23 Febbraio 2011

6o Appello – 23/02/2011
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RICERCA OPERATIVA (a.a. 2009/10)
1) Si applichi l’algoritmo di Kruskal per determinare un albero di copertura di costo minimo sul grafo in figura.
Per ogni iterazione si indichino l’arco in esame e se viene applicata l’operazione di inserzione oppure no: nel primo
caso mostrare un taglio che certifichi la validità dell’operazione, nel secondo fornire il ciclo individuato dall’algoritmo.
Al termine fornire l’albero di copertura di costo minimo individuato. Tale soluzione ottima è unica? Giustificare la
risposta.
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1
8
5
1
6
3
2
4
7
6
2
5
4
3
7
6
2) Si consideri il problema di flusso di costo minimo in figura. Si verifichi se il flusso ammissibile riportato sia di
costo minimo, ed in caso negativo si determini un altro flusso ammissibile di costo minore inviando flusso lungo un
opportuno ciclo. Infine, si modifichi il costo di uno o più archi in modo tale che se anche questo nuovo flusso non è di
costo minimo lo diventi, mentre se lo è non lo sia più. Giustificare le risposte.
2
2
x ij ,u ij,c ij
bj
j
1
3
0,1,2
5,
−1
5 −3
2,
3
3,
1,
0,3,4
i
1,
3
1,
2,
−3 1 2,4,3
bi
1,1,1
1
3,
4
1
3) Si risolva il problema di PL
max −x1
−x1
−x1
−x1
− 2x2
+ x2
x2
− x2
− x2
≤
≤
≤
≤
≤
6
4
2
0
2
mediante l’algoritmo del Simplesso Primale, per via algebrica, a partire dalla base B = {1, 2}. Per ogni iterazione si
indichino: la base, la matrice di base e la sua inversa, la coppia di soluzioni di base, l’indice uscente, la direzione di
crescita, il passo di spostamento e l’indice entrante, giustificando le risposte.
6o Appello – 23/02/2011
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4) Si risolva graficamente il problema di PL indicato in figura, utilizzando l’algoritmo del Simplesso Duale a partire
dalla base B = {1, 2}. Per ogni iterazione si indichino: la base, la soluzione primale di base (in figura), l’indice
entrante k, i segni delle componenti dei vettori yB e ηB , l’indice uscente h, giustificando le risposte. Si discuta inoltre
la degenerazione, sia primale che duale, delle basi visitate dall’algoritmo.
A4
A3
A5
A2
c
A1
5) La rockstar newyorkese Sarah Stones sta pianificando il suo prossimo tour europeo. La sua manager Mary ha
raccolto le richieste dei vari promotori locali: sono giunte n richieste di concerto, i = 1, . . . , n, ciascuna caratterizzata
da una località e da una data di svolgimento gi . Mary passa i dati al tour manager Dale per la decisione di quali
richieste accettare: oltre al compenso pi promesso, deve considerare il costo fisso C di trasferimento del materiale, dei
musicisti e dei tecnici da New York all’Europa ed il medesimo costo per il ritorno, i costi degli spostamenti nonché
i vincoli temporali e spaziali. I TIR con il materiale e l’autobus del personale non possono percorrere più di 800
chilometri al giorno, ed è necessario essere nella località di un concerto fin dalla sera prima per montare il palco ed
effettuare le prove. Dale elabora la tabella delle distanze dij tra le località dei possibili concerti i e j e valuta in cij il
costo del relativo trasferimento.
Aiuta Dale formulando in termini di PLI il problema di decidere se effettuare il tour, ed in caso affermativo quali
concerti tenere, massimizzando il profitto totale dato dalla differenza dei compensi incassati e dei costi di trasferimento
nel rispetto dei vincoli temporali e spaziali.
6) Si risolva la seguente istanza di TSP
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6
5
1
6
8
4
9
3
10
2
2
mediante un algoritmo di B&B che usa: MS1T come rilassamento, nessuna euristica, ed effettua il branching come
segue: selezionato un nodo i col più piccolo valore r > 2 di archi dell’MS1T in esso incidenti, crea r(r − 1)/2 figli
corrispondenti a tutti i modi possibili per fissare a zero la variabile corrispondente a r − 2 di tali archi. Si visiti l’albero
delle decisioni a ventaglio, e si inseriscano in coda i figli di un nodo i dell’albero delle decisioni in ordine crescente del
nodo j del corrispondente arco (i, j) la cui variabile è fissata a zero (nel caso risulti r = 3). Per ogni nodo dell’albero
si riportino la soluzione ottenuta dal rilassamento con la corrispondente valutazione inferiore; si indichi poi se, e come,
viene effettuato branching o se il nodo viene chiuso e perché. Si esplorino solamente i primi due livelli dell’albero delle
decisioni (la radice conta come un livello); se ciò non è sufficiente a risolvere il problema, si indichi il gap relativo
ottenuto, giustificando la risposta.