1 Definizione di rappresentazione di un gruppo.

Raccogliamo per comodità dello studente alcune nozioni sulla rappresentazione dei gruppi. Esistono moltissimi testi sull’argomento e parecchi sono
esplicitamente indirizzati verso le applicazioni in meccanica quantistica: lo studente è invitato a consultarne qualcuno.
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Definizione di rappresentazione di un gruppo.
Una rappresentazione (lineare) di un gruppo su uno spazio vettoriale V è un
omomorfismo fra il gruppo e l’insieme degli operatori lineari da V in V , cioè
una corrispondenza che assegna ad ogni elemento del gruppo g un operatore
U (g) ∈ L(V, V ) che rispetta le proprietà di gruppo:
U (g1 )U (g2 ) = U (g1 g2 )
U (e) = 1
(1)
Da queste proprietà segue U (g −1 )U (g) = U (e) = 1 ⇒ U (g −1 ) = U −1 (g)
Quando gli operatori U sono operatori unitari la rappresentazione si dice unitaria.
Rappresentazioni equivalenti. Due rappresentazioni si dicono equivalenti
se esiste una matrice S tale che
U 0 (g) = SU (g)S −1
∀g ∈ G
(2)
In pratica se due rappresentazioni differiscono semplicemente per un cambiamento di base sono considerate equivalenti.
Supponiamo di avere uno spazio vettoriale e sia ei una base. Un vettore si scriverà con x = xi ei .
In questo spazio vettoriale sia definita una rappresentazione del gruppo, attraverso matrici D,
L’azione del gruppo espressa tramite un cambiamento sulle coordinate del vettore sarà
yi = Dij xj
(3)
Supponiamo ora di considerare un’altra base, f i . Se questo insieme di vettori è una base esiste una
matrice, non singolare tale che ei = Sji fj . Il vettore x nella nuova base sarà espresso da
x = x0i f i = xk ek = xk Sik f i
x0i = Sik xk
Rappresentando le componenti del vettore come un vettore colonna: x 0 = Sx. Vediamo allora che
la (??) implica:
S −1 y 0 = DS −1 x0
⇒ y 0 = SDS −1 x0
(4)
le componenti x0 , y 0 si riferiscono sempre agli stessi vettori, x, y rispettivamente, semplicemente
espressi in una base diversa. Vediamo dalla (??) che la stessa azione del gruppo, nella nuova base
è espressa da
0
−1
D = SDS
è quindi chiaro perchè le rappresentazioni D e D 0 sono dette equivalenti: possono sempre essere
viste come la stessa azione ma espressa in basi diverse.
Un caso particolare è quello in cui il cambiamento di base avviene tramite una trasformazione
unitaria, in questo caso le rappresentazioni si dicono unitariamente equivalenti, ma sottolineiamo il
fatto che l’equivalenza prescinde da qualunque definizione di prodotto scalare.
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Spazio invariante. Un sottospazio M ∈ H si dice invariante se va in se stesso
sotto l’azione di tutti gli operatori U (g), cioè
∀g ∈ G
U (g)M ⊂ M
Un operatore lineare “mischia” i vettori nello spazio di Hilbert. Può accadere che un sottospazio
resti invariato in questa operazione, ad esempio è chiaro che per rotazioni attorno all’asse z in R 3 i
vettori diretti lungo z non cambiano.
Rappresentazioni irriducibili. Una rappresentazione si dice irriducibile se
non ha sottospazi invarianti oltre a 0 e l’intero spazio. in caso contrario si dice
riducibile.
Lemma di Schur.
Lemma 1. Consideriamo una rappresentazione finito dimensionale, cioè in
Cn . Se un operatore A commuta con tutte le matrici U (g) di una rappresentazione irriducibile allora A è un multiplo dell’identità
AU (g) = U (g)A ∀g ∈ G, U rapp. irr.
⇒
A = λI
(5)
n
In C A ha almeno un autovalore, infatti il polinomio caratteristico det(A − λI) ha almeno una
radice. Consideriamo allora il nucleo K dell’operatore A − λI, cioè l’insieme dei vettori v tali che
(A − λI)v = 0. K non è nullo perchè A ha almeno un autovettore. Si ha
∀v ∈ K
(A − λI)U (g)v = U (g)(A − λI)v = 0
U (g)v ∈ K
cioè K 6= 0 è un sottospazio invariante e poichè la rappresentazione è irrudicibile deve essere K = C n ,
cioè A = λI. Una conseguenza semplice ma importante di questo lemma riguarda i gruppi abeliani.
Tutte le rappresentazioni finito dimensionali di un gruppo abeliano sono unidimensionali. Infatti se
G è abeliano ogni U (g) commuta con tutti gli altri quindi deve essere un multiplo dell’identità. Se la
dimensione dello spazio fosse maggiore di 1 ogni sottospazio unidimensionale resterebbe invariante,
quindi la dimensione è 1.
Lemma 2. Se T , S sono due rappresentazioni irriducibili su due spazi V, W
rispettivamente e se A è un’applicazione da W a V con
T (g)A = AS(g) ∀g ∈ G
allora, se A 6= 0, A è un operatore bigettivo, quindi esiste un inverso e le due
rappresentazioni T ed S sono equivalenti.
Dim. AW è invariante sotto, infatti T (g)Aw1 = AS(g)w1 = Aw2 ∈ AW , quindi o AW = 0, quindi
A = 0, oppure AW = V , cioè A è surgettivo. Sia ora K = Ker(A) ⊂ W . Se w 1 ∈ K allora
AS(g)w1 = T (g)Aw1 = 0 quindi S(g)w1 ∈ K, K è invariante per S, siccome A 6= 0, K = 0, cioè A
è iniettivo. Se A è surgettivo ed iniettivo: T = ASA1 , cioè le due rappresentazioni sono equivalenti.
Come esempio f (r) ha elementi di matrice solo fra stati con lo stesso ` per il lemma 2 appena visto.
gli elementi di matrice non dipendono da `z per il lemma 1.
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Somma di rappresentazioni. Se si hanno 2 rappresentazioni U1 e U2 che
agiscono su due spazi V1 e V2 possiamo costruire la rappresentazione somma,
indicata con S12 = U1 ⊕ U2 che agisce sullo spazio V1 ⊕ V2 nel modo ovvio:
S12 (V1 ⊕ V2 ) = (U1 V1 ) ⊕ (U2 V2 )
In pratica la matrice che rappresenta la somma è una matrice a blocchi diagonali,
nel primo blocco c’è la rappresentazione U1 nel secondo la U2 .













U
1
U
2











Completa riducibilità. Una rappresentazione si dice completamente riducibile
se è scrivibile come somma di rappresentazioni irriducibili. Notiamo che in
generale non è detto che una rappresentazione riducibile sia completamente
riducibile. Un esempio è dato dalla rappresentazione del gruppo additivo R dei
numeri reali
1 0
α → Tα =
α 1
si verifica immediatamente che questa è una rappresentazione:
Tα1 Tα2 = Tα1 +α2
È sicuramente una rappresentazione riducibile perchè è bidimensionale ed abbiamo già dimostrato che le uniche rappresentazioni irriducibili di un gruppo
abeliano sono unidimensionali. In effetti il sottospazio Vy dei vettori del tipo
(0, y) è un sottospazio invariante. Per essere completamente riducibile occorrerebbe trovare un altro spazio di dimensione 1 invariante, ma si vede1 che
il solo sottospazio invariante è Vy quindi la rappresentazione è riducibile ma
non completamente riducibile. Un importante risultato è il seguente: tutte le
rappresentazioni unitarie dei gruppi compatti sono completamente riducibili.
L’aggetivo compatto si riferisce al gruppo come spazio topologico.
In particolare i gruppi SU (n) ed SO(n) sono compatti, essendo lo spazio dei
parametri una superficie chiusa e limitata in un RN , come il lettore può facilmente dimostrare, quindi le loro rappresentazioni sono completamente riducibili.
Lo stesso discorso vale per i gruppi finiti, di cui noi non parleremo molto, ma
che sono essenziali per classificare gli spettri molecolari.
1 Se un sottospazio di dimesione 1 è invariante deve essere T v = λv, provare a studiare
α
questa equazione.
3
Prodotto di rappresentazioni. Supponiamo di avere due spazi vettoriali
E, F di dimensione n, m rispettivamente. Siano ei , f j i vettori di base rispettivi.
Dall’algebra sappiamo come definire il prodotto tensoriale di questi spazi: è
lo spazio lineare generato da ei ⊗ f j , di dimensione n × m. È chiaro che se
abbiamo una rappresentazione del gruppo in E, descritta da operatori D E (g)
ed una rappresentazione in F , descritta da operatori D F (g), queste inducono
automaticamente una rappresentazione in E ⊗ F : D E ⊗ DF . Per vedere la cosa
in modo esplicito ricordiamo che un operatore è determinato dalla sua azione
sulla base:
D(g)(ei ) = D(g)ki ek
questo implica che le componenti di un vettore si trasformano come
x0i = D(g)ik xk
La base del prodotto tensoriale si trasforma allora come
ei ⊗ f j → DE (g)ki DF (g)`j ek ⊗ f `
Un generico elemento di E ⊗ F è della forma Tij ei ⊗ f j e quindi le sue componenti, Tij trasformano come
Tij → DE (g)ik DF (g)j` Tj`
Conviene pensare alla coppia di indici come ad un unico indice, in questo modo
è ancora più chiaro che la relazione precedente è una rappresentaziome matriciale usuale del gruppo, in dimensione n × m. Mettiamo in guardia contro un
errore in cui talvolta può incorrere un novizio in questo campo: la somma delle
rappresentazioni ed il prodotto di due rappresentazioni sono cose completamente
diverse, come dovrebbe essere chiaro dalla costruzione data. Ad esempio, per
usare il linguaggio del momento angolare che supponiamo noto al lettore, la
somma di due rappresentazioni di momento angolare 1 è una rappresentazione
di dimensione 6, il prodotto è una rappresentazione di dimensione 9. Come
altro esempio consideriamo gli stati 2p e 3d di un singolo elettrone nell’atomo
di idrogeno, questi costituiscono una rappresentazione di dimenione 8 che è la
somma di due rappresentazioni di dimensione 3 e 5 rispettivamente. Uno stato
generico in questo sottinsieme di stati è scrivibile come sovrapposizione di stati
a momento angolare 1 e momento angolare 2
ψ = aψ1 + bψ2
e naturalmente la matrici di rotazione sono diagonali a blocchi,cioè la rappresentazione, nella base usuale, è somma diretta di due rappresentazioni di spin 1
e 2. Esplicitamente usando una base canonica, cioè gli autostati di L2 , Lz , uno
stato nel sottospazio considerato sarà della forma
|ψi =
1
X
am1 |1, m1 i +
m1 =−1
2
X
m2 =−2
4
bm2 |2, m2 i
(6)
Per rotazioni:
R(θ, ϕ)|ψi =
1
X
am1 D(1) (θ, ϕ)m01 ,m1 |1, m01 i+
m1 =−1
2
X
bm2 D(2) (θ, ϕ)m02 ,m2 |2, m02 i
m2 =−2
Consideriamo invece 2 elettroni, uno in uno stato 2p e l’altro in uno stato 3d. il
generico stato del sistema2 è dl tipo:
X
|ψi =
Am1 m2 |1, m1 i|2, m2 i
m1 ,m2
e sotto rotazioni
R(θ, ϕ)|ψi =
X
Am1 m2 D(1) (θ, ϕ)m01 ,m1 D(2) (θ, ϕ)m02 ,m2 |1, m01 i|2, m02 i
m1 ,m2
Come si vede le proprietà di trasformazione sono completamente diverse. La
sorgente di confusione è di solito la somma di due rappresentazioni di spin 1/2
ed il prodotto di due rappresentazioni di spin 1/2, in entrambi i casi lo spazio
finale ha dimensione 4.
Naturalamente anche se si parte da due rappresentazioni irriducibili, non è
detto che la rappresentazione prodotto ia irriducibile, in generale non lo è. Sarà
decomponibile in rappresentazioni irriducibili, di varie dimensioni:
DE ⊗ DF = Da ⊕ Db ⊕ . . . ⊕ Dn
Questa decomposizione corrisponde alla generalizzazione della regola di somma
del momento angolare, e questo contribuisce alla possibile confusione: la somma
dei momenti angolari è in corrispondenza col prodotto delle rappresentazioni.
Ritorneremo in seguito su questo punto.
Gruppi compatti. Il caso dei gruppi compatti, come SU (n), SO(n) è particolarmente interessante sia dal punto di vista fisico sia da quello matematico. Un risultato importante è che per i gruppi compatti qualunque rappresentazione lineare (continua) è equivalente ad una rappresentazione unitaria,
vediamo perchè.
Cominciamo con l’osservare che in uno spazio di Hilbert, a priori, possiamo
definire diverse definizioni di prodotto scalare, questo è la generalizzazione del
fatto che in Cn qualunque matrice hermitiana senza autovalori nulli Hij definisce
un prodotto scalare:
hx|yiH = x∗i Hij yj
Queste diverse definizioni sono riconducibili una all’altra da un cambiamento di
base, se ei è una base ortonormale, ad esempio, rispetto al solito prodotto x∗i yi
e f i una base ortonormale nella nuova base l’applicazione S : ei → f i trasforma
i vettori nella vecchia base in quelli nuovi. Siamo nella situazione descritta dalle
2 Qui
trascuriamo il principio di Pauli per non complicare l’esempio.
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formule (??) e seguenti. Notiamo che il cambiamento di base è unitario solo se
gli autovalori della matrice Hij sono tutti 1.
Consideriamo ora una qualunque rappresentazione (continua) di un gruppo
compatto in uno spazio di Hilbert, realizzata tramite operatori T (g). Il punto
fondamentale è che il “volume” di un gruppo compatto è limitato ed è possibile definire una misura su questo gruppo con una proprietà fondamentale: è
invariante sotto l’azione del gruppo, cioè
dµ(g) = dµ(hg)
∀h ∈ G
(7)
Una misura siffatta è unica e si chiama misura di Haar. Questo fatto è l’analogo
per un gruppo della usuale misura su R che è invariante sotto traslazioni:
dx = d(x + a)
Avendo a disposizione questa misura possiamo definire un nuovo prodotto scalare
sullo spazio di Hilbert facendo una “media” sul gruppo:
Z
hx|yiG = dµ(g)hT (g)x|T (g)yi
(8)
Si dimostra che tutto è ben definito ed il prodotto scalare (??) non ha patologie.
Rispetto al nuovo prodotto scalare però è immediato che la rapprsentazione
è unitaria, infatti
hx|T † (h)T (h)yiG = hT (h)x|T (h)iG
per la definizione di aggiunto
Z
Z
= dµ(g)hT (g)T (h)x|T (g)T (h)yi = dµ(g)hT (gh)x|T (gh)yi
Z
= dµ(gh)hT (gh)x|T (gh)yi
per l’invarianza della misura
= hx|yiG
Quindi T † (h) = T −1 (h). Ma abbiamo visto che cambiare tipo di prodotto
scalare equivale a cambiare base, quindi questa rappresentazione, esplicitamente
unitaria, è equivalente a quella iniziale.
Nel caso di un gruppo finito la misura di Haar è semplicemente la somma
sugli elementi del gruppo ed il prodotto scalare è
X
hT (g)x|T (g)yi
g∈G
6