calcolare il volume di una piramide

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I poliedri
diagonale
DEFINIZIONE. Un poliedro è la parte di spazio delimitata da
poligoni posti su piani diversi in modo tale che ogni lato sia
comune a due di essi.
vertice
 I poligoni che delimitano il poliedro si dicono facce.
spigolo
faccia
 I vertici e i lati di ogni poligono vengono detti rispettivamente vertici e spigoli del poliedro.
 I segmenti che uniscono due vertici opposti non appartenenti alla stessa faccia si dicono
diagonali.
Area 2 - Capitolo 2 - PAG. 90
1
1
I poliedri
 Un poliedro si dice convesso se il piano di ogni faccia non interseca il poliedro;
 si dice concavo se il piano di qualche faccia interseca il poliedro.
Poliedro convesso
Poliedro concavo
2
1
La relazione di Eulero
Consideriamo i seguenti poliedri e contiamo, per ognuno, il numero di facce, vertici e spigoli.
f = 6, v = 8, s = 12
f = 4, v = 4, s = 6
f = 8, v = 12, s = 18
Possiamo notare che in ogni poliedro convesso il numero delle facce sommato al numero dei vertici
è uguale al numero degli spigoli aumentato di due:
f v  s  2
Pertanto possiamo enunciare il seguente:
TEOREMA. In ogni poliedro convesso la somma del numero delle facce e del numero dei vertici è
uguale al numero degli spigoli
aumentato di due.
3
1
Lo sviluppo di un poliedro su un piano
DEFINIZIONE. Lo sviluppo di un solido è la rappresentazione di tutte le sue facce su un piano.
A seconda di come vengono effettuati i tagli lungo gli spigoli si ottengono
diversi sviluppi nel piano. Nelle figure seguenti abbiamo rappresentato lo
sviluppo di un parallelepipedo.
4
2
I prismi
DEFINIZIONE. Il prisma è un poliedro costituito da due poligoni
congruenti posti su due piani paralleli e con i lati corrispondenti paralleli,
e da tanti parallelogrammi quanti sono i lati di ciascuno dei due poligoni.
In un prisma è possibile distinguere i
seguenti elementi:
base
altezza
spigolo
laterale
base
spigolo di base
5
2
I prismi
DEFINIZIONE. Un prisma è retto se gli spigoli laterali sono
perpendicolari ai piani delle basi.
DEFINIZIONE. Un prisma è regolare se è retto e se ha come
basi due poligoni regolari.
6
2
La superficie laterale e totale dei prismi retti
REGOLA. L’area della superficie laterale del prisma retto è
uguale al prodotto del perimetro di base per la misura
dell’altezza del prisma:
Al  2p  h
Da questa
formula possiamo ottenere le due formule inverse:
A
2p  l
h

h

Al
2p
7
2
La superficie laterale e totale dei prismi retti
REGOLA. L’area della superficie totale del prisma retto si ottiene addizionando all’area della
superficie laterale il doppio dell’area di una base:
At  Al  2 Ab
Da questa formula possiamo
ottenere le due formule inverse:
At  Al
Ab 
2
Al  At  2  Ab


8
3
Il parallelepipedo
DEFINIZIONE. Un prisma che ha come basi due parallelogrammi è detto parallelepipedo.
DEFINIZIONE. Il parallelepipedo rettangolo è un
parallelepipedo retto che ha come basi due rettangoli;
le sue facce sono a due a due congruenti.
In ogni parallelepipedo distinguiamo:
 le facce opposte, quelle che non hanno spigoli in comune, ad esempio le facce ABCD e A’B’C’D’;
 i vertici opposti, quelli che non appartengono alla stessa faccia, ad esempio D e B’;
 le diagonali, quei segmenti che uniscono due vertici opposti, ad esempio DB’.
9
3
Il parallelepipedo
L’area della superficie del parallelepipedo rettangolo
Poiché il parallelepipedo rettangolo è un prisma retto, possiamo
calcolare l’area della superficie laterale e totale con le seguenti
formule:
Al  2p  h
At  Al  2 Ab
Avremo inoltre le seguenti formule inverse:

Al
2p 
h

A
h l
2p
Al  At  2  Ab
At  Al
Ab 
2
Indicando con a, b, c, le tre dimensioni del parallelepipedo rettangolo possiamo anche scrivere:
Al  2  a 
c  b  c

At  2 a 
b  a  c  b  c
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3
Il parallelepipedo
La diagonale del parallelepipedo rettangolo
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo ABD avremo:
2
BD  a2  b2
Applicando lo stesso teorema al triangolo BB’D avremo:

2
d  BD  c 2
Quindi possiamo scrivere
2
d 2  a2  b2  c 2
ed estraendo la radice quadrata otteniamo la seguente:
 La misura della diagonale di un parallelepipedo rettangolo è uguale alla radice
REGOLA.
quadrata della somma dei quadrati delle misure delle sue tre dimensioni; in simboli:

d  a2  b2  c 2
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3
Il cubo
DEFINIZIONE. Il cubo è un parallelepipedo rettangolo avente le tre
dimensioni congruenti e quindi le sue facce sono sei quadrati
congruenti.
In ogni cubo distinguiamo:
 gli spigoli, tutti congruenti al lato l di una faccia;
 le facce, tutte quadrate e congruenti tra loro;
 le diagonali, quei segmenti che uniscono due vertici opposti come ad esempio AC’.
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3
Il cubo
L’area della superficie del cubo
REGOLA. L’area della superficie laterale di un cubo è uguale a
quattro volte l’area di una faccia:
Da questa formula si può
ricavare la formula inversa:
Al  4  l 2

REGOLA. L’area della superficie totale di un cubo è uguale a
sei volte l’area di una faccia:
At  6  l 2

l 

Al
4
Da questa formula si può
ricavare la formula inversa:
At
l 
6
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3
Il cubo
La diagonale del cubo
La misura della diagonale di un cubo si calcola mediante la
formula utilizzata per il calcolo della diagonale di un
parallelepipedo:
d  l 2 l 2 l 2 l  3
REGOLA. La misura della diagonale di un cubo è uguale al prodotto della misura dello spigolo per
√3; in simboli:

dl  3
 si può ricavare la formula inversa:

Da questa formula
d  l 1,732
l 
d
3
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4
La piramide
DEFINIZIONE. La piramide è la parte di angoloide compresa fra
una sua sezione piana e il vertice.
Facendo riferimento alla figura a lato, in ogni piramide, distinguiamo:
 la base, rappresentata dal poligono ABCD;
 le facce laterali rappresentate dai triangoli VAB, VBC, VCD e VDA;
 l’altezza VH rappresentata dalla distanza fra il vertice e il piano della base;
 gli spigoli di base e laterali costituiti rispettivamente dai lati della base ABCD e dai segmenti che
uniscono il vertice della piramide con i vertici di base.
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4
La piramide
DEFINIZIONE. Una piramide si dice retta se nella base si può
iscrivere una circonferenza e il piede dell’altezza coincide con il
centro di questa circonferenza. Il raggio della circonferenza è detto
anche apotema di base.
DEFINIZIONE. Una piramide si dice regolare se è retta e se ha
come base un poligono regolare.
DEFINIZIONE. L’apotema di una piramide retta è l’altezza di uno
qualunque dei triangoli che costituiscono le facce laterali.
Essendo l’altezza della piramide perpendicolare alla base, facendo
riferimento agli elementi della figura a lato, si può applicare il
teorema di Pitagora al triangolo rettangolo VOM ottenendo le
seguenti relazioni:
a  h2  r 2
h  a2  r 2
r  a2  h2
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4
La piramide
L’area della superficie della piramide
L’area della superficie laterale è data dalla
somma delle aree dei triangoli che formano
le facce laterali.
REGOLA. L’area della superficie laterale della piramide retta è uguale al prodotto del
semiperimetro di base per la misura dell’apotema della piramide; in simboli:
Al  p  a
Dalla formula precedente ricaviamo
le seguenti formule inverse: 
A
p l
a
a
Al
p
17
4
La piramide
REGOLA. L’area della superficie totale della piramide si ottiene addizionando l’area della
superficie laterale con l’area di base:
At  Al  Ab
Dalla formula precedente ricaviamo le seguenti formule inverse:

Al  At  Ab
Ab  At  Al
ATTENZIONE: Se la piramide non è retta, l’area della superficie laterale si calcola effettuando la

somma 
delle aree delle singole facce con l’avvertenza
che gli apotemi di ciascuna faccia differiscono
tra loro in base alla lunghezza dello spigolo di base cui si riferiscono.
18
5
I poliedri regolari
DEFINIZIONE. Un poliedro si dice regolare se tutte le sue facce sono poligoni regolari congruenti
fra di loro e se i suoi diedri e i suoi angoloidi sono congruenti tra di loro.
L’area della superficie dei poliedri regolari
Poiché le facce sono poligoni regolari, possiamo calcolare le loro aree moltiplicando il quadrato della
misura del lato per il numero fisso φ, caratteristico di ogni poligono regolare:
l  A:
A  l 2 


19
5
I poliedri regolari
At  4  l 2  0,433  l 2 1,732
Tetraedro
Cubo o
Esaedro
Ottaedro
Dodecaedro
Icosaedro




At  6  l 2
At  8  l 2  0,433  l 2  3,464
At  12 l 2 1,720  l 2  20,64
At  20  l 2  0,433  l 2  8,66
20
6
Solidi equivalenti
DEFINIZIONE. Il volume di un corpo consiste nella parte di spazio che il corpo occupa.
DEFINIZIONE. Due solidi si dicono equivalenti se hanno lo stesso
volume.
PROPRIETÀ.
 Solidi scomponibili
equivalenti;
in
solidi
rispettivamente
congruenti
sono
 solidi che sono somma di solidi rispettivamente congruenti sono
equivalenti;
 solidi che sono differenza di solidi rispettivamente congruenti sono
equivalenti;
 solidi che sono somma di solidi rispettivamente equivalenti sono
equivalenti;
 solidi che sono differenza di solidi rispettivamente equivalenti sono
equivalenti.
21
7
Il volume dei poliedri
DEFINIZIONE. Misurare il volume di un solido significa confrontarlo con un altro solido scelto
come unità di misura e stabilire quanto volte quest’ultimo è contenuto nel primo.
UNITÀ DI MISURA. Come unità di misura del volume dei solidi assumeremo un cubo con lo spigolo
di 1 metro, cioè il metro cubo o un suo multiplo o sottomultiplo.
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7
Il volume del parallelepipedo rettangolo
Indicando con a, b, c le misure delle tre dimensioni di un
parallelepipedo rettangolo, possiamo enunciare la seguente:
REGOLA. Il volume del parallelepipedo rettangolo si ottiene
eseguendo il prodotto delle sue tre dimensioni:
V  a bc
Sostituendo nella formula precedente Ab al posto di ab che
rappresenta l’area di base, e h al posto di c, che rappresenta l’altezza,
otteniamo: 
V  Ab  h
V
Ab 
h
h
V
Ab
REGOLA. Il volume del parallelepipedo rettangolo si ottiene moltiplicando l’area di base per la
misura
 dell’altezza ad essa relativa.


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7
Il volume del prisma retto
REGOLA. Il volume del prisma retto si ottiene moltiplicando l’area di
base per la misura dell’altezza:
V  Ab  h
Dalla formula precedente si ricavano le formule inverse:

V
h
Ab


Ab 
V
h
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7
Il volume del cubo
REGOLA. Il volume del cubo si ottiene elevando alla terza potenza la
misura del suo spigolo. In simboli:
V l3

Dalla formula precedente si ricava la formula inversa:
l  3V

25
7
Il volume della piramide
PROPRIETÀ. La piramide è equivalente alla terza parte di un prisma
avente la stessa area di base e l’altezza congruente all’altezza della
piramide.
Di conseguenza:
REGOLA. Il volume della piramide è uguale a un terzo del prodotto
dell’area di base per la misura dell’altezza. In simboli:
V
Ab  h
3
Dalla formula precedente
ricaviamo le inverse:

3 V
Ab 
h
h
3 V
Ab
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7
Il volume dei poliedri regolari
REGOLA. Il volume di un poliedro regolare è uguale al prodotto del cubo della misura dello
spigolo per il numero fisso caratteristico di ogni poliedro regolare. In simboli:
V  l 3 n

Dalla formula precedente ricaviamo la formula inversa:
l 3
V
n
I numeri fissi n dei cinque poliedri regolari sono:
Tetraedro regolare
n = 0,118
Cubo o esaedro regolare
n
=1
Ottaedro regolare
n = 0,471
Dodecaedro regolare
n = 7,663
Icosaedro regolare
n = 2,182
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Il peso specifico
DEFINIZIONE. Per ogni sostanza, il rapporto tra il peso e il volume è costante e prende il nome di
peso specifico. In simboli:
Ps 
P
V
Dalla formula precedente ricaviamo le formule inverse:

P  V  Ps
V
P
Ps
Nell’applicare queste formule bisogna inoltre considerare che:

 se il volume è espresso in cm3, il peso è espresso
 in g e viceversa;
 se il volume è espresso in dm3, il peso è espresso in kg e viceversa;
 se il volume è espresso in m3, il peso è espresso in Mg (tonnellate) e viceversa.
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