effetto della capillarita` distribuzione delle tensioni nel terreno

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UNIVERSITÀ
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CATANIA
FACOLTÀ
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE
EFFETTO DELLA CAPILLARITA’
DISTRIBUZIONE DELLE TENSIONI NEL TERRENO
SALVATORE GRASSO
CORSO DI GEOTECNICA
ESERCIZIO
CONVENZIONI
σ
Nella Meccanica dei Terreni sono assunte positive:
le tensioni normali di compressione e le tensioni
tangenziali che danno origine ad una coppia antioraria;
σ
τ
τ
le diminuzioni di volume e di lunghezza
le profondità, se misurate a partire dal piano di
campagna verso il basso
le pressioni interstiziali al di sotto della
superficie di falda
zw u = 0
superficie piezometrica
u>0
Tensioni geostatiche
TENSIONI GEOSTATICHE
Esercizio 1
Si considerino la stratigrafia e le proprietà dei terreni riportate in figura. Si
determini e si disegni il profilo, con la profondità, delle tensioni geostatiche
(verticali e orizzontali, efficaci e totali) e della pressione interstiziale per le
seguenti posizioni del livello di falda: b)
D
2m
a)
2m
a) falda al livello del piano di
campagna (p.c.);
b) falda ad una quota zw = 2m 4 m
al di sopra del p.c.;
c) falda a profondità zw = 2m
dal p.c.;
4m
Si assuma che il terreno sia
completamente asciutto al di
sopra del livello di falda e
completamente saturo al di
sotto.
c)
p.c.
E
A
Sabbia:ρS = 2.70 Mg/m3 n = 0.5 K0 = 0.4
B
Argilla:ρ sat = 2.0 Mg/m 3 K0 = 0.6
C
z
Dati:
Spessore strato di sabbia (H1) = 4 m
Spessore strato di argilla (H2) = 4 m
Profondità della falda (zw*) = 0 (a), 2m (b), ‐2m (c)
Densità dei costituenti solidi della sabbia (ρs,1) = 2.70 Mg/m3
Porosità della sabbia (n1) = 0.5
Coefficiente di spinta a riposo della sabbia (k0,1) = 0.4
Densità satura dell’argilla (ρsat,2) = 2. 0 Mg/m3
Coefficiente di spinta a riposo dell’argilla (k0,2) = 0.6
*N.B. La profondità della falda, così come tutte le profondità in geotecnica, si
misurano positivamente a partire dal piano di campagna verso il basso
Svolgimento:
1.Tensioni geostatiche verticali
Per determinare l’andamento delle tensioni geostatiche verticali, totali ed
efficaci, in genere si determina prima l’andamento delle tensioni totali
(dipendenti esclusivamente dalla profondità e dal peso di volume del terreno
sovrastante), quindi l’andamento delle pressioni interstiziali (dipendenti
unicamente dalla posizione della falda) e poi per differenza, le tensioni
efficaci.
L’andamento delle tensioni verticali (totali) è continuo e cresce linearmente
con la profondità, con pendenze diverse in strati caratterizzati da peso di
volume differenti, per effetto dello stato di saturazione all’interno dello stesso
strato (sopra o sotto falda) o delle differenti caratteristiche geotecniche (strati
differenti).
Svolgimento:
1.Tensioni geostatiche verticali
1. Si identifica la posizione della falda e le superfici di separazione tra gli strati
e una volta noti i corrispondenti pesi di volume dello stesso terreno (sopra e
sotto falda) e dei vari strati, si calcola la tensione verticale totale in
corrispondenza di tali punti:
σvo (z) = Σ i γi · ∆zi
dove ∆zi sono gli spessori di tutti gli strati omogenei al
disopra della quota z, o della porzione di strato sopra falda,
e γi i pesi di volume corrispondenti
2. I valori calcolati alle varie profondità, vengono quindi interpolati
linearmente per esprimere l’andamento della tensione verticale totale
all’interno di tutto il deposito.
E
‐2m (c)
In questo caso i punti significativi sono:
A
0 0m (a)
A = piano di campagna (z = 0)
E
2m (b)
B = separazione tra strato 1 e 2 (z = 4 m)
B
4m
C = limite inferiore dello strato 2 (z = 8 m)
D = superficie di falda (zw = 0m, 2m, ‐2m)
C
8m
Svolgimento:
Si determinano i pesi di volume dello strato 1, sopra e sotto falda, e dello strato 2:
e=
γs,1 = ρs,1 x g = 2.7 x 9.81 kN/m3 = 26.5 kN/m3
γ d,1 =
γ s,1
1+e
γ sat ,1 =
Gs +e
1+e
n
1−n
=1
Gs = 2.7
= 26.5 kN/m3 /(1+1) = 13.2 kN/m3
·γ w = (2.7+1)/(1+1)x9.81 kN/m3 = 18.1 kN/m3
N.B. 1 kN/m2 = 1 kPa
γsat,2 = ρsat,2 x g = 2.0 x 9.81 kN/m3 = 19.6 kN/m3
1.1 Tensioni totali
E≡A
a) zw = 0
σv(A) = 0
σv(B) = γsat,1xH1 = 18.1 kN/m3 x 4 m = 72.4 kPa
γsat,1
γsat,1
1
γsat,2
1
γsat,2
4m
B
C
0 0m
z
8m
σv(C) = γsat,1xH1 + γsat,2xH2 = σv(A) + γsat,2xH2 = 72.4 kPa + 19.6x4 kPa = 150.8 kPa
Svolgimento:
1.1 Tensioni totali
b) zw = 2 m
A
E
σv(A) = 0
σv(E) = γd1 x zw = 13.2 x 2 kPa = 26.4 kPa
γ d,1
γd,1
γsat,1
1
1
γ sat,1
B
0
2m
4m
1
γsat,2
γsat,2
C
z
σv(B) = σv(E) + γsat,1x(H1‐zw) = 26.4 kPa+ 18.1 x 2 kPa = 62.6 kPa
8m
σv(C) = σv(B) + γsat,2xH2 = 62.6 kPa + 19.6x4 kPa = 141.0 kPa
γw
c) zw = ‐2 m
E
A
σv(A) = γw x (‐zw) = 9.81x2 kPa= 19.6 kPa
σv(B) = σv(A) + γsat,1x(H1) = 19.6 kPa + 18.1 x 4 kPa
= 92.0 kPa
γw
1
1
γsat,1
γsat,1
B
γsat,2
C
σv(C) = σv(B) + γsat,2xH2 = 92.0 kPa + 19.6x4 kPa = 170.4 kPa
‐ 2m
0
4m
1
γsat,2
8m
z
Svolgimento:
1.2 Pressioni interstiziali
a) zw = 0
u(A) = 0
u(B) = γwxH1 = 9.81 x 4 kPa = 39.2 kPa
0 0m
E≡A
4m
B
1
γw
C
8m
u(C) = γwx(H1 +H2) = 9.81 x 8 kPa = 78.5 kPa
A
b) zw = 2 m
u(A) = u(E) = 0
u(B) = γwx(H1‐zw) = 9.81 x 2 kPa = 19.6 kPa
E
B
C
u(C) = γwx(H1 +H2‐zw) = 9.81 x 6 kPa = 58.9 kPa
0
2m
4m
γd,1
γsat,1
γsat,2
1
γw
z
8m
Svolgimento:
1.2 Pressioni interstiziali
‐ 2m
0
E
A
c) zw = ‐2 m
u(A) = γw x (‐zw) = 9.81x2 kPa = 19.6 kPa
4m
B
1
u(B) = γwx(H1‐zw) = 9.81x 6 kPa = 58.9 kPa
C
γw
u(C) = γwx(H1 +H2‐zw) = 9.81 x 10 kPa = 98.1 kPa
8m
z
1.3 Tensioni efficaci
a) zw = 0
σ’v(Α) = σ’v(E) = σv(A) ‐ u(A) = 0 kPa
b) zw = 2 m
σ’v(A) = σv(A) ‐ u(A) = 0 kPa
σ’v(B) = (72.4‐39.2) kPa = 33.1 kPa
σ’v(E) = (26.4 ‐ 0) kPa = 26.4 kPa
σ’v(C) = (150.8‐78.5) kPa = 72.3 kPa
σ’v(B) = (62.6‐19.6) kPa = 43.0 kPa
σ’v(C) = (141.0‐58.9) kPa = 82.1 kPa
Svolgimento:
E≡A
c) zw = ‐ 2 m
γsat,1
γ’21
C
E
B
IMP. Quando non è specificato il peso di
volume del terreno sopra e sotto falda
si assume uguale e pari a quello saturo.
4m
γsat,2
A
C
8m
γd,1
γd,1
γsat,1
γsat,2
1
1
γ’1
γ’2
γw
γ’1
γsat,1
1
B
γsat,2
C
0
4m
1
z
E
A
0 0m
1
B
σ’v(A) = σv(A) ‐ u(A) = (19.6‐19.69 = 0 kPa
σ’v(B) = (92‐58.9) kPa = 33.1 kPa
σ’v(C) = (170.4‐98.1) kPa = 72.3 kPa
γ’1
8m
0
4m
1
γ’2
z
8m
Svolgimento:
2.Tensioni geostatiche orizzontali
Per determinare l’andamento delle tensioni geostatiche orizzontali, totali ed
efficaci, in genere si determina prima l’andamento delle tensioni efficaci
(dipendenti esclusivamente dal coefficiente di spinta a riposo e dalle tensioni
efficaci verticali), quindi l’andamento delle pressioni interstiziali (dipendenti
unicamente dalla posizione della falda) e poi sommandole, le tensioni totali.
Le tensioni orizzontali (efficaci e totali) hanno un andamento lineare crescente
all’interno di ciascun strato omogeneo, mentre presentano discontinuità in
corrispondenza del contatto tra strati di differenti caratteristiche geotecniche
(coefficiente di spinta a riposo)
Svolgimento:
2.Tensioni geostatiche orizzontali
1. Si calcola la tensione orizzontale efficace in corrispondenza della falda e
della separazione tra gli strati, in quest’ultimo caso considerando i valori di k0
sia dello strato sottostante che sovrastante:
σ’h0 (z) = K0 σ’v0 (z)
2. I valori calcolati alle varie profondità, vengono quindi interpolati
linearmente per esprimere l’andamento della tensione orizzontale efficace
all’interno di tutto il deposito.
a) zw = 0
σ’h(A) = σ’h(E) =k0,1 x σ’v(A) = 0.4x0 = 0 kPa
σ’h(B‐) = k0,1 x σ’v(B) = 0.4x33.2 kPa = 13.3 kPa
E≡ A
σ’h(B+) = k0,2 x σ’v(B) = 0.6x33.2 kPa = 19.9 kPa
σ’h(C‐) = k0,2 x σ’v(C) = 0.6x72.3 kPa = 43.4 kPa
B‐
B+
C‐
K01γ’1
K0,1
1
K0,2
1
K02γ’2
0 0m
4m
8m
Svolgimento:
b) zw = 2 m
σ’h(A) = k0,1 x σ’v(A) = 0.4x0 = 0 kPa
σ’h(E) = k0,1 x σ’v(E) = 0.4x26.4 = 10.6 kPa
σ’h(B)‐ = k0,1 x σ’v(B) = 0.4x43 kPa = 17.2 kPa
σ’h(B)+ = k0,2 x σ’v(B) = 0.6x43kPa = 25.8 kPa
K01γ1d
A
E
B‐
B+
C‐
1
1
K01γ’1
K0,1
K0,2
1
K02γ’2
z
0
2m
4m
8m
σ’h(C)‐ = k0,2 x σ’v(C) = 0.6x82.1 kPa = 49.3 kPa
c) zw = ‐2 m
E
A
σ’h(A) = k0,1 x σ’v(A) = 0.4x0 = 0 kPa
σ’h(B)‐ = k0,1 x σ’v(B) = 0.4x33.1 kPa = 13.2 kPa B‐ K0,1
σ’h(B)+ = k0,2 x σ’v(B) = 0.6x33.1kPa = 19.9 kPa B+
K0,2
σ’h(C)‐ = k0,2 x σ’v(C) = 0.6x72.3 kPa = 43.4 kPa C‐
K01γ’1
1
1
K02γ’2
z
‐ 2m
0
4m
8m
Svolgimento:
2.2 Tensioni totali
a) zw = 0
b) zw = 2 m
σh(Α) = σh(E) = σ’h(A) + u(A) = 0 kPa
σh(A) = σ’h(A) + u(A) = 0 kPa
σh(B‐) = (13.3+39.2) kPa = 52.5 kPa
σh(B+) = (19.9+39.2) kPa = 59.1 kPa
σ’h(C‐) = (43.4+78.5) kPa = 121.9 kPa
σh(E) = (10.6 + 0) kPa = 10.6 kPa
c) zw = ‐ 2 m
σh(A) = σ’h(A) + u(A) = 19.6 kPa
σh(E) = (0 + 0) kPa = 0 kPa
σh(B‐) = (13.2+58.9) kPa = 72.1 kPa
σh(B+) = (19.9+58.9) kPa = 78.8 kPa
σh(C‐) = (43.4+98.1) kPa = 141.5 kPa
σh(B‐) = (17.2+19.6) kPa = 36.8 kPa
σh(B+) = (25.8+19.6) kPa = 45.4 kPa
σh(C‐) = (49.3+58.9) kPa = 108.2 kPa
Profili delle tensioni
Caso a
E≡A
B
0 0m
σv, u, σ’v σh, σ’h (kPa)
33.1
4m
52.5
59.1
72.4
13.2
19.9
C
43.4 72.3
0
E
2m
B
4m
10.6
26.4
43
36.8
62.6
45.4
17.2
25.8
C
150.8
121.9
z
Caso b
A
78.5
8m
82.1
8m
49.3 58.9
z
141.0
108.2
Profili delle tensioni
Caso c
E
2m
A
0
B
4m
19.6
72.1
33.1
92
78.8
13.2
19.9
C
170.4
8m
43.472.3 98.1
z
141.5
Effetto della posizione della falda sulle tensioni verticali
‐ 2m
E(c)
E(a)A
B
C
19.6
1
0
2m
E(b)
σ’ v (kPa)
σv (kPa)
γw
γ
γ
1
γd,1
γ
26.4
1
γ
4m
62.6
72.4
8m
z
γsat,1
92
γ
1
1
26.4
33.2
γd,1
1
γ
γ’1
1
43
γ
γsat,2
γ’2
1
γ
150.8
141.0
σv crescente
170.4 72.3
z
82.1
σ’v decrescente
N.B. Quando la falda si trova al di sopra del p.c. (zw < 0), le tensioni efficaci
rimangaono immutate al variare di zw e pari al caso di zw = 0)
Effetto della posizione della falda sulle tensioni orizzontali
σh (kPa)
‐ 2m
E(c)
E(a)A
0
γ
10.6
2m
E(b)
B
γw
19.6
1
γ
γ
1
36.8
45.4
γ
1
K0,1 .γd,1
52.5 59.1
1
4m
σ’h (kPa)
K0,1 .γ’1+γw
72.1 78.8
K0,2 .γ’2+γw
γ 10.6
1
13.2
19.9
1
γ
C
8m
z
108.2
121.9
141.5
σh crescente z
17.2
γ 25.8
K0,1 .γd,1
K0,1 .γ’1
K0,2 .γ’2
1
43.4
49.3
σ’h decrescente
OSS. Un abbassamento del livello di falda (quando tale livello rimane al di sotto
del piano di campagna) comporta un incremento delle tensioni efficaci (e quindi
un incremento della resistenza ed una compressione del terreno con conseguente
cedimento), mentre non ha alcuna influenza quando la falda è al di sopra del
piano di campagna
Esercizio 2
Si consideri un deposito costituito, procedendo dallʹalto verso il basso, da uno
strato di sabbia di spessore 4 m, seguito da uno strato di argilla omogenea di
spessore 6 m e ancora dalla sabbia per uno spessore di 4m. In corrispondenza dello
strato superficiale di sabbia è stata rilevata una falda libera (con livello di falda a
2 m sotto il piano di campagna), mentre nello strato di sabbia più profondo una
falda in pressione. Un piezometro posto alla sommità dello strato di sabbia più
profondo ha rilevato un’ altezza dʹacqua di 14 m, inoltre è stato prelevato un
campione di argilla avente peso di 124.12 N e volume di 6226 cm3, contenuto
dʹacqua pari al 23.2%. Assumendo per lʹargilla γs = 26 kN/m3 e per la sabbia un peso
di volume sopra falda di 16.5 kN/m3 e sotto falda di 18 kN/m3:
a) verificare il grado di saturazione dellʹargilla e determinarne lʹindice dei vuoti, la
porosità e il peso di volume secco;
b) calcolare e disegnare i profili delle tensioni verticali (totali ed efficaci) e della
pressione interstiziale (γw = 9.81 kN/m3).
Dati geometrici:
Spessore strato di sabbia
superficiale (H1) = 4 m
Spessore strato di argilla (H2) = 6 m
H
Spessore strato di sabbia
profondo (H3) = 4 m
Profondità della falda libera
rispetto al p.c. (zw) = 2m
A
zw
E Sabbia
B
Argilla
z(m) γ(kN/m3)
0 γd,sab
H1
4
H2
(16.5)
γsat,sab (18.0)
γsat,arg (19.9)
z
C
Altezza d’acqua nel piezometro (H) = 14m
Sabbia
Argilla:
D
Volume del campione (V) = 6226 cm3
Peso del campione (P) = 124.12 N
2
10
H3
γsat,sab (18.0)
14
Contenuto d’acqua (w) = 23.2 %
Peso specifico dei costituenti solidi (γs,arg) = 26 kN/m3
Sabbia:
Peso di volume sopra falda (γd,sab) = 16.5 kN/m3
Peso di volume sotto falda (γsat,sab) = 18 kN/m3
Peso specifico dell’acqua, γw = 9.81 kN/m3
Gs = γs/γw = 26/ 9.81 = 2.65
Svolgimento:
a) verificare il grado di saturazione dellʹargilla e determinarne lʹindice dei vuoti,
la porosità e il peso di volume secco;
Si determina il peso di volume dell’argilla:
P
γ=
V = γsat = 124.12N/6226 cm = 19.9 kN/m3
3
Il peso di volume asciutto:
γ
γ d=
1+ w = 19.9kN/m /(1+0.232) = 16.2 kN/m3
3
e il grado di saturazione tramite la relazione:
γd =
γ S ·S r
γ
S r + w· S
γW
S r=
w·G
S
·γ d
γ s −γ d
= (0.232x2.65x16.2)kN/m3 /(26‐16.2) kN/m3 = 1.00
Si determina l’indice dei vuoti e la porosità tramite le relazioni:
γ d=
γS
1+e
e=
γS
γd
−1 = (26/16.2)‐1 = 0.605
n=
e
= 0.605/(1+0.605) = 0.377
1+e
Svolgimento:
b) calcolare e disegnare i profili delle tensioni verticali (totali ed efficaci) e della
pressione interstiziale (γw = 9.81 kN/m3).
Si determina la tensione totale
verticale in corrispondenza dei
punti A, B, C, D e E:
σv(A) = 0
H
σv(E) = γd,sab x zw = (16.5 x 2) kPa
= 33.0 kPa
σv(B) = σv(E) + γsat,sabx(H1‐zw) =
33 kPa+ 18x2 kPa = 69 kPa
σv(C) = σv(B) + γsat,argxH2 =
69 kPa + 19.9x6 kPa = 188.4 kPa
A
E
B
z(m) γ(kN/m3)
0 γd,sab
zw
Sabbia
Argilla
2
H1
4
H2
Sabbia
10
H3
D
σv(D) = σv(C) + γsat,sabxH3 = 188.4 kPa + 18x4 kPa = 260.4 kPa
γsat,sab (18.0)
γsat,arg (19.9)
z
C
(16.5)
γsat,sab (18.0)
14
Svolgimento:
Si determina la pressione interstiziale in corrispondenza dei punti A, B, C, D e E,
assumendo che:
‐ nello strato di sabbia superficiale, in
cui è presente la falda libera, la
pressione interstiziale ha un andamento
A
lineare con la profondità z ( e pendenza
zw
γw) con valore nullo in corrispondenza
E
della superficie libera
H B Sabbia H1
‐ nello strato di sabbia profondo, in cui
la falda è in pressione, la pressione
Argilla H2
interstiziale ha un andamento lineare
con la profondità z ( e pendenza γw) con
C
valore
nullo in
corrispondenza
dell’altezza d’acqua raggiunta nel
Sabbia H3
piezometro
D
z
‐ nello strato di argilla intermedio, la pressione interstiziale ha un andamento
lineare con la profondità z, ottenuto interpolando i valori calcolati alle
estremità dello strato.
u
Svolgimento:
Ovvero:
u(z) = 0 per 0 < z ≤ zw
u(z) = γw· (z‐zw) per zw <z≤ H1
u(z)=
u(C)−u(B)
H2
·(z−H 1)+u(B)
per H1 < z ≤ H1+H2
u(z) = γw .(z+H‐H1‐H2) per H1+H2 < z ≤ H1+H2+H3
Si determina la pressione interstiziale in corrispondenza dei punti A, B, C, D e E:
u(A) = u(E) = 0
u(B) = γwx(H1‐zw) = 9.81 x 2 kPa = 19.6 kPa
u(C) = γwx(H) = 9.81 x 14 kPa = 137.3 kPa
u(D) = γwx(H+H3) = 9.81 x 18 kPa = 176.6 kPa
Svolgimento:
Si determina la tensione efficace verticale in corrispondenza dei punti A, B, C, D e
E, come differenza tra le tensioni totali e le pressioni interstiziali:
σ’v(A) = σv(A) ‐ u(A) = 0 kPa
σ’v(D) = (260.4‐176.6) kPa = 83.8 kPa
σ’v(B) = (69‐19.6) kPa = 49.4 kPa
σ’v(E) = (33 ‐ 0) kPa = 33.0 kPa
σ’v(C) = (188.4‐137.3) kPa = 51.1 kPa
σv, u σ’v (kPa)
A
E
H B Sabbia
Argilla
zw
H1
19.6
33 49.4
69
H2
51.1137.3
C
Sabbia
188.4
H3
260.4
D
z
83.8
Influenza della storia tensionale
INFLUENZA DELLA STORIA TENSIONALE
Esercizio 3
Si consideri un deposito di terreno omogeneo costituito da argilla caratterizzata
da un peso di volume saturo γsat = 19.8 kN/m3, da un angolo di resistenza al taglio
ϕ’= 30° e da una coesione c’ = 0 kPa. Supponendo che si verifichi un’erosione fino ad
una profondità d = 25 m, determinare le tensioni totali ed efficaci prima e dopo
l’erosione nei punti A e B indicati in figura, supponendo che prima dell’erosione il
terreno sia normalconsolidato. Si assume che il terreno al di sopra della falda sia
saturo e che γw = 9.81 kN/m3.
p.c.
Prima dell’erosione
5m
25 m
30 m
Dopo l’erosione
A
B
50 m
Dati:
Spessore strato eroso (d) = 25 m
Profondità del punto A (zA) = 30 m
Profondità del punto B (zB) = 50 m
Profondità della falda rispetto al p.c. prima dell’erosione (zw,1) = 5m
Profondità della falda rispetto al p.c. prima dell’erosione (zw,2) = 0 m
Peso di volume saturo (γsat) = 19.8 kN/m3
Angolo di resistenza al taglio (ϕ’) = 30 °
Coesione (c’) = 0 kPa
p.c.
5m
Terreno saturo anche sopra falda
Peso specifico dell’acqua (γw) = 9.81 kN/m3
30 m
25 m
Dopo l’erosione
A
B
50 m
Svolgimento:
Determinare le tensioni totali ed efficaci prima e dopo l’erosione nei punti A e B
indicati in figura, supponendo che prima dell’erosione il terreno sia
p.c.
normalconsolidato.
5m
d = 25 m
zA = 30 m
Si determina la tensione totale
verticale in corrispondenza dei punti A
e B:
σv,i(A) = γsat x zA = (19.8 x 30) kPa = 594 kPa
A
σv,i(B) = γsat x zB = (19.8 x 50) kPa = 990 kPa
B
50 m =
zB
N.B. Il peso di volume del terreno sopra e sotto falda si assume uguale e pari a
quello saturo.
e la pressione interstiziale:
ui(A) = γwx(zA‐zw) = 9.81kN/m3 x (30‐5) m = 245.2 kPa
ui(B) = γwx(zB‐zw) = 9.81kN/m3 x (50‐5) m = 441.4 kPa
Svolgimento:
la tensione efficace verticale:
σ’v,i(A) = σv,i(A) ‐ ui(A) = (594‐245.2) kPa = 348.8 kPa
σ’v,i(B) = (990‐441.4) kPa = 548.6 kPa
Il coefficiente di spinta a riposo, essendo il terreno normalconsolidato, risulta :
K0 (NC) ≅ 1‐ sin ϕ’ = 0.5
e la tensione efficace orizzontale:
σ’h,i(A) = K0 x σ’v,i(A) = 0.5x348.8 kPa = 174.4 kPa
σ’h,i(B) = K0 x σ’v,i(B) = 0.5x548.6 kPa = 274.3 kPa
e la tensione totale orizzontale:
σh,i(Α) = σ’h,i(A) + ui(A) = (174.4 + 245.2) kPa = 419.6 kPa
σh,i(B) = (274.3+441.4) kPa = 715.7 kPa
Svolgimento:
p.c.
Dopo l’erosione
Si determina la tensione
totale
verticale
in
corrispondenza dei punti Dopo l’erosione
A e B:
σv,f(A) = γsat x (zA ‐d)= 19.8 x (30‐25) kPa = 99 kPa
d = 25 m
zA = 30 m
A
< σv,i (A)
σv,f(B) = γsat x (zB ‐d)= 19.8 x (50‐25) kPa = 495 kPa < σv,i (B)
la pressione interstiziale:
uf(A) = γwx(zA‐d) = 9.81kN/m3 x (30‐25) m = 49.1 kPa
< ui(A)
uf(B) = γwx(zB‐d) = 9.81kN/m3 x (50‐25) m = 245.1 kPa
< ui(B)
e la tensione efficace verticale:
σ’v,f(A) = σv,f(A) ‐ uf(A) = (99‐49.1) kPa = 49.9 kPa
< σ’v,i (A)
σ’v,f(B) = (495‐245.1) kPa = 249.9 kPa
< σ’v,i (B)
B
50 m =
zB
Svolgimento:
Il terreno è ora sovraconsolidato nei punti A e B, con grado di
sovraconsolidazione:
OCR(A) = 348.8/49.9 = 7
OCR =
σ’ p
σ’ v0
σ’v,i
=
=
σ’v,f
OCR(B) = 548.6/249.9 = 2.2
N.B. Il grado di sovraconsolidazione, determinato dall’erosione, decresce
all’aumentare della profondità.
Il coefficiente di spinta a riposo, essendo il terreno sovraconsolidato, risulta :
K0(OC)A = 0.5x70.5 = 1.32
σ’h > σ’v
K0(OC)B = 0.5x2.20.5 = 0.74
σ’h < σ’v
K0 (OC) = K0 (NC)· OCR α =
dove α è stato assunto pari a 0.5.
Svolgimento:
La tensione efficace orizzontale risulta quindi:
σ’h,f(A) = K0(OC) x σ’v,f(A) = 1.32x49.9 kPa = 65.9 kPa
< σ’h,i (A)
σ’h,f(B) = K0(OC) x σ’v,f(B) = 0.74x249.9 kPa = 184.9 kPa < σ’h,i (B)
e la tensione totale orizzontale:
< σh,i (A)
σh,f(Α) = σ’h,f(A) + uf(A) = (65.9 + 49.1) kPa = 115 kPa
σh,f(B) = (184.9+245.1) kPa = 430 kPa
< σh,i (B)
OSS 1. L’erosione ha comportato una riduzione delle tensioni efficaci verticali
e orizzontali e quindi una diminuzione della resistenza del terreno, gli effetti
della sovraconsolidazione si attenuano con la profondità.
N.B. La riduzione delle tensioni efficaci verticali
(e orizzontali), e la
conseguente sovraconsolidazione del terreno, può anche essere determinata da
un innalzamento del livello di falda (sovraconsolidazione meccanica).
Esercizio 4
Un deposito orizzontale omogeneo di argilla satura (γsat = 20 kN/m3) è soggetto ad
una periodica oscillazione del livello di falda tra le profondità zw1 = 2 m e zw2= 6 m.
Calcolare e tracciare il profilo del grado di sovraconsolidazione fino alla
profondità di 20m dal p.c. quando la falda è alla profondità zw1. Si assuma γw = 10
kN/m3.
Dati:
Profondità minima della falda rispetto al p.c. (zw,1) = 2m
Profondità massima della falda rispetto al p.c. (zw,2) = 6m
p.c.
Peso di volume saturo (γsat) = 20 kN/m3
zw,1
γsat
Peso specifico dell’acqua (γw) = 10 kN/m3
γsat
zw,2
Il peso di volume del terreno sopra e sotto falda si assume uguale e pari a quello
saturo.
Svolgimento:
Calcolare e tracciare il profilo del grado di sovraconsolidazione fino alla
profondità di 20m da p.c. quando la falda è alla profondità zw1. Si assuma γw = 10
kN/m3.
Il terreno, per effetto dell’innalzamento della falda, e della conseguente
riduzione delle tensioni efficaci, diventa sovraconsolidato ed il massimo grado
di sovraconsolidazione viene raggiunto all’interno del deposito, alle varie
profondità, quando la falda raggiunge la profondità minima dal p.c. (zw1).
Mentre il valore massimo raggiunto dalle tensioni efficaci verticali, corrisponde
alla profondità massima della falda (zw2).In particolare:
per 0 < z≤ zw1
il terreno non risente della oscillazione della falda, ed è quindi NC, ovvero:
OCR = 1
Svolgimento:
per zw1 < z ≤ zw2
la tensione efficace verticale, in un generico punto a profondità z, quando la
falda si trova a profondità zw dal p.c. (con zw1 < zw < zw2) risulta:
σ’v(z) = σv(z) ‐ u(z) = (γsat· z)‐ γw ·(z‐zw) = 20 z ‐ 10(z‐zw) = 10z+10zw per z > zw
per z ≤ zw
= γsat· z = 20 z
la tensione efficace verticale attuale, per zw = zw1, è:
σ’v,0(z) = 10z+20
la tensione efficace verticale massima viene raggiunta per zw = zw2, è:
σ’v,p(z) = 20 z
Il grado di sovraconsolidazione è quindi:
OCR =
σ’v,p
σ’ v0
= 20 z/(10z+20)
p.c.
z
zw
zw,1
zw,2
Svolgimento:
per z > zw2
la tensione efficace verticale, in un generico punto a profondità z, quando la
falda si trova a profondità zw dal p.c. (con zw1 < zw < zw2) risulta:
σ’v(z) = σv(z) ‐ u(z) = (γsat· z)‐ γw ·(z‐zw) = 20 z ‐ 10·(z‐zw) = 10z+10zw
la tensione efficace verticale attuale, per zw = zw1, è:
σ’v,0(z) = 10z+20
la tensione efficace verticale massima viene raggiunta per zw = zw2, è:
σ’v,p(z) = 10 z + 60
Il grado di sovraconsolidazione è quindi:
p.c.
σ’ v,p
OCR =
= (10z+60)/(10z+20)
σ’ v0
zw
z
zw,1
zw,2
Svolgimento:
OCR [‐]
In definitiva risulta che:
OCR(z) =
0.0
1
per 0 < z≤ zw1
20 z/(10z+20)
per zw1 < z ≤ zw2
0
(10z+60)/(10z+20) per z > zw2
z(m)
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
14
16
18
20
5
OCR(‐)
1.00
1.00
1.20
1.33
1.43
1.50
1.44
1.40
1.36
1.33
1.29
1.25
1.22
1.20
1.18
10
15
20
25
0.5
zw1
z w2
1.0
1.5
2.0

effetto della capillarita` distribuzione delle tensioni nel terreno

Transcript

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