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POLITECNICO DI MILANO
Facoltà di Ingegneria Industriale
Corso di Laurea in
Ingegneria Aeronautica
Riduzione di resistenza in flussi turbolenti di parete:
confronto tra esperimenti e simulazione numerica diretta.
Relatore:
Prof. Maurizio QUADRIO
Tesi di Laurea di:
Martina BIGGI
Anno Accademico 2011 - 2012
Matr. 765290
II
III
There comes a time when you have to choose
between turning the page and closing the book.
Josh Jameson
Ai miei nonni, che hanno saputo indicarmi cosa è importante. Ai miei genitori, che
hanno saputo insegnarmelo.
IV
Ringraziamenti
Friendship isn't about whom you have known
the longest... It's about who came, and never
left your side...
Unknown
Sebbene qualcuno che leggerà queste pagine non creda nell'ecacia del
dire grazie, io ci credo. Credo che, ad un certo punto della vita, del rapporto
con le persone che ti stanno accanto, sia importante dir loro grazie, semplicemente e sinceramente. Non ci deve essere un motivo per forza, solo che
arriva un momento in cui non ce la fai più a trattenere nel cuore la gratitudine, il rispetto, l'amore per quelle persone che hanno fatto tanto per te.
Qui, in queste pagine, colgo solo l'occasione per dire grazie a tutti coloro che
mi hanno aiutata, con il loro aetto, la loro forza e il loro amore, ad arrivare
no a questo traguardo così importante.
Le prime persone che ringrazio sono i miei nonni, i miei genitori e mia
sorella, perchè senza di voi proprio non ci sarei e non sarei la persona che
sono diventata, con mille difetti ma che vi vuole bene con tutta se stessa.
Un enorme grazie ad Elena, per i 18 anni di amicizia, per essere cresciuta
con me e per non avermi mai molltata; e a Laura, la mia Lauretta, una
piccola perla piena di gioia, di allegria, di voglia di condividere, che più di
una volta mi ha migliorato una giornata; ad Alessandro, il miglior vicino di
banco di sempre, ma anche un amico speciale, la mia ancora di salvezza in
ogni giorno dicile; a Mirko, il mio miglior amico, il mio sostegno personale
nei momenti dicili, la mia fonte inesauribile di risate e di gioia di vivere;
ad Andrea, compagno di viaggio, sempre disponibile a dare una mano; alla
Michy che è stata la prima persona che ho conosciuto all'università e che mi
ha accompagnata in questa avventura ogni giorno; a Samuele, da me detto
Happy, che ha saputo ascoltarmi sempre ed infondermi un po' della sua
meravigliosa felicità e voglia di vivere che è la sua forza e la sua grandezza;
a Domenico che negli ultimi sei mesi è diventato molto più che un semplice
collega e compagno di tesi, è diventato il povero Dome!, è diventato un amico
V
VI
capace darmi la forza di andare avanti anche nei momenti più dicili e un
compagno in questo viaggio dicile che è stato la tesi; e poi ad Enrico, Ilaria,
Maury, Luca, Susanna e tutti gli altri che in questi anni di Poli mi hanno
accompagnata ogni giorno con il loro sorriso e la loro amicizia. Grazie ad
Abi e a Mario, coinquilini per cinque anni e amici da una vita intera.
Colgo l'occasione per ringraziare anche chi forse non avrà la possibilità
di leggere queste pagine: Anna, la ragazza speciale che è stata in grado di
dare il via al mio cambiamento e che mi ha, per prima, aperto gli occhi su
me stessa; ed Ezio, con cui ho passato quattro splendidi anni, che ha saputo
sopportarmi e amarmi più di chiunque altro.
Un grazie sincero anche a tutti i miei professori che, negli anni, si sono
susseguiti, ma soprattutto grazie a quelli del liceo, Gianni, Fulvia, la prof.
Roncarolo, il prof. Casasso e tutti gli altri; forse non ricorderò le vostre
materie ma non dimenticherò mai i vostri insegnamenti e il vostro aetto.
Inne a Maurizio, professore, relatore e Insegnante, un grazie non basta
ma so che capirai, quindi solo questo: grazie per aver creduto in me.
Sommario
Un metodo attivo per la riduzione di resistenza d'attrito in ussi turbolenti di parete viene studiato tramite simulazione numerica diretta delle
equazioni di NavierStokes incomprimibili. In particolare la tecnica delle
onde viaggianti, introdotta recentemente (Quadrio et al., J. Fluid Mech.,
627, 2009) e oggi considerata come la più promettente tra le tecniche a ciclo aperto, viene applicata in un condotto cilindrico. L'obiettivo è quello di
confermare i risultati dell'unica realizzazione sperimentale esistente (Auteri
et al., Phys. Fluids, 22, 2010) di tali onde e di analizzare gli eetti della loro
discretizzazione spaziale.
I risultati riproducono molto bene l'esperimento e confermano l'importanza della discretizzazione. Per la prima volta la riduzione di resistenza di
attrito ottenibile con le onde viaggianti viene caratterizzata nella geometria
cilindrica. A Re = 5900 è possibile rilaminarizzare un usso turbolento con
un risparmio netto di energia del 60%: questo è, ad oggi, il miglior risultato
ottenuto da una tecnica di controllo per la riduzione d'attrito.
Parole chiave:
Riduzione di resistenza, onde viaggianti, usso turbolento,
coordinate cilindriche, DNS.
Abstract
An active method for skin friction drag reduction in a turbulent wall
ow is studied with the direct numerical simulation of the incompressible
NavierStokes equations. The travelling waves technique, recently introduced
(Quadrio et al., J. Fluid Mech., 627, 2009) and nowadays considered as one
of the most promising openloop strategy, is applied to a turbulent pipe ow.
The aim is to conrm the results of the only available laboratory experiment
(Auteri et al., Phys. Fluids, 22, 2010) and to analyze the eect of their
spatial discretization.
The results agree with the experiment and conrm the importance of discretization. For the rst time the drag reduction achievable by the travelling
waves is characterised in the cylindrical geometry. At Re = 5900 a turbulent
ow can be relaminarized, with a net energy savings of 60%. This is the best
result ever obtained by a ow control technique.
Keywords:
Drag reduction, travelling waves, turbulent ow, pipe ow,
Direct Numerical Simulation.
Indice
1 Introduzione
1
2 Tecniche di controllo attivo
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Parete oscillante . . . . . . . . . . .
Onde viaggianti trasversalmente . .
Forzamento spaziale . . . . . . . .
Onde viaggianti longitudinalmente
Flussi esterni . . . . . . . . . . . .
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. 6
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. 13
Riduzione di resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . .
Statistiche del usso turbolento . . . . . . . . . . . .
Strato di Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Problemi di Stokes . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Temporal Stokes Layer e Spatial Stokes Layer
3.3.3 Generalized Stokes Layer . . . . . . . . . . . .
Misura sperimentale della riduzione di resistenza . . .
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3 Onde viaggianti in un canale piano
3.1
3.2
3.3
3.4
4 Il codice CPL
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
Equazioni di governo . . . . . . . . . . . . . .
Condizione di regolarità . . . . . . . . . . . .
Costruzione della matrice del sistema . . . . .
Condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . .
Discretizzazione radiale . . . . . . . . . . . . .
Risoluzione spaziale nella direzione azimutale .
Integrazione nel tempo . . . . . . . . . . . . .
5 Onde viaggianti in un condotto cilindrico
5.1
5.2
5.3
5
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15
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39
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45
45
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49
Confronto con l'esperimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Campi di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Statistiche del usso turbolento . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
IX
X
INDICE
5.4
5.5
Strato generalizzato di Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Riduzione di resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6 Conclusioni e sviluppi futuri
87
A Formato dei le
89
Elenco delle gure
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Sistema di riferimento canale piano . . . . . . . . . . . . . .
Schema parete oscillante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modica prolo di velocità al variare della frequenza di oscillazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schema forzamento spaziale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Confronto modica prolo della velocità con TSL e con SSL.
Schema onda viaggiante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 8
. 10
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3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
Mappa riduzione di resistenza nel piano ω − κx . . . . . .
Mappa S(%) nel piano ω − κx . . . . . . . . . . . . . . . .
Dipendenza della DR e della S dall'ampiezza dell'onda. .
Istantanee campi di moto QRV09. . . . . . . . . . . . . .
Prolo medio della velocità longitudinale <u>. . . . . . .
Curve di livello della velocità trasversale <w>z,t . . . . . .
Componenti del tensore degli sforzi di Reynolds. . . . . .
Rappresentazione graca dei due problemi di Stokes. . .
Confronto δl+ − δt+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+
Spessore GSL laminare nel piano κ+
. . . . . . . .
x −ω
+
Riduzione di resistenza funzione di δ . . . . . . . . . . .
Approssimazione della sinusoide nell'esperimento . . . . .
Apparato sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Riduzione di resistenza sperimentale funzione di κ+ e ω +
Riduzione di resistenza per s = 3 e s = 6 funzione di ω+
Mappa di R̃l (ω, κx ; 3) e taglio per κ+
x = 0.0082. . . . . . .
Mappa di R̃nl (ω, κx ; 3) e taglio per κ+
x = 0.0082. . . . . .
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4.1
Sistema di riferimento coordinate cilindriche . . . . . . . . . . 40
5.1
5.2
5.3
Scelta del parametro di smussatura. . . . . . . . . . . . . . . . 51
Sinusoide discretizzata con s = 6 a due istanti dierenti. . . . 53
Confronto tra dati sperimentali e numerici per onde con s = 3. 54
XI
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33
35
36
XII
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
5.16
5.17
5.18
5.19
5.20
5.21
5.22
5.23
5.24
5.25
5.26
5.27
5.28
5.29
5.30
ELENCO DELLE FIGURE
Confronto tra risultati numerici per s = 3 e s = 6. . . . . . . .
Campi di moto e isosuperci λ2 = −2 con e senza controllo. .
Campi di moto per s = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Confronti campo di moto con riduzione e incremento di resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prolo di velocità longitudinale media <u>nel condotto cilindrico.
Confronti proli rms delle uttuazioni di velocità in funzione
della coordinata radiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Confronti proli rms delle uttuazioni di velocità in funzione
della coordinata radiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Componente <uu+ >θ,t degli sforzi di Reynolds. . . . . . . . . .
Componente <uu+ >θ,t degli sforzi di Reynolds. . . . . . . . . .
Componente <uu+ >θ,t degli sforzi di Reynolds mediata su λx
e adimensionalizzata con la rispettiva uτ . . . . . . . . . . . . .
Componente <uu+ >θ,t degli sforzi di Reynolds mediata su λx
e adimensionalizzata con la uτ di riferimento. . . . . . . . . . .
Componente <vv + >θ,t degli sforzi di Reynolds. . . . . . . . . .
Componente <vv + >θ,t degli sforzi di Reynolds. . . . . . . . . .
Componente <vv + >θ,t degli sforzi di Reynolds mediata su λx e
adimensionalizzata con la rispettiva uτ . . . . . . . . . . . . . .
Componente <vv + >θ,t degli sforzi di Reynolds mediata su λx e
adimensionalizzata con la uτ di riferimento. . . . . . . . . . .
Componente <uv + >θ,t degli sforzi di Reynolds. . . . . . . . . .
Componente <uv + >θ,t degli sforzi di Reynolds. . . . . . . . . .
Componente <uv + >θ,t degli sforzi di Reynolds mediata su λx e
adimensionalizzata con la rispettiva uτ . . . . . . . . . . . . . .
Componente <uv + >θ,t degli sforzi di Reynolds mediata su λx e
adimensionalizzata con la uτ di riferimento. . . . . . . . . . .
Spessore δ = δ(κx , ω) del GSL nel tubo e confronto con il GSL
nel canale piano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dierenza tra δpipe − δchannel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spessore del GSL per onde discretizzate . . . . . . . . . . . . .
R(%) funzione di ω , confronto canale e cilindro. . . . . . . . .
S(%) funzione di ω , confronto canale e cilindro. . . . . . . . .
Confronto tra R(ω + ) nel canale e nel condotto cilindrico. . . .
R(%) in funzione di A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S(%) in funzione di A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
57
59
61
62
64
65
66
67
68
68
70
71
72
72
73
74
75
75
78
78
79
81
81
82
84
84
Elenco delle tabelle
3.1
Parametri sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1
Coecienti schemi RungeKutta a 3 passi (a) e a 4 passi (b) . 47
5.1
5.2
Parametri simulazioni numeriche onde discretizzate . . . . . . 50
Confronto tra usso di riferimento e usso controllato con sinusoide ideale e sinusoide discretizzata con s = 3 e s = 6
segmenti costanti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Parametri delle simulazioni per il calcolo dello spessore δ dello
strato generalizzato di Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3
A.1 Struttura del le Runtime.dat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
XIII
XIV
ELENCO DELLE TABELLE
Capitolo 1
Introduzione
In uidodinamica una delle maggiori aree di studio degli ultimi decenni è
quella che riguarda la riduzione di attrito di un usso turbolento di parete.
La resistenza di questi ussi infatti è molto maggiore rispetto alla loro controparte laminare e ciò comporta una perdita di energia elevata in tutti quei
sistemi, come oleodotti, pale di turbine o velivoli dalle elevate velocità, che
sono caratterizzati da ussi turbolenti. Anche una piccola riduzione della
turbolenza, e quindi dell'attrito a parete, può portare ad una diminuzione
della potenza necessaria per l'utilizzo di questi sistemi e, di conseguenza, ad
un risparmio in termini di costi.
Una prima distinzione macroscopica di tali tecniche le divide in tecniche
attive e tecniche passive ([8] e [13]). Le prime si distinguono dalle seconde
perchè necessitano di energia esterna per il loro funzionamento.
I metodi di controllo attivo si possono a loro volta suddividere in due
categorie, quelle cosiddette a ciclo aperto e quelle a ciclo chiuso.
Le tecniche attive a ciclo chiuso sono caratterizzate dalla retroazione della
misura di una quantità che permette di modicare la legge di controllo al ne
di renderla ottimale. Esse necessitano della presenza non solo di attuatori ma
anche di sensori. Si capisce che queste sono tecniche complesse e di dicile
implementazione (per un approfondimento vedere, per esempio, [20]).
Le tecniche a ciclo aperto, dove la legge di controllo è stabilita in partenza
e non più modicata, sono invece più semplici e di più facile implementazione.
Alcune di esse verranno analizzate con più dettaglio nel Capitolo 2 (vedere
[27] per una review completa).
Proprio perchè le tecniche attive richiedono potenza esterna, questa quantità diventa importante per valutare l'ecacia del controllo stesso. Nel caso
di ussi in condotti, quello che si vuole ottenere è infatti un bilancio netto di
energia positivo. La potenza totale spesa è data dalla somma della potenza
di pompaggio necessaria per muovere il usso e di quella impiegata per il
1
2
Capitolo 1. Introduzione
controllo; perchè quest'ultimo sia ecace si deve ottenere una riduzione di
resistenza che sia maggiore della potenza spesa per attuare il controllo stesso.
Il lavoro qui proposto si vuole occupare di una particolare tecnica di
controllo attivo a ciclo aperto che è caratterizzata da una elevata riduzione
di resistenza raggiungibile: le onde viaggianti. Tale forzamento consiste nel
modulare, attraverso il movimento della parete del condotto, in tempo e nella
direzione longitudinale, la componente trasversale di velocità a parete. Tale
tecnica è stata introdotta e studiata numericamente per la prima volta da
Quadrio, Ricco e Viotti in [32] (d'ora in avanti abbreviato con QRV09) per
un usso turbolento in un canale piano.
I risultati numerici ricavati in QRV09 vengono vericati sperimentalmente da Auteri et al. ([1]), che applicano delle onde viaggianti, discretizzate
nella direzione longitudinale, ad un usso turbolento in un condotto cilindrico. Essi osservano che l'andamento delle misure sperimentali conferma
all'incirca quello dei risultati numerici, sono però evidenziate delle oscillazioni nella curva di riduzione di resistenza R in funzione della frequenza di
oscillazione ω non presenti nel caso ideale. Gli autori ipotizzano che tali
oscillazioni siano gli eetti della discretizzazione dell'onda, eetti che si attenuano al migliorare dell'approssimazione utilizzata. Attraverso la denizione
della supercie R(ω, κx ), dove κx = 2π/λx è il numero d'onda, in funzione
di un kernel K, ricavato empiricamente a partire dalle informazioni disponibili in QRV09 su tale mappa, essi hanno valutato gli eetti delle diverse
armoniche presenti nelle onde discretizzate evidenziando, prima nel caso di
semplice sovrapposizione lineare e poi tenendo conto degli eetti non lineari,
come si modica l'andamento della curva R̃(ω) che, si osserva, segue bene
quello ottenuto sperimentalmente cogliendo alle giuste frequenze i massimi e
i minimi relativi.
Questa tesi si pone come obiettivo quello di provare a riprodurre numericamente i risultati sperimentali ottenuti da Auteri et al. attraverso la
soluzione diretta delle equazioni di Navier Stokes per un usso turbolento
in un condotto cilindrico cui è applicato un controllo tramite onda viaggiante discretizzata con tratti costanti nella direzione longitudinale. La scelta è
stata motivata dal fatto che questo tipo di controllo non è mai stato studiato numericamente in un condotto cilindrico e, vista la maggior praticità e
la maggior diusione di tale geometria, è interessante valutare la sua ecacia anche ai ni di una sua possibile implementazione in un condotto reale.
Per questo motivo è anche utile valutare gli eetti portati dalla discretizzazione dell'onda, necessaria per imporre la variazione spaziale del controllo,
vericando la validità delle ipotesi riportate da Auteri et al..
Il lavoro si articola come segue: si inizia, nel Capitolo 2, con una breve
descrizione delle principali tecniche di controllo attivo a ciclo aperto basate
3
sul movimento della parete, cominciando dalla più semplice parete oscillante
per arrivare alle moderne onde viaggianti. Queste ultime verranno approfondite per il caso di usso turbolento in un canale piano nel Capitolo 3 dove
se ne descrivono le principali caratteristiche. Viene quindi presentato, nel
Capitolo 4, il codice numerico utilizzato e le modiche ad esso eettuate e,
successivamente, nel Capitolo 5, sono raccolti i risultati ottenuti per le onde
viaggianti nel condotto cilindrico.
Nel seguito della tesi si utilizza la notazione seguente: le coordinate cartesiane sono indicate con x, y e z e rappresentano rispettivamente le direzioni
longitudinale, normale alla parete e trasversale; nel caso cilindrico, si utilizzeranno x, r e θ per indicare le direzioni assiale, radiale e azimutale. Per
entrambi i casi le componenti della velocità nelle tre direzioni sono indicate
rispettivamente con u, v e w. Il numero di Reynolds è denito, una volta
scelta una velocità di riferimento U e una dimensione di riferimento D da
UD
,
(1.1)
ν
dove ν è la viscosità cinematica del uido. A seconda della velocità di riferimento scelta si possono avere diversi Reynolds: con UP , la velocità di un
usso con la stessa portata di un usso di Poiseuille, si denisce ReP , con Ub ,
la velocità media su una sezione del condotto (bulk velocity ), si ottiene Reb
ed inne attraverso uτ , la velocità d'attrito, si denisce Reτ . Tutti i numeri
di Reynolds per la geometria piana sono deniti sulla semi-altezza del canale
h, mentre per il condotto cilindrico la dimensione di riferimento è il raggio R.
Tutte le quantità contrassegnate con l'apice + sono espresse in unità viscose
(o di parete) e sono adimensionalizzate con la velocità d'attrito uτ , a seconda
dei casi viene indicato se l'adimensionalizzazione è eettuata con la uτ del
usso di riferimento o quella del campo in esame. La media delle quantità
in nelle direzioni longitudinale, trasversale e nel tempo è indicata con i simboli h·i mentre la media nella direzione azimutale e nel tempo è indicata con
h·iθ,t .
Re =
4
Capitolo 1. Introduzione
Capitolo 2
Tecniche di controllo attivo
Negli ultimi venti anni la ricerca di un metodo per la riduzione della resistenza
in ussi di parete, siano essi strati limite o ussi in canali o condotti cilindrici,
si è arricchita dei metodi attivi a ciclo aperto per il controllo della turbolenza.
In questo capitolo vengono descritte brevemente quelle tecniche appartenenti
a questa categoria caratterizzate dall'imposizione di un movimento trasversale della parete. Si segue un ordine storico in modo da comprendere come
tali metodi sono nati e si evoluti nel tempo.
Per tutte le tecniche studiate la riduzione di resistenza R è denita valutando le variazioni del coeciente d'attrito Cf nel caso di controllo rispetto
al suo valore di riferimento Cf,0 :
R=
Cf,0 − Cf
.
Cf,0
(2.1)
Il coeciente d'attrito è denito come
Cf =
2τw
,
ρUb2
(2.2)
dove τw è lo sforzo medio a parete, τw = µ d<u>
|w , e ρ è la densità del uido.
dy
Il valore medio del Cf è valutato come media temporale dopo aver eliminato
il transitorio inziale durante il quale il usso si adatta alle nuove condizioni
di regime.
Kasagi, Hasegawa e Fukagata in [19] hanno inoltre denito un nuovo parametro per caratterizzare l'ecienza di una tecnica di controllo: il risparmio
netto di energia S ,
P0 − (P + Pin )
S=
,
(2.3)
P0
dove Pin è la potenza impiegata per il controllo e P0 è la potenza necessaria
per il movimento del uido senza l'azione del controllo.
5
6
Capitolo 2. Tecniche di controllo attivo
Figura 2.1: Sistema di riferimento per il canale piano.
2.1 Parete oscillante
L'idea di partenza è stata proposta da Sendstad e Moin in [36] e da Bradshaw e Pontikos in [4] i quali hanno dimostrato che un improvviso gradiente
trasversale di pressione, applicato ad un usso turbolento completamente
sviluppato, può alterarne la struttura portando ad un temporaneo calo delle quantità turbolente. Se però il gradiente di pressione viene mantenuto il
usso presto raggiunge un nuovo stato stabile e tutte le quantità turbolente ritornano ai loro comportamenti precedenti. Da qui si è capito che, per
ottenere una modica persistente in un usso turbolento, è necessario utilizzare un forzamento periodico nel tempo. In particolare Jung, Mangiavacchi
e Akhavan in [17] per primi hanno dimostrato come, attraverso il movimento
oscillante nel tempo di una parete di un canale piano, si ottiene una modica della turbolenza di parete in maniera duratura, comportando anche una
signicativa riduzione di resistenza. Essi hanno condotto delle simulazioni
numeriche DNS (Direct Numerical Simulation ) a partire da un usso turbolento di riferimento caratterizzato da un valore di numero di Reynolds pari
a Reb = 3000.
Indicando con ww la componente trasversale della velocità a parete (il
pedice w sta per wall ), come nel sistema di riferimento proposto in 2.1 ,
la legge che denisce il controllo della turbolenza tramite oscillazione della
parete (o in maniera equivalente, tramite usso trasversale di velocità) può
essere scritta come
2π
(2.4)
ww = A sin( t),
T
dove t è il tempo, A l'ampiezza di oscillazione e T il periodo di oscillazione
della parete.
2.1. Parete oscillante
7
Figura 2.2: Rappresentazione schematica della parete oscillante. A è l'ampiezza
dell'onda, Ω = 2π/T è la frequenza di oscillazione della parete dove T è il periodo.
Tratta da [3].
Gli autori hanno vericato che, con la parete oscillante, è possibile raggiungere una riduzione, no al 40%, degli sforzi a parete. Tale riduzione di
resistenza si ottiene solo utilizzando un preciso periodo di oscillazione della
parete pari a T + = 100 mentre per valori diversi si raggiungono risultati meno soddisfacenti. La riduzione delle varie quantità turbolente, e quindi anche
della resistenza, è stata spiegata attraverso l'osservazione di una diminuzione del numero e dell'intensità delle strutture turbolente di parete quando è
applicato il controllo.
Sulla parete oscillante nel canale piano, il cui schema è presentato in Figura 2.2, si sono focalizzati Baron e Quadrio in [3] studiando tale tecnica
anche da un punto di vista energetico. Essendo infatti questo un controllo
di tipo attivo, esso richiede l'introduzione di energia esterna per la sua attuazione e quindi, per vericare la sua ecacia, bisogna valutare il bilancio
netto di energia e non solo l'energia recuperata grazie alla riduzione di resistenza. Baron e Quadrio hanno proposto uno studio variando l'ampiezza di
oscillazione della parete e mantenendo invece costante il periodo di oscillazione e pari all'ottimo trovato in [17], T + = 100. Da questo studio hanno
ricavato che il controllo mediante parete oscillante comporta sì una notevole
riduzione di resistenza ma solo a scapito di una spesa importante di energia.
Si è però visto che è possibile ottenere un bilancio netto di energia positivo, anche se piccolo, se l'ampiezza di oscillazione della velocità è mantenuta
bassa. Tali risultati sono ottenuti facendo riferimento ad un attuatore ideale
senza tenere conto delle perdite dovute al sistema meccanico reale, certo è
che, grazie all'oscillazione della parete, le quantità turbolente vengono modicate in maniera importante, le uttuazioni di velocità vengono attenuate e
i massimi si spostanto più lontani dalla parete; tale tecnica, quindi, presenta
8
Figura 2.3: Proli di velocità nello strato limite in scala logaritmica a diverse
frequenze di oscillazione della parete. Tratta da [6].
ottime potenzialità.
I risultati appena presentati sono stati confermati sperimentalmente da
Choi, DeBisschop e Clayton in [6] i quali, attraverso l'utilizzo di anemometri a
lo caldo e tecniche di visualizzazione, hanno studiato i cambiamenti, causati
da questo tipo di controllo, delle strutture turbolente in uno strato limite.
In Figura 2.3 sono riportati i proli di velocità logaritmici da loro ottenuti al
variare della frequenza di oscillazione della parete, al suo aumentare il prolo
trasla verso l'alto suggerendo una riduzione di resistenza d'attrito.
Choi e Graham in [7] si sono occupati di capire quale fosse l'eetto della
parete oscillante nel caso di un usso turbolento in un condotto cilindrico
ad asse rettilineo, studio che ritenevano più promettente dal punto di vista
dell'impiego industriale di tale tecnica. Essi ricavarono sperimentalmente
una riduzione di resistenza (R ≈ 25%) più bassa di quella ottenuta nel caso
del canale ma il loro studio si era fermato all'analisi dei dati per una sola
frequenza di oscillazione della parete.
Un paio di anni più tardi Quadrio e Sibilla si sono occupati di vericare
numericamente tale risultato. Essi in [33] hanno proposto il confronto tra
i ussi in un tubo oscillante attorno al proprio asse, in un tubo fermo e in
un tubo in rotazione costante, dimostrando che l'oscillazione periodica del
condotto portava ad una riduzione notevole di resistenza e comparabile con
quella ricavata nel caso di canale piano negli studi precedenti (R ≈ 40%).
In tutti i lavori n qui presentati manca la denizione di una quantità,
funzione dei parametri di oscillazione della parete, che si colleghi in maniera
univoca al valore di riduzione di resistenza ottenuta. Le proposte sono state
molte così come le veriche dell'inadeguatezza di alcune di esse. Choi, Xu e
2.2. Onde viaggianti trasversalmente
9
Sung in [5] hanno per primi proposto due parametri collegati alla diminuzione
del coeciente di attrito. Il primo è una distanza critica dalla parete no
a cui si diondono gli eetti dell'oscillazione della parete. Questa lunghezza
rappresenta la posizione in cui la velocità massima durante un periodo è
maggiore di una certa distanza: le strutture turbolente che vivono al di
sotto di tale soglia sono aette dal forzamento trasversale mentre quelle al
di sopra non ne risentono. Il secondo parametro è l'accelerazione dello strato
trasversale che si viene a creare. Il valore di riduzione di resistenza sembra
essere in relazione con entrambi.
In [30] Quadrio e Ricco hanno condotto uno studio facendo variare indipendentemente due parametri, il periodo di oscillazione T e la velocità massima wm . L'oscillazione della parete è descitta anche da un terzo parametro,
il massimo spostamento della parete stessa Dm , che però non è indipendente
dai due precedenti in quanto Dm = wm T /π . Gli autori, tramite uno studio
numerico DNS, hanno ricavato che la riduzione di resistenza ha, per tutti
+
i wm
studiati, un massimo per un periodo T + nell'intervallo 100 − 125 e
che, tenendo sso il periodo di oscillazione, essa cresce monotonicamente con
wm . Quadrio e Ricco si sono anche interessati alla valutazione del bilancio di
energia confermando che non tutte le combinazioni di wm − T portano ad un
risparmio netto di energia positivo. In particolare hanno mostrato come si
+
abbia un risparmio eettivo solo per velocità massime wm
basse, con sempre
un ottimo in corrispondenza di T + = 100 − 125.
2.2 Onde viaggianti trasversalmente
La prima proposta di un forzamento trasversale non uniforme nello spazio è
stato proposto da Du e Karniadakis [9] e da Du, Symeonidis e Karniadakis
[10]. Essi, con degli studi DNS, hanno valutato l'eetto di un forzamento
attraverso l'utilizzo di una forza di volume orientata trasversalmente al usso
e descritta dalla seguente relazione
Fz = Ie−y/∆ sin(κz z − ωt),
(2.5)
dove l'intensità del forzamento I decade esponenzialmente allontanandosi
dalla parete no ad una distanza pari a ∆. La forza è modulata nel tempo
con pulsazione ω e in direzione trasversale z dove è descritta da un'onda con
lunghezza d'onda λz = 2π/κz .
Du, Symeonidis e Karniadakis in [10] hanno condotto delle simulazioni a
Reτ = 150 ottenendo una massima riduzione di resistenza R ≈ 30%. Il loro
studio non è stato conclusivo a causa del numero limitato di combinazioni di
parametri analizzate, però ha permesso di evidenziare come un forzamento
10
Figura 2.4: Rappresentazione schematica del forzamento oscillante nello spazio.
k = 2π/λx . Tratta da [39].
tipo onda viaggiante può modicare il ciclo di parete. Nelle loro visualizzazioni si mostra infatti che le strisce vicino a parete vengono alterate in
maniera signicativa. In particolare, quando le onde viaggianti portano ad
una riduzione di resistenza, il loro eetto è quello di indebolire, o anche eliminare, le strutture allungate e sinuose di parete generando al loro posto un
lungo nastro a bassa velocità (per maggiore chiarezza si guardi la Figura 23
in [10]).
Del passaggio dalle onde viaggianti trasversalmente generate da una forza
di volume ad un forzamento spazio-temporale dovuto al movimento di una
parete, si sono occupati Zhao, Wu e Luo in [41].
La legge che descrive il movimento della parete ww diventa :
ww = A sin(κz z − ωt).
(2.6)
I risultati ricavati, in termini di riduzione di resistenza e statistiche del
usso sono molto simili a quelli ottenuti per il controllo mediante forza di volume. La dierenza sostanziale risiede nel fatto che, per tutte le combinazioni
di parametri che gli autori hanno simulato, essi hanno trovato sempre valori
di risparmio netto di energia negativi. E' però da considerare il fatto che il
numero di simulazioni che furono eettuate non è particolarmente elevato e
di conseguenza il risultato ottenuto non è generalizzabile.
2.3 Forzamento spaziale
Viotti, Quadrio e Luchini in [39] hanno trasformato il forzamento dipendente
dal tempo della parete oscillante in un forzamento oscillante nello spazio
2.3. Forzamento spaziale
11
Figura 2.5: Prolo medio di velocità (componente assiale) nella forma della legge
di parete I pallini vuoti indicano il forzamento temporale (TSL) mentre i pallini
pieni indicano l'onda spaziale (SSL). Tratta da [39].
attraverso l'uso della velocità di convezione Uw delle uttuazioni turbolente
a parete. Essa è tipicamente derivata o dalle funzioni di densità spettrale
o dalle funzioni di correlazione spazio-tempo e, come dimostrato da Kim e
Hussain in [21], per y + 6 15, Uw assume un valore costante e pari a Uw+ ≈ 10
diversamente da quanto succede alla velocità media che va a zero a parete.
La legge che descrive il forzamento spaziale è la seguente:
2π
x)
(2.7)
λx
dove A è l'ampiezza del forzamento, x indica la coordinata in direzione del
usso e λx è la lunghezza d'onda del forzamento.Uno schema di tale tecnica
di controllo è riportato in Figura 2.4, dove k = 2π/λx .
Gli autori hanno analizzato tale tecnica attraverso uno studio DNS in
un canale piano ottenendo che esso, rispetto alla parete oscillante, ha delle
potenzialità superiori, raggiungendo valori di riduzione di resistenza più elevati di circa il 20% − 30%. La massima riduzione di resistenza ottenuta è
R ≈ 52% con un onda di ampiezza A+ = 20 e λ+
x = 1250, a Reτ = 200.
Tenendo conto di questa denizione, Viotti, Quadrio e Luchini hanno dimostrato che il forzamento spaziale, oltre ad una riduzione di resistenza elevata, richiede anche un impiego minore di energia esterna per la sua attuazione,
rispetto alla parete oscillante. Ciò ha permesso di ottenere un risparmio netto
di energia positivo (S > 0) per diverse ampiezze del forzamento.
Se osserviamo il prolo medio di velocità nella forma della legge di parete
riprotto in Figura 2.5 si vede chiaramente come la modica dovuta ai due
ww = A sin(
12
Figura 2.6: Rappresentazione schematica delle onde viaggianti in un canale piano.
Tratta da [32].
tipi di forzamento (temporale indicato con i pallini vuoti e spaziale indicato
dai pallini pieni) sia simile ma l'eetto è superiore per il caso di forzamento
spaziale. La riduzione di resistenza si manifesta attraverso un inspessimento
dello substrato viscoso che comporta una traslazione verticale del prolo di
velocità.
Come nel caso della parete oscillante, questa tecnica porta ad una diminuzione dell'intesità delle uttuazioni di velocità e ad uno spostamento del
massimo di tali uttuazioni più lontano dalla parete del canale.
2.4 Onde viaggianti longitudinalmente
L'ultimo passo nelle tecniche di controllo attivo è stato compiuto da Quadrio,
Ricco e Viotti [32], i quali hanno esteso i due casi (2.4) e (2.7) utilizzando
come forzamento un'onda spazio-temporale. Essi hanno considerato onde
sinusoidali della componente trasversale della velocità ww che variano nel
tempo e sono modulate nello spazio lungo la direzione del usso x. Queste
sono descritte dalla seguente espressione:
ww = A sin(κx x − ωt)
(2.8)
dove κx = 2π/λx è il numero d'onda e ω la frequenza dell'onda. Nel caso
di κx e ω diversi da zero l'onda di velocità trasversale, ww , si muove nella
direzione del usso x, con lo stesso verso della corrente o con verso opposto
a seconda del segno della velocità di fase c = ω/κx .
Una rappresentazione schematica del forzamento utilizzato per questo
tipo di controllo è riportata in Figura 2.6.
2.5. Flussi esterni
13
Le caratteristiche di tale tecnica di controllo verranno descritte in dettaglio nel Capitolo 3.
2.5 Flussi esterni
Alcune delle tecniche attive appena presentate sono state recentemente applicate a strati limite turbolenti.
Skote ([37]) ha analizzato tramite DNS un usso esterno forzato con le
onde stazionarie di velocità trasversale che variano lungo la direzione longitudinale, rappresentate dalla relazione (2.7). Dalle simulazioni eettuate egli
ha ottenuto una riduzione di resistenza massima pari a R = 46%. Nonostante
la buona riduzione di resistenza ricavata questo tipo di controllo per lo strato
limite, dall'analisi eettuata Skote ha ottenuto S = −19% che signica che
la potenza necessaria per muovere la parete è maggiore di quella che si può
risparmiare attraverso il controllo. Ciò è dovuto anche al fatto che egli ha
analizzato solo un'ampiezza del forzamento molto elevata.
14
Capitolo 3
Onde viaggianti in un canale
piano
In questo capitolo vengono illustrate le caratteristiche principali della tecnica
di controllo basata sulle onde viaggianti, a partire dai risultati in termini di
riduzione di resistenza e statistiche del usso descritti in QRV09. Successivamente, dopo una breve introduzione sullo strato di Stokes, si propongono
i risultati ottenuti in [31] sullo strato generalizzato di Stokes, causa della
riduzione di resistenza per tutte le tecniche descritte in 2. Inne sono presentati i risultati dell'esperimento eettuato da Auteri et al. in [1] e le loro
considerazioni.
3.1 Riduzione di resistenza
Il controllo tramite le onde viaggianti descritto dalla (2.8) è del tutto generale
e contiene anche i casi di parete oscillante (2.4) e di onda stazionaria descritta dalla (2.7) che corrispondono rispettivamente ad un'onda viaggiante con
velocità di fase innita (κx = 0) e ad un'onda stazionaria (ω = 0).
Questo tipo di forzamento altera in maniera signicativa la resistenza viscosa del usso turbolento a cui viene applicato e il suo eetto è non banale
al variare dei parametri κx e ω . Onde che viaggiano lentamente in avanti
producono una riduzione di resistenza signicativa mentre, onde più veloci,
possono portare anche ad un incremento di resistenza. Le onde che si muovono nel verso opposto al usso invece portano sempre ad una riduzione di
resistenza qualunque sia la loro velocità.
Gli eetti delle onde viaggianti in termini di variazione percentuale della
resistenza d'attrito R, come denita dalla (2.1), in funzione di ω e κx sono
riportati in Figura 3.1, per un usso di riferimento caratterizzato da ReP =
15
16
Capitolo 3. Onde viaggianti in un canale piano
Figura 3.1: Mappa della riduzione di resistenza d'attrito percentuale nel piano
ω − κx per A = 0.5 e Re = 4760. Le curve di livello sono spaziate con un intervallo
del 5%. Le linee più spesse indicano il luogo di R = 0 mentre le zone con incremento
di resistenza sono indicate da linee tratteggiate. Tratta da [32].
4760 che corrisponde a Reτ = 200. Le onde applicate hanno ampiezza ssata
A = 0.5UP , in unità di parete A+ = 12. Solo la metà superiore del piano
ω − κx è mostrata perchè il forzamento (2.8) porta a risultati simmetrici una
volta scambiata la coppia (ω, κx ) con (−ω, −κx ).
Nella mappa riportata in Figura 3.1 si individuano zone di riduzione di
resistenza contrassegnate con i colori dal verde al rosso all'aumentare di tale
quantità, e una regione di incremento di resistenza contrassegnata dal colore
blu, quest'ultima delimitata dalle due linee nere più spesse che rappresentano
il luogo dei punti a R = 0.
La massima riduzione di resistenza R che si osserva è del 48% (nella
regione rossa in gura), maggiore sia di quella ottenibile attraverso la parete
oscillante (R ≈ 34% con ω = ωopt ≈ 0.5) sia di quella che si raggiunge con la
tecnica che impiega un forzamento stazionario (R ≈ 45% per κx = κx,opt ≈ 1).
La regione contrassegnata dal colore rosso è allungata nella direzione dell'asse
delle lunghezze d'onda, ciò fa si che, per ottenere una riduzione di resistenza
pari a circa il 47% 48%, è possibile utilizzare un ampio range di valori di κx ,
mentre non è così per quanto riguarda la frequenza di oscillazione ω , le onde
3.1. Riduzione di resistenza
17
Figura 3.2: Mappa del risparmio netto di energia S(%) nel piano ω−κx per A = 0.5
e Re = 4760. Le curve di livello sono spaziate con un intervallo del 10%. Le linee
più spesse indicano il luogo di S(%) = 0. Le linee continue rappresentano un
bilancio positivo mentre quelle tratteggiate indicano valori di risparmio netto di
energia negativo. Tratta da [32].
che caratterizzano questa zona sono infatti onde che posseggono una bassa
velocità rispetto alla velocità convettiva delle strutture turbolente a parete.
Il massimo incremento di resistenza è dell'ordine del 23% e si trova lungo
una retta che nel piano ω−κx individua una velocità di fase dell'onda costante
c ≈ 0.5. La zona di incremento di resistenza è caratterizzata da una gamma
di velocità di fase che portano ad un accoppiamento delle onde imposte con
le strutture turbolente di parete.
L'ecienza delle onde viaggianti nel modicare l'attrito a parete può però
essere valutata solo facendo riferimento alla potenza esterna necessaria alla
loro attuazione e calcolando il risparmio netto di energia ottenibile denito
dalla relazione (2.3). Le onde viaggianti sono molto vantaggiose in quanto
la regione di minima potenza spesa per l'attuazione del controllo coincide in
gran parte con la regione di massima R ottenibile. Il massimo di risparmio di
potenza netta raggiungibile è circa S = 18% misurato per onde caratterizzate
da ω ≈ 0.15 e κx ≈ 1. Ciò si può vedere in Figura 3.2 in cui la zona di S > 0 è
18
Figura 3.3: Percentuale di R (a) e di risparmio netto di potenza S (qui indicato
con Pnet ) (b) in funzione dell'ampiezza A del forzamento. L'onda utilizzata ha
caratteristiche ω = 0.16 e κx = 1.66 che produce la massima riduzione di resistenza
per A = 0.5 a Re = 4760. Tratta da [32].
contrassegnata dalle linee continue e con il colore rosso è indicato il massimo
di tale quantità.
Gli autori inoltre vericarono la sensibilità di tali risultati al variare dell'ampiezza di oscillazione A e del numero di Reynolds, Re. Per quanto riguarda quest'ultimo la tecnica di controllo è pressochè insensibile alla sua
variazione, infatti se Reτ viene raddoppiato tale modica porta solo ad una
lieve riduzione della massima R raggiungibile a parità di ampiezza.
La sensibilità all'ampiezza è invece dierente ed è riportata in Figura 3.3.
La riduzione di resistenza, in (a), aumenta monotonicamente con A raggiungendo un massimo vicino al 60%, quando l'ampiezza è appena superiore alla
velocità nel centro del canale. Non è così per il risparmio netto di energia
come si può vedere dalla gura (b). Il massimo guadagno in termini di energia si ha per piccole ampiezze (A = 0.25) mentre aumentando A la potenza
spesa per l'attuazione del controllo diventa sempre maggiore portando quindi
ad una diminuzione dei vantaggi di tale tecnica.
Per comprendere cosa comporta l'applicazione di questo tipo di controllo
si può osservare la Figura 3.4 che rappresenta il campo di moto per tre condizioni diverse, in alto il usso di riferimento senza controllo, nel'immagine
centrale un usso con applicato il controllo e caratterizzato da elevata riduzione di resistenza (κx = 1.66 e ω = 0.16) e inne, nell'immagine in basso,
un usso caratterizzato da un forte incremento di resistenza (κx = 1.66 e
ω = 0.88).
In gura√sono individuate le isosuperci per valori negativi della quantità
q = sgn(u) u2 + w2 per visualizzare le strisce a bassa velocità presenti nella
19
Figura 3.4: Campi di moto per il usso di riferimento (in alto), un caso con riduzione di resistenza per κx = 1.66 e ω = 0.16 (al centro) e un caso di incremento
di resistenza√per κx = 1.66 e ω = 0.88 (in basso). Isosuperci della quantità
q = sgn(u) u2 + w2 al valore q + = −4. Il usso va da sinistra a destra ed è
caratterizzato da A = 0.5 a Re = 4760. Tratta da [32].
zona vicino a parete. Il valore q + = −4 è scelto per il usso di riferimento
che mostra lo schema tipico di un usso turbolento a parete con le strutture
allungate nella direzione del usso. Quando si ha riduzione di resistenza
quello che si vede, dopo aver tenuto conto della riduzione del valore del
numero di Reynolds Reτ , sono strutture allungate allineate con la direzione
del usso x, con poca modulazione in tale direzione e una dimensione che
sembra essere maggiore del usso di riferimento. Nel caso di incremento di
resistenza le stesse strutture presentano invece un'evidente modulazione in x
con uno schema molto diverso da quello presente nel usso di riferimento.
20
Figura 3.5: Prolo medio della componente longitudinale della velocità hui, dopo
una media nel tempo, in x e z . La linea continua è il usso di riferimento, i cerchi
vuoti sono un caso di incremento di resistenza (κx = 1.66 e ω = 0.88), i cerchi pieni
di riduzione di resistenza (κx = 1.66 e ω = 0.16). Per entrambi i casi A = 0.5 a
Re = 4760. Tratta da [32].
3.2 Statistiche del usso turbolento
Si possono adesso analizzare le statistiche del usso turbolento ricavate in
QRV09. In Figura 3.5 è riportato il prolo medio della componente longitudinale di velocità hui, mediata nel tempo, in x e in z , in funzione della
distanza dalla parete y . Il caso di riferimento è indicato con la linea continua, con i pallini vuoti è un caso di incremento di resistenza (κx = 1.66 e
ω = 0.88) mentre con i pallini pieni è indicato un caso di riduzione di resistenza (κx = 1.66 e ω = 0.16). Ciò che si nota è che l'eetto del movimento
della parete si estende all'interno di tutto il canale ma è maggiore nella zona
vicino alla parete nel caso di riduzione di resistenza (per cui si modica il
gradiente di velocità).
In Figura 3.6 e in Figura 3.7 si considerano rispettivamente la velocità
media trasversale e le componenti del tensore degl sforzi di Reynolds lungo
la direzione della variabile convettiva ξ = x − Uw t (si ricorda che Uw è la
velocità di convezione) che tiene conto delle diverse fasi dell'onda e permette
di riportare tutte le quantità correttamente allineate con il movimento della
parete. La media è fatta nel tempo e nella direzione trasversale z ed è indicata
dall'operatore h·iz,t . In tutte le gure il usso va da sinistra verso destra e a
sinistra è indicato il caso con incremento di resistenza mentre a destra c'è il
caso con riduzione di resistenza.
Le linee di livello della velocità trasversale hwiz,t sono rappresentate in
3.2. Statistiche del flusso turbolento
21
Figura 3.6: Curve di livello del campo medio della componente trasversale della
velocità <w>z,t . I livelli sono (−0.45, 0.1, 0.45), le linee a punti corrispondono a
valori negativi. I graci sono per una lunghezza d'onda. A sinistra il caso con
incremento di resistenza (κx = 1.66 e ω = 0.88) a destra quello con riduzione di
resistenza (κx = 1.66 e ω = 0.16). Per entrambi i casi A = 0.5 a Re = 4760. Tratta
da [32].
Figura 3.6 in funzione di ξ e y . I due campi di velocità sono simili nei due
casi ma hanno eetti diversi. Si osserva che c'è un ritardo di fase lungo
la direzione verticale, lo stesso valore di velocità si incontra, nei due ussi,
a valori di ξ diversi. Al usso turbolento si sovrappone uno strato limite
instazionario in direzione trasversale, il cui spessore, nei i due casi, è dello
stesso ordine di grandezza.
In Figura 3.7 sono riportate le sei componenti del tensore degli sforzi di
Reynolds hui uj iz,t . L'intensità di tutte le componenti è aumentata nel caso
di incremento di resistenza rispetto al usso di riferimento, e sensibilmente
ridotta quando avviene riduzione di resistenza. Inoltre tutte le componenti
per il caso di incremento di resistenza (sulla sinistra) tranne la componente
hvviz,t presentano una forte modulazione lungo ξ (come si era già visto per
la Figura 3.4). Le variazioni lungo ξ nel caso con riduzione di resistenza sono
molto meno intense. Da notare la riduzione dei livelli per la componente
huviz,t ; il picco della componente huuiz,t nel caso di incremento di resistenza
è più vicino alla parete rispetto al usso con riduzione di resistenza, fenomeno già noto per cui il sub-strato viscoso e il buer-layer si inspessiscono
quando l'attrito diminuisce. Per la componente hvwiz,t i livelli di uttuazione
sono così bassi che non vengono individuati tra quelli scelti quando avviene
riduzione di resistenza nel usso.
22
Figura 3.7: Componenti del tensore degli sforzi di Reynolds. Dall'alto in basso:
huuiz,t , hvviz,t , hwwiz,t , huviz,t , huwiz,t e hvwiz,t . I livelli sono (0, 0.0005, 0.01)
per le componenti diagonali e (−0.0042, 0.0004, 0.0042) per le componenti extradiagonali; le linee a punti corrispondono a valori negativi. I graci sono per una
lunghezza d'onda. A sinistra il caso con incremento di resistenza (κx = 1.66 e
ω = 0.88) a destra quello con riduzione di resistenza (κx = 1.66 e ω = 0.16). Per
entrambi i casi A = 0.5 a Re = 4760. Tratta da [32].
3.3. Strato di Stokes
(a) I problema di Stokes.
23
(b) II problema di Stokes.
Figura 3.8: Rappresentazione graca dei due problemi di Stokes. Tratte da [15].
3.3 Strato di Stokes
Tutte le tecniche di controllo descritte nel Capitolo 2 devono la loro capacità
di ridurre la resistenza al sottile strato trasversale generato dal movimento
della parete. Tale strato è genericamente chiamato strato di Stokes.
In questo capitolo vengono prima descritti brevemente i due problemi di
Stokes, quindi si deniscono i diversi strati di Stokes per soermarsi su quello
caratteristico delle onde viaggianti.
3.3.1 Problemi di Stokes
I problemi di Sokes sono due e rappresentano due soluzioni esatte delle equazioni di NavierStokes sotto alcune ipotesi semplicative. In particolare si
considera una corrente incomprimibile di un uido viscoso in regime instazionario che scorre vicino ad una lastra piana messa improvvisamente in moto
all'istante t = 0 in una direzione parallela a se stessa. I due problemi sono
dierenti per le condizioni al contorno imposte: il primo problema di Stokes
è caratterizzato da una velocità della lastra costante Ũ , mentre nel secondo
la lamina è posta in movimento con un moto oscillatorio in direzione x con
velocità Ũ cos(ωt), dove Ũ è una costante e ω è la pulsazione con cui oscilla
la parete. In Figura 3.8 sono riportati gracamente i due problemi di Stokes
appena descritti.
Entrambi i problemi suppongono che il moto del uido sia causato unicamente dal movimento della lastra e che quindi il gradiente di pressione sia
24
nullo. Ciò fa si che la velocità u(y, t) soddis l'equazione mono dimensionale
∂u
∂ 2u
− ν 2 = 0.
∂t
∂y
(3.1)
Ai ni di questa tesi ci interessa richiamare solo il II problema di Stokes
che utilizza le seguenti condizioni al contorno associate all'equazione (3.1):
(
0
t<0
u(0, t) =
(3.2)
Ũ cos(ωt) t > 0
con condizione all'innito
u(∞, t) = 0.
(3.3)
La soluzione analitica di questo problema, dipendente dalla pulsazione ω ,
si ottiene nel dominio di Laplace e poi antitrasformando. Essa ha la seguente
espressione:
r
√ω
ω
u
y
2ν
=e
cos ωt −
y ,
(3.4)
2ν
Ũ
questo prolo di velocità denisce quello che comunemente chiamiamo strato
di Sokes.
3.3.2 Temporal Stokes Layer e Spatial Stokes Layer
A seconda delle condizioni al contorno che diamo al problema possiamo avere diversi tipi di strati di Stokes. Se imponiamo un'onda stazionaria, ovvero
caratterizzata da ω = 0, lo strato di Stokes prende il nome di SSL (Spatial
Stokes Layer ); mentre se è il numero d'onda ad essere nullo, κx = 0, allora siamo in presenza di un stato dipendente solo dal tempo chiamato TSL
(Temporal Stokes Layer ).
Il TSL è generato da un forzamento tipo (2.4) ed è caratterizzato da un
prolo di velocità, funzione di t e y , denito dalla soluzione del II problema
di Stokes (3.4) in quanto è uno strato limite trasversale oscillante nel tempo
([5]). La sua importanza è stata rilevata per la prima volta con il forzamento tramite parete oscillante, per esempio in [33] viene mostrato come le
strutture vicino a parete si modicano all'interno di tale strato, evidenziando
l'importanza di tale strato.
Lo strato di Stokes spaziale SSL invece è generato da un forzamento
denito dalla equazione (2.7). In questo caso la soluzione è funzione di due
variabili, la direzione longitudinale x e, ancora, la direzione normale la parete
y . La soluzione analitica di questo problema, ricavata da Viotti, Quadrio
e Luchini in [39], è una soluzione approssimata per un usso laminare di
25
Poiseuille con condizioni al contorno (2.7) per la componente trasversale della
velocità, le ipotesi di validità sono che lo spessore dello strato di Stokes sia
piccolo rispetto all'altezza del canale e alla sua lunghezza. Essa è espressa
tramite la funzione di Airy:
iy −i4/3π
iκx
,
(3.5)
w(x, y) = Cx R e Ai − e
δx
dove Cx è una costante reale di normalizzazione, κ = 2π/λx è il numero
d'onda del forzamento, δx è lo spessore dello SSL denito come
1/3
ν
(3.6)
δx =
uy,0 κ
con uy,0 che rappresenta il gradiente del prolo di velocità medio valutato a
parete.
Per entrambi i controlli si è osservato che la soluzione laminare esiste ed
è in ottimo accordo con il caso turbolento. Ciò ha permesso di utilizzare tale soluzione per predirre alcune importanti quantità relative all'azione degli
sforzi trasversali per un usso turbolento, come per esempio il prolo di velocità trasversale durante il transitorio generato dall'applicazione del controllo
([29]) e la potenza spesa dalla parete oscillante per contrastare la resistenza
viscosa del usso ([35]).
3.3.3 Generalized Stokes Layer
Se, inne, l'onda imposta come forzamento è caratterizzata da valori di ω e
κx diversi da zero allora quello che si viene a creare sulla parete in movimento
è il cosiddetto GSL (Generalized Stokes Layer ).
La possibilità di far riferimento ad una espressione analitica per la denizione dello strato limite trasversale per i casi (2.4) e (2.7) (TSL e SSL
rispettivamente), ha portato Quadrio e Ricco in [31] a cercare una soluzione
analoga anche per il caso di controllo mediante onda viaggiante in cui includere anche gli eetti instazionari tipici di questa tecnica. Gli autori hanno
ricavato un'espressione analitica approssimata per lo strato generalizzato di
Stokes instazionario e modulato nello spazio nel caso di canale piano con
usso laminare di Poiseuille, le ipotesi di validità per tale soluzione sono le
stesse di quelle utilizzate per la (3.5), lo spessore δ deve essere molto più
piccolo dell'altezza del canale e della lunghezza del condotto. Essa è espressa
attraverso la funzione di Airy e risulta:
1/3 ω
iκx ν
i(κx x−ωt)
πi/6 κx τ
y−
−
,
w(x, y, t) = ARe Ce
Ai e
ν
κx τ
τ
(3.7)
26
Figura 3.9: Confronto spessore GSL laminare δl+ calcolato analiticamente e spessore GSL turbolento δt+ da simulazioni a Px costante. Le tonalità di grigio indicano la variazione del periodo T + dell'onda, nero per T + = 0 e bianco per
+
T + >> Tth
= 120. Tratta da [31].
dove C = {Ai[ieiπ/3 (κx τ /ν)1/3 (ω/κ + iκx ν)/τ ]}−1 è una costante. Per maggiori informazioni su come è stata ricavata tale soluzione si veda l'articolo
citato ([31] 2.5).
La stessa espressione (3.7) trovata per il usso laminare viene poi usata
nel caso di usso turbolento. E' interessante infatti vericare se è utilizzabile anche per descrivere il prolo medio di velocità trasversale in un usso
turbolento. Per fare ciò viene studiato il prolo di velocità in funzione della
quota y + per un usso turbolento a gradiente di pressione Px costante, da
cui è ricavato lo spessore dello strato limite δt+ .
Il confronto tra i valori di spessore del GSL nel caso laminare calcolato
analiticamente, δl+ , e turbolento calcolato numericamente, δt+ , è riportato
in Figura 3.9 dove le tonalità di grigio indicano la variazione del periodo di
+
oscillazione T + dell'onda, nero per T + = 0 e bianco per T + >> Tth
= 120.
Il periodo di oscillazione equivalente T + , introdotto in QRV09 per studiare
la sica delle onde viaggianti, è denito come
T+≡
λ+
x
,
Ut+ − Uw+
(3.8)
dove Ut+ è la velocità dell'onda e Uw+ è la velocità di convezione delle uttuazioni turbolente. Esso rappresenta il periodo di oscillazione visto da un
osservatore che si muove alla stessa velocità Uw+ delle uttuazioni turbolente, ovvero è il tempo rischiesto dalle strutture turbolente vicino a parete per
percorrere una distanza pari ad una lunghezza d'onda λx nella direzione del
27
usso alla velocità relativa Uw − c (si ricorda che c = ω/κx è la velocità di
fase dell'onda).
L'accordo tra i risultati è molto ben vericato tranne che per alcuni punti
che si allontanano decisamente dalla retta δl+ = δt+ . Tale concordanza è
soddisfatta quando la velocità di fase dell'onda, c, è sucientemente diversa
dalla velocità di convezione del usso turbolento Uw+ e quando la scala di
tempo del forzamento imposto è più piccola della vita media delle strutture
turbolente presenti vicino a parete, ovvero quando il forzamento a parete
è sucientemente instazionario per evitare forti accoppiamenti con il usso
longitudinale. I punti che si discostano dalla retta δl+ = δt+ corrispondo ai
casi per cui il periodo di oscillazione dell'onda supera un valore imposto come
+
soglia, T + >> Tth
= 120 per cui il forzamento trasversale diventa troppo
lento e si accoppia con il usso longitudinale. Questi punti indicano un usso
in cui il controllo con le onde viaggianti porta ad un incremento di resistenza.
+
La soglia, indicata con Tth
, è legata alla vita delle strutture coerenti presenti
vicino alla parete (per ulteriori informazioni vedere anche [30]).
Da queste considerazioni si capisce perchè lo spessore del GSL sia diventato un parametro importante per il usso turbolento modicato attraverso
il movimento di una parete. Il fatto che esista uno spessore ottimale per la
riduzione di resistenza è stato spiegato attraverso l'ipotesi che l'azione della
parete consiste nell'indebolire l'interazione tra le strisce lungitudinali a parete e le strutture vorticose ([18]). In QRV09 gli autori hanno osservato che,
in corrispondenza della massima riduzione di resistenza indotta dalle onde
imposte, lo spessore del GSL rimane pressochè lo stesso: δ + ≈ 6.5. Inoltre,
il fatto che le statistiche turbolente cambino dove l'eetto del GSL è maggiormente rilevante, suggerisce che lo strato viscoso trasversale può essere
connesso a tale cambiamento e quindi alla riduzione di resistenza.
In Figura 3.10 sono riportate le curve di livello dello spessore δ + =
+ +
δ (κx , ω + ) del GSL laminare, calcolato attraverso la soluzione analitica ricavata in [31] (tranne nel caso di κ+
x = 0, per il quale
p lo spessore dello strato
+
di Stokes è valutato attraverso la relazione δl = 2/ω + ), in funzione del
+
+
numero d'onda κ+
x e della pulsazione ω . I vari livelli partono da δ = 3.5
con incremento pari a ∆δ + = 3.5. Lo spessore è elevato vicino all'origine ma
diminuisce velocemente all'aumentare sia di ω + sia di κ+
x.
La regione colorata di nero in Figura 3.10 individua dove lo strato di
Stokes ha spessore 6 < δ + < 7 e corrisponde bene al luogo dei punti, indicato
con la linea bianca tratteggiata (estratta da QRV09), dove la riduzione di
+
resistenza è massima ssato κ+
maggiori la curva di massima R
x . Ad ω
+
incontra valori di δ < 6 in quanto la regione di aumento di resistenza va
ad interferire con la regione nera di questo graco (per maggior chiarezza si
faccia riferimento alla Figura 3.1).
28
Figura 3.10: Spessore δl+ del GSL laminare nel canale piano come funzione di κ+
x e
ω + . I vari livelli partono da δ + = 3.5 con incremento ∆δ + = 3.5. La linea bianca
rappresenta il luogo dei punti di massima R estratta da QRV09. Tratta da [31].
Figura 3.11: Riduzione di resistenza percentuale in funzione dello spessore δ + del
GSL per simulazioni a portata costante (quadrati) e gradiente di pressione costante
+
(cerchi). Le frecce indicano la minima condizione di R, δmin
, e lo spessore ottimo
+
del GSL, δopt . La scala di colore è come in Figura 3.9. Tratta da [31].
3.4. Misura sperimentale della riduzione di resistenza
29
In Figura 3.11 è rappresentata la riduzione di resistenza in funzione dello
spessore calcolato analiticamente δl+ . I dati rappresentati dai cerchi corrispondono a simulazioni con gradiente di pressione Px costante, mentre quelli
rappresentati dai quadrati sono calcolati con portata Q costante. Come prima la scala di grigio indica la variazione del periodo dell'onda. I risultati
+
corrispondenti a T + > Tth
= 120 e indicati con il colore bianco sono estremamente sparsi, mentre i punti neri collassano su una curva ben denita. Si
può notare che la riduzione di resistenza cresce linearmente con δl+ per bassi
T + , no a raggiungere una R ≈ 35% per δl+ ≈ 4. La massima riduzione di
+
resistenza avviene, come ci si attendeva, a δl+ ≈ 6.5 = δopt
(indicata da una
freccia in Figura 3.11) ed è pari a R ≈ 48%. Si osservi anche che alcuni punti
neri (cerchiati in Figura 3.11) caratterizzati da piccoli valori di δl+ , non sono
ben correlati: questi punti corrispondono ad alti valori di κ+
x dove la regione
+
di incremento di resistenza interferisce con la striscia T + 6 Tth
.
Si può quindi concludere che la riduzione di resistenza è legata allo spesso+
re δl+ dello strato generalizzato di Stokes no a che T + Tth
e |Ut+ −Uw+ | 0. Sotto queste condizioni la soluzione laminare ricavata in [31] può essere
utilizzata per predirre i valori di riduzione di resistenza ottenibili mediante
le onde viaggianti in un canale piano.
E' da notare, in Figura 3.11, che la curva su cui collassano tutti i punti
a basso T + interseca l'asse R = 0 per un valore δl+ diverso da zero, δl+ ≈
+
1 = δmin
. Ciò suggerisce che è necessario uno spessore nito dello strato
di Stokes perchè ci sia riduzione di resistenza. Ciò era già stato ipotizzato
da Ricco e Quadrio in [35] per la tecnica della parete oscillante: per avere
riduzione di resistenza è necessario imporre uno spessore minimo dello strato
generalizzato di Stokes.
3.4 Misura sperimentale della riduzione di resistenza
Il primo e unico tentativo esistente di verica sperimentale dei risultati ottenuti in QRV09 è stato compiuto da Auteri et al. ed è descritto in [1]. Tale
verica non è eettuata in un canale piano ma in un condotto cilindrico a sezione circolare; di conseguenza la corrispondenza non può che essere parziale.
La scelta di tale geometria è dovuta semplicemente al fatto che essa rappresenta la possibilità più semplice da mettere in pratica per l'implementazione
della tecnica di controllo in esame.
L'onda viaggiante, in questa geometria è un'onda di velocità azimutale
wθ (x, t) (dove θ indica la direzione azimutale) che viaggia lungo la direzione
30
Figura 3.12: Rappresentazione graca dell'onda viaggiante discretizzata con s = 6
segmenti a velocità costante. Tratto da [1].
assiale x. Per implementare questo tipo di controllo sono disponibili diverse
soluzioni, quella qui utilizzata si basa sul movimento della parete del condotto. Le variazioni spazio-temporali del controllo vengono generate facendo
variare la velocità azimutale della parete sia in spazio sia in tempo. Mentre
l'oscillazione nel tempo non è di dicile implementazione, più complesso risulta imporre la variazione sinusoidale nello spazio che necessariamente deve
essere discretizzata. Questo tipo di variazione può essere ottenuta solo dividendo il condotto in molti segmenti che ruotano a velocità diverse e tali da
riprodurre un'onda nella direzione del usso, come è ben schematizzato in
Figura 3.12.
La sezione attiva del condotto, cioè dove è applicato il controllo, è rappresentata in Figura 3.13. Essa è suddivisa in 60 segmenti che permettono di
discretizzare longitudinalmente l'onda sinusoidale che si vuole imporre. Per
ogni lunghezza d'onda essa può essere approssimata con un numero di segmenti variabile, s = 2, 3, 6, grazie all'utilizzo dei sei motori e alberi presenti
nel setup sperimentale.
L'esperimento è stato condotto utilizzando come uido di lavoro l'acqua.
La velocità viene posta a Ub = 0.092m/s in modo che il Reynolds nominale
di riferimento sia pari a Reb = 4900 cui corrisponde un Reτ ≈ 175, vicino a
quello utilizzato in QRV09 (Reτ = 200). L'onda imposta ha ampiezza pari
a A+ = 13.8. Gli altri parametri utilizzati nell'esperimento sono riassunti in
Tabella 3.1.
La riduzione di resistenza dovuta alle onde viaggianti viene valutata dalla
misura della caduta di pressione ∆p lungo la lunghezza L della sezione attiva
del pipe attraverso la denizione del coeciente d'attrito:
31
Figura 3.13: Schema apparato sperimentale. Tratto da [1].
Casi
λ [mm]
λ+
κ+
κR
s=3
109.6
766
0.0082
1.43
s=6
219.3
1532
0.0041
0.72
Tabella 3.1: Parametri sperimentali
f≡
2∆p
.
ρUb2 L/D
(3.9)
dove D è il diametro interno del condotto e ρ è la densità del uido.
I risultati ottenuti vengono messi a confronto con quelli delle simulazioni
numeriche di QRV09. Si ricorda che i parametri di tali simulazioni sono
leggermente diversi da quelli utilizzati nell'esperimento, in particolare si sono
usati Reτ = 200 e A+ = 12.
Dalla Figura 3.14, dove la mappa colorata corrisponde ai dati di QRV09
mentre i pallini neri rappresentano i valori di riduzione di resistenza ottenuti sperimentalmente, si può immediatamente apprezzare come le misure
sperimentali confermino genericamente l'andamento dei risultati numerici al
variare dei parametri dell'onda. Il massimo di riduzione di resistenza e la
zona di caduta di riduzione di resistenza vengono ben colti, così come la non
simmetria dei risultati che evidenzia la dierenza sostanziale tra gli eetti
delle onde viaggianti nello stesso verso del usso e quelli delle onde che si
muovono in verso opposto.
32
Figura 3.14: Riduzione di resistenza in funzione dei parametri κ+ e ω + . Confronto
tra i dati della DNS nel canale (supercie) e le misure sperimentali (punti neri) per
un numero di tratti costanti pari a 3e 6. Tratto da [1].
E' vero però che i risultati ottenuti non sono del tutto corrispondenti a
quelli presentati in QRV09:

La massima riduzione di resistenza R è minore di quella ritrovata
numericamente: R = 33% nell'esperimento mentre R ≈ 48% in QRV09.

Sperimentalmente non è osservabile l'incremento di resistenza dopo la
fase di drastica diminuzione di R per c+ = 12. Come si può vedere in
Figura 3.14 e in Figura 3.15.

La curva sperimentale presenta forti oscillazioni soprattutto per il caso
di discretizzazione con s = 3. Tali oscillazioni non si ritrovano nelle
simulazioni numeriche. Si veda la Figura 3.15.
Queste dierenze vengono giusticate con diverse argomentazioni. Innanzi tutto il meccanismo che porta alla modica dello sforzo turbolento in un
canale piano può essere diverso da quello che avviene nel caso di geometria
cilindrica. Inoltre, trattandosi di un esperimento reale, si è lontani dall'idealizzazione ottenuta attraverso la DNS, per esempio a causa della presenza
di un transitorio all'inizio della sezione attiva del condotto, inesistente nella
geometria indenita del caso numerico ideale. Questo transitorio interessa
una buona porzione della sezione attiva del condotto da cui ne consegue che
la riduzione di resistenza misurata come caduta di pressione attraverso tutta
la sua lunghezza è sicuramente sottostimata.
33
Figura 3.15: Riduzione di resistenza come funzione della frequenza di oscillazione
per un numero di tratti costanti s pari a 3 (cerchi) e 6 (triangoli). Tratto da [1].
Bisogna inoltre valutare gli eetti della discretizzazione spaziale dell'onda. Sperimentalmente la sinusoide viene approssimata tramite una funzione,
w̃θ (x, t; s), periodica a tratti costanti, ogni fetta del condotto è ssa nello spazio e la sua velocità di rotazione cambia nel tempo in maniera sinusoidale.
Essa può essere descritta analiticamente nel seguente modo:
(
A sin(ωt −
w̃θ (x, t; s) =
0,
2πi
),
s
i
L
s
+ nL ≤ x ≤
altrimenti
i+1
L
s
+ nL
;
(3.10)
dove L è la lunghezza della sezione attiva del condotto, i è un indice tale che
0 ≤ i < s, dove s è il numero di segmenti con cui si vuole discretizzare l'onda
sinusoidale ideale, n è l'indice che denisce l' n-esima ripetizione periodica
dell'onda discretizzata.
Le oscillazioni presenti nella curva sperimentali, ben evidenti in Figura 3.15, nell'articolo ([1]) vengono associate a tale discretizzazione. Questa
supposizione viene avvalorata anche dal fatto che tali oscillazioni sono più
evidenti nel caso di approssimazione molto scadente con s = 3 (curva indicata con i cerchi in Figura 3.15) mentre sono minori quando s = 6 (curva
evidenziata con i triangoli).
Essendo che in una possibile realizzazione pratica l'onda imposta non può
che essere discretizzata nello spazio, una migliore comprensione degli eetti di
tale discretizzazione è importante. Gli autori procedono quindi ad un analisi
di Fourier dell'onda approssimata con la (3.10). Se scritta in serie di Fourier
34
l'onda (3.10) è composta dalla somma di due famiglie di onde sinusoidali che
si muovono in verso opposto. Ogni famiglia è una somma pesata di innite
armoniche, la cui ampiezza diminuisce con la frequenza.
Se consideriamo la prima armonica per il caso di onda discretizzata con
s = 3 questa è:
√ 1
3
3
∼
A sin(ωt − κx) + sin(ωt + 2κx) ,
w̃θ (x, t; 3) =
2π
2
mentre se prendiamo il caso di s = 6:
3
1
∼
w̃θ (x, t; 6) = A sin(ωt − κx) + sin(ωt + 5κx) .
π
5
(3.11)
(3.12)
La relazione (3.11) ci mostra che se discretizziamo una sinusoide ideale
di ampiezza A con una
√ curva a s = 3 segmenti costanti otteniamo un'onda
di ampiezza pari a 3 3A/2π ≈ 0.83A a cui si somma
una seconda onda
√
che si muove in direzione opposta con ampiezza 3 3A/4π ≈ 0.41A e metà
lunghezza d'onda. Nel caso di approssimazione con s = 6, gli eetti della
discretizzazione sono meno importanti. Dalla (3.12) si ricava che l'armonica
fondamentale ha un'ampiezza pari a 3A/π ≈ 0.95A e a questa si somma una
seconda onda viaggiante nella direzione opposta con lunghezza d'onda cinque
volte più piccola e di ampiezza 3A/5π ≈ 0.19A.
A partire dall'espansione in serie di Fourier dell'onda (3.10) gli autori hanno cercato di spiegare le dierenze tra i risultati ottenuti sperimentalmente
e quelli trovati tramite DNS. Per prima cosa hanno espresso la supercie
R(ω, κx ), mostrata in Figura 3.14, attraverso una rappresentazione integrale
che utilizza un kernel K (da denire) e l'onda imposta. Questo procedimento
permette di ottenere un'espressione analitica per la riduzione di resistenza
indotta da qualunque onda utilizzata.
Se l'onda viaggiante (2.8) viene considerata come parte reale di un'onda
elementare
fω,κx (t, x) = AR[ei(ωt−κx x) ],
(3.13)
allora si può assumere che R(ω, κx ) può essere scritta come il prodotto tra il
kernel K e l'onda viaggiante fω,κx che fa da forzamento al usso:
Z Z
R(ω, κx ) =
K(τ, ξ)fω,κx (τ, ξ)dτ dξ.
(3.14)
Gli autori, utilizzando l'equazione (3.14), hanno costruito empiricamente
un'espressione analitica per K a partire dalle informazioni disponibili sulla mappa R(ω, κx ). Essi hanno scelto di descrivere il kernel attraverso la
35
.
(a) Mappa
R̃l (ω, κx ; 3)
ottenuta con
(b) Taglio di
R̃l (ω, κx ; 3)
di (a) per
κ+
x = 0.0082
la (3.16)
Figura 3.16: In (a) mappa della riduzione di resistenza R̃l (ω, κx ; 3) ottenuta con
la formula (3.16), in (b) taglio della mappa presentata in (a) per κ+
x = 0.0082 che
corrisponde alla linea continua in confronto con i dati sperimentali (simboli) e i
dati DNS (linea tratteggiata). Tratte da [1].
sovrapposizione di tre funzioni Gaussiane generalizzate:
K(τ, ξ) =
3
X
aj0 exp(aj1 τ 2 + aj2 τ + a3 τ ξ + aj4 ξ + aj5 ξ 2 ).
(3.15)
j=1
Un'interpolazione ai minimi quadrati di R(ω, κx ) viene utilizzata per calcolare i valori dei 18 parametri complessi aj0 , aj1 , ...aj5 , j = 1, 2, 3, e ottenere quindi un'espressione analitica per K che si dimostra essere una buona
approssimazione della mappa R(ω, κx ).
Questo procedimento ha permesso agli autori di tenere conto di diverse
onde come semplice sovrapposizione, il che equivale ad assumere che gli eetti
di riduzione di resistenza sono additivi tra le diverse onde.
Per il caso s = 3 , utilizzando le equazioni (3.14) e (3.11), si ottiene
Z Z
1
R̃l (ω, κx ; 3) = C3
K(τ, ξ) fω,κx + fω,−2κx dτ dξ.
(3.16)
2
La sovrapposizione lineare delle armoniche provoca una modica della
mappa R̃l che descrive la riduzione di resistenza, essa è riportata in Figura
3.16 (a) dove si nota che la maggiore dierenza dal caso ideale (Figura 3.1)
è che si viene a creare una zona di incremento di resistenza anche per onde
viaggianti all'indietro. Nella gura (b) si può osservare che le principali
caratteristiche dei risultati sperimentali sono ben riprodotte quando viene
tenuta in considerazione la prima armonica. In particolare si vede che è
presente la stessa oscillazione per ω = −0.18 anche se le ampiezze sono
36
.
(a) Mappa
la (3.17)
R̃nl (ω, κx ; 3) ottenuta con
(b) Taglio di
R̃nl (ω, κx ; 3)
di (a) per
κ+
x = 0.0082
Figura 3.17: In (a) mappa della riduzione di resistenza R̃nl (ω, κx ; 3) ottenuta con
la formula (3.17), in (b) taglio della mappa presentata in (a) per κ+
x = 0.0082 che
corrisponde alla linea continua in confronto con i dati sperimentali (simboli) e i
dati DNS (linea tratteggiata). Tratte da [1].
diverse, inoltre l'intensità dell'incremento di resistenza per onde viaggianti
in avanti è signicativamente ridotto, il che può permettere di comprendere
perchè nel caso sperimentale tale eetto non si osservi.
Se alla semplice sovrapposizione lineare delle onde si aggiungono gli eetti
non lineari del controllo (troncati al second'ordine), si può riscrivere la (3.16)
come
"
#
2
Z Z
1
1
R̃nl (ω, κx ; 3) = C3
K(τ, ξ) fω,κx + fω,−2κx + η fω,κx + fω,−2κx + ... dτ dξ,
2
2
(3.17)
dove il pedice nl si riferisce agli eetti non lineari pesati dal parametro η < 1
scelto in modo da minimizzare la dierenza tra i dati sperimentali e la curva
ottenuta dal taglio di R̃nl (ω, κx ; 3) per il κx corrispondente.
Con la formula (3.17) si ottiene la mappa in Figura 3.17 (a) in cui si può
notare come l'incremento di resistenza per le onde viaggianti all'indietro si sia
ridotto rispetto al caso in Figura 3.16 (a). Questo è maggiormente evidente
se si osserva la gura (b) che rappresenta un taglio della mappa R̃nl (ω, κx ; 3)
per κ+
x = 0.0082; l'interpolante non lineare riproduce tutte le oscillazioni
presenti nei risultati sperimentali alle corrette frequenze e con una maggior
accuratezza sulle ampiezze rispetto al caso solo lineare.
Questa analisi, che nell'articolo [1] è portata avanti anche per la discretizzazione con s = 6, permette di comprendere gli eetti della discretizzazione
dell'onda ideale e le oscillazioni presenti nei risultati sperimentali ottenuti e
mostrati in Figura 3.15. E' però da osservare che essa non si basa su una
teoria dimostrata ne è in grado di predirre quantitativamente gli eetti della
37
discretizzazione, è per questo che è necessaria una successiva analisi DNS per
vericare che le ipotesi semplicative su cui si basa siano accettabili.
38
Capitolo 4
Il codice CPL
Le onde viaggianti nel canale piano, descritte nel Capitolo 3, sono state
studiate attraverso un codice DNS scritto in CPL, un linguaggio di programmazione il cui compilatore è stato concepito da Paolo Luchini, [28]. Il codice
è descritto da Quadrio e Luchini in [25]. Allo stesso modo per la geometria
cilindrica in esame si è utilizzato il programma, sempre in linguaggio CPL,
descritto da Fabbiane in [11]. Esso è un codice parallelo pseudo-spettrale che
permette di compiere calcoli DNS per alti valori di numero di Reynolds per
ussi turbolenti in condotti cilindrici.
Una descrizione delle principali caratteristiche del programma è raccolta
in questo capitolo, a partire dalle equazioni in coordinate cilindriche in esso
utilizzate.
4.1 Equazioni di governo
La geometria in esame ci porta ad utilizzare le coordinate cilindriche dove,
come mostrato in Figura 4.1, x, r e θ indicano rispettivamente la direzione
assiale, radiale e azimutale. Mentre u, v e w sono le componenti della velocità
nelle rispettive direzioni x, r e θ.
Si parte dalle equazioni di NavierStokes per un uido incomprimibile a
proprietà costanti scritte in coordinate cilindriche, tratte da [38].
∂u 1 ∂(rv) 1 ∂w
+
+
=0
∂x r ∂r
r ∂θ
39
(4.1)
40
Capitolo 4. Il codice CPL
Figura 4.1: Sistema di riferimento coordinate cilindriche
∂u ∂(uu) 1 ∂(ruv) 1 ∂(uw)
∂p
+
+
+
=− +
∂t
∂x
r ∂r
r ∂θ ∂x
1 ∂ 2u 1 ∂
∂u
1 ∂ 2u
+
+
r
+ 2 2
(4.2)
Re ∂x2 r ∂r
∂r
r ∂θ
∂p
∂rv ∂(ruv) ∂(rvv) ∂(wv)
+
+
+
− w2 = −r +
∂t
∂x
∂r
∂θ ∂r
1 ∂ 2 rv
∂ 1 ∂(rv)
1 ∂ 2 (rv) 2 ∂w
+
+r
−
+ 2
(4.3)
Re ∂x2
∂r r ∂r
r ∂θ2
r ∂θ
1 ∂(r2 vw) 1 ∂(ww)
1 ∂p
∂w ∂(uw)
+
+ 2
+
=−
+
∂t
∂x
r ∂r
r ∂θ r ∂θ
1 ∂ 2w 1 ∂
w
2 ∂(rv)
∂w
1 ∂ 2w
+
+
r
+ 2 2 − 2+ 3
(4.4)
Re ∂x2
r ∂r
∂r
r ∂θ
r
r ∂θ
Grazie alla periodicità del usso in x e θ è possibile scrivere la trasformata
di Fourier in tali direzioni:
V (x, θ, r, t) =
nx
X
nθ
X
V̂ix ,iθ (r, t)eiα(ix )x+im(iθ )θ
(4.5)
ix =−nx iθ =−nθ
dove i simboli α e m rappresentano i numeri d'onda assiale e azimutale
rispettivamente, deniti come:
α=
2πh
= α0 h;
Lx
m=
2πl
= m0 l,
Lθ
(4.6)
4.1. Equazioni di governo
41
h e l rappresentano due indici interi corrispondenti alla direzione assiale e
azimutale rispettivamente, mentre α0 e m0 sono i numeri d'onda fondamentali
nelle stesse direzioni denite attravverso la lunghezza assiale Lx del dominio
di calcolo e quella azimutale Lθ espressa in radianti.
Per riportarsi alle equazioni utilizzate nel codice, si moltiplicano l'equazione di continuità (4.1) e le equazioni (4.2) e (4.4) per r e quindi si trasforma
nel dominio di Fourier (l'equazione (4.3) per la componente radiale v è già
moltiplicata per r).
iαrû + D1 (rv̂) + imŵ = 0
r
r
(4.7)
∂ û
+ iαruu
ˆ + D1 (ruv)
ˆ + imuw
ˆ = −iαrp̂+
∂t
1
m2
2
+
D∗ (û) − α r +
û
(4.8)
Re
r
∂v̂
+ iαruv
ˆ + D1 (rvv)
ˆ + imvw
ˆ − ww
ˆ = −D1 (rp̂) + p̂+
∂t
1
m2
1
2
2
+
(4.9)
D∗ (v̂) − v̂ − α r +
v̂ − im ŵ
Re
r
r
r
∂ ŵ
+ iαruw
ˆ + D1 (rvw)
ˆ + imww
ˆ + vw
ˆ = −imp̂+
∂t
1
1
m2
2
2
+
D∗ (ŵ) − ŵ − α r +
ŵ + im v̂
(4.10)
Re
r
r
r
∂
∂
∂
in cui si è denito D1 = ∂r
e D∗ = ∂r
r ∂r
.
Le equazioni (4.8), (4.9) e (4.10) si possono riscrivere nel seguente modo:
r
∂ û
+ Cu = Vu
∂t
∂v̂
r
+ Cv = Vv
∂t
∂ ŵ
r
+ Cw = Vw
∂t
r
(4.11)
in cui i termini convettivi, C , e viscosi, V , sono stati espressi in maniera
compatta:
42
Cu = iαruu
ˆ + D1 (ruv)
ˆ + imuw
ˆ
Cv = iαruv
ˆ + D1 (rvv)
ˆ + imvw
ˆ − ww
ˆ
Cw = +iαruw
ˆ + D1 (rvw)
ˆ + imww
ˆ + vw
ˆ
1
m2
2
Vu = −iαrp̂ +
D∗ (û) − α r +
û
Re
r
1
1
m2
2
2
Vv = D1 (rp̂) + p̂ +
D∗ (v̂) − v̂ − α r +
v̂ − im ŵ
Re
r
r
r
2
1
m
2
1
D∗ (ŵ) − ŵ − α2 r +
ŵ + im v̂ .
(4.12)
Vw = −imp̂ +
Re
r
r
r
Per chiudere il problema dierenziale è necessario imporre una condizione
al contorno per tutte le variabili.
4.2 Condizione di regolarità
L'utilizzo delle coordinate cilindriche, insieme all'espansione in serie di Fourier, comporta la necessità di domandarsi come si comportano i coecienti
della serie quando ci si approccia all'asse del condotto. Questi esprimono
sia quantità scalari, la pressione, sia quantità vettoriali quindi è necessario
utilizzare un trattamento diverso per i due tipi di coecienti, [23].
Per la pressione, assumendo che ogni coeciente sia una funzione regolare
dello spazio, la condizione di regolarità comporta:
p̂(r) ∼ r|m|
per
r → 0.
(4.13)
Per le tre componenti della velocità si può usare lo stesso approccio. Per
m 6= 0 si ottiente:

û(r) ∼ r|m| 

v̂(r) ∼ r|m|−1


ŵ(r) ∼ r|m|−1
per
r → 0,
(4.14)
mentre per m = 0

û(r) ∼ r0 

v̂(r) ∼ r

ŵ(r) ∼ r 
per
r → 0.
(4.15)
4.3. Costruzione della matrice del sistema
43
4.3 Costruzione della matrice del sistema
Il sistema di equazioni ricavato in 4.1, viene scritto all'interno della matrice
A così denita:
A(nvars*ny1 ... (nyh+1)*nvars -1, -(2*nvars -1) ... 2*nvars -1)
dove nvars = (ppos, upos, vpos, wpos) + 1 = 4.
La matrice A è costruita a blocchi di quattro variabili, p, u, v , w, per ogni
y (primo indice). Il secondo indice si muove sulla molecola utilizzata per il
calcolo delle dierenze nite.
All'interno della SUBROUTINE Step1 viene riempita la matrice del sistema.
Ciò avviene attraverso l'utilizzo di due cicli FOR, uno esterno su due indici,
iy = −ny1...nyh e j = −1...1, e uno interno con variabile jv che assume
ciclicamente i valori (ppos, upos, vpos, wpos) = (0, 1, 2, 3).
Grazie al ciclo esterno ssiamo una y attraverso iy , e un elemento della
molecola, j . A questo punto, per semplicare l'indicizzazione successiva,
viene fatto un cambio di origine della matrice denendo il puntatore AA nel
modo seguente:
AA = ^A(nvars*iy + *, nvars*j + *)
che gracamente può essere rappresentato come segue:
ppos
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
upos
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
vpos
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
wpos
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
−7
−6
−5
−4
4
5
6
7
Vediamo il suo signicato attraverso un esempio: se ssiamo iy = ny1
e j = −1 signica che stiamo scrivendo il blocco di quattro elementi (p u v w)
corrispondenti alla quota ny1 e come colonna siamo ssi sulla −4: A(4*ny1 , -4).
La matrice AA punta a questa sottomatrice di A. In particolare se scriviamo il
termine AA(ppos,0) eettivamente stiamo scrivendo il termine A(ppos*ny1 , -4).
In questo senso si parlava prima di cambio di origine della matrice. Il primo
44
indice della matrice AA corrisponde all'equazione che stiamo scrivendo. In
particolare, AA(ppos, ..) signica che stiamo scrivendo la riga corrispondente all'equazione per p, AA(upos, ..) è la riga che corrisponde all'equazione del momento per u, e così via. Più complesso è il secondo indice della
matrice.
Vediamo la prima riga AA(ppos,jv-ppos) con jv = 0...3. In questo caso
stiamo scrivendo la riga corrispondente all'equazione per la pressione alla
quota iy ssata fuori. Essendo ppos = 0 signica che stiamo riempiendo
le colonne da 0 a 3 di AA che corrispondono alle colonne −4 ... −1 di A
(continuando dall'esempio precedente, j = −1).
ppos
◦
AA(p, 0)
AA(p, 1)
AA(p, 2)
AA(p, 3)
◦
upos
◦
◦
◦
◦
◦
◦
vpos
◦
◦
◦
◦
◦
◦
wpos
◦
◦
◦
◦
◦
◦
−5
−4
−3
−2
−1
0
Allo stesso modo se guardiamo la seconda riga AA(upos,jv -upos) stiamo scrivendo l'equazione per la u alla y ssata e riempiamo le colonne −1 ...
3 di AA cui corrispondono le colonne −5 ... −2 di A. E così via. Il punto nero
negli schemi proposti di seguito indica che il termine in questione è stato
riempito al passo precedente.
ppos
◦
•
•
•
•
◦
upos
AA(u, −1)
AA(u, 0)
AA(u, 1)
AA(u, 2)
◦
◦
vpos
◦
◦
◦
◦
◦
◦
wpos
◦
◦
◦
◦
◦
◦
−5
−4
−3
−2
−1
0
4.4. Condizioni al contorno
45
Si nota che l'ultima riga, su cui si scrive l'equazione per w, avrà piene
le colonne −7 ... −4 di A, da qui il motivo per cui la matrice del sistema
A ha l'indice delle colonne che parte da −7 (per lo stesso motivo tale indice
arriverà a 7 quando si scrive la matrice per j = 1 nella riga ppos) . Ne risulta,
ssata una certa quota iy , una matrice A composta da 4 righe e 15 colonne.
4.4 Condizioni al contorno
Il codice è stato scritto in modo tale da poter modicare in maniera molto
semplice e immediata le condizioni al contorno. Ciò è reso possibile dalla
diretta denizione della velocità a parete (indice iy = ny ) secondo la legge
che si vuole imporre, sia essa su tutte le componenti del vettore o solo su una
di esse. Per imporre una condizione sulla componente w del vettore velocità,
per esempio, basta utilizzare una scrittura del tipo V(ix,iz,ny).w=0. Tale
denizione viene direttamente utilizzata nella costruzione del sistema di equazioni andando ad inserirsi nelle righe corrispondenti alla quota y = ny − 1,
grazie alla subroutine applybcn.
Il procedimento di applicazione della condizione al contorno al sistema si
può riassumere nei seguenti passaggi: dall'equazione per v(ny − 1) si ricava
la pressione a parete p(ny ) perchè in questa equazione è presente il termine
di derivata radiale della pressione dp/dr (come si può vedere da (4.9)); p(ny )
viene sostituito nelle equazioni per u(ny − 1) e w(ny − 1). A questo punto
però manca un'equazione per poter risolvere il sistema alla quota y = ny − 1
e, per questo motivo, viene aggiunta l'equazione di continuità nella riga della
matrice corrispondente a v(ny − 1).
Tutto ciò è necessario perchè, sebbene inizialmente il valore di pressione a
parete non è noto, per y = ny −1 la derivata d0 ha caratteristiche leggermente
diusive e contiene il termine per y = ny .
4.5 Discretizzazione radiale
La discretizzazione delle derivate in direzione radiale (come descritto per il
caso piano di derivata in direzione normale alla parete in [25]) è ottenuta
tramite uno schema alle dierenze nite compatte su una molecola di tre
punti non necessariamente equispaziati:
Dn (f (r)) |rj ≈
1
X
i=−1
djn f (rj+i ),
(4.16)
46
dove ri è la posizione lungo r della molecola su cui si calcola la derivata. I
coecienti dj cambiano con la distanza dalla parete se la griglia utilizzata
non è uniforme.
Per comprendere il signicato di uno schema compatto si può vedere il
classico schema alle dierenze nite trasformato nello spazio di Fourier come
polinomio interpolante di una funzione trascendente, con il grado del polinomio che corrisponde all'ordine di accuratezza dello schema. Le dierenze
nite compatte migliorano l'interpolazione perchè sostituiscono il singolo polinomio con un rapporto tra due polinomi, aumentando il numero di coeenti
disponibili.
Gli schemi compatti sono anche chiamati schemi impliciti alle dierenze
nite, questo perchè richiedono l'inversione del sistema lineare per il calcolo
delle derivate, aumentandone la complessità e il costo computazionale. Nel
caso in esame però questo problema è evitato in quanto non è presente nelle
equazioni il termine di derivata del terz'ordine D3 ; ciò permette di introdurre
l'operatore di derivata zero D0 che viene applicato ai termini non dipendenti
dalla direzione radiale per evitare l'inversione.
4.6 Risoluzione spaziale nella direzione azimutale
L'utilizzo delle coordinate cilindriche, se si mantiene costante il numero di
modi nθ utilizzati in direzione azimutale θ, comporta un aumento indesiderato della risoluzione in tale direzione al diminuire della cordinata radiale,
andando cioè dalle pareti verso il centro del condotto. Questo comporta che,
scegliendo un valore di nθ corretto per risolvere le strutture turbolente vicino
a parete, si ha uno spreco di risorse di calcolo avvicinandosi all'asse ed inoltre
si possono avere problemi di stabilità numerica in questa zona.
Come descritto in [11] ed in [28], per ovviare a tali problemi il troncamento
della serie di Fourier azimutale è diventato funzione della coordinata radiale.
Al posto dell'espansione (4.5) si utilizza quindi la seguente:
V (x, θ, r, t) =
nx
X
Nθ (r)/2
X
V̂ix ,iθ (r, t)eiα(ix )x+im(iθ )θ
(4.17)
ix =−nx iθ =−Nθ (r)/2
in cui il numero di modi nella direzione azimutale è un'arbitraria funzione
Nθ (r) della coordinata radiale.
Nel codice si è scelto di utilizzare una legge Nθ (r) lineare da un massimo
Nθ,max per r = R ad un minimo Nθ,min per r = 0, con Nθ,max e Nθ,min
4.7. Integrazione nel tempo
αn
γn
ζn
4/15 8/15 −17/60
1/15 5/12 −5/12
1/6 3/4
0
(a) RK 3 stages
47
αn
4/17
8/255
1/15
1/6
γn
8/17
17/60
5/12
3/4
ζn
15/68
17/60
5/12
0
(b) RK 4 stages
Tabella 4.1: Coecienti schemi RungeKutta a 3 passi (a) e a 4 passi (b)
proporzionali al raggio in modo da mantenere il più costante possibile la
risoluzione spaziale in direzione θ, Lθ = 2N2πr
, al variare della coordinata
θ (r)
radiale.
4.7 Integrazione nel tempo
L'integrazione nel tempo delle equazioni (4.11) è fatta attraverso l'utilizzo
di un metodo parzialmente implicito dato dalla combinazione di uno schema
esplicito per i termini non lineari convettivi (RungeKutta del terz'ordine)
e di uno implicito (CrankNicholson del second'ordine) per i termini lineari
viscosi, come descritto in [34]. In questo modo la parte esplicita delle equazioni può utilizzare uno schema ad alta accuratezza mentre la parte implicita
è soggetta al limite di stabilità di avanzamento.
Lo schema esplicito adottato è un RungeKutta a tre passi temporali.
Una volta denite le seguenti quantità:
 
 
 
u
 Vu 
 Cu 
u= v
I = Vv
E = Cv ,
(4.18)
 
 
 
w
Vw
Cw
e ricordando le denizioni in (4.12), tale schema può essere scritto come:
ua = un + ∆t(α1 (I(un , pn ) + I(ua , pa )) + γ1 E(un ))
ub = ua + ∆t(α2 (I(ua , pa ) + I(ub , pb )) + γ2 E(ua ) + ζ1 E(un ))
un+1 = ub + ∆t(α3 (I(ub , pb ) + I(un+1 , pn+1 )) + γ3 E(ub ) + ζ2 E(ua ))
(4.19)
dove i pedici n e n + 1 indicano gli istanti temporali, mentre con i pedici a e
b si indicano il primo e il secondo substep del metodo.
Per migliorare l'integrazione nel tempo si è implementato uno schema
Runge-Kutta, sempre del terz'ordine, ma con quattro passi di avanzamento.
Lo schema è lo stesso di (4.19) a cui si aggiunge un passo ulteriore uc .
48
In Tabella 4.1 sono elencati nei due casi i coecienti αi , γi e ζj ; per lo
schema a tre passi i coecienti già implementati sono stati vericati con [34],
mentre per lo schema a quattro passi si sono utilizzati i coecienti proposti
in [22].
Capitolo 5
Onde viaggianti in un condotto
cilindrico
Nel Capitolo 3 sono state descritte nel dettaglio le onde viaggianti applicate
ad un usso turbolento in un canale piano; in questo capitolo si descrivono
i risultati ottenuti tramite questo tipo di controllo applicato ad un usso
turbolento in un condotto cilindrico. In 5.1 sono descritti l'analisi e i risultati numerici ottenuti nel tentativo di riprodurre l'esperimento descritto
in 3.4, in 5.2 sono proposti alcuni confronti tra i campi di moto del usso controllato tramite onda discretizzata con s = 3 e s = 6, di seguito in
5.3 viene riportata l'analisi delle statistiche turbolente negli stessi casi. Il
confronto tra gli spessori dello strato generalizzato di Stokes laminare nelle
due geometrie, piana e cilindrica, calcolato analiticamente nel primo caso e
numericamente nel secondo è proposto in 5.4 ed inne, in 5.5 vengono proposti i primi risultati sulla riduzione di resistenza nel cilindro per un'onda
ideale a Reτ = 200.
5.1 Confronto con l'esperimento
Si vericano ora i risultati sperimentali di [1], riassunti in 3.4, attraverso
uno studio DNS per s = 3 e s = 6.
Si sono eettuate un totale di 91 simulazioni, 30 per ogni onda considerata
(ideale, s = 3 e s = 6) più una per il usso di riferimento non forzato. I
parametri utilizzati sono riportati in Tabella 5.1.
Il dominio computazionale ha Lx /R ≈ 22 e Lθ /R = 2π . Per Reb = 4900
si sono utilizzati 384 × 192 modi di Fourier in direzione assiale e azimutale
rispettivamente e nr = 100 punti nella direzione radiale. La risoluzione spaziale nella direzione assiale è ∆x+ = 9.7, quella in direzione azimutale risulta
49
50
Capitolo 5. Onde viaggianti in un condotto cilindrico
A
Reb
α0
κx
ω+
∆ω
nmx
0.4928
4900
0.286
1.43
−0.3 ÷ 0.3
0.02
5
Tabella 5.1: Parametri simulazioni numeriche onde discretizzate
+
r∆θ+ 6 5.5 mentre in direzione radiale varia da un minimo ∆rmin
= 0.75 a
+
parete ad un massimo ∆rmax = 2.43 al centro del condotto. Il tempo totale
di integrazione, adimensionalizzato con la Ub , è di 1000 unità. Le simulazioni sono condotte a portata costante e utilizzano l'opzione di numero CFL
costante e pari a 1, tutte partono dalla stessa condizione di usso turbolento completamente sviluppato in un condotto cilindrico senza oscillazione
imposta. Tutte le simulazioni qui presentate sono state compiute su alcune
macchine disponibili all'Università di Salerno ognuna delle quali è equipaggiata con due processori dual-core AMD Opteron. Ogni simulazione è stata
fatta in maniera seriale in quanto si era interessati ad avere molti risultati
anche se non nel più breve tempo possibile infatti, ognuna, è durata circa
quindici giorni.
Per la discretizzazione dell'onda sinusoidale viene utilizzata l'espressione
(3.10) con 0 ≤ n < nmx . Ad essa è sovrapposta una smussatura degli angoli
eettuata attraverso un ltro gaussiano come riportato in [26] (pag 563) e
descritto dalla seguente espressione:
G(χ) =
6
π∆
1/2
6χ2
exp − 2 ,
∆
(5.1)
dove χ è un indice che varia nella direzione x, ∆ rappresenta l'ampiezza
del ltro, denita, nel caso presente, come un multiplo del numero d'onda
fondamentale ∆ = Fα0 , con F che denisce il fattore di smussamento ovvero
quanti punti dell'onda originale, nelle vicinanze della discontinuità, vengono
eettivamente modicati dal ltro.
Per scegliere un fattore di smussamento ragionevole si sono valutate, al variare di F , due quantità: l'ampiezza del ltro ∆ e l'ampiezza delle oscillazioni
presenti osservando l'onda reale trasformata in Fourier e quindi ritrasformata all'indietro. In Figura 5.1 sono riportati due graci che rappresentano le
due valutazioni eettuate: in (a) si osservano le ampiezze dei ltri al variare
di F , mentre in (b) sono riportati gli eetti delle varie scelte. Per il caso
indicato dalla curva arancione, caratterizzato dal fattore di smussamento più
basso considerato, F = 150, si può osservare (in (a)) che il ltro agisce prima rispetto agli altri imponendo una modica su più punti del gradino, ciò
5.1. Confronto con l'esperimento
51
(a) Ampiezza smussatura
.
(b) Oscillazioni dopo RFT
Figura 5.1: Confronto tra gli eetti di diversi parametri di smussatura F ; ampiezza
di smussatura in (a) e oscillazioni dopo la trasformata in (b).
52
corrisponde, in (b), ad un'abbattimento dell'ampiezza delle oscillazioni che
sono minime lungo tutto il gradino e soprattutto non sono presenti vicino alla
discontinuità. Nonostante l'ottimo ltraggio ottenuto con questo valore di
F , per evitare una modica troppo importante all'onda, si è deciso di optare
per un valore di F più elevato. Il caso blu e quello verde sono caratterizzati
entrambi da una modica degli ultimi tre punti dell'onda prima della discontinuità. Dalla gura (b) si osserva che le due curve sono caratterizzate da
oscillazioni di ampiezza all'incirca equivalenti nella zona centrale del gradino,
mentre, avvicinandosi alla discontinuità, sono decisamente superiori per la
curva blu. Per questo motivo si è scelto di utilizzare F = 210 che rappresenta un buon compromesso tra smussatura degli angoli dei gradini e ampiezza
delle oscillazioni dopo le trasformate.
In Figura 5.2 è rappresentata la discretizzazione dell'onda sinusoidale
utilizzata nel codice, a due istanti successivi: la curva rossa rappresenta l'approssimazione dell'onda sinusoidale (di colore blu) con s = 6 (come descritta
dalla (3.10)) mentre la curva verde rappresenta la stessa discretizzazione con
gli angoli smussati utilizzando il ltro gaussiano (5.1) e F = 210.
A posteriori, valutando lo sforzo a parete del caso di riferimento senza
onde imposte, si è visto che, in unità di parete, il Reynolds e l'ampiezza
dell'onda non corrispondono esattamente ai valori utilizzati nell'esperimento.
Abbiamo infatti: Reτ ≈ 169 e A+ = 14.3. Si ricorda che per l'esperimento si
è utilizzato un usso di riferimento caratterizzato da Reτ = 175 e un controllo
di ampiezza A+ = 13.8.
In Figura 5.3 è riportato il confronto diretto tra i risultati sperimentali
per s = 3 (curva e i triangoli blu) e i valori di riduzione di resistenza ottenuti
numericamente rappresentati dalla curva verde con i quadrati. Nel graco
è stata inserita anche la curva rossa con i cerchi che rappresenta il caso di
forzamento con onda sinusoidale ideale.
Si può facilmente osservare come i risultati siano in accordo tra di loro.
La DNS replica in maniera particolarmente ecace l'andamento della curva
sperimentale, infatti si riescono a cogliere le oscillazioni in essa presenti con
una corrispondenza perfetta, in termini di ω , dei punti di massimo e minimo
relativi. Ciò che risulta un po' diverso sono i valori di riduzione di resistenza
ottenuti, l'analisi numerica porta infatti a dei valori di R maggiori rispetto a
quelli ottenuti sperimentalmente e più vicini a quelli trovati con la sinusoide
ideale. Tale dierenza è massima per onde quasi-stazionarie o viaggianti in
avanti con una velocità bassa cui corrispondono i valori maggiori di riduzione
di resistenza ottenibili. Questi casi (ω = 0.02 e ω = 0.04) sono caratterizzati
anche da una laminarizzazione completa o parziale del usso turbolento cui è
applicato il controllo, cosa che sperimentalmente non è stata osservata. Ciò
può essere spiegato attraverso una delle considerazioni fatte da Auteri et al.
(a)
53
t = 0.2
.
(b)
t=1
Figura 5.2: Sinusoide (in rosso) discretizzata con s = 6 a due istanti dierenti,
t = 0.2 (a) e t = 1 (b). In blu la discretizzazione e in verde la smussatura con
il ltro gaussiano (il numero di punti indicati è metà del numero di punti totali
utilizzati).
54
Figura 5.3: Riduzione di resistenza prodotta da onde viaggianti discretizzate con
s = 3 segmenti costanti in funzione della frequenza di oscillazione. Confronto tra
sinusoide ideale (curva e pallini rossi), dati sperimentali (curva blu e triangoli) e
risultati numerici (curva verde e quadrati). Per tutti i casi A+ = 14.3 e Reτ = 169.
in [1]: la riduzione di resistenza misurata sperimentalmente attraverso la caduta di pressione nella sezione attiva è probabilmente sottostimata in quanto
non è possibile eliminare l'eetto del transitorio, causato dall'imposizione del
controllo, che caratterizza una buona porzione di tale tratto del condotto.
E' interessante notare come i risultati numerici per s = 3 colgano perfettamente il valore di massima riduzione di resistenza ottenuto tramite l'onda
ideale, mentre non sono in grado di rappresentare la zona di incremento di
resistenza ma seguono l'andamento dei risultati sperimentale che identicano un drastico calo di riduzione di resistenza senza però raggiungere valori
negativi.
In Figura 5.4 è riportata anche la seconda simulazione eettuata con
s = 6 (curva e triangoli rovesciati viola). Qui è proposto il confronto diretto
tra le due discretizzazioni e l'onda sinusoidale ideale (il codice colore è lo
stesso del precedente confronto), da cui si evince quale sia l'eetto della
discretizzazione utilizzata. Come osservato in precedenza, l'onda sinusoidale
approssimata in maniera scadente (s = 3) presenta una curva R(ω + ) con forti
oscillazioni e non è in grado di cogliere la zona di incremento di resistenza.
55
Figura 5.4: Riduzione di resistenza prodotta da onde viaggianti discretizzate con
s = 3 segmenti costanti (curva verde con i quadrati) e con s = 6 segmenti costanti
(curva viola con triangoli rovesciati) in funzione della frequenza di oscillazione.
Confronto con sinusoide ideale (curva e pallini rossi). Per tutti i casi A+ = 14.3 e
Reτ = 169.
Viceversa, l'onda sinusoidale discretizzata con s = 6, non presenta più tali
oscillazioni e segue perfettamente l'andamento della curva della sinusoide
ideale cogliendo sia il massimo di riduzione di resistenza sia la presenza di
una zona di incremento di resistenza.
Queste considerazioni portano alla conferma delle ipotesi avanzate da
Auteri et al. che hanno attribuito la causa della presenza di oscillazioni nella
curva R(ω + ) alla discretizzazione dell'onda implementata sperimentalmente.
Infatti, come qui vericato numericamente, tali oscillazioni sono maggiori nel
caso dell'approssimazione peggiore con soli 3 tratti costanti.
56
5.2 Campi di moto
In Figura 5.5 sono riportati i campi di moto, per ogni caso considerato, la
componente u della velocità in alto e, sotto, le isosuperci della quantità
λ2 = −2 sulla componente w della velocità che rappresenta il forzamento
in esame: il caso di riferimento è riportato nella gura (a) e rappresenta il
campo di moto di partenza per le simulazioni con il controllo applicato. In
(b) troviamo l'eetto della sinusoide ideale, in (c) l'onda discretizzata con
s = 3 e in (d) quella con s = 6. In tutti i casi le istantanee sono prese dopo
un adeguato transitorio dall'applicazione del controllo; il usso va da sinistra
verso destra. Il colore rosso rappresenta valori positivi maggiori più è intenso
mentre in blu sono indicati i valori negativi.
Si ricorda che λ2 è un criterio per la visualizzazione del nucleo dei vortici
in un usso incomprimibile, in particolare, come denito in [16], esso si basa
sugli autovalori del tensore simmetrico S2 + Ω2 dove S e Ω sono rispettivamente la parte simmetrica e antisimmetrica del tensore gradiente di velocità
∇u. Gli autori, Jeong e Hussain, hanno denito un vortice come la regione
connessa caratterizzata da due autovalori negativi del tensore S2 + Ω2 . Se
infatti λ1 , λ2 e λ3 sono gli autovalori e λ1 > λ2 > λ3 la denizione appena
proposta corrisponde a richiedere che λ2 < 0 nel vortice.
Le caratteristiche di questi campi evidenziano i risultati riportati in Tabella 5.2. In tutti i casi con il controllo applicato infatti si nota che c'è
riduzione di resistenza in quanto diminuisce l'attività turbolenta e il usso
è più uniforme nella direzione longitudinale. Questo è particolarmente evidente nei due casi con onda discretizzata (c) e (d) dove si nota chiaramente,
soprattutto dall'immagine in basso dei rispettivi gruppi, che il usso è caratterizzato da zone fortemente turbolente a zone quasi laminari. In (c) si vede
che, nella seconda parte del condotto, il controllo porta il usso ad una quasi
laminarizzazione; nell'immagine superiore la fascia rossa centrale che indica
il usso più veloce diventa più allineata alle pareti ed in essa non si distinguono più strutture a velocità diverse come negli altri casi ma la corrente
diventa più uniforme, nell'immagine inferiore questo concetto è particolarmente evidenziato dall'assenza di strutture vorticose in tale zona, inoltre,
da quest'ultima, facendo riferimento allo sfondo, si può osservare come la
transizione fra uno stato locale laminare e uno turbolento non e' collegata
direttamente alla lunghezza d'onda del forzamento.
In questi casi, la zona turbolenta è chiamata turbulent pu (Wygnanski e
Champagne [40]). Diversi studi si sono susseguiti negli anni per comprendere
quando e come si può essere in presenza di un tale tipo di usso. Tipicamente
infatti a bassi valori di numero di Reynolds un usso in un condotto è laminare mentre diventa turbolento all'aumentare della velocità. La transizione
5.2. Campi di moto
57
(a) Riferimento
(b) Sinusoide
(c) s = 3
(d) s = 6
Figura 5.5: In ogni gruppo: sopra campi di moto per la componente della velocità u,
sotto isosuperci di λ2 = −2 sullo sfondo componente w che denisce il forzamento.
In (a) il caso di riferimento senza controllo, in (b) usso con controllo ideale, (c) caso
con s = 3 e (d) s = 6. Tutte le istantanee (b), (c) e (d) sono prese dopo adeguato
transitorio, mentre (a) è il campo di moto di partenza delle simulazioni con il
controllo applicato a Reτ = 169. Il usso va da sinistra verso destra. A+ = 14.3,
ω + = 0.06 e κ+
x = 0.0085.
58
laminare turbolento può coinvolgere una serie di instabilità oppure avvenire
istantaneamente ma, una volta avvenuta, lo stato turbolento persiste. Questo però non è il caso generale per un usso in un condotto cilindrico dove si
è visto che, per velocità relativamente basse (Rec < 2000), la turbolenza è un
fenomeno transitorio ed il usso può essere caratterizzato dalla presenza di
zone turbolente e zone laminari. Solo quando si supera un valore di numero
di Reynolds critico le zone turbolente hanno vita più lunga e la turbolenza
diventa persistente. Hof et al. in [14] prima e, successivamente, Lozar e Hof
in [24] hanno presentato degli esperimenti e dei risultati numerici che mostrano come la turbolenza in un usso in un condotto cilindrico è un evento
transitorio e gli stati turbolento e laminare rimangono dinamicamente connessi tra loro. In particolare per valori di Reynolds 1600 < Rec < 2040 è
vericato che la turbolenza in questa geometria è un fenomeno transitorio
mentre per valori di Reynolds superiori diventa persistente ([2]).
Il caso presentato in Figura 5.5 (c) è caratterizzato, come detto, da una
riduzione di resistenza di circa il 30% che corrisponde, in termini di Reynolds,
ad una riduzione rispetto al caso di riferimento di ≈ 19% (si faccia riferimento
alla Tabella 5.2). Trasportando questa riduzione ai Reynolds basati sulla
velocità al centro del canale, con riduzione di resistenza si passa da Rec ≈
2500 a Rec ≈ 1997. Tale valore di Reynolds è compreso nel range indicato da
Avila et al. ([2]) per cui la turbolenza nel condotto cilindrico è un fenomeno
transitorio e non persistente.
In Figura 5.6 sono riportate, per alcune sezioni del condotto, il campo
della componente u0 delle uttuazioni nella colonna a destra, e il campo della
quantità λ2 nella colonna di sinistra per il caso di usso forzato con s = 3.
Le due sezioni (a-b) e (c-d) sono prese rispettivamente all'inizio e a circa
metà della regione turbolenta di Figura 5.5 (c) mentre le (e-f) sono istantanee
della regione laminare. Per entrambe le quantità rappresentate le dierenze
sono evidenti (da notare la dierente scala utilizzata nelle gure in basso).
La sezione (a-b) è stata scelta come indicativa della zona in cui sta formando il turbulent pu, le uttuazioni di velocità e le zone vorticose hanno già
intensità elevata ma sono connate vicino a parete, (c-d) invece rappresentano la regione turbolenta con uttuazioni elevate e vortici intensi presenti
in tutta la sezione (da notare che la scala utilizzata è stata tagliata per dare
maggior evidenza alle strutture). Inne in (d-e) si trova la zona laminare caratterizzata da basse perturbazioni (un'ordine di grandezza inferiore ai casi
precedenti) e zone vorticose connate a parete e allungate nella direzione del
movimento della parete stessa.
La Figura 5.7 riporta il confronto tra il caso di riferimento non forzato (a),
un usso caratterizzato da riduzione di resistenza (ω + = −0.02) (b) e uno
da incremento di resistenza (ω + = 0.1) (c) per il controllo attraverso onda
5.2. Campi di moto
59
.
(a)
u
a
x=2
(b)
λ2
a
x=2
(d)
λ2
a
x=4
.
(c)
u
a
x=4
.
(e)
u
a
x = 16
(f )
λ2
a
x = 16
Figura 5.6: Istantanee dei campi per la componente u0 delle uttuazioni della
velcità a sinistra e per la quantità λ2 a destra nel caso di forzamento con s = 3.
Dall'alto in basso diverse posizioni della sezione, in alto due sezioni ravvicinate
nella zona turbolenta e in basso una sezione nel tratto quasi laminare. Il usso è
entrante nella sezione. A+ = 14.3.
60
discretizzata con s = 6. Gli eetti opposti dei due forzamenti sono evidenti
anche senza osservare le relative scale di colore riportate a anco dei graci.
Nel caso di riduzione di resistenza (a) la componente u0 delle uttuazioni,
così come le zone vorticose indicate dalle isosuperci della quantità λ2 = −2,
si riducono in numero e di intensità, e il campo di moto medio non presenta oscillazioni nelle zone vicino a parete ed è più uniforme anche se rimane
turbolento. Da questo caso si dierenzia quello riportato in Figura 5.7 (c)
che mostra caratteristiche diametralmente opposte; uttuazioni e zone vorticose sono molto più intense e numerose e il usso in direzione longitudinale
presenta una forte modulazione maggiore del caso di riferimento.
5.2. Campi di moto
61
(a) Riferimento
(b) Riduzione di resistenza, ω + = −0.02, κx = 0.0085.
(c) Incremento di resistenza, ω + = 0.1, κx = 0.0085.
Figura 5.7: Confronto tra il caso di riferimento (Reτ = 169) (a), un campo con
riduzione di resistenza ω + = −0.02 (b) e un campo con incremento di resistenza
ω + = 0.1 (c) per l'onda discretizzata con s = 6 e A+ = 14.3. Per tutti i casi a
sinistra è il campo della uttuazione della velocità u0 , a destra il campo di λ2 e in
basso il campo di moto per la componente della velocità u a cui sono sovrapposte
le strutture vorticose per λ2 = −2. Le sezioni sono prese al centro del canale.
62
Figura 5.8: Prolo della componente longitudinale della velocità hui mediata nel
tempo, in x e in z . Flusso di riferimento in blu, sinusoide ideale curva rossa con i
pallini, onda discretizzata con s = 3 segmenti curva verde e sinusoide discretizzata
con s = 6 tratti costanti curva viola con i triangoli. Per i tre casi Reτ = 169,
A+ = 14.3. La parete è a y = 1.
5.3 Statistiche del usso turbolento
Come si era fatto in 3.2 per il usso nel canale, guardiamo adesso le statistiche per il usso turbolento nel condotto cilindrico. Qui metteremo a
confronto con il usso di riferimento, le statistiche di ussi forzati dalla stessa onda prima ideale e quindi discretizzata con un numero di segmenti a
velocità costante pari a s = 3 e s = 6.
Il usso in esame è caratterizzato da Reτ = 169. Le onde imposte hanno
ampiezza pari a A+ = 14.3 in unità di parete, ω = 0.375 e κx = 1.43. Tutti i
ussi sono caratterizzati da riduzione di resistenza, in particolare la sinusoide
ideale porta ad R ≈ 21%, l'onda discretizzata con s = 3 ottiene R ≈ 30%
mentre l'onda con s = 6 si comporta in maniera più simile alla sinusoide
ideale con R ≈ 24%, come riassunto in Tabella 5.2.
In Figura 5.8 è riportata la componente longitudinale della velocità hui
mediata nel tempo, in x e in θ. La curva contrassegnata dal colore blu
rappresenta il usso di riferimento, la curva rossa con i pallini pieni indica il
controllo tramite sinusoide ideale, la curva verde quello con onda discretizzata
63
casi
uτ
Reτ
R(%) S(%)
Riferimento
0.034
169.1
Sinusoide
0.031
150.6
20.8
-21.7
Onda quadra s=3
0.028
137.8
29.9
-22.9
Onda quadra s=6
0.03
146.9
23.7
-21.9
Tabella 5.2: Confronto tra usso di riferimento e usso controllato con sinusoide
ideale e sinusoide discretizzata con s = 3 e s = 6 segmenti costanti.
con s = 3 e la curva viola con i triangoli la sinusoide discretizzata con s = 6
(da qui in avanti per tutti i graci proposti sarà utilizzato lo stesso codice
colore). Le onde viaggianti che generano riduzione di resistenza provocano
eetti che si risentono per tutto il raggio per la condizione di portata costante.
In Figura 5.9 sono contenuti i confronti tra i proli rms (root-mean-square )
+
delle uttuazioni delle componenti della velocità u+
rms (in (a)), vrms (in (b)),
+
+
(in (d)) in funzione della coordinata radiale r, adimensio(in (c)) e uvrms
wrms
nalizzati con il valore di velocità d'attrito uτ calcolata per ogni caso in esame,
mentre, in Figura 5.10 sono riportati gli stessi proli ma adimensionalizzati
con la uτ del usso di riferimento.
Dal confronto per la componente u+
rms proposto in Figura 5.9 (a) si osserva chiaramente come il usso viene modicato dalla presenza del controllo.
In particolare tutte le onde considerate portano ad una riduzione di resistenza che è facilmente osservabile dalla diminuzione drastica del picco di u+
rms
rispetto al caso di riferimento. Tale picco inoltre, per tutti i casi, si sposta più
lontano dalla parete coerentemente con l'inspessimento del substrato viscoso
che si genera nel usso controllato. Le stesse considerazioni si possono fare
analizzando la Figura 5.10 (a) dove gli eetti di riduzione di resistenza delle
onde sono evidenziati maggiormente dalla diversa adimensionalizzazione. In
questo caso si riesce anche a notare che l'onda discretizzata con s = 6 ha un
picco di u+
rms leggermente inferiore rispetto alla sinusoide ideale indice del
fatto che la riduzione di resistenza è maggiore.
Interessante è notare come la curva verde per u+
rms si discosti dalle altre,
con un punto di minimo relativo in corrispondenza del massimo delle curve
rosso e viola e valore maggiore al centro del condotto. Quest'ultima discrepanza è probabilmente dovuta ad una media non suciente nel tempo che
64
(a)
u+
rms
(c)
+
wrms
(b)
(d)
+
vrms
+
uvrms
Figura 5.9: Confronti proli rms delle uttuazioni di velocità, adimensionalizzate
+
+
con la rispettiva uτ , in funzione della coordinata radiale: u+
rms , (a) vrms (b), wrms
+
(c) e uvrms (d) nei casi di riferimento (blu), onda sinusoidale ideale (in rosso), onda
discretizzata con s = 3 (in verde) e onda discretizzata con s = 6 (in viola).Per il
caso di riferimento Reτ = 169. Per le onde A+ = 14.3.
non permette di attenuare i picchi presenti nella zona centrale del condotto.
Per spiegare il minimo relativo vicino a parete invece, si osservi anche la Figura 5.11 riferita all'onda discretizzata con s = 3, la componente huu+ iθ,t degli
sforzi di Reynolds, adimensionalizzata con la rispettiva uτ , per una lunghezza d'onda e in funzione della coordinata radiale r (si ricorda che l'operatore
h·iθ,t indica l'operazione di media nel tempo e in θ). Nella regione vicino a
parete, dove questa componente raggiunge i suoi valori massimi, si può notare che presenta meno oscillazioni rispetto agli altri controlli, mantenendo un
valore più costante con picchi meno marcati. Inoltre, sempre in (c), si può
osservare che al centro del condotto (r = 0) il valore di huuiθ,t è in generale
maggiore rispetto agli altri casi considerati in gura. Le stesse considerazioni
si possono avanzare se si osservano, in Figura 5.12, le componenti degli sforzi
(a)
u+
rms
(c)
+
wrms
65
(b)
(d)
+
vrms
+
uvrms
Figura 5.10: Confronti proli rms delle uttuazioni di velocità, adimensionalizzate
con la uτ del campo di riferimento, in funzione della coordinata radiale: u+
rms , (a)
+
+
+
vrms (b), wrms (c) e uvrms (d) nei casi di riferimento (blu), onda sinusoidale ideale
(in rosso), onda discretizzata con s = 3 (in verde) e onda discretizzata con s = 6
(in viola). Per il caso di riferimento Reτ = 169. Per le onde A+ = 14.3.
di Reynolds adimensionalizzate con la uτ del campo di riferimento. Queste
osservazioni possono in parte spiegare il diverso comportamento della curva
u+
rms per s = 3 di Figura 5.9 (a), inoltre si può legare questo andamento
anomalo della curva verde anche al comportamento subcritico della turbolenza per questo usso, in particolare, come si è visto in 5.2, in questo caso
sono presenti i cosiddetti turbulent pu che fanno si che nel condotto siano
presenti contemporaneamente sia zone turbolente e sia regioni laminari. In
Figura 5.10 (a) le discrepanze tra la curva verde e le altre con il controllo sono
meno accentuate, ma si nota ancora che questa si comporta diversamente.
Tornando ai valori rms delle uttuazioni della velocità rappresentate nelle
Figure 5.9 e 5.10, in (b) osserviamo gli eetti del controllo sulla componente
+
vrms
. Se si osservano le curve adimensionalizzate con la rispettiva uτ , per
66
Figura 5.11: Componente huu+ iθ,t degli sforzi di Reynolds. Ogni caso è adimensionalizzato con la propria uτ . Dall'alto: caso di riferimento, sinusoide, onda
discretizzata con s = 3 e onda approssimata con s = 6. A+ = 14.3.
67
Figura 5.12: Componente huu+ iθ,t degli sforzi di Reynolds. Ogni caso è adimensionalizzato con la uτ del campo di riferimento. Dall'alto: caso di riferimento,
sinusoide, onda discretizzata con s = 3 e onda approssimata con s = 6. A+ = 14.3.
68
(a)
huu+ iθ,t
sinusoide
(b)
(c)
huu+ iθ,t s = 3
huu+ iθ,t s = 6
Figura 5.13: Componente huu+ iθ,t degli sforzi di Reynolds mediata sulla lunghezza
d'onda λx . Ogni caso è adimensionalizzato con la propria uτ . A+ = 14.3.
(a)
huu+ iθ,t
sinusoide
(b)
(c)
huu+ iθ,t s = 3
huu+ iθ,t s = 6
Figura 5.14: Componente huu+ iθ,t degli sforzi di Reynolds mediata sulla lunghezza
d'onda λx . Ogni caso è adimensionalizzato con la uτ del campo di riferimento.
A+ = 14.3.
69
la sinusoide ideale e l'onda con s = 6 il picco si sposta vicino a parete ma,
mentre nel primo caso esso diventa maggiore del suo valore di riferimento,
non è così per l'onda discretizzata. L'onda caratterizzata da s = 3 invece non
presenta un massimo vero e proprio ma piuttosto un tratto circa costante e
minore di tutti gli altri. Per confronto si può guardare la Figura 5.15 dove è
presentata la componente hvv + iθ,t degli sforzi di Reynolds adimensionalizzata
con la rispettiva velocità d'attrito, per i quattro casi in esame. Dalla (c) si
nota che l'andamento degli sforzi per l'onda con s = 3 è più costante rispetto
+
. Se si analizza invece il graco in
agli altri casi come si è visto per la vrms
Figura 5.10 (b), le dierenze tra i tre controlli e il campo di riferimento sono
evidenziate dall'adimensionalizzazione adottata. In particolare, come si può
anche osservare dalla Figura 5.16, tutte le curve con il controllo riducono il
+
valore massimo di vrms
, anche con questa adimensionalizzazione però i picchi
per la sinusoide e l'onda discretizzata con s = 6 si spostano verso la parete.
+
Nelle Figure 5.9 e 5.10 (c) è riportata la componente wrms
ma il confronto
non è attuabile in quanto sono presenti gli eetti del GSL a parete e per
questo le curve che rappresentano il usso controllato divergono avvicinandosi
a parete. Per lo stesso motivo non è riportata la componente hwwiθ,t degli
sforzi di Reynolds.
+
(si faccia riferimento
In (d) è presentato inne il confronto per uvrms
+
anche alle Figure 5.19 e 5.20 per huv iθ,t ). Per tutti i casi con il controllo
il valore massimo di tale uttuazione è più basso rispetto al riferimento e il
picco è spostato più lontano dalla parete.
Nelle Figure 5.13, 5.14, 5.17, 5.18, 5.21 e 5.22 sono riportate, per tutte
le tre onde utilizzate, le componenti, rispettivamente a due a due, huu+ iθ,t ,
hvv + iθ,t , huv + iθ,t degli sforzi di Reynolds, a coppie la prima gura è adimesionalizzata con le rispettive uτ e la seconda con la uτ del usso di riferimento.
Per tutti i casi si nota che non c'è modulazione degli sforzi.
70
Figura 5.15: Componente hvv + iθ,t degli sforzi di Reynolds. Ogni caso è adimensionalizzato con la propria uτ . Dall'alto: caso di riferimento, sinusoide, onda
71
Figura 5.16: Componente hvv + iθ,t degli sforzi di Reynolds. Ogni caso è adimensionalizzato con la uτ del campo di riferimento. Dall'alto: caso di riferimento,
72
(a)
hvv + iθ,t
sinusoide
(b)
(c)
hvv + iθ,t s = 3
hvv + iθ,t s = 6
Figura 5.17: Componente hvv + iθ,t degli sforzi di Reynolds mediata sulla lunghezza
(a)
hvv + iθ,t
sinusoide
(b)
(c)
hvv + iθ,t s = 3
hvv + iθ,t s = 6
Figura 5.18: Componente hvv + iθ,t degli sforzi di Reynolds mediata sulla lunghezza
A+ = 14.3.
73
Figura 5.19: Componente huv + iθ,t degli sforzi di Reynolds. Ogni caso è adimensionalizzato con la propria uτ . Dall'alto: caso di riferimento, sinusoide, onda
74
Figura 5.20: Componente huv + iθ,t degli sforzi di Reynolds. Ogni caso è adimensionalizzato con la uτ del campo di riferimento. Dall'alto: caso di riferimento,
(a)
huv + iθ,t
sinusoide
75
(b)
(c)
huv + iθ,t s = 3
huv + iθ,t s = 6
Figura 5.21: Componente huv + iθ,t degli sforzi di Reynolds mediata sulla lunghezza
(a)
huv + iθ,t
sinusoide
(b)
(c)
huv + iθ,t s = 3
huv + iθ,t s = 6
Figura 5.22: Componente huv + iθ,t degli sforzi di Reynolds mediata sulla lunghezza
A+ = 14.3.
76
5.4 Strato generalizzato di Stokes
Così come si è fatto in 3.3.3 per le onde viaggianti nel canale piano, si è
voluto calcolare lo spessore δ del GSL, funzione dei parametri dell'onda ω e
κx , per un usso laminare di Poiseuille nel condotto cilindrico con applicate
delle onde sinusoidali ideali. Questo calcolo è stato eettuato per vericare
che il comportamento dello spessore del GSL ottenuto tramite la soluzione
numerica laminare in questa geometria sia corrispondente a quello calcolato
con la soluzione analitica approssimata (3.7) nel canale piano.
Lo studio è stato condotto mantenendo costante l'ampiezza dell'onda imposta A+ = 12 per un usso a Reτ = 200. Le simulazioni sono condotte a
portata costante Q = 0.25.
Lo spessore δ del GSL è denito come il valore della coordinata y in
cui la componente azimutale della velocità è pari ad A exp(−1), vale cioè
w.w(δ) = A exp(−1).
Essendo il usso in esame laminare, si è utilizzato un numero di modi in
direzione assiale (nx ) e azimutale (nθ ) piccolo, nx = 4 e nθ = 4, riducendo così
κx
κ+
x
∆t
tmax
0
0
0.2
800
0.05
0.0025
0.2
800
0.15
0.0075
0.2
600
0.1 : 0.3
0.0005 : 0.0015
0.2
600
0.4 : 0.9
0.002 : 0.0045
0.2
300
1 : 1.9
0.005 : 0.0095
0.15
150
2 : 3.2
0.01 : 0.016
0.1
100
0.0165 : 0.0215 0.05
100
0.04
100
3.3 : 4.3
4.4 : 5
0.022 : 0.025
Tabella 5.3: Parametri delle simulazioni per il calcolo dello spessore δ dello strato
generalizzato di Stokes.
5.4. Strato generalizzato di Stokes
77
le dimensioni del calcolo al minimo. Inoltre al variare di κx si è modicato il
tempo tmax no a cui proseguire la simulazione. La scelta di questo parametro
dipende dall'oscillazione dello spessore in funzione del tempo nei casi più
critici corrispondenti alla zona di δ massimo. Vericando che la dierenza
tra il valore dello spessore al tempo nale e il suo valore all'80% di tmax sia
inferiore ad una soglia impostata come 1E − 4, si è quindi potuto stimare
un valore di tmax adeguato. Le simulazioni sono eseguite utilizzando dei
valori di ∆t diversi, più piccoli all'aumentare di κx , per evitare di ricadere
nell'instabilità numerica (tutti i calcoli sono stati condotti a ∆t costante
perchè imponendo un numero CFL costante, l'incremento temporale a bassi
κx era troppo elevato per dare una soluzione accettabile). Nella Tabella 5.3
sono riassunti i parametri utilizzati nei vari casi. Si aggiunge qui che per
+
alcuni punti, in particolare per i primi valori di κ+
≤ 0.02, si è
x e 0 < ω
utilizzato un tmax maggiore di quello riportato in tabella.
La variazione di κx è ottenuta variando il valore α0 e mantenendo costante
il modo (nmx ) eccitato dalla condizione al contorno e pari a nmx = 1 (si
ricorda che κx = α0 nmx ). L'unico caso che fa eccezione è quello per κx = 0
che è stato condotto imponendo nmx = 0.
Si è costruita una mappa di δ funzione di κx e di ω con intervalli rispettivamente di ∆ω = 0.01 e ∆κx = 0.1, a questi sono stati aggiunti i valori di δ
per due κx intermedi, κx = 0.05 e κx = 0.15, per un totale di 120 × 52 punti.
Tale mappa è riportata in Figura 5.23 dove tutte le quantità sono espresse
in unità esterne. I livelli individuati partono da δ = 0.02 con incremento di
∆δ = 0.02. In gura lo spessore del GSL per il usso nel condotto cilindrico
viene messo a confronto con quello per il canale piano ([31]) individuato con
le linee di livello di colore rosso. Come si può vedere le dierenze tra i due non
sono particolarmente elevate. Per il usso nel tubo lo strato generalizzato di
Stokes ha uno spessore maggiore rispetto al canale piano, però l'andamento
delle linee di livello è pressochè lo stesso.
La dierenza tra i valori di spessore dello strato generalizzato di Stokes
nelle due geometrie è massima per valori di κx e ω entrambi piccoli mentre
diminusce all'aumentare di entrambi i parametri. In Figura 5.24 è riportato
un ingrandimento del graco che riporta la dierenza δpipe − δchannel nella
zona −0.12 ≤ ω ≤ 0.12 e 0 ≤ κx ≤ 1 che permette di evidenziare come essa
sia massima nell'intorno dell'origine dove si vedono maggiormente gli eetti
della geometria diversa e della curvatura. Bisogna anche considerare che in
questa regione la soluzione analitica (3.7) non è attendibile.
L'obiettivo di questo lavoro è quello di utilizzare delle onde viaggianti
non ideali ma discretizzate nello spazio. Per questo motivo si è voluto vedere
come si comporta lo spessore dello strato generalizzato di Stokes quando
78
Figura 5.23: Spessore δ = δ(κx , ω) del GSL laminare nel condotto cilindrico (mappa
colorata) a confronto con lo spessore del GSL nel canale piano (curve rosse). I vari
livelli partono da δ = 0.02 con incremento di ∆δ = 0.02.
Figura 5.24: Dierenza tra i valori di spessore del GSL nel caso di usso nel
condotto cilindrico e usso nel canale piano:δpipe − δchannel . E' riportato uno zoom
nella zona −0.12 ≤ ω ≤ 0.12 e 0 ≤ κx ≤ 1.
5.4. Strato generalizzato di Stokes
79
Figura 5.25: Spessore δ del GSL in funzione di ω in un usso forzato con una
sinusoide ideale (rosso), un'onda discretizzata con s = 3 segmenti (verde) e un'onda
approssimata con s = 6 tratti costanti (viola). Flusso laminare a Reτ = 200,
A+ = 12 e κx = 1.4.
l'onda applicata al usso non è più una sinusoide ideale ma è piuttosto una
sinusoide approssimata con un numero di tratti costanti pari a 3 o 6.
Per avere la possibilità di discretizzare in maniera abbastanza soddisfacente l'onda sinusoidale si è utilizzato un numero di modi in direzione longitudinale diverso da quello utilizzato per la sinusoide ideale e pari a nx = 12,
mentre per la direzione azimutale si è mantenuto nθ = 4. Il calcolo è stato
eettuato ancora a ∆t costante e pari a ∆t = 0.08, il tempo totale adimensionale di integrazione è posto a tmax = 150. Il passo sulle frequenze è quello
utilizzato in precedenza, ∆ω = 0.01, per un totale di 120 punti per ogni onda
considerata.
In Figura 5.25 è riportato il confronto, per un'unica lunghezza d'onda
κx = 1.4, tra lo spessore δ del GSL in funzione di ω nei tre casi: la sinusoide
ideale indicata con la curva rossa, l'onda discretizzata con s = 3 individuata
dal colore verde e, in viola, l'onda con s = 6. Lo spessore dello strato
generalizzato di Stokes per l'onda con s = 6 è molto simile a quello ricavato
per la sinusoide ideale, con una dierenza massima nella zona dove lo spessore
del GSL raggiunge il suo valore più alto. Nel caso di onda con s = 3, lo
spessore δ risulta essere più piccolo di quello riscontrato nel caso ideale.
80
5.5 Riduzione di resistenza
In 3.1 è descritto come le onde viaggianti in un canale piano modicano il
coeciente di attrito a parete generando una riduzione o un incremento di
resistenza. Uno studio simile viene ora condotto nel caso di usso turbolento
in un condotto cilindrico. L'obiettivo è quello di vericare quale sia l'eetto
di questo tipo di controllo applicato ad una geometria diversa da quella piana.
Ci si aspetta una risposta simile ma sarebbe interessante capire in quale caso
le onde viaggianti funzionano meglio.
I risultati qui presentati sono solo i primi ottenuti di quella che si prospetta essere una lunga serie di calcoli. Tutti i calcoli sono, anche in questo caso,
eettuati sulle macchine dell'Università di Salerno. La singola simulazione
ha preso circa sedici giorni di lavoro.
Il usso turbolento di riferimento da cui partono tutti i calcoli è caratterizzato da un valore di numero di Reynolds pari a Reb = 5900 cui corrisponde
Reτ = 200. Le simulazioni sono condotte a portata costante Q = 0.25. Il
tempo totale di integrazione, adimensionalizzato con la Ub è di 1000 unità.
Il dominio computazionale ha Lx /R = 20 e Lθ /R = 2π . E' utilizzata un'espansione in serie di Fourier di 384 × 256 modi nelle direzioni longitudinale
e azimutale rispettivamente, mentre la direzione radiale viene discretizzata
con nr = 100 punti non equispaziati. La risoluzione spaziale nella direzione assiale è pari a ∆x+ = 10.42 mentre quella in direzione azimutale
risulta r∆θ+ 6 4.9. In direzione radiale la risoluzione varia da un minimo
+
+
= 3.16 al centro del condotto.
∆rmin
= 0.69 a parete ad un massimo ∆rmax
Tutte le simulazioni sono condotte a numero CFL costante e pari a 1.
Non conoscendo a priori la risposta al controllo di questo tipo di usso,
lo studio è iniziato variando tutti i parametri a disposizione nel tentativo di
cercare una zona di ottimo nel piano ω − κx anche al variare dell'ampiezza
dell'onda A.
Un primo confronto diretto tra le due geometrie è proposto in Figura
5.26 dove, in rosso, è rappresentata, per un'onda caratterizzata da un'ampiezza pari ad A+ = 12 e una lunghezza d'onda κx = 0.9425, la riduzione
di resistenza percentuale R(%), funzione della frequenza ω , ottenuta in un
condotto cilindrico. I valori di riduzione di resistenza per il usso nel canale
piano sono estratti mediante interpolazione lineare dai risultati trovati da
QRV09 e sono indicati con la curva blu e i quadrati (si sono utilizzati solo i
punti corrispondenti in termini di ω alle simulazioni eettuate nel condotto
cilindrico).
In generale si può osservare che le onde viaggianti sembrano funzionare
meglio nel canale piano piuttosto che nel condotto cilindrico per un ampia
gamma di valori di ω . La dierenza più evidente a favore del condotto ci-
81
Figura 5.26: Riduzione di resistenza percentuale R(%) funzione di ω per κx =
0.9425, A+ = 12 e Reτ = 200. Confronto tra condotto cilindrico (curva e cerchi
rossi) e canale piano (curva e quadrati blu).
Figura 5.27: Risparmio netto di energia percentuale S(%) in funzione di ω per
κx = 0.9425, A+ = 12 e Reτ = 200. Confronto tra condotto cilindrico (curva e
cerchi rossi) e canale piano (curva e quadrati blu).
82
Figura 5.28: Confronto riduzione di resistenza in funzione di ω + tra sinusoide ideale
(curva e pallini rossi) nel condotto cilindrico (A+ = 14.3 e Reτ = 169) e i dati
estratti da QRV09 (curva blu) per il canale piano (A+ = 12 e Reτ = 200).
lindrico è che la massima riduzione di resistenza ottenibile è decisamente
superiore a quella nel canale ed è prodotta da un'onda che porta a completa rilaminarizzazione del usso turbolento, eetto non visibile per le onde
applicate al canale piano.
Per questa ampiezza, la massima riduzione di resistenza ottenibile è, ovviamente, per l'onda (ω = 0.1) che porta a completa rilaminarizzazione del
usso con R ≈ 70% , cui corrisponde un risparmio netto di energia pari a
S = 59.7%. Tale valore è decisamente superiore al massimo riscontrato per
l'onda nella geometria piana e, no ad oggi, è il miglior risultato ottenuto
con una tecnica di controllo.
Se si escludono il punto di completa laminarizzazione e l'onda che porta
ad una quasi laminarizzazione del usso (ω = 0.15), la massima riduzione
di resistenza ottenuta è pari a R ≈ 47% per ω = 0.05 cui corrisponde S =
30.7%. Entrambe le quantità sono superiori rispetto al caso piano dove, per
la stessa frequenza, si ottiene invece R ≈ 44% e S = 10.7%.
A conclusioni simili si può arrivare anche dall'analisi del graco riportato
in Figura 5.27 dove viene rappresentato il risparmio netto di energia S (solo
i valori positi sono indicati perchè gli unici ad essere interessanti) in funzione
83
di ω , sempre per il caso A+ = 12 e κx = 0.9425. Questo graco fa capire che
le onde viaggianti nel cilindro sono più ecienti di quelle nel canale, infatti
dove si hanno le condizioni di maggiore riduzione di resistenza si ha anche un
risparmio netto di energia maggiore di almeno il 20% rispetto al caso piano
(curva blu).
E' inoltre proposto in Figura 5.28, in aggiunta ai risultati qui presentati,
il confronto tra il controllo tramite sinusoide ideale (curva e pallini rossi) nel
condotto cilindrico (A+ = 14.3 e Reτ = 169) con i dati numerici ricavati da
QRV09 (interpolati per κx = 1.69 in modo da avere corrispondenza in termini di κ+
x ) e rappresentati dalla curva blu. L'andamento della curva R(ω)
è molto simile per le due geometrie in esame. L'unica dierenza visibile è
rappresentata dal fatto che nel usso nel condotto cilindrico è possibile raggiungere una massima riduzione di resistenza maggiore rispetto al caso del
canale piano e si ha un minor incremento di resistenza. Oltre agli eetti della diversa geometria questa discrepanza tra i risultati può essere imputabile
anche alla dierenza tra numero di Reynolds del usso di riferimento e alle
diverse ampiezze delle onde utilizzate. Nel complesso però si può confermare
la considerazione fatta precedentemente: le onde viaggianti sembrano funzionare meglio nel canale piano piuttosto che in un condotto cilindrico però,
in quest'ultimo caso, ci sono condizioni per cui esse riescono a portare alla
completa rilaminarizzazione del usso, cosa che non si è vista nello studio
eettuato nel canale piano.
Sempre in Figura 5.26 si può osservare che nel condotto cilindrico c'è
una regione molto ridotta di incremento di resistenza caratterizzata da un
massimo incremento pari a −0.8% mentre nel canale piano si arriva a −6.8%.
Lo studio prosegue vericando come varia la riduzione di resistenza in
funzione dell'ampiezza dell'onda imposta. I primi risultati parziali ottenuti
sono proposti in Figura 5.29 per un'onda caratterizzata da ω = 0.03 e κx =
0.628 e indicati con la curva e i cerchi rossi. Il confronto è, ancora una volta,
con il caso piano: per un'onda caratterizzata da ω = 0.16 e κx = 1.66 i dati
sono estrapolati dalla Figura 3.3 (a) e riproposti qui in blu .
Si può notare che, anche per il caso cilindrico, la riduzione di resistenza
ottenibile aumenta all'aumentare dell'ampiezza A. Inoltre, per tutte le ampiezze no ad ora considerate la curva corrispondente al condotto cilindrico
rimane sempre sopra a quella nel canale. Questo può essere dovuto ai diversi
parametri dell'onda imposta nei due casi. E' interessante però notare che
alcune delle onde analizzate portano ad una quasi laminarizzazione del usso
(in particolare quella per A+ = 10), è possibile quindi che, applicando un
controllo con un'ampiezza superiore, si arrivi a completa rilaminarizzazione
del usso.
Si propone, in Figura 5.30, anche la variazione del risparmio netto di ener-
84
Figura 5.29: Riduzione di resistenza percentuale R funzione dell'ampiezza dell'onda
A per ω = 0.03 e κx = 0.628,. Confronto tra condotto cilindrico (curva e cerchi
rossi) e canale piano (curva e quadrati blu).
Figura 5.30: Risparmio netto di energia percentuale S in funzione dell'ampiezza
dell'onda A per ω = 0.03 e κx = 0.628,. Confronto tra condotto cilindrico (curva
e cerchi rossi) e canale piano (curva e quadrati blu).
85
gia S in funzione dell'ampiezza dell'onda applicata. Anche in questo caso,
con la curva blu sono rappresentati i dati per il canale piano estrapolati dalla
Figura 3.3 (b). Come si è evidenziato analizzando il graco in Figura 5.27,
le onde applicate alla geometria cilindrica raggiungono valori di S superiori
al caso piano con un massimo di risparmio di energia S ≈ 30%. Interessante sarà vericare come si comporta il parametro in esame per ampiezze
superiori.
86
Capitolo 6
Conclusioni e sviluppi futuri
In questa tesi si è condotto, per la prima volta, uno studio DNS per un usso
turbolento in un condotto cilindrico a cui è applicata la tecnica di controllo
tramite onde di velocità trasversale che variano nel tempo e sono modulate
nella direzione longitudinale, le onde viaggianti.
L'idea di partenza era quella di vericare numericamente se l'onda sinusoidale ideale discretizzata spazialmente ed applicata come controllo portasse
ai risultati ottenuti sperimentalmente in [1]. I risultati ottenuti sono particolarmente interessanti, infatti, come descritto in 5.1, per il caso di sinusoide
discretizzata con s = 3, si è ottenuto un andamento della riduzione di resistenza R(ω + ), molto simile a quello ottenuto sperimentalmente (come si
può vedere in Figura 5.3). Si è inoltre valutato l'eetto della discretizzazione procedendo con una serie di simulazioni per un'approssimazione con
s = 6 (Figura 5.2); la migliore approssimazione riduce la dierenza dei risultati da quelli del caso di onda ideale, riducendo le oscillazioni dovute alla
discretizzazione (Figura 5.4).
Si è inoltre colta la possibilità di studiare le onde viaggianti ideali nel
condotto cilindrico a Reτ = 200 (per confronto con QRV09). I primi risultati
ottenuti sono raccolti in 5.5 ed evidenziano alcune importanti caratteristiche di questo controllo applicato alla geometria cilindrica. Se infatti per la
maggior parte dei valori di frequenze (positive e negative) le onde viaggianti
(A+ = 12) funzionano meglio nel canale piano, non è così quando si raggiunge la zona di massima riduzione di resistenza dove, nel condotto cilindrico,
si ottiene addirittura una completa rilaminarizzazione del usso (R ≈ 70%).
Inoltre anche la zona di incremento di resistenza è sensibilmente ridotta nella
geometria cilindrica rispetto al caso piano (Figura 5.26).
Molto importante è anche il risultato ottenuto in termini di risparmio
netto di energia S sempre per un'onda caratterizzata da A+ = 12. Infatti,
dove si ha la massima riduzione di resistenza si ottiene anche il massimo
87
88
Capitolo 6. Conclusioni e sviluppi futuri
valore per S positivo che risulta molto maggiore rispetto al caso piano. In
particolare, per l'onda che porta a completa laminarizzazione, si ottiene un
valore mai raggiunto prima e pari a S = 60%. In generale comunque per
tutte le onde caratterizzate da un S > 0 nel caso cilindrico tale valore è
sempre molto superiore a quello trovato nel caso piano (Figura 5.27).
La bontà di questo controllo applicato alla geometria cilindrica è evidenziata anche dalle Figure 5.29 e 5.30 dove si mostra come variano rispettivamente R e S in funzione dell'ampiezza dell'onda applicata. In entrambi i
graci si vede che nella geometria cilindrica le onde viaggianti sono potenzialmente più ecienti rispetto alle stesse applicate nel canale, soprattutto
in termini di risparmio netto di energia.
Sviluppi futuri
Considerando i risultati preliminari ottenuti e appena riassunti, sarebbe interessante portare avanti lo studio inziato con questa tesi per diversi motivi:
innanzi tutto in questa prima fase non si è ancora trovato la condizione di
ottimo anche in termini di ampiezza dell'onda applicata, infatti potrebbe accadere di trovare un'onda di ampiezza minore che porti a valori di R simili
a quelli ottenuti per A+ = 12 ma con S superiori. Inoltre, visto che questo
rappresenta il primo studio DNS per le onde viaggianti nel cilindro sarebbe interessante vericare come queste si comportano anche per un confronto
completo con i risultati di QRV09 nel canale piano. Inne la geometria
cilindrica è sicuramente più utilizzata nella pratica e una comprensione di
questa tecnica in tale geometria può essere anche interessante ai ni di un
suo eventuale utilizzo pratico.
Un altro spunto per proseguire il lavoro qui inziato è quello che porta ad
implementare il controllo non più a portata costante ma piuttosto a potenza
in ingresso costante (CPI: Constant Power Input ), questo tipo di strategia,
introdotta in [12], sembra infatti essere ottimale per vericare l'ecacia di
una tecnica di controllo come quella che utilizza le onde viaggianti.
Appendice A
Formato dei le
Parametri della simulazione
Per impostare i parametri della simulazione si utilizza un le di ingresso
denominato cyl.in. In esso sono contenuti nell'ordine:

nx, nz, ny:
radiali;
numero di modi assiali e azimutali e numero di punti

α0 : numero d'onda fondamentale in direzione assiale;

htcoef :

Re:

meanowx o meanpx:

u_conv:

cmax

t_max:

parametro che incide sulla spaziatura in direzione radiale, se
impostato a 1 la griglia è equispaziata.
numero di Reynolds;
usso medio in direzione assiale ( Q/(2π) ) o
gradiente di pressione assiale;
velocità di convezione;
o deltat: si impone il numero c massimo della simulazione
oppure il passo di avanzamento temporale;
tempo nale della simulazione;
dt_eld:
corrente;
intervallo di tempo dopo il quale si scrive il campo di velocità

time_from_restart:

restart_le:
variabile booleana per far ripartire la simulazione dall'istante di tempo del campo di velocità in ingresso;
campo di moto utilizzato come condizione iniziale. Se
non specicato viene assunto un campo iniziale laminare.
89
90
Capitolo A. Formato dei file
Parametri condizioni al contorno
Mediante l'utilizzo del le parameters_wave.in si possono impostare i dati
in ingresso per la condizione al contorno. In particolare in questo le sono
presenti le seguenti quantità:

A: ampiezza della condizione al contorno;

A_f :

omega:
pulsazione della condizione al contorno;

nm_x:
modo longitudinale che si va a forzare;

nm_z:
modo azimutale che si va a forzare;

delta:
ampiezza forzate (se denita);
lunghezza di inuenza della forzante (se denita).
veld.dat
Ad ogni dt_eld viene salvato un campo di moto veld*.dat. Esso è composto
da due parti. La prima comprende un'intestazione di 1024 byte in formato
ASCII dove sono riportati alcune quantità presenti nel le cyl.in : nx , nz ,
ny , α0 , htcoef, Re, meanowx, u_conv. A queste si aggiunge l'istante di
tempo a cui tale campo è stato scritto. La seconda parte del le è binaria
che contiene nell'ordine:

i punti della griglia spaziale in direzione radiale;

il campo di velocità scritto per gli indici radiali, assiali e azimutali.
Runtime.dat
Durante la simulazione, ad ogni timestep viene scritta una riga del le Runtime.dat dove sono raccolte alcune quantità importanti del usso: time a cui
viene scritto il le, du/dy|n è la derivata della velocità nella direzione radiale
calcolato a parete, umean + uconv la somma di velocità media e di convezione,
f lowx la portata in direzione longitudinale, energy l'energia nel usso, CF L
il numero c ad ogni passo, ∆t l'incremento temporale utilizzato ad ogni
passo.
Esso è strutturato come segue in Tabella A.1:
91
time
∂u
|
∂y n
umean + uconv
f lowx
energy
CF L
∆t
0
2
1
0
0
0.24
0.1
0.1
1.99999851
1
0.25
6.1194188948e-05
0.763944
0.1
0.2
1.99999906
1
0.25
0.000103768256719
0.764566
0.1
0.3
1.99999925
1
0.25
0.000136234237928
0.765041
0.1
Tabella A.1: Struttura del le Runtime.dat
92
Capitolo A. Formato dei file
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