Problema 6 - Altervista

Problema 6
Un’industria specializzata produce due tipi di cassonetti A e B per la raccolta differenziata dei
rifiuti. Le macchine utilizzate per la produzione non possono produrre giornalmente più di 40
cassonetti del tipo A e 35 del tipo B. Per problemi di magazzinaggio non si possono produrre
complessivamente pi di 60 cassonetti al giorno. L’industria vende i cassonetti del tipo A a 500 e
l’uno e quelli del tipo B a 600 e l’uno. Determinare quanti cassonetti del tipo A e quanti del tipo
B l’industria deve produrre per ottenere il massimo ricavo e l’ammontare di tale ricavo.
Ripetere lo stesso problema nel caso in cui entrambi i tipi di cassonetto siano venduti a 600 e
l’uno.
*
*
x = numero di cassonetti di tipo A
y = numero di cassonetti di tipo B
f (x, y) = 500x + 600y da massimizzare
Vincoli:

 x + y ≤ 60 → y ≤ −x + 60
0 ≤ x ≤ 40

0 ≤ y ≤ 35
Retta guida del fascio: 500x + 600y = 0 → y = − 56 x
Dal grafico si ricava che B è il punto di massimo cercato.
x + y = 60
x = 25
B:
→
y = 35
y = 35
Ricavo massimo = f (25, 35) = 500 · 25 + 600 · 35 = 33500 e .
*
Nel caso in cui entrambi i tipi di cassonetto siano venduti a 600 e si ha:
f (x, y) = 600x + 600y da massimizzare
Vincoli: come nel caso precedente.
Retta guida del fascio: 600x + 600y = 0 → y = −x, parallela alla retta y = −x + 60
Tutte le soluzioni (con x e y interi) che appartengono al segmento BC sono soluzioni ottime:
(25, 35); (26, 34); (27, 33); . . . ; (39, 21); (40, 20).
Il ricavo massimo (evidentemente uguale per tutte le soluzioni) è dato da 60 · 600 = 36000 e .
Problema 7
Un mobilificio produce due modelli di sedia S1 e S2 utilizzando due macchine M1 e M2 . Ogni sedia
S1 richiede 3 minuti di lavorazione con la macchina M1 e 6 minuti con la macchina M2 ; ogni sedia
S2 richiede 7 minuti e mezzo con la macchina M1 e 3 minuti con la macchina M2 . La disponibilità
giornaliera della macchina M1 è di 6 ore e mezza; la disponibilità della macchina M2 è di 5 ore. Le
sedie S1 sono vendute a 62 e l’una e le sedie S2 a 50 e l’una. Determinare quante sedie di ciascun
modello è più conveniente produrre per ottenere il massimo ricavo giornaliero.
Ripetere lo stesso problema supponendo che le sedie S2 richiedano 8 minuti di lavorazione con la
macchina M1 (anzich 7 minuti e mezzo).
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x = numero di sedie di tipo S1
y = numero di sedie di tipo S2
f (x, y) = 62x + 50y da massimizzare
Vincoli:

 3x + 7.5y ≤ 390 → y ≤ −0.4x + 52
6x + 3y ≤ 300 → y ≤ −2x + 100

x≥0 ; y≥0
Retta guida del fascio: 62x + 50y = 0 → y = −1.24x
Dal grafico si ricava che A è il punto di massimo cercato.
3x + 7.5y = 390
x = 30
A:
→
6x + 3y = 300
y = 40
Ricavo massimo = f (30, 40) = 62 · 30 + 50 · 40 = 3860 e .
*
Nel secondo caso si ha:
f (x, y) = 62x + 50y da massimizzare (identica al caso precedente)
Vincoli:

 3x + 8y ≤ 390 → y ≤ −0.375x + 48.75
6x + 3y ≤ 300 → y ≤ −2x + 100

x≥0 ; y≥0
Retta guida del fascio: 62x + 50y = 0 → y = −1.24x (identica al caso precedente)
Dal grafico si ricava che A è ancora il punto di massimo


 x=
3x + 8y = 390
A:
→
6x + 3y = 300

 y=
cercato.
410
= 31.54
13
480
= 36.92
13
Dal momento che possono essere accettate soltanto soluzioni intere, si considera come prima
soluzione anzitutto il punto F (31, 36) che sicuramente appartiene alla regione ammissibile. Occorre
quindi verificare se eventualmente anche i punti “vicini” E(31, 37) e/o G(32, 36) appartengano o
meno alla regione stessa. In caso affermativo, occorre infine verificare a quale punto corrisponda
effettivamente il valore massimo della funzione obiettivo.
Verifica sui vincoli per E(31, 37):
3 · 31 + 8 · 37 = 389 < 390
6 · 31 + 3 · 37 = 297 < 300
Verifica sui vincoli per F (32, 36):
3 · 32 + 8 · 36 = 384 < 390
6 · 32 + 3 · 36 = 300
→ E(31, 37) appartiene alla regione ammissibile
→ F (32, 36) appartiene alla regione ammissibile
f (31, 37) = 62 · 31 + 50 · 37 = 3772
f (32, 36) = 62 · 32 + 50 · 36 = 3784.
La produzione corrispondente al ricavo massimo è pertanto data da 32 sedie di tipo S1 e 36
sedie di tipo S2 , per un ricavo complessivo di 3784 e .
Problema 8
Un agricoltore deve preparare giornalmente 120 Kg di mangime per i suoi animali, che deve contenere almeno 28.8 Kg di mais e 37.8 Kg di grano. Presso una cooperativa trova in vendita tre
diversi prodotti base adatti alla preparazione. Il primo contiene il 32 % di mais e il 30 % di grano,
il secondo contiene il 20 % di mais e il 39 % di grano, il terzo contiene il 16 % di mais e il 24 % di
grano. Sapendo che il costo del primo prodotto è di 3.5 e al Kg, il costo del secondo è di 3.2 e al
Kg ed il costo del terzo è di 3 e al Kg, determinare la quantità ottimale dei prodotti da usare nel
miscuglio per ottenere il minimo costo.
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x = numero di Kg del primo prodotto
y = numero di Kg del secondo prodotto
z = numero di Kg del terzo prodotto
f (x, y, z) = 3.5x + 3.2y + 3z da minimizzare
Vincoli:

x + y + z = 120



0.32x + 0.20y + 0.16z ≥ 28.8
0.30x + 0.39y + 0.24z ≥ 37.8



x≥0 ; y≥0 ; z≥0
→
→
→
→
z = 120 − x − y
0.32x + 0.20y + 0.16(120 − x − y) ≥ 28.8
0.30x + 0.39y + 0.24(120 − x − y) ≥ 37.8
x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 120 − x − y ≥ 0
min(3.5x + 3.2y + 3z) → min(3.5x + 3.2y + 3(120 − x − y)
Il problema, ricondotto in due variabili mediante la sostituzione z = 120 − x − y, risulta quindi
descritto nel modo seguente:
min(0.5x + 0.2y)

0.16x + 0.04y ≥ 9.6



0.06x + 0.15y ≥ 9
120 − x − y ≥ 0



x≥0 ; y≥0
→ 4x + y ≥ 240 → y ≥ −4x + 240
→ 2x + 5y ≥ 300 → y ≥ −0.4x + 60
→ y ≤ −x + 120
Retta guida del fascio: 0.5x + 0.2y = 0 → y = −2.5x
Dal grafico si ricava che A è il punto di minimo cercato.
4x + y = 240
x = 50
A:
→
2x + 5y = 300
y = 40
Si ha poi z = 120 − x − y = 30.
Costo minimo = f (50, 40, 30) = 3.5 · 50 + 3.2 · 40 + 3 · 30 = 393 e .
Problema 9
Un’azienda produce fogli di carta che rivende in pacchi contenenti 10000 fogli ciascuno. Giornalmente sostiene le seguenti spese di produzione:
• spese fisse pari a 800 e ;
• spese variabili, per ogni pacco prodotto, stimate pari a 20 e se la produzione è inferiore o
uguale a 24 pacchi, altrimenti 15 e .
Il prezzo unitario p di vendita varia, al crescere del numero x di pacchi venduti, secondo la legge
p(x) = 104 − 2x.
Determinare quanti pacchi occorre produrre e vendere giornalmente per non essere in perdita.
Determinare poi quanti pacchi conviene produrre e vendere giornalmente per realizzare il massimo
utile ed il relativo importo.
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x = numero di pacchi prodotti e venduti giornalmente
(
C(x) =
800 + 20x
800 + 15x
se 0 ≤ x ≤ 24
se x > 24
R(x) = p · x = (104 − 2x) · x = −2x2 + 104x
(
−2x2 + 84x − 800
U (x) = R(x) − C(x) =
−2x2 + 89x − 800
se 0 ≤ x ≤ 24
se x > 24
Parabola 1:
Asse: x = 21;
yV = −2 · 212 + 84 · 21 − 800 = 82
Intersezioni con l’asse x: A(14.6; 0) e B(27.4; 0).
Parabola 2:
Asse: x = 22.25;
yV = −2 · 22.252 + 89 · 22.25 − 800 = 190.125
Intersezioni con l’asse x: D(12.5; 0) e E(32; 0).
(parabola 1)
(parabola 2)
Dal momento che possono essere accettati soltanto i valori interi di x, dal grafico si ricava quanto
segue:
• per non essere in perdita la produzione giornaliera dovrà essere compresa tra 15 e 32 pacchi;
• il massimo utile (corrispondente al punto M sulla parabola 2) si ha per una produzione
giornaliera di 25 pacchi, con Umax = −2 · 252 + 89 · 25 − 800 = 175 e .