3 e le rispettive equazioni che ne esprimono il tasso di variazione nel tempo dovuto alle reazioni chimiche sono: d [NO ] = J [NO2 ] + k3 [NO2 ]⋅ [O ] − k1 [NO ]⋅ [O3 ] dt d [NO2 ] = k1 [NO ]⋅ [O3 ] − J [NO2 ] − k3 ⋅ [NO2 ]⋅ [O ] dt d [O3 ] = k 2 [O2 ]⋅ [O ] − k1 [NO ]⋅ [O3 ] dt Il modello Euleriano, in questo caso, è costituito dall’insieme delle equazioni differenziali seguenti: ⇒ N equazioni differenziali alle derivate parziali che esprimono la conservazione delle N sostanze e che descrivono il loro trasporto e la loro diffusione turbolenta ⇒ N equazioni differenziali ordinarie che esprimono le interazioni chimiche che queste sostanze hanno tra loro e con l’Atmosfera. A prima vista, le N equazioni differenziali ordinarie relative alla cinetica chimica sembrerebbero di più facile risoluzione, tuttavia il fatto che le varie costanti di reazioni siano molto variabili tra loro, anche di alcuni ordini di grandezza, fa sì che la soluzione del sistema di equazioni della chimica sia molto critico e timeconsuming. Osservazioni Conclusive Il Modello Euleriano con chiusura K è stato molto utilizzato in passato per ricostruire il trasporto e la dispersione degli inquinanti su domini di grandi dimensioni. L’avvento dei modelli lagrangiani, puff prima ed a particelle poi, ne ha ridimensionato drasticamente l’uso. Ciò è dovuto principalmente alla sua limitazione logica nel rappresentare realisticamente la situazione di campo vicino, aggravata dal pessimo trattamento del termine di sorgente. Vista, però, la relativa facilità con cui è possibile trattare le reazioni chimiche, attualmente viene impiegato esclusivamente nel simulare la dispersione di inquinanti chimicamente reattivi su domini di grande dimensione. Modello Lagrangiano a Particelle Considerazione Preliminare Visione macroscopica → fluido continuo il cui stato presenta spiccate caratteristiche pseudocasuali (turbolenza) evidenti nelle irregolarità delle misure delle principali variabili che lo descrivono. Tali irregolarità sono ben descritte adottando un punto di vista statistico. Aria del PBL Visione microscopica → insieme di molecole di varie specie chimiche in continuo movimento caotico (pseudo-casuale) nello spazio e nel tempo. Il loro movimento non può essere seguito nel dettaglio, molecola per molecola, ma il risultato collettivo del loro evolvere nello spazio e nel tempo può essere catturato in un punto P(x,y,z) e ad un istante t da una misura (euleriana) fatta in quel punto. Elementi di base di un Modello Lagrangiano a Particelle (LPM) Particelle ⇒ l’emissione di molecole in P(x0,y0,z0;t0) è simulata con l’introduzione in P di un numero rilevante di entità astratte (particelle), cioè di porzioni piccole ed elementare di sostanza inquinante. Si ha che: - ogni particella ha un volume irrilevante - ad ogni particella emessa viene attribuita una massa Q di sostanza inquinante - conserva la propria massa (nessuna reazione chimica o di impoverimento per deposizione) - ha in P(x0,y0,z0;t0) una propria velocità iniziale - continua il proprio moto negli istanti successivi a t0 descrivendo una traiettoria nello spazio e nel tempo - le particelle non interagiscono tra loro - le particelle interagiscono in qualche modo con l’ambiente circostante variando la propria traiettoria istante dopo istante Aria del PBL ⇒ viene ancora descritta come un fluido continuo in moto turbolento. La sue caratteristiche sono quelle descritte dalla Micrometeorologia e tale descrizione è di tipo strettamente euleriano, cioè in ogni punto P(x,y,z;t) il fluido possiede: - un vettore velocità media e un valore medio per le altre grandezze macroscopiche che ne definiscono lo stato medio - i momenti di vario ordine relativi alle variabili di interesse (varianze delle componenti della velocità, covarianze tra componenti della velocità e tra queste e la temperatura) - in qualche modo influenza la traiettoria di ogni singola particella Obiettivo del modello Descrizione ad ogni istante t>t0 della traiettoria di ogni singola particella Le caratteristiche macroscopiche del fluido in cui sono immesse le particelle sono quelle di un fenomeno stocastico Ipotesi Principe di un LPM Il movimento di ogni singola particella è la realizzazione di un processo stocastico continuo Processo stocastico ⇒ Un processo fisico (es. il movimento di un punto) che evolve nello spazio e nel tempo a partire da un punto iniziale P(x0,y0,z0;t0) in modo casuale, con ben precise caratteristiche statistiche. ⇒ Se lo stesso processo (es. il movimento della stessa particella) potesse ripetersi un’infinità di altre volte nelle stesse condizioni (e per la Statistica ciò è possibile), la sua evoluzione avrebbe infinite realizzazioni a priori diverse. ⇒ Ogni singola particella evolve nello spazio-tempo seguendo le leggi di un processo stocastico. ⇒ La non interazione ipotizzata per le particelle comporta che i vari processi stocastici siano tra loro indipendenti . Logica del LPM ⇒ Le particelle vengono emesse insieme da P(x0,y0,z0;t0) ⇒ Ogni particella segue nel tempo una realizzazione di traiettoria ⇒ La traiettoria di ogni particella è a priori diversa ⇒ LPM segue ogni singola traiettoria Vento P(x0,y0,z0;t0) LPM segue la traiettoria di ogni singola particella ⇒ Ad un istante t considera un punto P(x,y,z;t) ⇒ Individua, centrato su P, un piccolo volume di spazio (es. un cubo) → volume di campionamento V ⇒ Individua quali particelle si trovano all’istante t entro il volume di campionamento ⇒ Siano N le particelle presenti, ognuna contenente una quantità Qi di sostanza inquinante ⇒ Si definisce concentrazione nel punto P all’istante t N C ( x, , y , z ; t ) = ∑ Qi i =1 V 1 2 Volume campionamento Cubo lato 10 m 4 3 Particella 1 → Q1 = 5 mg/m3 Particella 1 → Q2 = 10 mg/m3 Particella 1 → Q3 = 7 mg/m3 Particella 1 → Q4 = 20 mg/m3 C ( x, y , z ; t ) = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 5 + 10 + 7 + 20 mg = ⋅ 3 = 42µg / m3 V 10 ⋅10 ⋅10 m LPM considera come processo stocastico ⇒ non la posizione nel tempo di una singola particella ⇒ ma la sua velocità nel tempo. Traiettoria nello Spazio delle Fasi (x,y,z,up,vp,wp;t) Ogni singola componente della velocità è un processo stocastico NB. Per semplicità, si ipotizzi che non ci siano interdipendenze tra le varie componenti della velocità della particella che considereremo processi stocastici distinti e indipendenti. Modellizzazione di una generica componente (es. up) della velocità di una particella Processo stocastico up u p ( x, y, z; t ) = u p ( x, y, z; t ) + u 'p (x, y , z; t ) Ipotesi A La particella si trova immersa nell’aria e, in media, viene trascinata dal moto medio dell’atmosfera Componente Deterministica up = u u = velocità media eureliana dell' aria Ipotesi B La fluttuazione è propria della particella e dipende: - dalla sua storia passata - dal livello di turbolenza propria dell’aria circostante Componente Stocastica Studio della parte stocastica di una componente della velocità di una particella Modello Semplificato ⇒ la particella viene trasportata orizzontalmente dal moto medio delle masse d’aria (Trasporto deterministico) u p ( x, y, z; t ) = u p ( x, y, z; t ) = u ( x, y, z; t ) ⇒ u 'p ( x, y, z; t ) = 0 v p ( x, y, z; t ) = v p ( x, y, z; t ) = v( x, y, z; t ) ⇒ v 'p ( x, y, z; t ) = 0 ⇒ La particella presenta una traslazione nulla in verticale e fluttua stocasticamente in verticale w p ( x, y , z; t ) = w'p ( x, y, z; t ) wp = 0 Processo stocastico w’p ⇓ Dipende dalla storia della particella Ipotesi C Processo Stocastico di tipo Markoviano Il futuro è determinato solo dal presente ed è indipendente dal passato (processo senza memoria) Al processo stocastico w’p si applica direttamente la Teoria dei Processi Stocastici Markoviani Al tempo t una particella possiede una fluttuazione di velocità verticale wp(t) Secondo la Teoria dei Processi Markoviani, wp al tempo t+dt (dt intervallo di tempo piccolo) è data dall’Equazione di Langevin dw p = w p (t + dt ) − w p (t ) = aw (z , w p , t )⋅ dt + bw (z , w p , t )⋅ dξ Coefficiente di Drift Coefficiente di diffusione Processo Incrementale di Wiener Processo stocastico gaussiano a media nulla e varianza dt. aw(z,w,t)⋅⋅dt → termine deterministico dipendente solo da dt bw(z,w,t)⋅⋅dξ ξ → termine stocastico dipendente dalla variabile stocastica dξ ξ che a sua volta dipende da dt Risultatati della Simulazione Monte Carlo Velocità verticale (m/s) 4 3 2 Andamento nel tempo della velocità verticale della particella 1 0 -1 -2 -3 -4 0 100 200 300 400 500 600 700 800 Tempo (s) Commento Il modello descrive effettivamente un processo di diffusione. Se si riuscisse a porre in relazione aw e bw alla turbolenza del PBL, sarebbe possibile ottenere un modello di dispersione utilizzabile 900 1000 Distribuzione delle particelle nello spazio bidimensionale (x,z) Il modello risulta promettente, ma per usarlo, è indispensabile individuare un modo per determinare i termini aw(z,w,t) e bw(z,w,t) Tale modo dovrebbe poter consentire di sfruttare al meglio la conoscenza statistica dell’aria del PBL Determinazione di bw bw = C0ε E’ stato quindi possibile individuare un’espressione del tutto generale per il Coefficiente di Diffusione bw che dipendente solo da ε, parametro fondamentale della turbolenza del PBL Determinazione di aw L’espressione di aw dipende dal tipo di turbolenza presente nel PBL. La situazione più semplice è quella di una turbolenza gaussiana. In questo caso si ha che: Cε aw = − 0 2 ⋅ w 2σ w Note le espressioni di aw e bw, l’equazione di Langevin può essere impiegata veramente per la determinazione (numerica) della traiettoria di ogni singola particella emessa. C0ε w(t + ∆t ) = 1 − 2 ⋅ ∆t ⋅ w(t ) + C0ε ⋅ dξ 2σ w Primo Modello Utilizzabile Modello Monodimensionale di Dispersione Verticale delle particelle ⇒ Metodo di simulazione di tipo Monte Carlo ⇒ Basato sull’applicazione discreta dell’equazione di Langevin relativa alla componente verticale w della velocità delle particelle N.B. Il risultato che si ottiene da una Simulazione Monodimensionale è la distribuzione in verticale della concentrazione di un inquinante integrata nella direzione trasversale rispetto alla direzione di provenienza del vento 1000 Altura (m) 800 600 400 200 1000 0 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 Distancia de la chimenea (m) 800 600 Un esempio di Simulazione Monodimensionale 400 200 1000 2000 0 1 1 3000 2 3 4 4000 5 8 10 15 5000 16 18 20 6000 25 30 40 7000 60 8000 14000 Modello Tridimensionale Nella realtà → movimento di particelle nello spazio 3D Teoria 3D ⇒ Molto complessa In pratica, il movimento di ogni particella è descritto: ⇒ Dal valore delle 3 componenti medie della velocità della particella (è il moto traslazionale della particella dovuto al campo medio del vento) ⇒ Dalle 3 equazioni stocastiche che ne definiscono le fluttuazioni (è la conseguenza combinata della storia pregressa della particella e dell’azione della turbolenza dell’aria incontrata nel suo cammino) ⇒ Dalle 3 equazioni cinematiche che definiscono lo spostamento della particella nell’intervallo temporale dt. Nel dettaglio, una particella con un moto di traslazione dovuto alla velocità (u, v, w) avrà fluttuazioni di velocità date dalle equazioni di Langevin u (t + dt ) = u (t ) + au dt + bu dξ v(t + dt ) = v(t ) + av dt + bv dξ w(t + dt ) = w(t ) + aw dt + bw dξ e la sua posizione al tempo t+dt sarà data da [ ] y (t + dt ) = y (t ) + [v(t + dt ) + v(t + dt )]⋅ dt z (t + dt ) = z (t ) + [w(t + dt ) + w(t + dt )]⋅ dt x(t + dt ) = x(t ) + u (t + dt ) + u (t + dt ) ⋅ dt Le espressioni dei vari coefficienti presenti nelle equazioni di Langevin sono molto complesse. Semplificazione Approssimazione Quasi-Tridimensionale ⇒ Le fluttuazioni u, v, w della velocità della particella sono tra loro indipendenti; ⇒ Le componenti orizzontali u e v avranno coefficienti au,v e bu,v congruenti con una turbolenza gaussiana, omogenea e stazionaria; ⇒ La componente verticale w avrà coefficienti aw e bw congruenti o con una turbolenza gaussiana non omogenea o con una turbolenza non gaussiana a seconda del grado di convettività Realisticità di una simulazione LPM Non è mai agevole e semplice verificare l’attendibilità della simulazione operata da un modello ed in questo il Modello Lagrangiano a Particelle non fa eccezione. Questo è dovuto principalmente alla penuria e povertà della maggior parte dei data-set sperimentali disponibili allo scopo. Si presenta, a titolo di esempio, il confronto tra la concentrazione integrata lungo la direzione trasversale ottenuta da un tipico LPM (non dei più moderni) ed i celebri ed affidabili risultati ottenuti da Willis e Deardorff in laboratorio, tutte in condizioni convettive e relative a rilasci da una sorgente punto a varie quote. Risultati molto buoni Se: ⇒ è noto il vento medio ed i principali indicatori della turbolenza del PBL in ogni punto dello spazio e ad ogni istante di interesse (anche nelle situazioni ad orografia complessa) ⇒ il modello a particelle produce una descrizione realistica del fenomeno della dispersione degli inquinanti in aria. Questo è probabilmente l’unico modello, attualmente, in grado di rappresentare realisticamente la dispersione in condizioni fortemente convettive. Presenta ancora qualche difficoltà l’inserimento nel modello di reazioni chimiche e fotochimiche. Alcuni Esempi di applicazione di un Modello Lagrangiano a Particelle CIPA – Simulazione di prova MINERVE – SPRAY 31/5/2001 00:00 - 1/6/2001 00:00 Campi di concentrazione e vento orari al suolo CIPA - Simulazione di prova 31/5/2001 00:00 - 1/6/2001 00:00 Particelle e concentrazioni al suolo – immagini orarie PROGETTO ERAS simulazione footprint del Termovalorizzatore di S. Vittore MinerveObstacles + MicroSpray Canyon stradale Una delle ragioni principali per lo studio, il controllo e la previsione dell’inquinamento atmosferico è la sua influenza negativa sulla salute umana e sulla vivibilità dell’ambiente, soprattutto quello dei centri urbani. Per poter ottenere utili informazioni in proposito e per poter meglio predisporre il controllo della qualità dell’aria nei centri urbani è necessario scendere di scala e descrivere modellisticamente: ⇒ I flussi d’aria e la distribuzione spaziale all’interno delle strutture urbane ⇒ La distribuzione altamente disuniforme (nello spazio e nel tempo) della distribuzione degli inquinanti in aria. Flow reconstruction and pollutants dispersion around Duomo di Firenze Intro Simulation conditions Calculation domain: 300 x 165 x 120 m Grid resolution: 3 m (horizontal) 5 m (vertical) Calculation time step: 0.5 sec Duration: 2.5 hours Neutral conditions Emission: passive scalar from road Background concentration www.operaduomo.firenze.it Simulation conditions Streamlines (10m) and concentration fields (ground) Total elapsed time = 1 h Stream m &step conc=0m - movie Frames10time 100 sec Vertical streamlines and concentrations across the cathedral Total elapsed time = 1 h Vertical & conc, cathedral Framesstream time step = 100 sec - movie Streamlines and 3D concentration plumes Total elapsed time = 1 h 3D stream & conc Frames time step- movie = 100 sec Concentrations on front face Total elapsed time = 1 h Conc on front Frames time face step–=movie 100 sec Campagna di via D’Azeglio, Bologna Settore centrale, canyon stradali molto stretti 20 giorni circa (14/11/2003 – 4/12/2003) Misure orarie-giornaliere di diversi inquinanti (PM10, Benzene, NOx) in aree pedonali e di traffico Episodi di elevato inquinamento Disponibilità di dati meteo City AreaofofBologna interest Main traffic Pedestrian area San Petronio Cathedral Concentration measurements Local meteo measurements (sonic anemometers) Domain and grids 220 x 600 x 1000 m3 ∆yground) = 2m = 1.5m ∆z (close∆x to =the N µg/m3 Comparisons in the traffic area Benzene Concentration via Farini MSS Measured Benzene Concentrationvia Rizzoli daily average MSS Measured 14 20 12 15 10 10 5 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 30 25 8 15 6 10 4 5 2 0 1 Via Farini 3 5 Measured Measured 600 9 11 13 15 17 19 21 23 hour NOx Concentration via Rizzoli daily average 700 7 Via Rizzoli NOx NOx concentration via Farini MSS MSS Measured 700 600 400 500 500 300 200 100 ug/m3 300 400 ug/m3 ug/m3 20 0 hour MSS MSS ug/m3 25 ug/m3 ug/m3 30 benzene 200 100 0 3 5 7 9 11 13 hour 15 17 19 21 23 300 200 100 1 400 0 0 1 Via Farini Via Rizzoli 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 hour Grazie per l’attenzione.