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Teoria dei Sistemi - A.A. 2003/2004 TEORIA DEI SISTEMI Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale – Indirizzo Gestione Industriale TEORIA DEI SISTEMI ANALISI MODALE Ing. Cristian Secchi Tel. 0522 522234 e-mail: [email protected] http://www.ingre.unimore.it/staff/secchi Modi di un sistema Consideriamo un sistema LTI descritto da: E’ sempre possibile trovare una rappresentazione equivalente del sistema: Tale che, nelle nuove coordinate, la matrice di stato del sistema sia in forma canonica di Jordan. Il sistema è rappresentato da: Cristian Secchi Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi Modale -- 2 Pag. 1 Teoria dei Sistemi - A.A. 2003/2004 Modi di un sistema Dove, se λ1, …, λh sono gli autovalori distinti di A: Il fatto che la matrice di stato sia in forma di Jordan, consente di vedere il sistema libero nelle nuove coordinate come un insieme di h sottosistemi liberi non interagenti tra loro. Infatti: Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi Modale -- 3 Modi di un sistema Il movimento libero può pertanto essere decomposto in h movimenti liberi: Cristian Secchi Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi Modale -- 4 Pag. 2 Teoria dei Sistemi - A.A. 2003/2004 Modi di un sistema Ogni sottosistema è associato a un blocco di Jordan Ji e, quindi, a un autovalore della matrice di stato. L’andamento del movimento del sottosistema i-esimo dipende dall’esponenziale dell’i-esimo blocco di Jordan. Definizione: Le funzioni del tempo t che compaiono che compaiono nella matrice eJit sono detti modi del sistema relativi all’autovalore associato a Ji Definizione: Le funzioni del tempo t che compaiono nelle matrici eJit, i=1,…, h, cioè nella matrice , sono dette modi del sistema. Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi Modale -- 5 Modi di un sistema Il movimento di un sistema libero è la combinazione lineare dei modi del sistema. I coefficienti con cui i modi sono combinati sono dati da: 1) Lo stato iniziale 2) La matrice T Lo studio dell’andamento dei modi di un sistema ci consente di legare il tipo di andamento del movimento libero agli autovalori della matrice di stato. E’ pertanto caratterizzare il movimento libero del sistema dal semplice studio degli autovalori della matrice di stato e della loro molteplicità. Lo studio dell’andamento dei modi è detto analisi modale del sistema Cristian Secchi Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi Modale -- 6 Pag. 3 Teoria dei Sistemi - A.A. 2003/2004 Analisi modale – Autovalori reali distinti Nel caso in cui gli autovalori della matrice di stato siano tutti reali e distinti, necessariamente la forma di Jordan è una matrice diagonale: La matrice di transizione dello stato è, quindi: Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi Modale -- 7 Analisi modale – Autovalori reali distinti I modi del sistema sono dati dalle seguenti funzioni: Se lo stato iniziale appartiene all’autospazio relativo ad un particolare autovettore, allora l’evoluzione libera del sistema appartiene allo stesso autospazio Ciascun modo può venire eccitato (cioè comparire nell’espressione del movimento libero) indipendentemente dagli altri modi. Ciascun modo relativo a un autovalore complesso viene eccitato assieme al suo coniugato. Cristian Secchi Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi Modale -- 8 Pag. 4 Teoria dei Sistemi - A.A. 2003/2004 Analisi modale – Autovalori reali distinti eλt dove λ=0.5 x Teoria dei Sistemi Cristian Secchi Analisi Modale -- 9 Analisi modale – Autovalori reali distinti eλt dove λ=0 x Cristian Secchi Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi Modale -- 10 Pag. 5 Teoria dei Sistemi - A.A. 2003/2004 Analisi modale – Autovalori reali distinti eλt dove λ=-0.5 x Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi Modale -- 11 Analisi modale – Autovalori complessi distinti Nel caso in cui gli autovalori della matrice di stato siano complessi coniugati e distinti, del tipo λi=σi ± ωi la matrice di transizione dello stato : Cristian Secchi Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi Modale -- 12 Pag. 6 Teoria dei Sistemi - A.A. 2003/2004 Analisi modale – Autovalori complessi distinti I modi del sistema sono dati dalle seguenti funzioni: I due modi corrispondenti ad una coppia di autovalori complessi coniugati non possono venire eccitati indipendentemente. Pertanto, per ogni coppia di autovalori complessi coniugati σi ± ωi,nell’espressione del movimento libero compariranno due termini del tipo: Teoria dei Sistemi Cristian Secchi Analisi Modale -- 13 Analisi modale – Autovalori complessi distinti eσtcos(ωt) dove λ1,2=0.5 ± 2j x x Cristian Secchi Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi Modale -- 14 Pag. 7 Teoria dei Sistemi - A.A. 2003/2004 Analisi modale – Autovalori complessi distinti eσtcos(ωt) dove λ1,2=± 2j x x Teoria dei Sistemi Cristian Secchi Analisi Modale -- 15 Analisi modale – Autovalori complessi distinti eσtcos(ωt) dove λ1,2=-0.5 ± 2j x x Cristian Secchi Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi Modale -- 16 Pag. 8 Teoria dei Sistemi - A.A. 2003/2004 Analisi modale – Autovalori reali multipli Nel caso di autovalori multipli, la matrice di transizione dello stato è data da: dove: Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi Modale -- 17 Analisi modale – Autovalori reali multipli In questo caso i modi del sistema sono: Se lo stato appartiene al sottospazio associato al miniblocco di Jordan, allora il movimento libero è interamente contenuto nel sottospazio. Non è possibile eccitare in alcun modo singolarmente i modi appartenenti allo stesso miniblocco di Jordan. Pertanto, se nel movimento compare il contributo di un modo relativo a un miniblocco, allora compaiono anche i contributi di tutti gli altri modi relativi allo stesso miniblocco. Cristian Secchi Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi Modale -- 18 Pag. 9 Teoria dei Sistemi - A.A. 2003/2004 Analisi modale – Autovalori reali multipli Si consideri, ad esempio, il sistema in forma di Jordan con autovalore λ di molteplicità 2: Il movimento libero del sistema è dato da: Analizziamo i due modi del sistema: Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi Modale -- 19 Analisi modale – Autovalori reali multipli Autovalore doppio λ=0 modi m1 e m2 Cristian Secchi Cristian Secchi Autovalore doppio λ=-0.5 modi m1 e m2 Teoria dei Sistemi Analisi Modale -- 20 Pag. 10 Teoria dei Sistemi - A.A. 2003/2004 Analisi modale – Autovalori complessi multipli Analogamente al caso di autovalori reali multipli, i modi associati agli autovalori complessi coniugati multipli del tipo σ ± jω sono: Dove ν è la dimensione del miniblocco di Jordan associato alla coppia di autovalori complessi coniugati. Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi Modale -- 21 Analisi modale – Autovalori complessi multipli Consideriamo un sistema con una coppia di autovalori complessi coniugati σ ± jω doppia. I modi relativi alla coppia sono Analizziamo l’andamento della coppia di modi m1(t) e m3(t). L’andamento dell’altra coppia di modi è analogo. Cristian Secchi Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi Modale -- 22 Pag. 11 Teoria dei Sistemi - A.A. 2003/2004 Analisi modale – Autovalori complessi multipli Autovalore doppio λ=-0.5 ± 2j modi m1 e m3 Cristian Secchi Autovalore doppio λ=±2j modi m1 e m3 Teoria dei Sistemi Analisi Modale -- 23 Analisi modale In un generico sistema LTI possono essere presenti tutti i tipi di autovalori analizzati finora. Pertanto, il movimento libero del sistema è dato, in generale, dalla combinazione lineare di tutti i tipi di modi visti finora. Cristian Secchi Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi Modale -- 24 Pag. 12 Teoria dei Sistemi - A.A. 2003/2004 Carattere di convergenza dei modi Consideriamo un sistema LTI. Diremo che un modo m(t), definito per t≥0 è: • convergente se: • limitato, ma non convergente se esiste un numero reale 0<M<∞ tale che ∀ t ≥ 0 si abbia: • non limitato (o divergente) se: Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi Modale -- 25 Carattere di convergenza dei modi Dall’analisi modale fatta, segue la seguente: Proposizione: I modi del sistema sono: • convergenti se e solo se tutti gli autovalori di A hanno parte reale negativa • limitati se e solo se gli autovalori di A hanno parte reale negativa o nulla e quelli a parte reale nulla sono associati a miniblocchi di Jordan di dimensione 1 • non limitati se almeno un autovalore di A è a parte reale positiva oppure a parte reale nulla ma associato a un miniblocco di Jordan di dimensione maggiore di 1. Cristian Secchi Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi Modale -- 26 Pag. 13 Teoria dei Sistemi - A.A. 2003/2004 TEORIA DEI SISTEMI Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale – Indirizzo Gestione Industriale TEORIA DEI SISTEMI ANALISI MODALE Ing. Cristian Secchi Tel. 0522 522234 e-mail: [email protected] http://www.ingre.unimore.it/staff/secchi Cristian Secchi Pag. 14
