C.d.L. in Produzioni animali e controllo della fauna selvatica

C.d.L. in Produzioni animali e controllo della fauna selvatica
Matematica
23. 10. 2013
1. Le scale di temperatura Celsius, Kelvin e Fahrenheit sono scale lineari tali che
0 K = −273.15◦ C (zero assoluto), 0◦ C = 32◦ F = 273.15 K e 100◦ C = 212◦ F.
(a) Se TC , TK , TF indicano la temperatura nelle scale Celsius, Kelvin e Fahrenheit rispettivamente, scrivere la funzione TF = fF C (TC ) che traduce gradi
Celsius in gradi Fahrenheit, la funzione TC = fCK (TK ) che traduce kelvin
in gradi Celsius e specificare il dominio di queste funzioni.
Il grafico di fF C è una retta passante per i punti (0, 32) e (100, 212). Ne
segue: TF = fF C (TC ) = 212−32
T + 32 = 59 TC + 32, dominio: TC ≥
100−0 C
−273.15.
Il grafico di fCK è una retta passante per i punti (0, −273.15) e (273.15, 0).
Ne segue: TC = fCK (TK ) = TK − 273.15, dominio: TK ≥ 0.
(b) Tra i punti (0, 273.15) e (273.15, 0), quale appartiene al grafico di fCK ?
solo il secondo
(c) Qual è la funzione inversa di fF C e qual è il suo dominio?
fF−1C (TF ) = TC = 59 TF − 32, dominio: TF ≥ − 59 × 273.15 + 32 = −459.67
(d) Scrivere la funzione composta fF K := fF C ◦ fCK .
fF K = TF = 59 (TK − 273.15) + 32 = 59 TK − 459.67, dominio: TK ≥ 0
(e) Disegnare nello stesso sistema di riferimento i grafici di fCK e fF K .
600
200
0
-200
o
C (blu)/
o
F (rosso)
400
-400
-600
-100 0
100 200 300 400 500 600
K
(f) Per quale temperatura i valori delle scale Celsius e Fahrenheit coincidono?
TF = fF C (TC ) = TC =: T ⇒ T = 59 T + 32 ⇒ T = −40
2
2. Determinare il dominio della funzione f (x) = x 3 − 1 . Dire se la funzione
è pari o dispari. Per quali valori di x il grafico della funzione si trova nel
III quadrante?
√
f√
(x) = ( 3 x)2 − 1, x ∈ R,√pari, (x, f (x)) ∈ III √
quadrante ⇔ x < 0, f (x) =
2
2
3
3
( x) − 1 < 0 ⇔ x < 0 e ( x) < 1 ⇔ x < 0 e | 3 x| < 1 ⇔ −1 < x < 0
2
3. Disegnare il grafico della funzione g(x) = x 3 (x > 0) in scala logaritmica
(su entrambi gli assi). È ragionevole rappresentare f (x) = g(x) − 1 in scala
logaritmica? log g(x) = 32 log x, cioè log g(x) è proporzionale a log x e quindi
2
la sua rappresentazione logaritmica è una retta; log f (x) = log(x 3 − 1) non si
semplifica, la rappresentazione logaritmica non è consigliabile
12
10
8
y
6
4
2
0
-2
-5
0
5
10
15
20
25
30
x
101
y
100
10-1
10-2
10-2
10-1
100
x
101
102
4. Il cesio isotopo 137 Cs perde annualmente il 2,3 % della sua massa per disintegrazione radioattiva. Il decadimento radioattivo è esponenziale, cioè il numero
N (t) di atomi residui al tempo t può essere valutato in rapporto al numero N0
di atomi radioattivi iniziali tramite la formula
N (t) = N0 e−λt .
(a) Trovare la costante di decadimento λ (unità di misura?) per il
N (1 anno) = N0 e−λ·1 anno = N0 − 0, 023N0 , da cui si ricava
λ=−
ln(0, 977)
= 0, 023 anno−1
anno
2
137
Cs.
(b) Qual è la relazione tra il tempo di dimezzamento T1/2 e λ? Calcolare il
ln(2)
tempo di dimezzamento di 137 Cs. T1/2 =
= 30 anni
λ
(c) Dopo quanti anni la radioattività del 137 Cs si riduce a 1%?
ln(100)
0, 01N0 = N0 e−λt , da cui t =
= 200 anni.
λ
Altro metodo: dopo 7 tempi di dimezzamento, ossia 210 anni, la radiaoattività si riduce a 1/27 = 1/128 ≈ 1%
5. Il cesio isotopo
134
Cs ha un tempo di dimezzamento di 2 anni. Calcolare la
ln(2)
costante di decadimento λ per il 134 Cs. λ =
= 0, 35 anno−1
T1/2
6. Siano a, b, c ∈ R costanti positive (e = 2, 7 . . .). Trovare i limite delle seguenti
funzioni per t → +∞:
a
(funzione logistica di crescita),
1 + be−ct
da lim e−t = 0 segue che lim f (t) = a
t→+∞
t→+∞
(
)
b−a
(b) f (t) = a 1 +
(funzione della cinetica chimica).
a − bec(b−a)t
(a) f (t) =
Suggerimento: distinguere i casi a > b, a = b e a < b.
se a > b ⇒ b − a < 0 ⇒ limt→+∞ bec(b−a)t = 0
(
⇒ limt→+∞ f (t) = a 1 +
b−a
a
)
= b;
se a = b, la f di sopra non è definita;
se a < b ⇒ b − a > 0 ⇒ lim bec(b−a)t = +∞ ⇒ lim f (t) = a(1 + 0) = a
t→+∞
t→+∞
3