- MATEMATICAeSCUOLA

Transcript

- MATEMATICAeSCUOLA

Università del Salento
Dipartimento di Matematica
DAI SISTEMI DI DISEQUAZIONI LINEARI …
…. ALLA PROGRAMMAZIONE LINEARE
Chefi Triki
La Ricerca Operativa

Fornisce strumenti matematici di supporto alle
attività decisionali

Per gestire e coordinare attività con risorse
limitate
Al fine di massimizzare un profitto o minimizzare
un costo (obiettivo)
1
Un po’ di storia….
1935 -U.K. -Progetto difesa antiaerea
Bawdsey Research Station radar

localizzazione degli aerei nemici

intercettazione

rientro a terra degli aerei inglesi
ottimizzare la distribuzione
delle apparecchiature radar
sul territorio
1938 – Relazione del soprintendente Rowe
Î Compare per la prima volta l’l’espressione Operational
Research (ricerca operativa)
Un po’ di storia….
1939 - P. M. S. Blackett

costituzione di un gruppo di ricerca di scienziati e
militari
lotta contro i sommergibili tedeschi
1943 USA gruppi di Ricerca Operativa per:

guerra antisommergibile
dimensionamento dei convogli navali
scelta dei bersagli nelle incursioni aeree
avvistamento ed intercettazione degli aerei nemici
1945--2010 Problemi di tipo civile

Localizzazione dei depositi industriali
Problemi di produzione, di trasposto ….
1961 in Italia viene fondata l’AIRO
2
Le fasi di uno studio di ricerca operativa
Individuazione del problema
Raccolta e analisi dei dati
Costruzione del modello
Ricerca della soluzione
Interpretazione dei risultati
Problema di decisione
Un’
Un’ azienda automobilistica produce due modelli di
auto, uno a benzina B che vende al prezzo di 10 mila euro
e uno diesel D che vende a 12 mila euro. Ogni
autovettura è realizzata da due robot R1 e R2.
I tempi di lavorazione dei robot in ore per realizzare le
auto sono:
B D
R1 2 3
R2 2 1
La disponibilità
disponibilità al giorno di R1 è di 24 ore, mentre quella
di R2 è di 10 ore.
3
Problema di decisione
L’azienda ha effettuato un’
un’indagine di mercato
con i seguenti esiti:
• la domanda giornaliera di B è al più
più il doppio di quella
della macchina D
• la domanda minima giornaliera di auto è di 4.
Problema:
Problema: determinare le quantità
quantità dei due modelli di
auto che devono essere prodotte giornalmente in modo
da rendere massimo il guadagno.
guadagno.
Supponiamo che tutte le auto prodotte siano vendute.
Formulazione del modello matematico
Definizione delle
variabili
Formulazione
Matematica
Definizione della
Funzione obiettivo
Definizione dei
vincoli
4
Definizione delle variabili
• Cosa devo decidere?
Si introducono due variabili che rappresentano le
quantità prodotte (e vendute) ogni giorno per i due
modelli di auto
Variabili
x:
y:
Numero di auto a benzina
Numero di auto diesel
Definizione della funzione obiettivo
• Cosa voglio massimizzare?
Il guadagno giornaliero dipende (è funzione) dalla
decisione di quante auto D e B voglio produrre
La funzione obiettivo
F(x,y)=10 x+12 y
è una funzione lineare !
5
Definizione dei vincoli
• Quali sono le restrizioni sulle variabili?
Vincoli sul tempo di utilizzo dei robot:
2 x +3 y ≤ 24
2 x + y ≤ 10
Vincoli conseguenti l’indagine di mercato:
2y≥x
x+ y ≥4
Non si può produrre un numero negativo di auto:
x ≥ 0, y ≥ 0
Formulazione del problema
Max F(x,y)=10 x+12 y
soggetto a:
2 x +3 y ≤ 24
2 x + y ≤ 10
2y≥x
x + y≥4
x≥ 0
y≥ 0
6
Problema di programmazione lineare
I problemi che hanno per modello matematico
sistemi di disequazioni (o equazioni) lineari
vincoli
abbinati ad una funzione lineare da
massimizzare o minimizzare
funzione obiettivo
prendono il nome di problemi di
Programmazione Lineare (PL)
Problema di programmazione lineare
Ma adesso….
Qual è la soluzione?
Quante auto a benzina e diesel si devono
produrre?
Qual è il guadagno massimo?
Che si faceva con i sistemi di disequazioni?
7
Metodo grafico
Un problema di PL in due
variabili può essere risolto
attraverso semplici
considerazioni di tipo
geometrico, a partire
dall’individuazione su di
un piano cartesiano del
poligono ammissibile
y
x
Regione Ammissibile
determinata dai vincoli.
Metodo grafico
Ogni retta f(x,y)= ax + by + c = 0 divide il piano
cartesiano in due semipiani rappresentati dalle
disequazioni:
ax + by + c < 0
ax + by + c > 0
Individuare il semipiano: f(x, y) = ax + by + c > 0
Si sceglie P(x’, y’) non appartenente alla retta
• Se f(x’, y’) > 0 Î il semipiano che contiene il
punto P è quello cercato;
• Se f(x’, y’) < 0 Î il semipiano che non contiene
il punto P è quello cercato.
8
Metodo grafico
Ogni vincolo del mio problema rappresenta un
semipiano o una retta … e siccome tutti i vincoli
devono essere rispettati la soluzione apparterrà
alla parte di piano che è intersezione di tutti
i semipiani!!!
Per trovare la Regione Ammissibile del nostro
problema allora … cerchiamo dove si intersecano i
semipiani … ma questo non voleva dire risolvere un
sistema di disequazioni ???
Regione ammissibile
Max F(x,y)=10 x+12 y
soggetto a:
2 x +3 y ≤ 24
2 x + y ≤ 10
2y≥x
x + y≥4
x≥ 0
y≥ 0
9
Regione ammissibile
Vincoli:
x ≥ 0, y ≥ 0
y
x
Regione ammissibile
Vincolo:
2 x +3 y ≤ 24
y
8
12
x
10
Regione ammissibile
Vincolo:
10
2x + y ≤ 10
y
8
5
12
x
12
x
Regione ammissibile
Vincolo:
2y ≥ x
10
y
8
5
11
Regione ammissibile
Vincolo:
x+y≥4
y
x
Dai sistemi lineari alla regione ammissibile
La regione ammissibile è
una figura convessa
Che vuol dire convessa?
12
La soluzione di sistemi di disequazioni lineari
in due incognite coincide con la parte di piano
comune ai semipiani individuati dalle singole
disequazioni.
Questa regione può essere limitata o illimitata.
illimitata.
Se le disequazioni del sistema non hanno
soluzioni comuni (i semipiani non si
intersecano) il sistema è detto impossibile.
impossibile.
x2
2
3
-2
x1
-3
13
La regione ammissibile è
un poliedro!!!
Esempi di Reti
Risolvere un problema di PL significa determinare
se il problema è:
Inammissibile
(il sistema di disequazioni è impossibile)

Illimitato inferiormente o superiormente
Ammette una soluzione ottima
che massimizza o minimizza la funzione obiettivo.

14
Teorema fondamentale
.
Se il problema di PL ammette minimo o massimo,
allora la funzione obiettivo
F(x, y) = ax+by+c
assume il suo valore massimo o minimo solo su un
VERTICE
o su tutti i punti di un
LATO
della frontiera della regione ammissibile.
Metodo enumerativo
Ma allora….come si trova una soluzione per il
problema delle auto???
Determinata la regione ammissibile:
Calcola le coordinate dei vertici del poligono;
Calcola il valore della funzione obiettivo su ogni
vertice
La soluzione è data dalle coordinate del vertice
che rende massima o minima la funzione obiettivo
15
Metodo enumerativo
F(0,8)=10*0+12*8=96
y
A(0,8)
F(3/2,7)=10*3/2+12*7=99
F(4,2)=10*4+12*2=64
B(3/2,7)
F(8/3,4/3)=10*8/3+12*4/3=42,7
F(0,4)=10*0+12*4=48
E(0,4)
C(4,2)
D(8/3,4/3)
x
Il metodo del Simplesso
Il metodo del simplesso è un algoritmo che
permette, attraverso un numero finito di
iterazioni, di passare, se il problema ammette
soluzione, da un qualsiasi vertice del poliedro al
vertice ottimo.
L'algoritmo del Simplesso, ideato dall'americano
George Dantzig nel 1947, è un metodo numerico
per risolvere problemi di PL
16
E per i più pigri: il Lingo
LINGO è un pacchetto software che
consente di formulare e risolvere
problemi di ottimizzazione
(Programmazione Lineare e non) anche
a grandi dimensioni, e di analizzarne le
rispettive soluzioni.
Altro esempio: Gestione del Personale
Il responsabile della gestione del
personale di un’azienda manifatturiera ha
il compito di organizzare i turni di lavoro
ad una catena di montaggio a ciclo
continuo.
17
Gestione del Personale
Sono previste sei fasce orarie per ognuna
delle quali è richiesto un numero minimo di
unità lavorative, come riassunto dalla
seguente tabella:
A seguito di accordi sindacali sono
stati individuati sei turni di lavoro
ciascuno dei quali di 8 ore lavorative:
18
Si vuole determinare il numero di unità
lavorative da assegnare ad ogni turno
in modo tale da impiegare la minor
forza lavoro complessiva.
Soluzione: Si indichi con:
xi = numero di unità di personale da
assegnare al turno i-esimo (i = 1, , 6).
E' evidente che la fascia oraria
compresa tra le 00.00 e le 04.00 sarà
coperta dalle unità lavorative del primo
e del secondo turno. Dovendo garantire
una disponibilità di personale di almeno
6 unità, si impone il vincolo: x1 + x2 6.
19
E' evidente che la fascia oraria
compresa tra le 00.00 e le 04.00 sarà
coperta dalle unità lavorative del primo
e del secondo turno. Dovendo garantire
una disponibilità di personale di almeno
6 unità, si impone il vincolo: x1 + x2 6.
Analogamente, per le altre fasce orarie:
x2 + x3
x3 + x4
x4 + x5
x5 + x6
x6 + x1
9
14
9
11
8
Obiettivo: minimizzare il numero di unità z
impiegate: z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6.
20
Modello Matematico:
La soluzione ottimale prevede:
per un numero complessivo di unità lavorative
utilizzate pari a: z* = 31.
Nota: soltanto per la fascia oraria compresa
tra le 12.00 e le 16.00 saranno utilizzate
unità di personale in un numero superiore
rispetto al minimo richiesto.
21
Modello dello zaino
Decisione:
Quali materie preparare:
•
avendo a disposizione
un totale di 27 giorni
•
volendo massimizzare
il profitto?
Materia
Giorni prep.
Italiano
Latino
Greco
Inglese
Fisica
Scienze
Storia
Geografia
Disegno
10
12
15
9
7
6
6
6
4
Profitto
20,00
22,50
25,00
15,00
12,50
12,50
12,00
12,00
7,50
Modello dello zaino
Strategia (algoritmo) massimo profitto:
• scelgo le materie più remunerative
(rispettando il vincolo di 27 giorni)
Materia
Giorni prep.
Italiano
Latino
Greco
Inglese
Fisica
Scienze
Storia
Geografia
Disegno
tempo: 27 giorni
10
12
15
9
7
6
6
6
4
Profitto
20,00
22,50
25,00
15,00
12,50
12,50
12,00
12,00
7,50
profitto: 47,50
22
Modello dello zaino
Strategie minimo tempo:
• scelgo le materie che richiedono meno
tempo di preparazione
Materia
Giorni prep.
Italiano
Latino
Greco
Inglese
Fisica
Scienze
Storia
Geografia
Disegno
10
12
15
9
7
6
6
6
4
tempo: 22 giorni
Profitto
20,00
22,50
25,00
15,00
12,50
12,50
12,00
12,00
7,50
profitto: 44, 00
Modello dello zaino
Altre Strategie?
Materia
Giorni prep.
Italiano
Latino
Greco
Inglese
Fisica
Scienze
Storia
Geografia
Disegno
tempo: 26 giorni
10
12
15
9
7
6
6
6
4
Profitto
20,00
22,50
25,00
15,00
12,50
12,50
12,00
12,00
7,50
profitto: 52
23
Modello dello zaino
Risolvo un problema di PL con 9 variabili all’ottimo
Materia
Italiano
Latino
Greco
Inglese
Fisica
Scienze
Storia
Geografia
Disegno
Giorni prep.
10
12
15
9
7
6
6
6
4
tempo: 27 giorni
Profitto
20,00
22,50
25,00
15,00
12,50
12,50
12,00
12,00
7,50
profitto: 52, 50
Compiti: Problema di Trasporto
Un’azienda possiede due centri di
distribuzione e tre punti vendita dislocati sul
territorio. Di un prodotto sono disponibili al
più 250 unità presso il primo centro di
distribuzione e al più 400 presso il secondo.
Alla direzione centrale risulta una richiesta
di rifornimento dai tre punti vendita pari ad
almeno 120, 270, 130 unità rispettivamente.
Presso tali centri ciascuna unità di prodotto
viene venduta a Euro 14, 17 e 16.
24
I costi unitari di trasporto, legati alla
distanza tra i centri di distribuzione e i
punti vendita, sono così riassumibili:
Obiettivo:
massimizzare
il
profitto
ipotizzando che sia possibile vendere tutto il
quantitativo di prodotto disponibile presso i
punti vendita.
Suggerimento:
Indicare con:
xij = quantitativo di prodotto inviato
dal centro di distribuzione i (i = 1, 2)
al punto di vendita j (j = 1, 2, 3).
25