Parabola: teoria ed esercizi

Transcript

Parabola
Unità
8
1. Le parabole con vertice nell’origine
Nelle Unità precedenti abbiamo imparato a scrivere le equazioni nel piano cartesiano di alcuni luoghi geometrici che già conoscevamo dalla geometria euclidea:
l’asse di un segmento, le bisettrici degli angoli formati da due rette, la circonferenza.
Ora ci occupiamo di un’altra curva che certamente già conosci, la parabola. Essa
ti è stata presentata in passato come grafico di una funzione di secondo grado;
tuttavia anche la parabola può essere definita come luogo geometrico, secondo la
definizione che vedremo fra poco. In questo paragrafo studieremo la parabola da
questo nuovo punto di vista.
Tema C
La parabola come luogo geometrico
PARABOLA
Dati nel piano una retta d e un punto F 2
= d, si dice parabola di fuoco F e direttrice d il luogo dei punti del piano equidistanti da F e da d.
Un metodo per costruire i punti della parabola avente fuoco in F e come direttrice la retta d è illustrato in fig. 8.1.
parabola
B
F fuoco
A
direttrice
A'
B' s
r
d
Figura 8.1 Tracciamo una retta r , parallela alla direttrice d, nel semipiano di origine d che
contiene F. Tracciamo poi la circonferenza che ha centro in F e raggio uguale alla distanza di r
dalla direttrice. I punti A e A0 in cui la circonferenza incontra la retta r sono equidistanti dal
fuoco e dalla direttrice, quindi appartengono alla parabola che ha fuoco in F e come direttrice
la retta d. Tracciando un’altra retta parallela a r , per esempio s, e ripetendo un’analoga
costruzione, si possono costruire altri due punti della parabola, B e B 0 , e cosı̀ via.
Congiungendo con una linea continua i punti cosı̀ costruiti otteniamo una curva che
rappresenta con buona approssimazione la parabola.
È importante fare alcune osservazioni.
La retta che passa per il fuoco ed è perpendicolare alla direttrice si chiama asse
della parabola; si potrebbe dimostrare, come si intuisce dalla figura, che l’asse
della parabola è per quest’ultima un asse di simmetria.
Il punto dell’asse che appartiene alla parabola si chiama vertice della parabola:
per come è definita una parabola, il vertice è equidistante dal fuoco e dalla direttrice, quindi è il punto medio del segmento che congiunge il fuoco e la sua
proiezione sulla direttrice (fig. 8.2 a pagina seguente).
387
Le coniche
asse
parabola
Tema C
P
F
fuoco
V
vertice
H
K
direttrice
Figura 8.2 Gli elementi fondamentali di una parabola: il fuoco, la direttrice, il vertice e l’asse.
Ogni punto P della parabola è tale che PF ¼ PH. V è il punto medio del segmento FK.
Equazione di una parabola con vertice nell’origine
Ora che abbiamo definito la parabola come luogo geometrico, ci proponiamo di
scriverne l’equazione che la identifica in un piano cartesiano. Ci limiteremo a
considerare parabole con asse parallelo a uno dei due assi cartesiani.
Iniziamo dal caso più semplice, cioè da quello di una parabola con vertice nell’origine e asse coincidente con l’asse y.
Poiché il fuoco di una parabola appartiene al suo asse, le coordinate del fuoco saranno ð0, kÞ, con k 6¼ 0. Facciamo riferimento, per semplicità, alla fig. 8.3, in cui k > 0.
y
P(x, y)
F(0, k)
x
V(0, 0)
direttrice
H(x, –k)
y = –k
Figura 8.3
La distanza tra il fuoco e il vertice è k; poiché anche la distanza tra il vertice e la
direttrice deve essere k, la direttrice avrà equazione y ¼ k.
Consideriamo ora un generico punto Pðx, yÞ del piano; P appartiene alla parabola avente fuoco in F e avente come direttrice la retta di equazione y ¼ k se e
solo se:
PF ¼ PH
PF esprime la distanza di P dal fuoco e PH la distanza di
P dalla direttrice
Questa condizione si traduce nella seguente equazione, che risolviamo:
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Ricorda la formula che fornisce la distanza tra due punti
x2 þ ðy kÞ2 ¼ j y þ kj
nel piano cartesiano
x2 þ y 2 2ky þ k2 ¼ ð y þ kÞ
2
I due membri dell’equazione precedente sono non negativi, quindi elevandoli al quadrato otteniamo un’equazione equivalente. Ricorda inoltre che, per ogni a 2 R,
jaj2 ¼ a2
x2 þ y 2 2ky þ k2 ¼ y 2 þ 2ky þ k2
4ky ¼ x2
y¼
388
1 2
x
4k
E q u a z i o n e di un a p a r a b o l a c o n v e r t i c e n e l l ’ o r i g i n e
TEOREMA 8 .1
y¼
1 2
x
4k
Parabola
L’equazione della parabola avente vertice nell’origine, fuoco nel punto di coordinate
(0, kÞ, con k 6¼ 0, e direttrice y ¼ k è:
Unità 8
Abbiamo cosı̀ dimostrato il seguente teorema.
[8.1]
1
, otteniamo che l’equazione di una ge4k
nerica parabola avente vertice nell’origine e asse coincidente con l’asse y è
del tipo:
Se nell’equazione [8.1] poniamo a ¼
y ¼ ax2
dove a è un numero reale non nullo
Avendo posto a ¼
[8.2]
1
1
, cioè k ¼
, possiamo dedurre il seguente teorema.
4k
4a
F uoc o e d i r et t r i c e di un a pa r ab ol a c o n v e r ti ce n el l ’ or i g i ne
TEOREMA 8 .2
L’equazione y ¼ ax 2 , con a 6¼ 0, rappresenta una parabola che ha:
a. vertice nell’origine;
1
;
b. fuoco nel punto di coordinate 0,
4a
c. per direttrice la retta di equazione y ¼ ESEMPIO
1
.
4a
Studio di una parabola con vertice nell’origine
1
Determiniamo fuoco e direttrice della parabola di equazione y ¼ x 2 e traccia2
mone il grafico.
Fuoco e direttrice
1
L’equazione è del tipo y ¼ ax2 , con a ¼ . In base al teorema 8.2, l’ordinata
2
del fuoco sarà:
1
1
¼
yF ¼
1
2
4 2
1
quindi la parabola avrà fuoco in F 0, e avrà per direttrice la retta di
2
1
equazione y ¼ .
2
Grafico
Per tracciare il grafico della parabola, attribuiamo a x alcuni valori a scelta e
calcoliamo i corrispondenti valori di y, poi rappresentiamo nel piano cartesiano i punti aventi le coordinate cosı̀
y
determinate e i loro simmetrici ri1
spetto all’asse della parabola; infine
y=
2
congiungiamo i punti segnati (oltre
O
al vertice) con una linea continua.
y ¼
x
1 2
x
2
1
1 2
1
1 ¼
2
2
2
1 2
2 ¼ 2
2
3
1
9
32 ¼ 2
2
1)
F(0, – 
2
1
y = – x2
2
389
Le coniche
Legami tra il grafico della parabola di equazione y ¼ ax 2
e il coefficiente a
Tema C
Fissiamo ora l’attenzione sulle figg. 8.4 e 8.5, in cui abbiamo rappresentato alcune parabole di equazione y ¼ ax2 , rispettivamente con a > 0 e a < 0.
a=1
y
a=2
y = ax 2
a<0
1
a=
2
y
O
x
1
a=
3
1
a = –
12
1
a=
12
y = ax 2 a > 0
Figura 8.4
O
1
a = –
3
1
a = –
a = –2 a = –1 2
x
Figura 8.5
Osservando le figg. 8.4 e 8.5, puoi notare alcuni fatti importanti.
Se a > 0, il grafico della parabola corrispondente è contenuto nel semipiano
delle ordinate non negative: si dice in questo caso che la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto. Se invece a < 0, il grafico della parabola è contenuto
nel semipiano delle ordinate non positive: in questo caso si dice che la parabola ha la concavità rivolta verso il basso.
Il vertice di una parabola di equazione y ¼ ax2 (cioè l’origine) è il punto della
parabola di ordinata minima se a > 0, mentre è il punto della parabola di ordinata massima se a < 0.
Il coefficiente a influenza «l’apertura» della parabola. Sia nel caso in cui a > 0,
sia nel caso in cui a < 0, al crescere del valore assoluto di a si ottengono parabole sempre meno «aperte».
Se le due parabole di equazioni y ¼ ax2 e y ¼ a0 x2 hanno la stessa concavità, esse
sono congruenti se e solo se a0 ¼ a (altrimenti non avrebbero la stessa «apertura»); se hanno concavità opposte, sono congruenti se e solo se sono simmetriche rispetto all’asse x, ossia se e solo se a0 ¼ a. In conclusione, le due parabole
di equazioni y ¼ ax2 e y ¼ a0 x2 sono congruenti se e solo se ja0 j ¼ jaj.
Prova tu
ESERCIZI a p. 419
1. Se una parabola ha vertice nell’origine e per direttrice la retta di equazione y ¼ 4, qual è il suo fuoco?
3
. Traccia poi il grafico di tale pa2. Scrivi l’equazione della parabola che ha vertice nell’origine e il fuoco in F 0,
4
1
rabola.
y ¼ x2
3
3. Determina fuoco e direttrice di ciascuna delle parabole di equazioni y ¼ x2 e y ¼
1 2
x . Determina poi qualche
4
punto appartenente ai grafici delle parabole e traccia il grafico di ciascuna di esse.
2. Le parabole con asse parallelo
a uno degli assi cartesiani
Equazione di una parabola con asse parallelo all’asse y
Consideriamo una generica parabola avente vertice in un punto Vðxv , yv Þ, con
asse parallelo all’asse y. Quale sarà la sua equazione? Sappiamo che se la stessa
parabola avesse vertice nell’origine, la sua equazione sarebbe del tipo y ¼ ax2 .
390
Unità 8
Possiamo allora pensare che la parabola data sia la corrispondente di quest’ultima parabola nella traslazione di vettore !
v ðxV , yV Þ (fig. 8.6).
y
Parabola
y = ax 2
V(xv, yv)
v (xv , yv)
x
O(0, 0)
Figura 8.6
Tale traslazione ha equazioni:
0
x ¼ x þ xV
y 0 ¼ y þ yV
[8.3]
Effettuando nell’equazione y ¼ ax2 le sostituzioni:
x ! x xV
e
y ! y yV
(Unità 6, Paragrafo 3) otteniamo l’equazione della parabola traslata:
y yV ¼ aðx xV Þ2
P a r a b o l a d i v e r t i c e da t o c o n a s s e p a r a l l e l o a l l ’ a s s e y
TEOREMA 8 .3
Una parabola che ha vertice in V ðxV , yV Þ e asse parallelo all’asse y ha equazione del
tipo:
y yV ¼ aðx xV Þ2 ,
con a 6¼ 0
[8.4]
Svolgendo i calcoli possiamo scrivere la [8.4] nella forma equivalente:
y ¼ ax2 2axV x þ ax2V þ yV
Se ora poniamo:
2axV ¼ b
e
ax2V þ yV ¼ c
[8.5]
otteniamo l’equazione:
y ¼ ax2 þ bx þ c
[8.6]
Pertanto, ogni parabola con asse parallelo all’asse y ha equazione del tipo
[8.6], con a 6¼ 0.
Viceversa, l’equazione [8.6] si può scrivere nella forma [8.4], dove xV e yV sono le
soluzioni delle equazioni [8.5]:
xV ¼ b
2a
e
yV ¼ c ax2V ¼ c a b2
4ac b2
b2 4ac
¼
¼
4a
4a2
4a
Dunque la [8.6] rappresenta la parabola corrispondente della parabola di equa
b
b2 4ac
!
2
,
zione y ¼ ax nella traslazione di vettore v .
2a
4a
Per determinare vertice, fuoco e direttrice della parabola di equazione [8.6] basterà allora determinare i corrispondenti in questa traslazione del vertice, del fuoco
391
Le coniche
e della direttrice della parabola di equazione y ¼ ax2 . Si ottengono cosı̀ i risultati
espressi dal seguente teorema, dove abbiamo indicato con il discriminante
b2 4ac dell’equazione ax2 þ bx þ c ¼ 0 associata alla parabola.
Tema C
TEOREMA 8 .4
Suggerimento
Poiché il vertice è un punto
della parabola, per
determinarne l’ordinata non
è necessario utilizzare la
: basta
formula 4a
sostituire, nell’equazione
b
al posto
della parabola, 2a
di x e calcolare il
corrispondente valore di y.
Questo procedimento è
generalmente preferibile
perché, oltre a non richiedere
l’utilizzo di una formula
mnemonica, sveltisce in
molti casi il calcolo.
Parab ola di eq uazio ne y ¼ ax 2 þ b x þ c
Ogni equazione del tipo y ¼ ax 2 þ bx þ c, con a 6¼ 0, rappresenta una parabola avente
(fig. 8.7):
b
,
;
[8.7]
a. vertice in V 2a
4a
b
b. per asse di simmetria la retta di equazione x ¼ ;
[8.8]
2a
b 1
c. fuoco in F ,
;
[8.9]
2a
4a
1þ
.
[8.10]
d. per direttrice la retta di equazione y ¼ 4a
y = ax 2 + bx + c
x =−
y
b
2a
 b 1− ∆
− 2a , 4a 
 b − ∆
− 2a , 4a
direttrice
F
y=−
V
O
1+ ∆
4a
x
Figura 8.7
ESEMPIO
Studio di una parabola con asse parallelo all’asse y
Tracciamo il grafico della parabola di equazione y ¼ x 2 4x þ 2 e individuiamone il fuoco, la direttrice e i punti di intersezione con gli assi cartesiani.
Grafico della parabola
Per tracciare il grafico della parabola, determiniamo il vertice e qualche altro
punto.
L’ascissa xV del vertice della parabola, per il teorema precedente, è:
xV ¼ b
ð4Þ
¼
¼2
2a
21
a ¼ 1, b ¼ 4
Per determinare l’ordinata del vertice, sostituiamo dunque 2 al posto di x nell’equazione y ¼ x2 4x þ 2; otteniamo:
yV ¼ 22 4 2 þ 2 ¼ 2
Pertanto il vertice è Vð2, 2Þ e l’asse della
parabola ha equazione x ¼ 2. Determiniamo altri due punti della parabola.
Per x ¼ 4 otteniamo
y ¼ 42 4 4 þ 2 ¼ 2
Per x ¼ 5 otteniamo
y ¼ 52 4 5 þ 2 ¼ 7
Dunque la parabola passa per i punti A(4, 2)
e B(5, 7) e per i suoi simmetrici A0 e B0 rispetto all’asse della parabola.
392
y
B'
B
A'
A
x
O
y = x 2 – 4x + 2
V
Unità 8
Fuoco e direttrice
Il discriminante dell’equazione associata è
¼ b2 4ac ¼ ð4Þ2 4 1 2 ¼ 8
Parabola
a ¼ 1, b ¼ 4, c ¼ 2
L’ascissa e l’ordinata del fuoco sono:
y
xF ¼ xV ¼ 2
B'
1
18
7
¼
¼
4a
41
4
7
Quindi il fuoco è F 2, . L’equazio4
B
yF ¼
y = x2 – 4x + 2
A'
ne della direttrice è:
y¼
O
A
x
F
direttrice
1þ
1þ8
9
¼
¼
4a
41
4
V
Punti di intersezione con gli assi
Per determinare le ascisse dei punti di intersezione della parabola con l’asse x,
poniamo y ¼ 0 nell’equazione y ¼ x2 4x þ 2. Otteniamo l’equazione:
pffiffiffi
x2 4x þ 2 ¼ 0 ) x ¼ 2 2
Pertanto il grafico della parabola interseca l’asse x nei punti di coordinate:
pffiffiffi
pffiffiffi
ð2 2, 0Þ e ð2 þ 2, 0Þ
y
2
2– 2
2+ 2
O
x
y = x 2 – 4x + 2
V
Per determinare l’ordinata del punto di intersezione della parabola con l’asse
y, poniamo x ¼ 0 nell’equazione y ¼ x2 4x þ 2. Abbiamo:
y ¼ 02 4 0 þ 2 ¼ 2
quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto di coordinate
ð0, 2Þ.
In base a quanto visto in questo paragrafo, date due parabole di equazioni
y ¼ ax2 þ bx þ c e y ¼ a0 x2 þ b0 x þ c0 , le traslazioni che mandano i rispettivi vertici nell’origine le trasformano nelle parabole di equazioni y ¼ ax2 e y ¼ a0 x2 .
Quindi le parabole assegnate sono congruenti se e solo se lo sono queste ultime,
ovvero se e solo se jaj ¼ ja0 j.
Caratteristiche del grafico della parabola di equazione
y ¼ ax 2 þ bx þ c
Vogliamo ora mettere in evidenza alcune caratteristiche del grafico della parabola di equazione y ¼ ax2 þ bx þ c. Il grafico è influenzato anzitutto dai valori assunti dai coefficienti a, b e c, come illustrato nella seguente tabella.
393
Le coniche
Tema C
Il coefficiente a
Il coefficiente b
Il segno del coefficiente a dà
informazioni sulla concavità della
parabola: se a > 0, la concavità è
rivolta verso l’alto; se invece a < 0, la
concavità è rivolta verso il basso.
Al crescere del valore assoluto di a
l’apertura della parabola diminuisce.
Il coefficiente c
Per ora ci limitiamo a osservare
che la parabola di equazione
y ¼ ax 2 þ bx þ c ha come asse l’asse y
se e solo se b ¼ 0: questa è una diretta
b
,
conseguenza della formula x ¼ 2a
che fornisce l’equazione dell’asse
della parabola. Approfondiremo
il significato del coefficiente b
nel prossimo paragrafo.
y
y
a>0
b=0
V
Il coefficiente c rappresenta l’ordinata
del punto di intersezione di una
parabola con l’asse y: infatti, se
poniamo x ¼ 0 nell’equazione
y ¼ ax 2 þ bx þ c, otteniamo y ¼ c.
Ne segue che una parabola di
equazione y ¼ ax 2 þ bx þ c passa per
l’origine se e solo se c ¼ 0.
y
l’asse della parabola
coincide con l’asse y
c>0
(0, c)
x
O
O
a<0
Puoi esplorare come varia
il grafico di una parabola
al variare dei suoi coefficienti
tramite le figure dinamiche
disponibili on-line.
c<0
x
(0, c)
ESEMPIO
Figure dinamiche
O
x
c=0
Dal grafico al segno dei coefficienti
Nella figura sottostante è disegnato il grafico di una parabola avente equazione
y ¼ ax 2 þ bx þ c. Individuiamo i segni dei tre coefficienti a, b e c.
y
V
y = ax 2+ bx + c
O
x
La parabola ha la concavità rivolta verso il basso, quindi deve essere a < 0.
La parabola interseca l’asse y in un punto di ordinata positiva, quindi deve
essere c > 0.
Dalla figura si vede che l’asse della parabola è una retta del tipo x ¼ k con
b
k < 0. Dal momento che l’equazione dell’asse è x ¼ , ne deduciamo
2a
b
che < 0: ma a < 0 (per quanto osservato al primo punto), quindi de2a
ve essere b < 0.
Un ulteriore elemento che influenza il grafico di una parabola di equazione
y ¼ ax2 þ bx þ c è il discriminante dell’equazione associata, ax2 þ bx þ c ¼ 0. Tale equazione fornisce le ascisse degli eventuali punti dove il grafico della parabola
interseca l’asse x (di equazione y ¼ 0), quindi il discriminante influenza la posizione della parabola rispetto all’asse x:
se ¼ b2 4ac > 0, l’equazione ax2 þ bx þ c ¼ 0 ha due soluzioni reali distinte, x1 e x2 , quindi la parabola interseca l’asse x in due punti distinti;
se ¼ b2 4ac ¼ 0, l’equazione ax2 þ bx þ c ¼ 0 ha due soluzioni coincidenti,
x1 ¼ x2 , e la parabola è tangente all’asse x;
se ¼ b2 4ac < 0, l’equazione ax2 þ bx þ c ¼ 0 non ha soluzioni reali, quindi la parabola non ha punti di intersezione con l’asse x.
394
a>0
a<0
Parabola
y
>0
V
x1
Unità 8
Questi tre casi sono rappresentati nel seguente schema, a seconda della concavità
della parabola.
x2
x2
x1
x
O
x
O
V
y
y
O
V
x1 = x2
x
V
x
¼0
O
V
x1 = x2
x
y
y
O
<0
V
x
O
Equazione di una parabola con asse parallelo all’asse x
In questo paragrafo abbiamo finora considerato parabole con asse parallelo all’asse y. Vogliamo ora accennare alle parabole con asse parallelo all’asse x.
Seguendo un percorso analogo a quello già svolto, si potrebbe dimostrare che
una parabola con asse parallelo all’asse x ha equazione del tipo:
x ¼ ay 2 þ by þ c, con a 6¼ 0
Questa equazione si può ottenere da y ¼ ax2 þ bx þ c scambiando x con y. Geometricamente, ciò significa che la parabola di equazione x ¼ ay 2 þ by þ c è la corrispondente, nella simmetria rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, della parabola di equazione y ¼ ax2 þ bx þ c (fig. 8.8).
asse parallelo
all’asse y
y
y=x
y = ax 2 + bx + c
x
O
asse parallelo
all’asse x
Figura 8.8
x = ay2 + by + c
395
Le coniche
Tema C
In forza di questa simmetria, le formule per determinare il vertice, l’asse, il fuoco
e la direttrice di una parabola avente l’asse parallelo all’asse x, di equazione
x ¼ ay 2 þ by þ c, possono essere determinate semplicemente scambiando la x
con la y nelle formule che già conosci.
Equazione della parabola:
x ¼ ay 2 þ by þ c
Vertice
b
V , 2a
4a
b
V , 4a
2a
Asse di simmetria
x¼
Fuoco
b
1
,
F 2a
4a
Direttrice
y¼
b
2a
y ¼
F
1þ
4a
b
2a
1
b
, 4a
2a
x¼
1þ
4a
Il procedimento per tracciare il grafico di una parabola con asse parallelo all’asse
x è analogo a quello visto per le parabole con asse parallelo all’asse y.
Grafico di una parabola con asse parallelo all’asse x
ESEMPIO
Tracciamo il grafico della parabola di equazione x ¼ y 2 2y 3.
I coefficienti della parabola sono a ¼ 1, b ¼ 2, c ¼ 3.
Per determinare il vertice, determiniamone anzitutto l’ordinata (anziché
l’ascissa come per le parabole aventi asse parallelo all’asse yÞ:
yV ¼ b
2
¼
¼1
2a
21
Quindi xV ¼ 12 2 1 3 ¼ 4. Dunque la parabola ha vertice in Vð4, 1Þ e
per asse la retta di equazione y ¼ 1.
Determiniamo ora le coordinate di qualche altro punto della parabola. A tale
scopo, attribuiamo alcuni valori a scelta alla variabile y.
Per y ¼ 0
è x ¼ 02 2 0 3 ¼ 3
Per y ¼ 1 è x ¼ ð1Þ2 2 ð1Þ 3 ¼ 0
Per y ¼ 2 è x ¼ ð2Þ2 2 ð2Þ 3 ¼ 5
Perciò la parabola passa per i punti di coordinate: (3, 0); (0, 1); (5, 2) e
per i loro simmetrici rispetto all’asse della parabola.
y
x = y2 − 2y − 3
y=1
V
O
x
Tenendo conto delle informazioni raccolte si può tracciare il grafico come in
figura.
396
Unità 8
Prova tu
ESERCIZI a p. 420
1. Traccia il grafico delle parabole di equazione:
b. y ¼ x2 2x
c. y ¼
1 2
x 2x þ 2
2
Parabola
a. y ¼ x2 þ 6x 7
Individua quindi fuoco e direttrice di ciascuna parabola.
2. Osserva i grafici delle parabole qui a fianco,
aventi equazione del tipo y ¼ ax2 þ bx þ c, e,
per ciascuna, stabilisci i segni di a, b e c.
y
y
O
x
O
x
3. Stabilisci se le parabole aventi le seguenti equazioni intersecano l’asse x e, in caso affermativo, determina le coordinate dei punti di intersezione.
a. y ¼ x2 4x þ 5
b. y ¼ 2x2 x 1
c. y ¼ x2 þ 4x 1
4. Traccia il grafico delle parabole di equazione:
a. x ¼ y 2 þ 2y
b. x ¼ y2 þ 4y 3
3. La parabola e la retta
Posizioni reciproche tra una retta e una parabola
Consideriamo nel piano cartesiano una retta e una parabola con asse parallelo all’asse y. Quanti punti di intersezione possono avere? Studiamo la situazione dal
punto di vista analitico. Dobbiamo distinguere due casi, a seconda che la retta
che consideriamo sia o non sia parallela all’asse y.
Se la retta non è parallela all’asse y, la sua equazione sarà del tipo y ¼ mx þ q.
Le coordinate degli eventuali punti di intersezione tra tale retta e la parabola di
equazione y ¼ ax2 þ bx þ c sono allora le soluzioni del sistema:
y ¼ ax2 þ bx þ c
y ¼ mx þ q
[8.11]
Questo sistema può presentare nessuna soluzione, due soluzioni coincidenti o due soluzioni distinte, a seconda che il discriminante dell’equazione risolvente sia minore, uguale o maggiore di 0. Corrispondentemente la retta sarà esterna, tangente o secante la parabola (fig. 8.9).
y
te
ecan
s
retta
∆>
0
t
retta
∆=
Figura 8.9
O
0
∆<
e
retta
st er
ente
ang
na
x
0
397
Le coniche
Se invece la retta è parallela all’asse y, cioè se la sua equazione è del tipo x ¼ k, il
sistema:
y ¼ ax2 þ bx þ c
x¼k
Tema C
ammette l’unica soluzione
x¼k
y ¼ ak2 þ bk þ c
Osserva
Nel caso in fig. 8.10 la retta
e la parabola hanno in
comune un solo punto ma
non sono tra loro tangenti,
perché il punto in comune
non corrisponde a una
soluzione doppia del sistema
ma a una soluzione semplice:
la retta è secante. Nel caso
precedente, invece, la retta
secante aveva due punti in
comune con la parabola.
Pertanto la parabola e la retta hanno in comune soltanto il punto di coordinate
ðk, ak2 þ bk þ cÞ (fig. 8.10).
x=k
y
y = ax 2 + bx + c
retta secante
x
O
Figura 8.10
Rette tangenti a una parabola
Abbiamo visto che una retta e una parabola si possono presentare disposte in un
modo particolarmente interessante: quello in cui la retta è tangente alla parabola.
Consideriamo un parabola con asse parallelo all’asse y e un punto P del piano:
esistono rette tangenti alla parabola passanti per P? Quante? Al variare della posizione di P, si possono presentare le tre situazioni rappresentate in fig. 8.11.
y
y
y
P
P
O
P
x
O
Se il punto P è esterno alla parabola,
cioè appartiene alla regione di piano
limitata dalla parabola che non contiene
il fuoco, si possono condurre due rette
distinte tangenti alla parabola passanti
per P.
x
Se il punto P appartiene alla parabola,
esiste un’unica retta passante per P
e tangente alla parabola.
O
x
Se il punto P è interno alla parabola, cioè
appartiene alla regione di piano limitata
dalla parabola che contiene il fuoco,
non esistono rette passanti per P
e tangenti alla parabola.
Figura 8.11
Osserva
Ogni retta verticale seca una
parabola con asse parallelo
all’asse y in un (unico)
punto. Le equazioni delle
rette tangenti passanti per P
non possono perciò essere
verticali, quindi devono
avere equazione del tipo:
y y0 ¼ mðx x0 Þ
398
Come possiamo determinare le equazioni delle rette tangenti, se P è esterno o appartenente alla parabola?
Supponiamo inizialmente che P sia esterno alla parabola. Il procedimento per
scrivere le equazioni delle rette tangenti si può riassumere come segue.
1. Si scrive l’equazione della generica retta passante per Pðx0 , y0 Þ:
y y0 ¼ mðx x0 Þ
[8.12]
Unità 8
2. Si impone che il discriminante dell’equazione risolvente il sistema:
(
y ¼ ax2 þ bx þ c
Parabola
y y0 ¼ mðx x0 Þ
sia nullo (condizione di tangenza).
3. Si risolve l’equazione di secondo grado in m ottenuta.
4. Si sostituiscono nella [8.12] i valori di m trovati come soluzioni nel passo precedente, ottenendo cosı̀ le equazioni delle due rette tangenti richieste.
ESEMPIO
Tangenti a una parabola da un punto esterno
Determiniamo le equazioni delle rette tangenti alla parabola y ¼ x 2 þ 2x þ 1 passanti per il punto Pð1, 1Þ.
Analisi grafica
Come abbiamo visto, quando si risolve un problema di geometria analitica è
sempre consigliabile, anzitutto, tracciare
y
y = x 2 + 2x + 1
una figura. Essa aiuta infatti a prevedere
quali risultati dobbiamo aspettarci dalla risoluzione algebrica e ci consente un controllo dei risultati che troviamo. In questo
caso, tracciando il grafico della parabola,
ci accorgiamo che il punto P appartiene al
x
O
suo asse ed è esterno alla parabola, quindi
P
dobbiamo aspettarci che le due rette tangenti passanti per P siano simmetriche rispetto all’asse della parabola.
Determinazione algebrica delle tangenti
Per determinare le equazioni delle rette tangenti seguiamo i passi che abbiamo indicato poc’anzi.
1. Scriviamo l’equazione della generica retta passante per Pð1, 1Þ:
y ð1Þ ¼ m½x ð1Þ
)
y þ 1 ¼ mx þ m
)
y ¼ mx þ m 1
2. Impostiamo il sistema formato dall’equazione della parabola e dall’equazione della generica retta passante per P:
(
y ¼ x2 þ 2x þ 1
y ¼ mx þ m 1
L’equazione risolvente è x2 þ 2x þ 1 ¼ mx þ m 1, cioè:
x2 þ ð2 mÞx þ 2 m ¼ 0
Imponendo che il discriminante di tale equazione sia nullo (condizione di
tangenza) si perviene all’equazione:
ð2 mÞ2 4ð2 mÞ ¼ 0
3. Risolviamo l’equazione ottenuta:
ð2 mÞ2 4ð2 mÞ ¼ 0 ) 4 4m þ m2 8 þ 4m ¼ 0 )
) m2 4 ¼ 0 ) m ¼ 2 _ m ¼ 2
Ô
399
Le coniche
Ô
4. Sostituiamo i valori di m trovati nell’equazione y ¼ mx þ m 1.
Otteniamo cosı̀ che le due rette tangenti alla parabola passanti per P hanno
equazioni:
Tema C
y ¼ 2x þ ð2Þ 1
e
y ¼ 2x þ 2 1
ossia:
y ¼ 2x 3
e
y ¼ 2x þ 1
Il procedimento che abbiamo appena esposto, relativo al caso in cui P è un punto
esterno alla parabola, vale anche nel caso in cui il punto P appartenga alla parabola (l’unica differenza è che in questo caso imponendo la condizione di tangenza si perviene a un’equazione in m di primo grado). Tuttavia, se P appartiene alla
parabola, si può procedere più rapidamente mediante la formula espressa nel
prossimo teorema.
TEOREMA 8 .5
C o ef f i c i e nt e a ng ol a r e de l l a r e tt a ta ng en t e a un a pa r abo l a
i n u n s u o pu n t o
Sia Pðx0 , y0 Þ un punto che appartiene alla parabola avente equazione
y ¼ ax 2 þ bx þ c. Il coefficiente angolare m della retta tangente alla parabola in P è dato dalla formula:
m ¼ 2ax0 þ b
[8.13]
DIMOSTRAZIONE
Consideriamo il sistema formato dall’equazione della parabola e dall’equazione
della generica retta passante per Pðx0 , y0 Þ:
(
y ¼ ax2 þ bx þ c
y y0 ¼ mðx x0 Þ
Si può facilmente verificare che l’equazione risolvente questo sistema è:
ax2 þ ðb mÞx þ c þ mx0 y0 ¼ 0
Ricorda
La somma delle soluzioni
dell’equazione
ax2 þ bx þ c ¼ 0 è
b
x1 þ x2 ¼ .
a
Osserva
Generalizzando l’esempio qui
a fianco, si trova che il
coefficiente angolare della
tangente alla parabola di
equazione y ¼ ax2 þ bx þ c
nel suo punto di intersezione
con l’asse y ðx0 ¼ 0Þ è:
m ¼ 2a 0 þ b ¼ b
Abbiamo cosı̀ scoperto il
significato del coefficiente b
nell’equazione della parabola:
rappresenta il coefficiente
angolare della tangente nel
punto di intersezione con
l’asse delle ordinate.
400
Se P appartiene alla parabola, senz’altro x ¼ x0 è una soluzione dell’equazione. Affinché la retta sia tangente alla parabola, anche l’altra soluzione di questa equazione deve coincidere con x0 , quindi la somma delle due soluzioni deve essere 2x0 .
Ricordando le relazioni fra la somma delle soluzioni di un’equazione di secondo
grado e i suoi coefficienti si ottiene l’equazione:
bm
¼ 2x0
a
da cui si ricava immediatamente m ¼ 2ax0 þ b.
ESEMPIO
Tangente a una parabola in un suo punto
Data la parabola di equazione y ¼ x 2 3x 2, scriviamo l’equazione della retta
tangente alla parabola nel punto in cui questa interseca l’asse y.
La parabola data, di equazione y ¼ x2 3x 2, interseca l’asse y nel punto
Pð0, 2Þ. Per la [8.13], il coefficiente angolare della retta tangente in P è:
L’ascissa di Pð0, 2Þ è 0, quindi x0 ¼ 0
m ¼ 2ax0 þ b ¼ 2 1 0 þ ð3Þ ¼ 3
I coefficienti dell’equazione y ¼ x 2 3x 2
sono a ¼ 1, b ¼ 3, c ¼ 2
Unità 8
La retta tangente non è altro che la retta passante per P e di coefficiente angolare 3. La sua equazione è: y ¼ 3x 2 e il suo grafico è mostrato nella seguente figura.
Parabola
y
y = − 3x − 2
O
x
P(0, −2)
y = x 2 − 3x − 2
Più in generale, in base alla formula [8.13] possiamo dire che l’equazione della
retta tangente alla parabola di equazione y ¼ ax2 þ bx þ c nel suo punto Pðx0 , y0 Þ
è:
y y0 ¼ ð2ax0 þ bÞðx x0 Þ
Si può facilmente verificare (ti invitiamo a farlo per esercizio) che questa equazione coincide con quella che si ottiene eseguendo nell’equazione della parabola le
sostituzioni:
y!
y þ y0
;
2
x2 ! x x0 ;
x!
x þ x0
2
Anche per la parabola valgono quindi le formule di sdoppiamento già viste per
la circonferenza.
PER SAPERNE DI PIÙ
Tangenti e parabole con asse orizzontale
I metodi per determinare le equazioni delle rette tangenti a una parabola con asse parallelo all’asse x sono del tutto analoghi a quelli appena presentati per le parabole con asse parallelo all’asse y. È importante tuttavia osservare quanto segue.
Se una parabola ha asse parallelo all’asse x, può succedere che una delle due tangenti
passanti per un punto P esterno alla parabola sia parallela all’asse y. In questo caso, poiché per le rette parallele all’asse y non esiste coefficiente angolare, l’equazione che si
ottiene ponendo ¼ 0 fornisce un solo
y
valore di m (quello della tangente non
parallela all’asse yÞ, quindi è di primo
grado.
La formula che esprime il coefficiente
P
angolare della retta tangente alla paraO
bola di equazione x ¼ ay 2 þ by þ c in
x
un suo punto Pðx0 , y0 Þ è:
m¼
1
2ay0 þ b
Area del segmento parabolico
Se una retta è secante una parabola nei due punti A e B, la parte di piano limitata
dal segmento AB e dall’arco AB di parabola si chiama segmento parabolico di
base AB (in giallo nella prossima fig. 8.12).
Il seguente teorema, dimostrato da Archimede, consente di determinare in modo
elementare l’area di un segmento parabolico. Ci limitiamo a enunciare il teorema, di cui puoi trovare una giustificazione intuitiva nella Scheda di approfondimento al termine di questo paragrafo.
401
Le coniche
Te ore m a di Archimed e
2
dell’area del rettangolo AA0 B 0 B, essen3
do A0 e B 0 le proiezioni di A e B sulla retta tangente alla parabola e parallela alla retta AB.
L’area di un segmento parabolico di base AB è
Tema C
TEOREMA 8 .6
y
B
A
B'
O
x
A'
Figura 8.12
ESEMPIO
Area del segmento parabolico/1
Determiniamo l’area del segmento parabolico limitato dalla parabola di equazio1
ne y ¼ x 2 2 e dall’asse x.
2
Facciamo riferimento alla figura. Per il teorema di Archimede l’area del seg2
AB AA0 . È immediato ricavare che
mento parabolico è data dalla formula
3
AB ¼ 4 e AA0 ¼ 2, quindi l’area richiesta è uguale a:
2
16
42¼
3
3
y
1
y = x2 –2
2
–2
A
2
O
B
x
y = –2
A'
B'
Applicando il teorema di Archimede, si può dimostrare la seguente formula alternativa per il calcolo dell’area S di un segmento parabolico limitato dalla parabola
di equazione y ¼ ax2 þ bx þ c e da una corda AB i cui estremi hanno ascisse xA e xB :
S¼
1
jaj jxB xA j3
6
[8.14]
L’analoga formula per un segmento parabolico limitato dalla parabola di equazione x ¼ ay 2 þ by þ c e da una corda AB i cui estremi hanno ordinate yA e yB è:
S¼
1
jaj jyB yA j3
6
[8.15]
Queste formule permettono di sveltire i calcoli nel caso in cui la retta che delimita il segmento parabolico non sia parallela a uno dei due assi cartesiani.
402
Area del segmento parabolico/2
Unità 8
ESEMPIO
Determiniamo l’area del segmento parabolico limitato dalla parabola di equazione y ¼ x 2 2x þ 1 e dalla retta di equazione y ¼ x þ 1.
Parabola
Tracciamo anzitutto il grafico della parabola e della retta.
y
y=x+1
B
A
y = x 2 – 2x + 1
x
O
Per calcolare l’area del segmento parabolico conviene in questo caso utilizzare
la formula [8.14]; a tal fine ci serve soltanto calcolare le ascisse di A e di B.
L’equazione risolvente il sistema:
y ¼ x2 2x þ 1
y ¼xþ1
è x2 3x ¼ 0 e ha come soluzioni 0 e 3, quindi xA ¼ 0 e xB ¼ 3.
In base alla formula [8.14], l’area del segmento parabolico è uguale a:
1
27
9
j1j j3 0j3 ¼
¼
6
6
2
a ¼ 1, xB ¼ 3, xA ¼ 0
Prova tu
Osserva
Prova a calcolare l’area
del segmento parabolico
utilizzando direttamente
il teorema 8.6: ti renderai
conto che l’utilizzo
delle formule permette
di risparmiare un gran
numero di calcoli.
ESERCIZI a p. 431
1. Determina i punti di intersezione della bisettrice del
primo e del terzo quadrante con la parabola di equazione y ¼ x2 3x þ 3.
[(1, 1); (3, 3)]
4. Determina l’equazione della retta tangente alla parabola di equazione y ¼ x2 1 nel suo punto di ascissa
2.
[y ¼ 4x 5]
2. Quante rette tangenti si possono condurre dal punto
Pð0, 1Þ alla parabola di equazione y ¼ x2 ? E dal punto
Qð1, 1Þ? E dal punto Rð2, 0Þ?
5. Determina l’area del segmento parabolico limitato
dalla parabola di equazione y ¼ x2 4x e dall’asse x.
32
3
3. Determina le equazioni delle rette tangenti alla parabola di equazione y ¼ x2 1 passanti per il punto
Pð0, 2Þ.
[y ¼ 2x 2]
APPROFONDIMENTO
Archimede
e l’area del segmento parabolico
Archimede, il famoso matematico e fisico Greco vissuto a Siracusa (287-212 a.C.), dimostrò in realtà un teorema equivalente a quello enunciato in questo paragrafo: «dato un segmento parabolico di base AB e detto P il punto di contatto della tangente alla parabola pa4
dell’area del triangolo APB» (fig. 8.13).
rallela ad AB, l’area del segmento parabolico è
3
In un primo momento Archimede giunge a questo teorema seguendo un procedimento di carattere fisico, descritto nella sua opera Il mondo, sulla base di considerazioni relative alle leve e ai baricentri.
Successivamente, nel libro Sulla quadratura della parabola, egli propone due diverse dimostrazioni, di tipo puramente matematico.
Le dimostrazioni fornite da Archimede si fondano sul seguente lemma, che ti invitiamo a dimostrare come utile esercizio (osserva che puoi limitarti a effettuare la dimostrazione per la parabola di equazione y ¼ ax2 : infatti, a meno di una traslazione, è
sempre possibile riportarsi a questo caso).
A
M
B
H
P
K
C
Figura 8.13
403
Le coniche
Tema C
Attenzione!
Si chiama lemma una
proposizione che viene
dimostrata preliminarmente
e che costituisce una comoda
«tappa preliminare» per
dimostrare un teorema che
segue, di maggiore rilevanza.
Lemma di Archimede. Siano A e B due punti di una parabola e sia C il punto di intersezione delle rette tangenti alla parabola in A e in B. Detto M il punto medio di
AB, il segmento CM è parallelo all’asse della parabola e interseca la parabola in un
punto P, che è il punto medio di MC. Inoltre la tangente alla parabola in P è parallela
ad AB.
Sulla base di questo lemma, vediamo una giustificazione intuitiva del teorema di Archimede.
Consideriamo anzitutto i triangoli ABC e ABP. In base al lemma di Archimede e al teorema di Talete si può facilmente provare (come?) che l’altezza relativa ad AB del triangolo APB è la metà dell’altezza relativa ad AB del triangolo ABC.
Ne segue che:
Area(APB) ¼
1
Area(ABC)
2
[8.16]
Consideriamo poi i due triangoli HKC e ABC. Per il lemma di Archimede essi sono simili, di rapporto di similitudine 2. Quindi:
Area(ABC) ¼ 4 Area(HKC)
[8.17]
Dalle formule [8.16] e [8.17] segue che:
Area(APB) ¼ 2 Area(HKC)
In altre parole, l’area del triangolo inscritto nel segmento parabolico (APB) è il doppio dell’area del triangolo tangente (HKC).
Possiamo ripetere il procedimento sui segmenti parabolici di base AP e BP. Se immaginiamo di continuare il processo indefinitamente, possiamo pensare il segmento parabolico di base AB come l’unione degli infiniti triangoli «inscritti» che si vengono a determinare e il complementare del segmento parabolico rispetto al triangolo ABC come l’unione
degli infiniti triangoli «tangenti». Poiché ogni triangolo «inscritto» è il doppio del corrispondente triangolo «tangente», concludiamo che l’area del segmento parabolico è il
doppio dell’area del suo complementare rispetto al triangolo ABC, ovvero il segmento
2
parabolico è dell’area del triangolo ABC.
3
Poiché l’altezza del rettangolo AA0 B0 B di cui abbiamo parlato nell’enunciato del teorema 8.6 è la metà di quella del triangolo ABC, il rettangolo AA0 B0 B è equivalente al triangolo ABC, quindi il risultato cui siamo giunti è equivalente al teorema che abbiamo
enunciato.
Naturalmente l’ultima parte del ragionamento che abbiamo condotto, quella in cui abbiamo immaginato di continuare il processo «indefinitamente», è intuitiva; vedremo
più avanti come sia possibile rendere rigoroso questo ragionamento, quando avremo
in mano strumenti matematici più avanzati.
Prova tu
ESERCIZI a p. 425
Con considerazioni analoghe a quelle svolte nell’approfondimento prova a dimostrare che anche il teorema dimostra4
to in origine da Archimede (ossia: l’area del segmento parabolico è dell’area di APB) è equivalente al teorema 8.6.
3
4. Come determinare l’equazione
di una parabola
Come si può scrivere, per esempio, l’equazione di una parabola di cui sono assegnati tre punti? O di una parabola avente vertice in un punto assegnato e tangente a una retta data?
Un procedimento generale per risolvere problemi di questo tipo consiste nel considerare l’equazione generica della parabola, ossia:
y ¼ ax2 þ bx þ c
404
o
Parabola
ESEMPIO
Unità 8
a seconda che l’asse della parabola sia parallelo all’asse y o all’asse x, e tradurre le
condizioni assegnate in equazioni nelle incognite a, b e c. I coefficienti a, b, c della parabola richiesta possono quindi essere ricavati risolvendo il sistema costituito da tali equazioni.
Dal momento che l’equazione di una parabola con asse parallelo a uno dei due
assi cartesiani dipende da tre parametri (a, b e cÞ, affinché la parabola sia univocamente determinata occorreranno tre condizioni indipendenti. Alcune possibili
condizioni sono quelle espresse nei prossimi esempi, altre verranno proposte negli esercizi.
Parabola con asse parallelo all’asse y, dati tre punti
Scriviamo l’equazione della parabola, con asse parallelo all’asse y, che passa per i
punti Að1, 6Þ, Bð0, 3Þ, Cð2, 3Þ.
Poiché la parabola deve avere asse parallelo all’asse y, la sua equazione sarà
del tipo y ¼ ax2 þ bx þ c.
Affinché la parabola passi per Að1, 6Þ, la sua equazione deve essere soddisfatta in corrispondenza delle coordinate di A, quindi deve essere:
6 ¼ a ð1Þ2 þ b ð1Þ þ c
)
6 ¼ a b þ c
[8.18]
Analogamente, il passaggio per Bð0, 3Þ si traduce nell’equazione:
3 ¼ a 02 þ b 0 þ c
)
c ¼ 3
[8.19]
e il passaggio per Cð2, 3Þ nell’equazione:
3 ¼ a 22 þ b 2 þ c
)
3 ¼ 4a þ 2b þ c
[8.20]
I coefficienti della parabola richiesta devono quindi soddisfare il sistema formato dalle equazioni [8.18], [8.19] e [8.20]:
8
< a b þ c ¼ 6
y
c ¼ 3
:
x
O
4a þ 2b þ c ¼ 3
Risolvendo il sistema si trova come soluzione:
8
< a ¼ 1
b¼2
:
c ¼ 3
B
C
A
y = −x 2 + 2x − 3
quindi la parabola richiesta è quella di
equazione y ¼ x2 þ 2x 3.
ESEMPIO
Parabola con asse parallelo all’asse y, dato il fuoco e un punto
Scriviamo l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y che ha fuoco in
F ð0, 2Þ e passa per Pð2, 2Þ.
Poiché la parabola deve avere asse parallelo all’asse y, la sua equazione deve
essere del tipo y ¼ ax2 þ bx þ c. Le condizioni date si traducono nelle seguenti
equazioni:
b
¼0 ) b¼0
2a
L’ascissa del fuoco deve essere 0
1
¼ 2
4a
L’ordinata del fuoco deve essere 2
2 ¼ a 22 þ b 2 þ c
La parabola deve passare per Pð2, 2Þ
Ô
405
Le coniche
Tema C
Ô
Sostituendo il valore b ¼ 0 nella seconda e nella terza equazione, concludiamo che i coefficienti della parabola richiesta devono soddisfare il sistema:
8
b¼0
>
>
>
<
1 þ 4ac
¼ 2
>
> 4a
>
:
4a þ c ¼ 2
Risolvendo il sistema si trovano due soluzioni:
8
8
1
1
>
>
>
>
a
¼
>
>a ¼
<
<
4
4
e
>
>
b¼0
b¼0
>
>
>
>
:
:
c ¼ 1
c ¼ 3
y
y=
1
4
x2 −3
O
Ci sono quindi due parabole che soddisfano
le condizioni richieste:
1
quella di equazione y ¼ x2 1
4
quella di equazione y ¼
ESEMPIO
x
F
1 2
x 3
4
P
1
y = − x2 −1
4
Parabola con asse parallelo all’asse x, dato il vertice
e una retta tangente
Scriviamo l’equazione della parabola, con asse parallelo all’asse x, che ha vertice
in V ð1, 2Þ ed è tangente alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
Poiché la parabola deve avere asse parallelo all’asse x, la sua equazione deve
essere del tipo x ¼ ay 2 þ by þ c. Per imporre che il vertice sia Vð1, 2Þ potremmo imporre che l’ascissa del vertice sia 1 e l’ordinata sia 2. Ma imporre che l’ascissa sia 1 fornirebbe un’equazione di secondo grado. È più semplice imporre
che l’ordinata del vertice sia 2 e che la parabola passi per il punto V.
b
¼ 2 ) b ¼ 4a
2a
L’ordinata del vertice deve essere uguale a 2
1 ¼ a 22 þ b 2 þ c ) 4a þ 2b þ c ¼ 1 Imponendo il passaggio per V (1, 2)
Per la tangenza alla bisettrice del primo e del terzo quadrante bisogna imporre
che sia nullo il discriminante dell’equazione risolvente il sistema:
y¼x
L’equazione risolvente è:
ay 2 þ ðb 1Þy þ c ¼ 0
quindi la condizione di tangenza si traduce nell’equazione:
ðb 1Þ2 4ac ¼ 0
Il discriminante dell’equazione deve essere uguale a 0
I coefficienti della parabola richiesta devono quindi soddisfare il sistema:
8
< b ¼ 4a
4a þ 2b þ c ¼ 1
:
ðb 1Þ2 4ac ¼ 0
406
Unità 8
Parabola
Risolvendo questo sistema si trova come soluzione:
8
1
>
<a ¼ y
4
1
>
x = − y2 + y
:b ¼ 1
4
c¼0
V
O
x
x=y
Pertanto, la parabola richiesta è quella di equazione x ¼ 1 2
y þ y.
4
COLLEGHIAMO I CONCETTI
I vari metodi per determinare l’equazione di una parabola
Sebbene il procedimento che abbiamo esposto in questo paragrafo sia del
tutto generale, esistono altri approcci per scrivere l’equazione di una parabola che in alcuni casi possono essere più convenienti. Rifletti sugli esempi seguenti.
3Supponiamo di voler scrivere l’equazione della parabola che ha fuoco in
Fð1, 2Þ e per direttrice la retta di equazione y ¼ 2. Invece di impostare e risolvere il sistema è più semplice scrivere l’equazione della parabola ricordando la
definizione di parabola (analogamente a quanto abbiamo fatto nel primo paragrafo). Un punto Pðx, yÞ appartiene alla parabola se e solo se è equidistante
dal fuoco e dalla direttrice. Questa condizione (fig. 8.14) si traduce nell’equazione:
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ðx 1Þ2 þ ðy þ 2Þ2 ¼ j y 2j
y
Elevando al quadrato e semplificando, otteniamo l’equazione della parabola, che è
1
1
1
y ¼ x2 þ x 8
4
8
In generale, tutte le volte in cui di una parabola sono dati fuoco e direttrice conviene scriverne l’equazione in base alla definizione di
parabola come luogo.
y =2
H(x, 2)
O
V
P(x, y)
x
F(1, −2)
Figura 8.14
3Supponiamo di voler scrivere l’equazione della parabola avente vertice in
Vð1, 1Þ e fuoco in Fð1, 3Þ. Dal momento che conosciamo il vertice, possiamo
scrivere l’equazione della generica parabola passante per V (teorema 8.3), ossia y 1 ¼ aðx 1Þ2 , e poi determinare il parametro a imponendo che l’ordinata del fuoco sia 3. Si trova cosı̀ che la parabola cercata ha equazione:
y¼
1 2 1
9
x xþ
8
4
8
In generale, tutte le volte che si vuole scrivere l’equazione di una parabola di cui si conosce il vertice, conviene scrivere l’equazione della generica parabola avente vertice
in quel punto e poi determinare il parametro «a» in base all’ulteriore condizione.
407
Le coniche
Tema C
Prova tu
ESERCIZI a p. 430
1. Scrivi l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y che passa per i punti Að1, 0Þ, Bð0, 4Þ,
Cð2, 6Þ.
[y ¼ x2 þ 3x 4]
2. Scrivi l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse x che passa per i punti Að2, 0Þ, Bð0, 2Þ,
Cð0, 3Þ.
1 2 5
x¼ y þ yþ2
3
3
3. Scrivi le equazioni delle parabole con asse parallelo
all’asse y che passano per A(1, 1) e B(4, 4) e sono tan
genti all’asse x.
1
y ¼ ðx 2Þ2 e y ¼ ðx þ 2Þ2
9
4. Scrivi l’equazione della parabola che ha vertice in
V(2, 1) e ha come direttrice la retta di equazione
y ¼ 1.
1
1
3
y ¼ x2 x þ
8
2
2
5. Scrivi l’equazione della parabola che ha fuoco in
F(2, 0) e ha come direttrice la retta di equazione
y ¼ 1.
1
3
y ¼ x2 2x 2
2
5. Fasci di parabole
Fascio generato da due parabole
Analogamente a quanto già visto per i fasci generati da due rette e da due circonferenze, possiamo definire il concetto di fascio generato da due parabole.
FASCIO GENERATO DA DUE PARABOLE
Date due parabole e 0 di equazioni y ¼ ax2 þ bx þ c e y ¼ a0 x2 þ b0 x þ c0 , si dice
fascio di parabole generato da e 0 l’insieme costituito dalla parabola 0 e da
tutte le parabole che si ottengono dall’equazione:
y ax2 bx c þ kðy a0 x2 b0 x c0 Þ ¼ 0
[8.21]
al variare di k 2 R.
La [8.21] è detta equazione del fascio generato da e 0 . Le due parabole e 0
vengono dette generatrici del fascio. La prima generatrice del fascio, la parabola
, si ottiene dalla [8.20] in corrispondenza del valore k ¼ 0; la seconda generatrice
del fascio, la parabola 0 , non si ottiene invece in corrispondenza di alcun valore
di k e perciò, nella definizione, è stata considerata a parte.
Gli eventuali punti di intersezione delle due generatrici sono chiamati punti base del fascio.
Sviluppando i calcoli e raccogliendo in modo opportuno, l’equazione [8.21] si
può riscrivere nella forma:
ðk þ 1Þy ¼ ða þ ka0 Þx2 þ ðb þ kb0 Þx þ c þ kc0
[8.22]
Si nota cosı̀ che l’equazione del fascio rappresenta sempre una parabola, eccetto
che nei seguenti due casi:
Ricorda
Le parabole degeneri di un
fascio sono quelle che si
ottengono in corrispondenza
dei valori di k che annullano
il coefficiente di y o il
coefficiente di x2 .
per k ¼ 1 si annulla il coefficiente di y e l’equazione [8.22] si riduce a un’equazione di secondo grado nella sola variabile x: se tale equazione ha discriminante non negativo, il luogo dei punti Pðx, yÞ che la soddisfano è considerato
una parabola degenere del fascio e può essere rappresentato nel piano cartesiano da una retta verticale o da due rette verticali (a seconda che il discriminante dell’equazione di secondo grado sia uguale o maggiore di zero);
a
per k ¼ 0 si annulla il coefficiente di x2 e l’equazione [8.22] diventa di pria
mo grado in x e y, quindi rappresenta una retta; anch’essa è considerata una
parabola degenere del fascio.
La reciproca posizione delle generatrici determina la natura del fascio.
408
y
y
La condizione a 6¼ a0 implica
che l’equazione risolvente il
sistema formato dalle
equazioni delle due
generatrici sia di secondo
grado; le tre possibilità
descritte si hanno a seconda
che il discriminante
dell’equazione sia maggiore,
uguale o minore di zero.
Parabola
1. Le generatrici sono secanti in A e B: il fascio ha due punti base (A e BÞ ed è costituito da tutte le parabole passanti per A e per B (fig. 8.15a); il fascio contiene
due parabole degeneri: la retta AB e la coppia di rette verticali passanti per A e
per B (nelle figure le parabole degeneri sono tratteggiate).
2. Le generatrici sono tangenti in un punto A alla retta t: il fascio ha due punti base coincidenti in A ed è costituito da tutte le parabole tangenti in A alla retta t
(fig. 8.15b); il fascio contiene due parabole degeneri: la retta t e la retta verticale passante per A.
3. Le due generatrici non hanno punti in comune: il fascio non ha punti base e
due qualsiasi parabole del fascio non hanno punti in comune (fig. 8.15c); il fascio contiene una parabola degenere: una retta che non interseca alcuna parabola del fascio.
Attenzione!
Unità 8
Se le due parabole generatrici non sono congruenti oppure sono congruenti
ma hanno concavità opposta, cioè se a 6¼ a0 , si possono verificare le seguenti tre
possibilità.
y
t
A
O
B
A
O
x
a. Fascio di parabole con due punti
base.
x
O
b. Fascio di parabole con un punto
base doppio (ovvero due punti base
coincidenti).
x
c. Fascio di parabole non congruenti
privo di punti base.
Figura 8.15
Se le due parabole generatrici sono congruenti e hanno la stessa concavità,
cioè se a ¼ a0 , si possono verificare le seguenti due possibilità.
1. Le generatrici hanno un solo punto in comune A (non doppio): il fascio ha un
solo punto base, A, ed è costituito da parabole congruenti e con la stessa concavità passanti per A (fig. 8.16a); inoltre contiene una parabola degenere: la
retta verticale passante per A.
2. Le generatrici non hanno punti in comune: il fascio è privo di punti base ed è
costituito da parabole congruenti e con la stessa concavità, con il medesimo
asse di simmetria (fig. 8.16b); il fascio non contiene in questo caso parabole
degeneri.
y
Osserva
La condizione a ¼ a0 implica
che l’equazione risolvente il
sistema formato dalle
equazioni delle due
generatrici sia di primo
grado; le due possibilità
descritte si hanno a seconda
che tale equazione risulti
determinata o impossibile.
Non consideriamo il caso in
cui l’equazione è
indeterminata, supponendo
che le due parabole
generatrici siano distinte.
y
A
O
x
a. Fascio di parabole con un punto base
(non doppio).
O
x
b. Fascio di parabole congruenti privo
di punti base.
Figura 8.16
409
Le coniche
Tema C
Studio di fasci di parabole, di cui sono date le generatrici
ESEMPI
Studiamo il fascio di parabole che ha come generatrici le parabole : y ¼ x 2 e
0 : y ¼ 2x 2 2x.
Il fascio generato da e 0 ha equazione:
2
y
y = x2
2
y x þ kðy 2x þ 2xÞ ¼ 0
ossia:
yðk þ 1Þ ¼ ð2k þ 1Þx2 2kx
Il sistema formato dalle due generatrici
y ¼ x2
y ¼ 2x2 2x
A
y = 2x 2 – 2x
O
x
fornisce le soluzioni (0, 0) e (2, 4). Pertanto
il fascio generato da e 0 ha due punti base, l’origine O e il punto A(2, 4), ed è costituito dalle parabole che passano per
tali punti.
Per k ¼ 1 (valore per cui si annulla il coefficiente di yÞ l’equazione del fascio
diventa x2 2x ¼ 0 e si ottiene cosı̀ la parabola degenere che è rappresentata
graficamente dalle due rette di equazioni x ¼ 0 e x ¼ 2.
1
(valore per cui si annulla il coefficiente di x2 ) l’equazione del fa2
scio diventa y ¼ 2x e fornisce l’equazione della parabola degenere nella retta
OA.
Per k ¼ Fascio di equazione y ¼ ða þ ka 0 Þx 2 þ ðb þ kb0 Þx þ c þ kc 0
Si può provare che se si sostituiscono le generatrici di un fascio di parabole con
due qualsiasi parabole del fascio, si ottiene lo stesso fascio di parabole. In particolare, si possono assumere come generatrici di un fascio delle parabole degeneri del
fascio.
Per esempio, un fascio di parabole può essere generato dalla parabola di equazione y ¼ ax2 þ bx þ c e da una parabola degenere, di equazione a0 x2 þ b0 x þ c0 ¼ 0 ;
in questo caso il fascio avrà equazione
y ¼ ax2 þ bx þ c þ kða0 x2 þ b0 x þ c0 Þ
ossia:
y ¼ ða þ ka0 Þx2 þ ðb þ kb0 Þx þ c þ kc0
[8.23]
Un fascio di parabole viene di solito assegnato proprio mediante un’equazione
del tipo [8.23], cioè mediante un’equazione del tipo y ¼ ax2 þ bx þ c, dove i coefficienti a, b e c dipendono linearmente da un parametro k. In questi casi, per studiare il fascio, occorre anzitutto sviluppare le moltiplicazioni e raccogliere k, in
modo da mettere in evidenza le generatrici e determinare i punti base. L’eventuale
parabola degenere (a parte la generatrice) del fascio di equazione [8.23] è una retta
che si ottiene in corrispondenza del valore di k che annulla il coefficiente di x2 .
ESEMPIO
Studio di fasci di parabole, di cui è data l’equazione
Studiamo il fascio di parabole di equazione y ¼ ðk þ 1Þx 2 3x k, determinando
le generatrici, i punti base e la parabola degenere del fascio.
Generatrici
Scriviamo l’equazione del fascio raccogliendo il parametro k:
y ¼ x2 3x þ kðx2 1Þ
410
Unità 8
Riconosciamo cosı̀ che le generatrici sono la parabola di equazione y ¼ x2 3x
e la parabola degenere di equazione x2 1 ¼ 0, rappresentata nel piano cartesiano dalle due rette parallele all’asse y di equazione x ¼ 1 e x ¼ 1.
Parabola
Punti base e caratteristiche del fascio
Per determinare i punti base, risolviamo il sistema formato dalle equazioni
delle generatrici:
y ¼ x2 3x
x2 1 ¼ 0
Le soluzioni del sistema sono ð1, 4Þ e
ð1, 2Þ, quindi il fascio ha due punti base,
Að1, 4Þ e Bð1, 2Þ, ed è costituito da tutte
le parabole secanti in A e B.
Parabola degenere del fascio
L’unica parabola degenere del fascio (a parte la generatrice) è la retta AB che corrisponde al valore k ¼ 1 che annulla il coefficiente di x2 : tale retta ha equazione
y ¼ 3x þ 1.
y
y = x2– 3x
A
x = –1
x=1
x
O
B
Il metodo dei fasci di parabole
I fasci di parabole possono essere convenientemente utilizzati per risolvere problemi in cui si chiede di determinare l’equazione della parabola che soddisfa certe condizioni assegnate. Questo approccio, denominato «metodo dei fasci», si basa sulle equazioni di due fasci particolari, facilmente ricavabili: il fascio di parabole passanti per due punti A e B assegnati e il fascio di parabole tangenti in un dato
punto P a una retta:
a. l’equazione del fascio di parabole, con asse parallelo all’asse y, passanti per due
punti A e B, rispettivamente di ascisse xA , xB , con xA 6¼ xB , si può scrivere assumendo come generatrici del fascio la retta AB, che supponiamo avere equazione y ¼ mx þ q, e la parabola degenere rappresentata dalle due rette verticali
passanti per A e per B:
y ¼ mx þ q þ kðx xA Þðx xB Þ
[8.24]
b. l’equazione del fascio di parabole, con asse parallelo all’asse y, tangenti in
Pðx0 , y0 Þ alla retta di equazione y ¼ mx þ q, si può ottenere dalla [8.24] nel caso
limite in cui i due punti A e B coincidono con il punto P, quindi xA ¼ xB ¼ x0 :
y ¼ mx þ q þ kðx x0 Þ2
[8.25]
Siamo ora in grado di illustrare il metodo dei fasci su un esempio.
ESEMPIO
Il metodo dei fasci
Scriviamo le equazioni delle parabole passanti per Að2, 0Þ e per Bð4, 0Þ e aventi
il vertice sulla circonferenza di diametro AB.
Analisi preliminare
Invece di risolvere il problema secondo il metodo esposto nel Paragrafo 4, osserviamo che il problema può essere riformulato in questo modo: «nel fascio
di parabole aventi A e B come punti base, individuare quelle che hanno il vertice sulla circonferenza di diametro AB». Scriviamo quindi anzitutto l’equazione di tale fascio e poi individuiamo in esso le parabole cercate.
Ô
411
Le coniche
Ô
Fascio di parabole aventi come punti base A e B
La retta AB ha equazione y ¼ 0, quindi, in base alla [8.24], l’equazione del fascio che ha queste generatrici è:
Tema C
y ¼ 0 þ kðx þ 2Þðx 4Þ
[8.26]
Ricerca delle parabole del fascio con il vertice sulla circonferenza
di diametro AB
Una generica parabola di equazione [8.26] ha vertice in Vð1, 9kÞ. Inoltre la
circonferenza di diametro AB ha centro in Cð1, 0Þ e raggio 3. Pertanto V appartiene a tale circonferenza se e solo se VC ¼ 3.
Imponendo tale condizione si ha l’equazione:
j9kj ¼ 3
k¼
da cui segue:
1
3
Sostituendo tali valori di k nella [8.26] otteniamo le equazioni delle parabole
che soddisfano le condizioni richieste:
1
1
y ¼ ðx2 2x 8Þ e y ¼ ðx2 2x 8Þ
3
3
x = –2
x=4
y
V1
A
y=
B
O
)
(
1 2
x –2x –8
3
x
(
V2
Prova tu
y = – 1 x 2–2x –8
3
)
ESERCIZI a p. 439
1. Scrivi l’equazione del fascio di parabole generato dalle due parabole : y ¼ 2x2 1 e 0 : y ¼ x2 þ 3, determina i punti base e specifica le caratteristiche del
fascio.
2. Determina i punti base, le generatrici e le caratteristiche delle parabole del fascio di equazione:
y ¼ ðk 1Þx2 3kx þ 2
3. Utilizzando il metodo dei fasci determina le equazioni delle parabole passanti per A(0, 1) e per B(1, 0)
che individuano sull’asse x un segmento di misura
uguale a 2.
1
4
y ¼ x2 þ 1, y ¼ x2 þ x þ 1
3
3
6. La parabola e le funzioni
Sappiamo che una parabola con asse parallelo all’asse y rappresenta il grafico di
una funzione di secondo grado.
Non tutte le parabole, però, rappresentano il grafico di una funzione. Consideriamo, per esempio, la parabola di equazione x ¼ y 2 1 (fig. 8.17). La retta colorata
in blu, parallela all’asse y, interseca la parabola in due punti. Ciò significa che esistono dei valori di x cui corrispondono due valori di y: quindi la parabola di equazione x ¼ y 2 1, cosı̀ come tutte le parabole con asse parallelo all’asse x, non rappresenta il grafico di una funzione.
Se però consideriamo, per esempio, solo l’arco della parabola di equazione
x ¼ y 2 1 avente ordinate positive o nulle, allora esso rappresenta il grafico di
una funzione.
412
Unità 8
y
Parabola
x = y2 − 1
O
x
Figura 8.17
Ci sonopinfatti
funzioni
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffialcune particolari p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi irrazionali, definite da equazioni del tipo y ¼ ax þ b þ c oppure y ¼ ax þ b þ c, il cui grafico è costituito da un arco
di parabola con asse parallelo all’asse x.
Vediamo tramite alcuni esempi come si può tracciare il grafico di queste funzioni.
ESEMPI
Funzioni irrazionali che hanno come grafico archi di parabole
Tracciamo il grafico delle seguenti funzioni:
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a. y ¼ x 2
b. y ¼ 1 x 1
a. Osserviamo anzitutto che la funzione data è definita purché il radicando
della radice quadrata sia non negativo, cioè per x 2.
Per tracciare il grafico della funzione, notiamo che l’equazione y ¼ x 2 è
equivalente al sistema:
y0
y0
ossia:
2
y ¼x2
x ¼ y2 þ 2
L’equazione x ¼ y 2 þ 2 rappresenta una parabola con asse parallelo all’asse
x di vertice Vð2, 0Þ, mentre la disequazione y 0 ci dice che di tale parabola dobbiamo considerare solo l’arco i cui punti hanno ordinata non negativa. Il grafico della funzione data è quindi l’arco di parabola non tratteggiato
nella figura qui a fianco.
b. Lapfunzione
è definita per x 1. L’equazione y ¼ 1 x 1 è equivalente
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a x 1 ¼ 1 y e perciò al sistema:
(
1y 0
y1
ossia:
2
x ¼ y 2 2y þ 2
x 1 ¼ ð1 yÞ
Il grafico della funzione data è quindi l’arco della parabola di equazione
x ¼ y 2 2y þ 2 i cui punti hanno ordinata minore o uguale a 1, cioè l’arco
non tratteggiato nella figura qui a fianco.
y
y = x –2
O
V
x
y
y=1
x
O
y = 1– x –1
Interpretazione grafica di equazioni e disequazioni irrazionali
Saper tracciare i grafici delle funzioni irrazionali che hanno come grafico archi di
parabola consente di interpretare graficamente alcune equazioni e disequazioni
irrazionali.
Vediamo alcuni esempi.
Interpretazione grafica di un’equazione irrazionale
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Interpretiamo graficamente e risolviamo l’equazione 2 x ¼ x 1.
ESEMPIO
Interpretazione grafica
Tracciamo anzitutto i grafici delle due funzioni:
y ¼ 2x e y ¼x1
Ô
413
Le coniche
y
y = 2– x
Tema C
P
O
xP
x
y = x −1
Il grafico della prima funzione è un arco di parabola, che si può tracciare con
il procedimento degli esempi precedenti. La seconda funzione ha come grafico una retta parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
Le soluzioni dell’equazione corrispondono alle ascisse dei punti di intersezione tra l’arco di parabola e la retta.
Dal grafico puoi vedere che c’è un solo punto di intersezione, P. Pertanto possiamo prevedere che l’equazione avrà una sola soluzione, l’ascissa di P, e che
1 < xP < 2. Per determinare l’ascissa di P occorre procedere algebricamente.
Calcolo algebrico
Eleviamo al quadrato i due membri dell’equazione e risolviamo l’equazione
ottenuta:
2 x ¼ x 1 ) 2 x ¼ ðx 1Þ2 ) 2 x ¼ x2 2x þ 1 )
pffiffiffi
1 5
2
)x x1¼0 )x¼
2
In base all’analisi grafica che abbiamo effettuato, possiamo affermare che, p
delffiffiffi
1þ 5
.
le due soluzioni trovate, quella accettabile è quella positiva, cioè x ¼
2
Coerentemente con quanto previsto, risulta x ’ 1,6.
Risoluzione grafica di una disequazione irrazionale
pffiffiffi
Risolviamo graficamente la disequazione x > x 4.
ESEMPIO
Interpretazione grafica
pffiffiffi
Tracciamo anzitutto i grafici delle due funzioni y ¼ x e y ¼ x 4.
Risolvere graficamente la disequazione significa determinare per quali valori
pffiffiffi
di x il grafico della funzione y ¼ x è «al di sopra» della retta. Dalla figura
puoi vedere che ciò accade per:
y
y= x
O
P
xP
y = x −4
x
0 x < xP
essendo xP l’ascissa del punto di intersezione tra l’arco di parabola e la retta.
Per completare la risoluzione della disequazione dobbiamo determinare xP ,
pffiffiffi
cioè risolvere algebricamente l’equazione x ¼ x 4.
Calcolo algebrico
pffiffiffi
x ¼ x 4 ) x ¼ ðx 4Þ2 ) x ¼ x2 8x þ 16 ) x2 9x þ 16 ¼ 0 )
pffiffiffiffiffiffi
9 17
) x¼
2
Dall’analisi grafica si vede che xP > 6. Possiamo affermare che, delle due solupffiffiffiffiffiffi
9 þ 17
. Concluzioni trovate, quella accettabile è quella maggiore, cioè x ¼
2
pffiffiffiffiffiffi
9 þ 17
diamo quindi che la disequazione è soddisfatta per 0 x <
.
2
La funzione di secondo grado e i problemi
di massimo e di minimo
Conoscere le proprietà delle funzioni di secondo grado e saper tracciare il grafico
di funzioni irrazionali rappresentate da archi di parabola amplia la classe di problemi che siamo in grado di rappresentare tramite il modello matematico delle
funzioni. In particolare, mediante il modello costituito dalle funzioni di secondo
414
Minimizzare un’area
Un triangolo rettangolo ABC ha i cateti AB e AC rispettivamente di misura 4 e 3. Considerati i punti E, F e G, rispettivamente su AB, BC e AC, in modo che AE ¼ BF ¼ CG, determinare la misura dei tre segmenti AE, BF e CG in modo che
l’area del triangolo EFG sia minima.
Parabola
PROBLEMA
Unità 8
grado possiamo risolvere alcuni problemi in cui si chiede di determinare il massimo o il minimo valore che può assumere una grandezza. Il problema seguente ne
è un esempio.
FIGURA E SCELTA DELL’INCOGNITA
Il testo del problema suggerisce di porre uguale a x la misura dei tre segmenti congruenti AE, BF e CG.
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi
Per il teorema di Pitagora, BC ¼ 32 þ 42 ¼ 25 ¼ 5, quindi si possono dedurre le
misure dei segmenti annotati in fig. 8.18.
C
x
G
5–
x
3– x
F
A x E
x
4–x
B
Figura 8.18
LIMITI GEOMETRICI DELL’INCOGNITA
La misura x dei tre segmenti deve essere un numero non negativo, quindi x 0; inoltre deve essere un numero che
non supera la misura di ciascun lato del triangolo (perché i punti E, F, G appartengono per ipotesi ai lati), quindi dovrà
essere x 3. Analizziamo i due casi limite x ¼ 0 e x ¼ 3:
a. se x ¼ 0, allora A E, B F e C G (fig. 8.19), quindi il triangolo EFG coincide con il triangolo ABC, che ha area
uguale a 6;
b. se x ¼ 3, allora A G, quindi il triangolo EFG coincide con il triangolo EFA (fig. 8.20).
C≡G
C
2
F
3
Figura 8.19
A≡E
B≡F
Figura 8.20
3
A≡G
3
E 1 B
Poiché in entrambi i casi limite il triangolo EFG è ben definito, accettiamo i casi limite e assumiamo come dominio
dell’incognita l’intervallo
0x3
ESPRESSIONE DELL’AREA DEL TRIANGOLO EFG IN FUNZIONE DI x
Osserviamo che l’area del triangolo EFG si può ottenere come differenza fra l’area
del triangolo ABC e le aree dei triangoli AEG, EBF e FCG (fig. 8.21).
Esprimiamo in funzione di x le aree dei triangoli ABC, AEG, EBF e FCG.
1
AreaðABCÞ ¼ 3 4 ¼ 6
2
1
1
AreaðAEGÞ ¼ x ð3 xÞ ¼ ð3x x2 Þ
2
2
1
1
3
3
ð4x x2 Þ
AreaðEFBÞ ¼ EB HF ¼ ð4 xÞ x ¼
2
2
5
10
Dalla similitudine dei triangoli ABC e HBF segue che BC : AC ¼ BF : HF , da cui HF ¼
3
x
5
C
x
G
5–
x
3– x
F
K
A x E
4–x
H
x
B
Figura 8.21
1
1
4
2
AreaðFCGÞ ¼ CG FK ¼ x ð5 xÞ ¼ ð5x x2 Þ
2
2
5
5
Dalla similitudine dei triangoli ABC e KFC segue che BC : AB ¼ FC : FK, da cui FK ¼
4
ð5 xÞ
5
Pertanto:
AreaðEFGÞ ¼ AreaðABCÞ AreaðAEGÞ AreaðEFBÞ AreaðFCGÞ ¼
¼6
1
3
2
6
47
ð3x x2 Þ ð4x x2 Þ ð5x x2 Þ ¼ x2 xþ6
2
10
5
5
10
415
Le coniche
GRAFICO DELLA FUNZIONE E DEDUZIONE DEL MINIMO
Indichiamo con y l’area del triangolo EFG. L’espressione di y in funzione di x, in
base a quanto ricavato nel punto precedente, è:
Tema C
y¼
6 2 47
x xþ6
5
10
y
6
La funzione di secondo grado definita da questa equazione ha come grafico una
parabola con la concavità rivolta verso l’alto (fig. 8.22), quindi il valore minimo
di y si ottiene in corrispondenza dell’ascissa del vertice della parabola, cioè per
47
.
x¼
24
O
L’area di EFG è minima quando:
AE ¼ BF ¼ CG ¼
y=
47
’ 1,96
24
6 2 47
x–
x +6
10
5
x
47 3
24
Figura 8.22
Prova tu
ESERCIZI a p. 444
1. Traccia i grafici delle seguenti funzioni.
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a. y ¼ 4 2x;
y ¼ xþ2
b. y ¼ 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 x;
y ¼1þ
xþ3
2. Interpretando graficamente le seguenti equazioni, stabilisci il numero delle loro soluzioni e cerca di darne una stima. Risolvi poi le equazioni algebricamente.
"
pffiffiffiffiffiffi #
1
1 13
[0, 4]
b. x þ 3 ¼ x
a.
4x¼ xþ2
2
2
3. Risolvi graficamente le seguenti disequazioni.
pffiffiffi
1
a.
2x þ 1 > x 2
x< 6þ3
2
b.
pffiffiffi
x 1 < 2x
[x 0]
MATEMATICA NELLA REALTÀ
Modelli parabolici
Osservando i getti d’acqua nella fotografia a lato, puoi riconoscere una parabola, proprio
come quelle che hai imparato a tracciare in questa Unità: infatti i getti d’acqua cadendo
al suolo seguono traiettorie paraboliche. Più in generale, si può dimostrare che la traiettoria di un oggetto lanciato in aria in direzione non verticale è sempre parabolica.
La presenza di parabole nelle situazioni reali appena descritte si potrebbe spiegare in base
ad alcune leggi della fisica in cui trovano applicazione le funzioni quadratiche. Tali applicazioni sono note fin da quando, nel XVII secolo, lo scienziato inglese Isaac Newton
(1642-1727) descrisse le leggi del moto dei corpi e la legge di gravitazione universale.
Secondo queste leggi, un oggetto lanciato verticalmente verso l’alto, con velocità iniziale
v0 (in metri al secondo), da una altezza h0 (in metri), t secondi dopo il lancio si trova a
un’altezza espressa dalla seguente funzione quadratica:
hðtÞ ¼ 4,9t 2 þ v0 t þ h0
–4,9t 2 + v0t
h
h0
416
Altezza raggiunta da una palla
lanciata verticalmente verso
l’alto con velocità v0 da una
altezza h0 dopo t secondi dal lancio
Parabola
In astronomia, alcune comete che non appartengono al sistema solare hanno traiettorie
paraboliche.
Unità 8
Il grafico di questa funzione, in un sistema di assi dove i valori di t sono posti in ascissa e
quelli di h in ordinata, è una parabola. Presta attenzione, però: l’equazione
hðtÞ ¼ 4,9t 2 þ v0 t þ h0 rappresenta l’altezza della palla all’istante t e non descrive la
traiettoria della palla.
Un altro settore dove si incontrano le parabole è quello della disposizione dei cavi portanti nei punti sospesi: i ponti, cioè, in cui l’impalcato è sospeso e viene sostenuto mediante tiranti in acciaio, collegati ai cavi portanti. Il Golden Gate, sulla baia di San Francisco, è uno dei ponti più lunghi di questo tipo; è stato costruito negli anni Trenta ed è
lungo circa 2,7 km: i cavi d’acciaio del Golden Gate hanno 93 cm di diametro, pesano da
soli circa 15 000 tonnellate e sostengono un impalcato a 75 m dal mare.
L’interesse a calcolare lungo quale tipo di curva si dispongono i cavi portanti non è solo
una questione matematica, ma un’esigenza di progettazione: conoscere la curva lungo
cui si dispongono tali cavi, infatti, permette di calcolare la lunghezza dei tiranti prima di
aver iniziato la costruzione del ponte.
Un cavo, fissato ai due estremi e non soggetto ad alcuna altra forza che non sia il proprio
peso, si dispone lungo una curva simile a una parabola, ma matematicamente diversa:
questa curva si chiama catenaria. I cavi portanti dei ponti sospesi, invece, non sono semplicemente adagiati sui due piloni ma sono soggetti alle forze esercitate dai tiranti: queste
forze di tensione fanno sı̀ che la curva lungo cui si dispongono i cavi non sia una catenaria ma un arco di parabola.
Infine, le proprietà geometriche della parabola e dei solidi che da essa si ottengono per
rotazione hanno importanti applicazioni in elettromagnetica e in ottica, per esempio
nella costruzione di antenne e di fari.
La proprietà alla base di queste applicazioni è la seguente: consideriamo un punto P di
una parabola avente fuoco in F; tracciamo la retta t, tangente alla parabola in P, e la retta
n perpendicolare alla tangente in P (fig. 8.23). Comunque venga scelto P, si può dimostrare che la retta n risulta bisettrice dell’angolo APbF, essendo A un punto appartenente
alla semiretta tracciata in fig. 8.23, parallela all’asse della parabola.
n
A
F
F
V
P
t
Figura 8.23
Figura 8.24
Questa proprietà fa sı̀ che una superficie riflettente parabolica (cioè ottenuta dalla rotazione di una parabola intorno al suo asse di simmetria), in base alle leggi della riflessione, rifletta i raggi luminosi paralleli all’asse di rotazione in raggi passanti per il fuoco
(fig. 8.24). Per questo motivo molte antenne per ricevere segnali satellitari o dallo spazio sono costituite da superfici paraboliche: i segnali, provenendo da grandi distanze,
sono approssimativamente paralleli e vengono riflessi nel ricevitore, posto nel fuoco
dell’antenna, aumentando cosı̀ la loro potenza.
417
Tema C
Unità
8
Esercizi
In più: esercizi interattivi
SINTESI
Formule e proprietà importanti
Parabola di equazione y ¼ ax2 þ bx þ c
b
1
,
Fuoco F 2a
4a
Direttrice y ¼ Asse x ¼ y = ax + bx + c
x =−
2
b
2a
y
 b 1− ∆
− 2a , 4a 
1þ
4a
b
2a
 b
∆
− 2a , − 4a 
b
,
Vertice V 2a
4a
F
y=−
V
1+ ∆
4a
direttrice
x
O
Posizione reciproca tra retta e parabola
<0
y ¼ mx þ q
2
ax þ ðb mÞx þ c q ¼ 0 ¼ 0
y ¼ ax2 þ bx þ c equazione risolvente
>0
retta esterna
retta tangente
retta secante
Rette tangenti alla parabola di equazione y ¼ ax2 þ bx þ c passanti per Pðx0 , y0 Þ
y
y
y
P(x0, y0)
P(x0, y0)
x
O
O
x
O
x
P(x0, y0)
Per un punto P esterno alla parabola
passano due rette distinte tangenti alla
parabola. I coefficienti angolari di tali rette
si possono determinare imponendo che sia
nullo il discriminante
dell’equazione risol
vente il sistema:
y y0 ¼ mðx x0 Þ
Se il punto P appartiene alla parabola,
esiste un’unica retta passante per P
e tangente alla parabola.
Il coefficiente angolare m di tale retta
è dato dalla formula: m ¼ 2ax0 þ b.
Per un punto P interno alla parabola non
passano rette tangenti alla parabola.
Area del segmento parabolico di base AB
2
È uguale a dell’area del rettangolo AA0 B0 B, essendo A0 ; B0 le proiezioni ortogonali di A e B sulla retta tangente alla
3
parabola e parallela ad AB.
Equazione di un fascio di parabole di generatrici y ¼ ax2 þ bx þ c e y ¼ a0 x2 þ b0 x þ c0
y ax2 bx c þ kðy a0 x2 b0 x c0 Þ ¼ 0
Caratteristiche del fascio
A seconda del numero dei punti base, si possono presentare le seguenti situazioni:
se ci sono due punti base distinti A e B, il fascio è costituito da parabole secanti passanti per A e per B;
se ci sono due punti basi coincidenti, A B, il fascio è costituito da parabole tangenti fra loro in A;
se c’è un solo punto base A (non doppio), il fascio è costituito da parabole congruenti passanti per A;
se non ci sono punti base, il fascio può essere costituito o da parabole congruenti aventi il medesimo asse di
simmetria o da parabole non congruenti che non si intersecano fra loro.
418
Unità 8
CONOSCENZE E ABILITÀ
1. Le parabole con vertice nell’origine
TEORIA a p. 387
Caccia all’errore. «La parabola è il luogo dei punti del piano che hanno distanza costante d da un punto, detto fuoco, e da una retta, detta direttrice». Quale errore contiene questa definizione di parabola?
1
Þ
Parabola
La definizione di parabola come luogo
Vero o falso?
Considera una parabola di fuoco F, vertice V e direttrice d, e sia H la proiezione di V sulla direttrice.
2
Þ
a. F è il punto medio di VH
b. V è il punto medio di FH
c. la retta passante per V e per F è l’asse della parabola
d. la retta passante per V e per H è perpendicolare alla direttrice
e. ogni retta perpendicolare alla direttrice è un asse di simmetria per la parabola
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
[3 affermazioni vere e 2 false]
3 In ciascuna delle seguenti figure sono assegnati due elementi fra vertice, fuoco e direttrice di una parabola.
Þ
Determina il terzo elemento e l’equazione dell’asse della parabola.
y
y
y
y =2
V
V
O(0, 0)
x
y = −2
Fuoco: F ð:::::, :::::Þ
Asse: x ¼ ::::::::::
O(0, 0)
F
x
x
O(0, 0)
F
Direttrice: y ¼ ::::::::::
Asse: x ¼ ::::::::::
Vertice: V ð:::::, :::::Þ
Asse: x ¼ ::::::::::
Determina l’equazione della parabola che ha come fuoco il punto F e come direttrice la retta d.
1 2 1
1
3
2 2 1
1
x
,
0
d:
y
¼
y
¼
x
x
4
Fð0,
1Þ
d:
y
¼
2
y
¼
7
F
Þ
Þ
6
2
4
4
3
3
3
1
15
17
5 Fð1, 1Þ
d: y ¼ 0
y ¼ x2 þ x þ 1
Þ
[y ¼ x2 2x 3]
8 F 1, d: y ¼ 2
Þ
4
4
1
1
4
6 Fð1, 0Þ
d: y ¼ 3
y ¼ x2 x þ
Þ
6
3
3
9
Þ
ESERCIZIO SVOLTO
Consideriamo due parabole e 0 secanti in A e B, aventi la medesima
retta r come direttrice e fuochi, rispettivamente, in F ed F 0 . Dimostriamo che i punti di intersezione di e 0 appartengono all’asse di FF0 .
In riferimento alla figura qui a fianco consideriamo, per esempio, il punto
A. Osserviamo che:
AF ¼ AH
per definizione di parabola avente fuoco in F e direttrice r
AF 0 ¼ AH
per definizione di parabola avente fuoco in F 0 e direttrice r
AF 0 ,
0
Ne segue che AF ¼
quindi A appartiene all’asse di FF .
Con un ragionamento del tutto analogo possiamo dimostrare che anche B
appartiene all’asse di FF 0 .
y
asse di FF'
γ'
A
γ
F
direttrice
F'
B
O
H
r
x
419
Le coniche
Tema C
Sia una circonferenza tangente alla retta r e passante per il punto P; dimostra che il centro di appartiene
alla parabola avente come direttrice la retta r e fuoco in P.
10
Þ
Considera due circonferenze e 0 , secanti in A e B, tangenti entrambe alla retta r e aventi centri, rispettivamente, in C e C0 . Dimostra che C e C0 sono i punti di intersezione delle parabole aventi come direttrice la retta r e
aventi fuochi, rispettivamente, in A e B.
11
Þ
12 Considera una parabola avente fuoco in F. Traccia la retta parallela alla direttrice di e passante per F, indiÞ
cando con A e B i suoi punti di intersezione con . Dette A0 , B0 le proiezioni di A e B sulla direttrice, dimostra che il
perimetro del rettangolo AA0 B0 B è il triplo di AB.
Parabole con vertice nell’origine
Test
13 Nella figura qui sotto sono tracciati i grafici delle
Þ
parabole di equazioni y ¼ a1 x2 , y ¼ a2 x2 e y ¼ a3 x2 .
Quale delle relazioni tra i coefficienti a1 , a2 e a3 è corretta?
A
a3 < 0 < a1 < a2
B
a3 < 0 < a2 < a1
C
0 < a1 < a2 < a3
D
a1 < a2 < 0 < a3
y = a2 x 2
y
y = a1 x
2
x
O
y = a3 x 2
Traccia il grafico delle seguenti parabole, dopo avere determinato le coordinate di almeno cinque
punti di ciascuna di esse. Determina fuoco e direttrice di ciascuna parabola.
15
Þ
y ¼ x2
16
Þ
y¼
17
Þ
y¼
2 2
x
3
1 2
x
3
3 2
x
2
1 2
x
19 y ¼ Þ
3
18
Þ
20
Þ
y ¼ 2,5 x2
21
Þ
y¼
22
Þ
y ¼ 2x2
23
Þ
y¼
y¼
1 2
x
4
3 2
x
4
Scrivi l’equazione della parabola che ha vertice
nell’origine e come direttrice la retta di
equazione
1
1
y ¼ x2
y ¼ , quindi tracciane il grafico.
2
2
24
Þ
14 Nella figura qui sotto sono tracciati i grafici delle
Þ
parabole di equazioni y ¼ a1 x2 , y ¼ a2 x2 e y ¼ a3 x2 .
Quale delle relazioni tra i coefficienti a1 ; a2 e a3 è corretta?
A
0 < a3 < a2 < a1
B
a2 < a3 < a1 < 0
C
a2 < a3 < 0 < a1
D
a3 < a2 < 0 < a1
y
y = a1 x 2
Scrivi l’equazione della parabola
che ha
vertice
3
, quindi
nell’origine e come fuoco il punto F 0, 8
tracciane il grafico.
2
y ¼ x2
3
25
Þ
nell’origine e come direttrice la retta di equazione
y ¼ 1, quindi tracciane il grafico.
1 2
y¼ x
4
26
Þ
O
x
y = a2 x 2
Scrivi l’equazione della parabola che ha
vertice
3
nell’origine e come fuoco il punto F 0,
, quindi
2
tracciane il grafico.
1 2
y¼ x
6
27
Þ
y = a3 x 2
2. Le parabole con asse parallelo a uno degli assi cartesiani
TEORIA a p. 390
Grafico e proprietà della parabola con asse parallelo all’asse y
28
Þ
Vero o falso?
a. la parabola di equazione y ¼ x2 þ 2x passa per l’origine
b. la parabola di equazione y ¼ x2 4 passa per l’origine
c. l’asse della parabola di equazione y ¼ 2x2 þ 1 è l’asse y
pffiffiffi
d. la parabola di equazione y ¼ ð 3 2Þx2 þ 1 ha la concavità rivolta verso l’alto
V
F
V
F
V
F
V
F
420
Unità 8
Parabola
Associa alle parabole disegnate nella figura qui sotto, ciascuna di equazione del tipo y ¼ ax2 þ bx þ c, i rispettivi valori di a:
y
1
a ¼ 3;
a¼ ;
2
1
a¼2
a¼ ;
3
x
O
29
Þ
Interpretazione di grafici. Per ciascuna delle seguenti parabole, la cui equazione è del tipo y ¼ ax2 þ bx þ c,
poni una crocetta sulle caselle che esprimono il segno dei coefficienti a, b e c.
30
Þ
y
y
y
V
O
O
x
O
V
a¼0
a<0
a>0
a¼0
a<0
a>0
a¼0
a<0
b>0
b¼0
b<0
b>0
b¼0
b<0
b>0
b¼0
b<0
c>0
c¼0
c<0
c>0
c¼0
c<0
c>0
c¼0
c<0
y ¼ x2 4x þ 5
2
y ¼ x 2x
½Vð1, 1Þ
34
Þ
y ¼ x2 þ 4
½Vð0, 4Þ
35
Þ
y ¼ x2 2x þ 1
36
Þ
y ¼ x2 6x þ 9
½Vð3, 0Þ
37
Þ
2
y ¼ x þ 6x 5
½Vð3, 4Þ
38
Þ
y ¼ 2x2 þ 4x 1
39
Þ
y ¼ 2x2 6x
1 2
x 2x
2
1 2
x 3x þ 2
41 y ¼
Þ
2
y¼
43 y ¼ x2 þ
Þ
44
Þ
y¼
45
Þ
y¼
½Vð2, 1Þ
33
Þ
40
Þ
x
V
a>0
Traccia i grafici delle parabole aventi le seguenti
equazioni, dopo aver determinato di ciascuna il
vertice V, l’asse e altri quattro suoi punti.
3 7
2
,
31
y
¼
x
3x
þ
4
V
Þ
2 4
32
Þ
x
½Vð1, 2Þ
½Vð1, 1Þ
3
9
;
V
2
2
½Vð2, 2Þ
5
V 3, 2
Determina vertice, fuoco e direttrice delle parabole
aventi le seguenti equazioni.
15
17
2
;
y
¼
42
y
¼
x
þ
2x
þ
3
Vð1,
4Þ;
F
1,
Þ
4
4
3
2
3
5
7
V 0,
; F 0,
; y¼
2
4
4
1 2
x 2x 2
3
5
; y¼
Vð2, 2Þ; F 2,
2
2
1
1
ðx 1Þ2 ðx þ 1Þ2
4
2
[Vð3, 2Þ; Fð3, 1Þ; y ¼ 3]
Determina per quale valore di a la direttrice della
parabola di equazione y ¼ ax2 4x þ 5 coincide con
l’asse x.
17
a¼
20
46
Þ
Determina per quale valore di a il fuoco della parabola di equazione y ¼ ax2 4x þ 5 appartiene all’as
se x.
3
a¼
4
47
Þ
Determina per quali valori di a la parabola di
equazione y ¼ ð2a2 a 1Þx2 þ ax þ 1 ha la concavità
rivolta verso il basso.
1
<a<1
2
48
Þ
Verifica che per ogni valore di a la parabola di
equazione y ¼ ða2 a þ 1Þx2 4x þ a ha la concavità
rivolta verso l’alto.
49
Þ
421
Le coniche
Tema C
50
Þ
ESERCIZIO SVOLTO
Determiniamo per quali valori di a il vertice V della parabola di equazione y ¼ x2 2ax þ 3a þ 4 appartiene
al quarto quadrante.
Si ricava facilmente che Vða, a2 þ 3a þ 4Þ, quindi a deve soddisfare il sistema:
a>0
a2 þ 3a þ 4 < 0
Risolvendo il sistema, si trova che deve essere a > 4.
Determina per quali valori di a il vertice della parabola di equazione y ¼ ax2 2x þ a þ 3 appartiene al quarto
"
#
pffiffiffiffiffiffi
quadrante.
13 3
0<a<
2
52 Determina per quali valori del parametro a le due parabole di equazioni
Þ
51
Þ
y ¼ ða 1Þx2 2x þ 3
y ¼ ð3 2aÞx2 þ x 2
e
4
a¼2_a¼
3
sono congruenti.
Punti di intersezione della parabola di equazione y ¼ ax 2 þ bx þ c con gli assi cartesiani
53
Þ
A
Test. Una delle seguenti parabole non interseca l’asse x; quale?
y ¼ x2 x þ 1
B
y ¼ 2ðx þ 1Þ2 7x
C
pffiffiffi pffiffiffi
y ¼ x2 2 3 þ 5
Interpretazione di grafici. Nelle seguenti figure sono state tracciate alcune parabole di equazione
y ¼ ax2 þ bx þ c. Completa ponendo, al di sotto di ciascuna parabola, il simbolo opportuno scelto tra < , ¼ , >. Il
simbolo indica il discriminante dell’equazione associata.
54
Þ
y
y
y
V
V
O
x
x
O
V
x
O
a ::::: 0; b ::::: 0; c ::::: 0; ::::: 0
a ::::: 0; b ::::: 0; c ::::: 0; ::::: 0
a ::::: 0; b ::::: 0; c ::::: 0; ::::: 0
55 Interpretazione di grafici. Nelle seguenti figure sono state tracciate alcune parabole di equazione
Þ
y ¼ ax2 þ bx þ c. Completa ponendo, al di sotto di ciascuna parabola, il simbolo opportuno scelto tra < , ¼ , >. Il
simbolo indica il discriminante dell’equazione associata.
y
y
y
V
x
O
V
a ::::: 0; b ::::: 0; c ::::: 0; ::::: 0
422
O
V
O
a ::::: 0; b ::::: 0; c ::::: 0; ::::: 0
x
a ::::: 0; b ::::: 0; c ::::: 0; ::::: 0
x
y ¼ x2 þ 3x 4
58
Þ
y ¼ 2x2 2
59 y ¼ 2x2 þ 10x
Þ
60
Þ
61
Þ
2
y ¼ x 5x þ 6
y ¼ 2x2 2x 4
63
Þ
64
Þ
65
Þ
66
Þ
67
Þ
68
Þ
y ¼ x2 þ 4x
y ¼ x2 þ 4x þ 4
y ¼ 2x2 x þ 3
Parabola
57
Þ
Unità 8
Traccia il grafico delle parabole aventi le seguenti equazioni, dopo averne individuato il vertice e i punti di
intersezione con gli assi cartesiani.
56 y ¼ x2 2x
62 y ¼ x2 þ 1
Þ
Þ
y ¼ x2 þ 5x þ 6
y ¼ ðx 1Þ2 16
y ¼ x2 þ 6x þ 7
Traccia il grafico della parabola di equazione y ¼ x2 þ 3x 2 e determina l’area del triangolo formato dai
suoi punti d’intersezione con gli assi cartesiani.
[Punti di intersezione con gli assi cartesiani: Að1, 0Þ, Bð2, 0Þ, Cð0, 2Þ; Area ¼ 1]
69
Þ
Traccia il grafico della parabola di equazione y ¼ 2x2 þ x 6 e determina l’area del triangolo formato dai suoi
punti di intersezione con gli assi cartesiani.
3
21
, 0 , Cð0, 6Þ; Area ¼
Punti di intersezione con gli assi cartesiani: Að2, 0Þ, B
2
2
70
Þ
Traccia il grafico della parabola di equazione y ¼ x2 4x 1 e determina l’area del triangolo formato dai suoi
punti di intersezione con gli assi cartesiani.
pffiffiffi
pffiffiffi
pffiffiffi
[Punti di intersezione con gli assi cartesiani: Að2 5, 0Þ, Bð2 þ 5, 0Þ, Cð0, 1Þ; Area ¼ 5
71
Þ
Parabole con asse parallelo all’asse x
Vero o falso?
a. il vertice della parabola di equazione x ¼ y 2 1 appartiene all’asse x
V F
b. l’asse della parabola di equazione x ¼ ay2 þ by þ c è parallelo all’asse y
V F
2
2
c. il grafico della parabola di equazione x ¼ ay þ by þ c è il simmetrico del grafico di y ¼ ax þ bx þ c
rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante
V F
1 2
d. la direttrice della parabola di equazione x ¼ y 2y þ 1 è la retta di equazione y ¼ 4
V F
4
72
Þ
Per ciascuna delle parabole di cui è data l’equazione, traccia il grafico dopo aver determinato vertice,
asse e punti di intersezione con gli assi cartesiani.
1 2
y
2
73
Þ
x¼
74
Þ
x ¼ 4 y2
75
Þ
x ¼ y 2 þ 4y
76
Þ
x ¼ 2y 2 3y
77
Þ
x¼
78
Þ
x ¼ y 2 þ 2y 1
79
Þ
x ¼ ðy þ 2Þ2
80
Þ
x ¼ y 2 þ 5y 6
3 2 1
y þ y
2
2
Data la parabola di equazione x ¼ y 2 þ 2y 8,
siano A e B i suoi punti di intersezione con l’asse y e V
il suo vertice. Determina l’area del triangolo ABV: [27]
81
Þ
Data la parabola di equazione x ¼ y 2 þ y þ 6,
siano A e B i punti di intersezione del suo grafico con
l’asse y e C il suo punto di intersezione con l’asse x.
Determina l’area del triangolo ABC.
[15]
82
Þ
Determina per quali valori di a la parabola di
equazione x ¼ ða2 3Þy 2 2y þ 1 interseca l’asse y in
due punti distinti e ha la concavità rivolta verso depffiffiffi pffiffiffi
stra.
[2 < a < 3 _ 3 < a < 2]
83
Þ
Determina per quali valori di a il vertice della parabola di equazione x ¼ ð2a 1Þy 2 2y þ 1 appartiene
al secondo quadrante.
1
<a<1
2
84
Þ
La parabola e le trasformazioni
Determina la parabola simmetrica di y ¼ x2 rispetto:
a. alla retta y ¼ 2;
d. all’asse x;
b. alla retta x ¼ 3;
e. all’asse y.
c. alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante;
[a. y ¼ x2 þ 4; b. y ¼ ðx þ 6Þ2 ; c. x ¼ y 2 ; d. y ¼ x2 ; e. y ¼ x2 ]
85
Þ
423
Le coniche
Tema C
È data la parabola di equazione y ¼ x2 ; determina l’equazione della parabola a essa simmetrica rispetto al
1 1
.
[y ¼ x2 2x]
punto ,
2 2
86
Þ
Determina la corrispondente della parabola di equazione y ¼ x2 :
a. nella traslazione di vettore !
v ð1, 1Þ;
b. nella simmetria rispetto all’asse x;
c. nella trasformazione ;
d. nella trasformazione .
[a. y ¼ x2 þ 2x þ 2; b. y ¼ x2 ; c. y ¼ x2 2x; d. y ¼ x2 2x 2]
87
Þ
Determina il punto P rispetto al quale sono simmetriche le parabole : y ¼ x2 þ 2x e 0 : y ¼ x2 3x þ 2. Ve rifica che P è il punto medio dei vertici di e 0 .
5 3
,
P
4 8
88
Þ
Determina il punto P rispetto al quale sono simmetriche le parabole di equazioni y ¼ x2 e y ¼ x2 þ 4x þ 3.
Scrivi inoltre l’equazione della simmetria centrale che trasforma una parabola nell’altra.
7
P 1,
, x0 ¼ 2 x, y 0 ¼ 7 y
2
89
Þ
Determina la traslazione che trasforma la parabola di equazione y ¼ x2 2x nella parabola 0 di equazione
y ¼ x2 4x þ 4.
[x0 ¼ x þ 1, y 0 ¼ y þ 1]
90
Þ
Determina la traslazione che trasforma la parabola di equazione y ¼ 2x2 2x nella parabola 0 di equazione
y ¼ 2x2 6x þ 6.
[x0 ¼ x þ 1, y 0 ¼ y þ 2]
91
Þ
Determina una trasformazione che trasformi la parabola di equazione y ¼ x2 þ 2x nella parabola 0 di
equazione y ¼ x2 3x þ 2:
a. componendo la simmetria rispetto all’asse x con un’opportuna traslazione;
b. componendo la traslazione che manda il vertice di nel vertice di 0 con un’opportuna simmetria assiale.
1
3
Verifica che si ottiene in ciascuno dei due casi la stessa isometria.
x0 ¼ x þ , y 0 ¼ y þ
2
4
92
Þ
Determinare i punti di una parabola che soddisfano condizioni assegnate
93
Þ
ESERCIZIO SVOLTO
Siano A e B i punti rispettivamente di ascissa 2 e 0 della parabola di equazione y ¼ x2 4. Determiniamo il
_
13
.
punto P, sull’arco AB di parabola, tale che la somma delle distanze di P dagli assi cartesiani sia
4
Analisi preliminare
Tracciamo il grafico della parabola di equazione y ¼ x2 4.
È facile ricavare che Að2, 0Þ e Bð0, 4Þ.
_
Un generico punto P di ascissa x appartenente all’arco AB avrà coordinate:
Pðx, x2 4Þ, con 2 x 0
Esprimiamo in funzione di x le distanze di P dagli assi cartesiani e imponiamo che la loro somma sia
13
.
4
Distanze di P dagli assi cartesiani
In riferimento alla figura qui a fianco, determinare le distanze di P dagli assi equivale a determinare le misure di PH e PK, essendo:
Pðx, x2 4Þ, Kðx, 0Þ,
Hð0, x2 4Þ
_
Osserviamo che al variare di P sull’arco AB l’ordinata di K si mantiene sempre maggiore di quella di P e l’ascissa di H si mantiene sempre maggiore dell’ascissa di P.
Quindi, per calcolare le distanze di P da K e di P da H, possiamo utilizzare le formule
senza valore assoluto, avendo cura però di eseguire la sottrazione tra l’ordinata
maggiore e l’ordinata minore e tra l’ascissa maggiore e l’ascissa minore:
PK ¼ yK yP ¼ 0 ðx2 4Þ ¼ 4 x2
PH ¼ xH xP ¼ 0 x ¼ x
424
y
y = x 2− 4
K
O
H
A
P
B
x
13
4
è accettabile, mente la soluzione x ¼
13
4
3
1
3
e x ¼ . Poiché stiamo supponendo 2 x 0, la soluzione x ¼ 2
2
2
1
è da scartare.
2
Parabola
La condizione si traduce nell’equazione: ð4 x2 Þ þ ðxÞ ¼
che, risolta, fornisce le soluzioni x ¼ Unità 8
Imponiamo che P soddisfi la condizione PK þ PH ¼
Conclusione
3
7
3
7
.
Sostituendo nell’equazione della parabola x ¼ si ha che y ¼ , quindi P , 2
4
2
4
Nota Il punto «più delicato» della risoluzione di questo problema è stato il calcolo corretto delle distanze:
a. per non commettere errori controlla che le espressioni ottenute nel calcolo di una distanza siano sempre non negative, nelle ipotesi del
problema su cui stai lavorando: per esempio, osserva che le espressioni trovate poc’anzi, PK ¼ 4 x 2 e PH ¼ x, sono non negative nell’ipotesi 2 x 0 supposta dal problema;
_
b. se lo stesso problema avesse chiesto di determinare il punto P sulla parabola, senza il vincolo di appartenenza all’arco AB, nel calcolo delle
2
distanze avremmo dovuto utilizzare il valore assoluto e avremmo avuto: PK ¼ j4 x j e PH ¼ jxj.
Siano A e B i punti rispettivamente di ascissa 0 e 2 della parabola di equazione y ¼ x2 4. Determina il punto
_
P, sull’arco AB di parabola, in modo che la somma delle distanze di P dagli assi cartesiani sia 3.
"
!#
1þ 5
55
P
,
2
2
94
Þ
Siano A e B i punti di intersezione della parabola y ¼ x2 3x con gli assi cartesiani. Determina il punto P, appffiffiffi pffiffiffi
_
partenente all’arco AB di parabola, tale che la somma delle distanze di P dagli assi cartesiani sia 2. [Pð2 2, 2Þ]
95
Þ
Siano A e B, rispettivamente, i punti di intersezione con
pffiffiffil’asse y e con l’asse x della parabola di equazione
3 5
2
y ¼ ðx 2Þ . Determina un punto P sulla parabola, distante
dalla retta AB.
[P1 (1, 9); P2 (3, 1)]
5
96
Þ
Siano A e B, rispettivamente, il punto di intersezione con l’asse p
y ffiffiffi
e con l’asse x della parabola di equazione
_
2
2
y ¼ ðx 1Þ . Determina un punto P, sull’arco AB di parabola, distante
dalla retta AB. [Posto Pðx; x2 2x þ 1Þ
2
2
si perviene all’equazione x x þ 1 ¼ 0, che non ammette soluzioni reali, quindi il problema è impossibile]
97
Þ
Siano A e B i punti rispettivamente di ascissa 0 e 2 della parabola di equazione y ¼ x2 4. Determina un pun _
3
1
15
3
7
P1
,
; P2
,
to P, sull’arco AB di parabola, in modo che l’area del triangolo APB sia .
4
2
4
2
4
98
Þ
Siano A e B i punti rispettivamente di ascissa 3 e 0 della parabola di equazione y ¼ 9 x2 . Determina un
_
punto P, sull’arco AB di parabola, in modo che l’area del triangolo APB sia 3.
[P1 ð2,5Þ; P2 ð1; 8Þ]
99
Þ
2
ðx 1Þðx 3Þ; sia A il punto di intersezione con l’asse y e siano B e C
3
(con xB < xC Þ i punti di intersezione della parabola con l’asse x. Determina un punto P sulla parabola che formi
"
pffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffi !
pffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffi !#
con A e C un triangolo di area 2.
2
3 þ 17 7 17
3 17 7 þ 17
; P3
,
; P4
,
P1 ð1, 0Þ; P2 2, 3
2
3
2
3
100
Þ
È data la parabola di equazione y ¼
3. La parabola e la retta
TEORIA a p. 397
Posizione reciproca tra retta e parabola
Per ciascuna delle parabole di cui è data l’equazione, stabilisci se la retta r di equazione indicata è secante,
tangente o esterna alla parabola. Se è secante, determina le coordinate dei punti di intersezione; se è tangente, determina le coordinate del punto di contatto.
101
Þ
y ¼ x2 4
r: y ¼ 2x þ 4
102
Þ
y ¼ x2 2x þ 1
r: y ¼ x þ 1
½Secante; ð2, 0Þ, ð4, 12Þ
½Secante; ð0, 1Þ, ð1, 0Þ
425
Le coniche
Tema C
103
Þ
y ¼ x2 þ 6x þ 9
r: y ¼ 0
½Tangente; ð3, 0Þ
104
Þ
y ¼ x2 5x þ 1
r: x ¼ 2
½Secante; ð2, 15Þ
105
Þ
y¼
1 2
x
2
r: y ¼ 2x 2
½Tangente; ð2, 2Þ
106
Þ
y¼
1 2
x x
3
r: y ¼ x þ 3
½Secante; ð3, 0Þ, ð3; 6Þ
107
Þ
y ¼ x2 108
Þ
y ¼ x2 4x
r: y ¼ x þ
109
Þ
y ¼ x2 4x þ 3
r: y ¼ 2x 1
1
x
2
110 y ¼ 2x2
Þ
111
Þ
y ¼ x2
r: y ¼ 1
xþ2
2
1
2
Secante;
[Esterna]
pffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffi
3 þ 11 2 11
3 11 2 þ 11
,
,
,
2
2
2
2
pffiffiffi
pffiffiffi
pffiffiffi
pffiffiffi Secante; ð3 5, 5 2 5Þ, ð3 þ 5, 5 þ 2 5Þ
r: y ¼ x 3
Secante; ð1, 2Þ,
r: y ¼ 3x 3
3
9
,
2
2
[Esterna]
Corda staccata da una retta su una parabola. Se una retta è secante rispetto a una parabola, si dice corda
staccata dalla retta sulla parabola il segmento che ha come estremi i punti di intersezione della retta con la parabola.
Determina la misura della corda staccata dalla retta di equazione y ¼ 2x þ 3 sulla parabola di equazione
pffiffiffi
y ¼ x2 .
4 5
112
Þ
Considera la parabola di equazione y ¼ x2 þ 4x e indica con V il suo vertice. Determina la misura dellahcor-i
pffiffiffi
da staccata sulla parabola dalla retta passante per V e parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
2
113
Þ
Data la parabola di equazione y ¼ x2 2x þ 3, indica con V il suo vertice. Determina quindi la misura della
pffiffiffi
1
2 5
corda staccata sulla parabola dalla retta passante per V e perpendicolare alla retta di equazione y ¼ x.
2
114
Þ
115
Þ
ESERCIZIO SVOLTO
Determiniamo la retta parallela all’asse x che stacca sulla parabola di equazione y ¼ x2 2x una corda di misura 4.
Una generica retta parallela all’asse x ha equazione y ¼ t, con t 2 R.
Poniamo a sistema l’equazione della retta e della parabola:
(
y
y = x 2− 2x
y¼t
y ¼ x2 2x
A
L’equazione risolvente è x2 2x t ¼ 0. La retta risulterà secante la parabola
se il discriminante di questa equazione è maggiore di 0, cioè per t > 1.
In tal caso, risolvendo il sistema si trova che i due punti di intersezione tra la
retta e la parabola sono:
Að1 B
O
1– 1+t
1+ 1+ t
y =t
x
1 þ t , tÞ e Bð1 þ 1 þ t , tÞ
Poiché AB ¼ 2 t þ 1, affinché sia AB ¼ 4 deve essere verificata l’equazione 2 t þ 1 ¼ 4, da cui t ¼ 3. Pertanto la
retta cercata ha equazione y ¼ 3.
116 Determina la retta parallela alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante che stacca sulla parabola di
Þ
pffiffiffi
equazione y ¼ x2 x þ 3 una corda di misura 2 6.
½y ¼ x þ 6
Determina una retta parallela all’asse x che stacca sulle parabole di equazioni y ¼ x2 þ 1 e y ¼ 4ðx 2Þ2 due
corde congruenti.
4
y¼
3
117
Þ
426
ESERCIZIO SVOLTO
Determiniamo per quali valori di k la retta di equazione y ¼ 2x þ k ha almeno un punto in comune con la
parabola di equazione y ¼ x2 1.
Unità 8
118
Þ
Parabola
Impostiamo il sistema formato dall’equazione della parabola e della retta:
(
y ¼ x2 1
y ¼ 2x þ k
La sua equazione risolvente è x2 2x 1 k ¼ 0, che ha come discriminante ¼ 8 þ 4k. Affinché la retta abbia
almeno un punto in comune con la parabola, deve essere 0, cioè k 2.
119 Determina per quali valori di k la retta di equaÞ
zione y ¼ x þ k è esterna alla parabola di equazione
y ¼ x2 x.
½k < 1
Determina k in modo che la retta di equazione
y ¼ x þ k risulti secante rispetto alla parabola di equazione y ¼ x2 3x ed esterna alla parabola di equazione
y ¼ x2 þ 2.
7
4 < k <
4
122
Þ
120 Determina per quali valori di k la retta di equaÞ
zione y ¼ 2x þ k è secante rispetto alla parabola di
equazione y ¼ 3x2 x.
3
k>
4
Determina k in modo che la retta di equazione
y ¼ x þ k incontri in almeno un punto sia la parabola
di equazione y ¼ x2 þ x, sia la parabola di equazione
y ¼ x2 þ 3x 9.
½10 k 0
123
Þ
Determina per quali valori di k la retta di equazione y ¼ x þ k è esterna alla parabola di equazione
y ¼ 2x2 x.
1
k<
2
121
Þ
Rette tangenti a una parabola
Per ciascuna parabola di cui è data l’equazione, determina le equazioni delle rette tangenti alla parabola,
passanti per il punto P indicato.
124
Þ
125
Þ
126
Þ
127
Þ
y ¼ x2 4
128
Þ
y¼
2
y ¼ x 2x þ 1
2
y ¼ x þ 3x
2
y ¼ x 5x þ 1
1 2
x
2
Pð2, 4Þ
Pð1, 1Þ
½y ¼ x þ 1, y ¼ 5x þ 1
Pð0, 1Þ
Pð3, 6Þ
½y ¼ x 3, y ¼ 3x 15
½y ¼ 0; y ¼ 4x þ 8
Pð2, 0Þ
Per ciascuna delle seguenti parabole, determina l’equazione della retta tangente nel punto P della parabola stessa, di cui è data l’ascissa.
1 2
x þ 3x
129 y ¼ xP ¼ 3
½y ¼ x þ 3
Þ
3
130
Þ
131
Þ
132
Þ
133
Þ
y ¼ 2x2 4x
2
y ¼ x 4x þ 7
2
y ¼ x 3x 1
½y ¼ 4, y ¼ 8x 20
pffiffiffi
pffiffiffi
pffiffiffi
pffiffiffi
y ¼ xð2 5 4Þ þ 2 5 5, y ¼ xð2 5 þ 4Þ 2 5 5
xP ¼ 3
½y ¼ 8x 18
xP ¼ 2
½y ¼ 3
xP ¼ 1
½y ¼ x
Verifica che le rette tangenti alla parabola di
equazione y ¼ x2 2x che passano per il punto
5
sono perpendicolari.
P 0, 4
134 Determina le equazioni delle rette tangenti alla
Þ
parabola di equazione y ¼ x2 þ 3x nei suoi punti di
intersezione A e B con l’asse x (con xA < xB Þ. Indica
con C il punto di intersezione di tali tangenti e calcola
l’area del triangolo ABC.
3 9
27
,
;
y ¼ 3x, y ¼ 3ðx 3Þ; C
2 2
4
Determina le rette tangenti alla parabola di equazione y ¼ x2 3x þ 2 nei suoi punti di intersezione
con gli assi cartesiani e l’area del triangolo individuato
da tali rette.
1
y ¼ 3x þ 2, y ¼ x þ 1, y ¼ x 2; Area ¼
2
135
Þ
Normale. Si dice normale a una curva in un punto P la perpendicolare in P alla retta tangente alla curva in P. Determina la normale alla parabola di equazione y ¼ x2 3x þ 3 nel suo punto di intersezione
con l’asse y.
1
y ¼ xþ3
3
136
Þ
Determina le equazioni delle normali alla parabola di equazione y ¼ 3x2 x 2 nei suoi punti di intersezione con l’asse x.
1
2
1
1
, y ¼ xþ
y ¼ xþ
5
15
5
5
137
Þ
427
Le coniche
Tema C
138
Þ
ESERCIZIO GUIDATO
Scrivi l’equazione della retta tangente alla parabola di equazione y ¼ x2 3x þ 5 e parallela alla retta di
equazione y ¼ 2x. Determina poi le coordinate del punto di contatto tra la retta e la parabola.
Una generica retta parallela alla retta di equazione y ¼ 2x ha equazione y ¼ 2x þ k.
Per trovare il valore di k corrispondente alla retta tangente, considera il sistema:
(
y ¼ x2 3x þ 5
y ¼ 2x þ k
e imponi che sia nullo il discriminante dell’equazione risolvente. Troverai che k ¼ :::::
Per trovare le coordinate del punto di contatto puoi risolvere il sistema formato dalla parabola e dalla retta tangente oppure, più rapidamente, puoi osservare che il punto di contatto è il punto in cui la retta tangente ha
coefficiente angolare uguale a 2. Quindi l’ascissa x0 del punto di contatto deve soddisfare l’equazione:
2x0 3
¼2
y
coefficiente angolare della
tangente in x0 , calcolato in
base alla formula m ¼ 2ax0 þ b
y = x 2− 3x + 5
y = 2x
P
O
Risolvendo questa equazione, troverai che x0 ¼ :::::
x
Pertanto P è il punto appartenente alla parabola di ascissa ::::::::::, ossia P
:::::
2
,
15
:::::
.
Nota Utilizzando la formula m ¼ 2ax0 þ b in modo simile a quanto fatto in questo esercizio, si possono determinare i punti di contatto delle
rette tangenti a una parabola anche quando queste siano condotte da un punto P esterno alla parabola.
139
Þ
Scrivi l’equazione della retta tangente alla para-
1
bola di equazione y ¼ x2 e perpendicolare alla ret2
ta di equazione y ¼ 2x. Determina poi le coordinate
del punto di contatto tra la retta e la parabola.
1
1
1
1
y ¼ xþ ; ,
2
8
2
8
Determina la retta tangente alla parabola di
equazione y ¼ x2 þ 3x parallela alla retta di equazione y ¼ 3x. Determina poi le coordinate del punto di
contatto.
½y ¼ 3x þ 9; ð3; 0Þ
140
Þ
141
Þ
Determina la retta tangente alla parabola avente
equazione y ¼ 1 2
x þ x perpendicolare alla retta di
2
equazione y ¼ 2x. Determina poi le coordinate del
punto di contatto.
1
1
1 3
;
y ¼ xþ ;
2
8
2 8
142 Determina le rette tangenti alla parabola di equaÞ
zione y ¼ x2 x passanti per il punto P(0, 4). Deter-
428
mina poi le coordinate dei punti di contatto delle tangenti con la parabola.
[y ¼ 5x þ 4, y ¼ 3x þ 4; ð2, 6Þ; ð2, 2Þ]
Determina le rette tangenti alla parabola di equazione y ¼ x2 þ x þ 1 passanti per il punto Pð1, 3Þ e
calcola la misura del segmento AB, essendo A e B i
punti di contatto delle tangenti con la parabola.
[Tangenti: y ¼ 3x, y ¼ 5x 8;
pffiffiffi
punti di contatto: ð1, 3Þ, ð3, 7Þ; AB ¼ 4 2
143
Þ
Determina le rette tangenti alla parabola di equazione y ¼ x2 þ 4x þ 2 passanti per il punto P(3, 6) e
calcola l’area del triangolo APB, essendo A e B i punti
di contatto delle tangenti con la parabola.
[Tangenti: y ¼ 6, y ¼ 4x þ 18;
punti di contatto: (2, 6), (4, 2); Area ¼ 2]
144
Þ
Considera le due parabole : y ¼ x2 x e
: y ¼ 2x2 4x. Determina i due punti P 2 e
P 0 2 0 , aventi la stessa ascissa, tali che la tangente a in P sia parallela alla tangente a 0 in P 0 .
3 3
3
3
,
,
P
; P0
2 4
2
2
145
Þ
0
Determina le tangenti comuni alle parabole di equazioni y ¼ 3x x2 e y ¼ x2 þ x þ 5.
(Suggerimento: considera una generica retta di equazione y ¼ mx þ q, imponi la condizione di tangenza con ciascuna delle due parabole e risolvi il sistema in m e q che si ottiene ponendo a sistema le due equazioni scaturite imponendo le condizioni di tangenza)
[y ¼ x þ 4, y ¼ 5x þ 1]
148
Þ
Determina le tangenti comuni alle parabole di equazioni y ¼ x2 x 1, y ¼ x2 x 3.
Parabola
147
Þ
Unità 8
Determina il punto P della parabola di equazione y ¼ x2 1 per cui la retta tangente alla parabola in P forma
"
!#
pffiffiffi
con l’asse x un angolo di 60 .
1
3
,
P
4
2
146
Þ
½y ¼ x 2, y ¼ 3x 2
Rette e parabole con asse parallelo all’asse x
149 Determina la misura della corda staccata sulla paÞ
rabola di equazione x ¼ y 2 þ 4y dalla retta di equa
zione y ¼ 2x.
7 pffiffiffi
5
4
Determina l’equazione della retta tangente alla
parabola di equazione x ¼ y 2 þ 4, parallela alla biset
trice del primo e del terzo quadrante.
17
y ¼x
4
150
Þ
Determina le equazioni delle rette tangenti alla
1
parabola di equazione x ¼ y 2 , passanti per il punto
2
Pð2, 0Þ.
1
1
y ¼ x þ 1, y ¼ x 1
2
2
151
Þ
Determina le equazioni delle rette tangenti alla
parabola di equazione x ¼ y 2 1, passanti per il punto
Pð1, 2Þ.
1
17
x ¼ 1, y ¼ x þ
8
8
153 Scrivi l’equazione della retta tangente alla paraÞ
bola di equazione x ¼ y 2 6y 1 nel suo punto di in
tersezione con l’asse x.
1
1
y ¼ x
6
6
154 Scrivi le equazioni delle rette tangenti alla paraÞ
bola di equazione x ¼ y 2 1 nei loro punti di interse
zione con l’asse y.
1
1
y ¼ x þ 1; y ¼ x 1
2
2
155
Determina
il
punto
della
parabola
di
equazione
Þ
x ¼ y 2 2y þ 1 in cui la retta tangente è parallela alla
bisettrice del primo e del terzo quadrante.
1 3
,
4 2
152
Þ
Quadrati e rettangoli inscritti in un segmento parabolico
156
Þ
ESERCIZIO SVOLTO
Determiniamo i vertici del quadrato inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola di equazione
y ¼ x2 4x e dall’asse x, con un lato sull’asse x.
_
Indichiamo con P un punto appartenente all’arco OV di parabola, con Q il
simmetrico di P rispetto all’asse della parabola e con P 0 , Q 0 le proiezioni di P
e Q sull’asse x e con H il punto di intersezione di PQ con l’asse della parabola. Dobbiamo determinare P in modo che risulti PQ ¼ PP0 .
_
Poiché stiamo supponendo che P appartenga all’arco OV di parabola, sarà
Pðx, x2 4xÞ, con 0 x 2. Osserva ora che:
PQ ¼ 2PH ¼ 2ðxH xP Þ ¼ 2ð2 xÞ
Devi eseguire la sottrazione tra l’ascissa di
H e l’ascissa di P, perché l’ascissa di H è
maggiore dell’ascissa di P.
y
x =2
y = x 2 – 4x
Q'
P'
x
O
P
H Q
V
PP 0 ¼ yP0 yP ¼ 0 ðx2 4xÞ ¼ 4x x2
Devi eseguire la sottrazione tra l’ordinata di P0 e l’ordinata di P,
perché l’ordinata di P0 è maggiore dell’ordinata di P
pffiffiffi
Puoi allora scrivere l’equazione 4 2x ¼ 4x x2 , che fornisce le soluzioni x ¼ 3 5.
pffiffiffi
Poiché deve essere 0 x 2, è accettabile solo la soluzione x ¼ 3 5, cui corrispondono i punti che sono i
vertici del quadrato richiesto:
pffiffiffi
pffiffiffi
pffiffiffi
pffiffiffi
pffiffiffi
pffiffiffi
Pð3 5, 2 2 5Þ, Qð1 þ 5, 2 2 5Þ, Q 0 ð1 þ 5, 0Þ, P 0 ð3 5, 0Þ
429
Le coniche
Tema C
157 Determina i vertici del quadrato inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola di equazione
Þ
pffiffiffi
pffiffiffi
y ¼ x2 þ 2x e dall’asse x.
[ð2 2, 2 2 2Þ, ð 2, 2 2 2Þ, ð2 2, 0Þ, ð 2; 0Þ]
158 Determina i vertici del rettangolo di perimetro 10, inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola
Þ
di equazione y ¼ 4x x2 e dall’asse x.
[ð1, 3Þ, ð1, 0Þ, ð3, 0Þ, ð3, 3Þ]
13
, inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola
159 Determina i vertici del rettangolo di perimetro
Þ
2
3
5
7
5
3
7
2
di equazione y ¼ x 5x þ 4 e dall’asse x.
,
,
,0 ,
,0
,
,
2
4
2
4
2
2
Determina i vertici del rettangolo inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola di equazione
1 2
x ¼ y 2 e dall’asse y, avente il lato parallelo all’asse y doppio del lato parallelo all’asse x.
pffiffiffi
pffiffiffi
pffiffiffi
pffiffiffi
2
ð1 5, 5 1Þ, ð1 5, 1 5Þ, ð0, 1 5 Þ, ð0, 5 1Þ
160
Þ
Area del segmento parabolico
Determina le aree dei segmenti parabolici limitati
dalle parabole e dalle rette di cui sono date le equazioni.
32
2
161 y ¼ x 2x 3
y¼0
Þ
3
500
2
162
y
¼
x
16
y
¼
9
Þ
3
9
163 y ¼ x2 2x
y¼x
Þ
2
125
2
164
y
¼
x
4x
þ
1
y
¼
x
þ
1
Þ
6
y, determina l’area del triangolo mistilineo limitato
dalla parabola e dalle due tangenti.
1
1
9
Tangenti: y ¼ x þ 1, y ¼ x 2;
3
3
4
Determina l’area della regione finita di piano limitata dalla parabola y ¼ x2 3x þ 2 e dalle due rette
di equazioni y ¼ 0, y ¼ 2.
13
3
Determina per quali valori di a la parabola individua
con la retta di equazione y ¼ x þ 1 un segmento para
bolico di area 6.
1
a¼
6
166
Þ
Determina l’area della regione finita di piano limitata dalle due parabole di equazioni y ¼ x2 2x e
y ¼ 2x2 þ 4x.
[4]
171
Þ
167 Condotte dal punto Pð0; 1Þ le tangenti alla paÞ
Determina per quali valori di k la parabola individua
con la retta di equazione y ¼ 2 un segmento parabolico di area 4.
[k ¼ 6]
165
Þ
rabola di equazione y ¼ x2 , determina l’area del triangolo mistilineo limitato dalla parabola e dalle due tan genti.
2
3
Condotte le tangenti alla parabola di equazione
x ¼ y þ y 2 nei suoi punti di intersezione con l’asse
168
Þ
2
Determina le aree delle due parti in cui la parabopffiffiffi
la di equazione y ¼ 2 x2 divide il cerchio limitato dalla circonferenza di equazione x2 þ y 2 ¼ 1.
1
3
1
þ ,
6
4 4
6
169
Þ
170
Þ
Considera la parabola di equazione:
y ¼ ax2 þ 2x þ 1, con a 6¼ 0
Considera la parabola di equazione:
y ¼ 3x2 kx þ 2
172 Determina per quali valori di k l’area del segmenÞ
to parabolico limitato dalla parabola di equazione
y ¼ x2 þ kx e dall’asse x è il doppio dell’area del segmento parabolico limitato dalla parabola di equazione
pffiffiffi
y ¼ 2x2 4x e dall’asse x.
[k ¼ 2 3 4]
4. Come determinare l’equazione di una parabola
TEORIA a p. 404
Esercizi preliminari
Considera la parabola di equazione y ¼ ax2 þ bx þ c. Associa a ogni condizione della prima colonna l’equazione che la esprime.
173
Þ
a. Passa per il punto Pð1, 1Þ.
430
A. c ¼ 0
b. Passa per l’origine.
B. a þ b þ c ¼ 1
c. Interseca l’asse y in Pð0, 2Þ.
C. c ¼ 2
d. Interseca l’asse x in Pð2, 0Þ.
D. a b þ c ¼ 1
e. Passa per il punto Pð1, 1Þ.
E. 4a 2b þ c ¼ 0
A. 2a þ b ¼ 0 ^ a þ b þ c ¼ 1
b. Ha il vertice sull’asse y.
B. b ¼ 0
c. Ha il vertice nell’origine.
C. b ¼ c ¼ 0
d. Ha il vertice nel punto Vð1, 1Þ.
D. ¼ 0
e. Ha il vertice nel punto Vð1, 1Þ.
E. 2a b ¼ 0 ^ a b þ c ¼ 1
Parabola
a. Ha il vertice sull’asse x.
Unità 8
Considera la parabola di equazione y ¼ ax2 þ bx þ c. Associa a ogni condizione della prima colonna l’equazione che la esprime.
174
Þ
Considera la parabola di equazione y ¼ ax2 þ bx þ c. Associa a ogni condizione della prima colonna l’uguaglianza della seconda colonna che la esprime.
175
Þ
a. È tangente all’asse x.
A. ðb þ 1Þ2 ¼ 4ac
b. È tangente alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
B. ðb 1Þ2 ¼ 4ac
c. È tangente alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante.
C. b2 4ac ¼ 0
d. È tangente alla retta di equazione y ¼ x þ 1.
D. ðb 1Þ2 ¼ 4aðc þ 1Þ
e. È tangente alla retta di equazione y ¼ x 1.
E. ðb 1Þ2 ¼ 4aðc 1Þ
Equazione di una parabola, dati tre punti
176
Þ
Dal grafico all’equazione. Determina le equazioni delle parabole che hanno i seguenti grafici.
y
y
y
2
3
−3
O
O
4
2
x
−2
1
−1
−4
x
O
2 x
−4
y ¼ x2 þ 3x 1; y ¼ 1 2
1
x þ 3x 2; y ¼ x2 þ x 4
2
2
Scrivi l’equazione della parabola, con asse parallelo all’asse y, che passa per A, B e C.
177 Að2, 3Þ, Bð0, 1Þ, Cð6, 11Þ
Þ
178
Þ
Að1, 2Þ, Bð0, 5Þ, Cð2, 1Þ
179
Þ
Að1, 0Þ, Bð1, 6Þ, Cð2, 6Þ
180
Þ
Að1, 5Þ, Bð1, 1Þ, Cð2, 2Þ
pffiffiffi
181 Að0, 4Þ, Bð2 2, 0Þ, Cð2, 2Þ
Þ
182
Þ
Að2, 0Þ, Bð4, 0Þ, Cð1, 1Þ
183
Þ
Að2, 0Þ, Bð1, 1Þ, Cð0, 3Þ
184
Þ
Að1, 0Þ, Bð3, 0Þ, Cð0, 6Þ
y¼
1 2
x þxþ1
2
y ¼ x2 4x þ 5
y ¼ x2 þ 3x þ 4
y ¼ 2x2 þ 3x
1 2
y ¼ x 4
2
1 2
8
y ¼ x 2x þ
3
3
1
5
y ¼ x2 x þ 3
2
2
y ¼ 2x2 þ 4x þ 6
431
Le coniche
Tema C
Equazione di una parabola, dato il vertice e un punto
185
Þ
ESERCIZIO GUIDATO
Determina l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y che ha vertice in Vð3, 2Þ e passa per
ð5, 2Þ.
y
1o modo
Imponi che la parabola abbia vertice in V e passi per P. Ottieni il sistema:
8
b
>
>
L’ascissa di V è 3
¼ 3
> <
2a
Passaggio per V
> 9a 3b þ c ¼ 2
>
>
: 25a 5b þ c ¼ :::::
Passaggio per P
V
−5
2
−3
x
O
−2
P
Risolvendo il sistema trovi che a ¼ :::::, b ¼ ::::: e c ¼ ::::: Quindi la parabola cercata ha equazione ...................................
¼ 2 (l’ordinata del vertice è 2), ti abbiamo suggerito di porre la condizione equivalente del passaggio
4a
per V , perché cosı̀ ottieni un’equazione di primo grado anziché di secondo.
Nota Invece di porre la condizione 2o modo
Ricorda che una parabola di vertice Vðxv , yv Þ ha equazione del tipo
y yv ¼ aðx xv Þ2
Poiché la parabola in figura ha vertice in Vð3, 2Þ, la sua equazione sarà del tipo:
y 2 ¼ a½x ð3Þ2
ossia:
y ¼ aðx þ 3Þ2 þ 2
Imponi ora il passaggio per il punto Pð5, 2Þ. Otterrai l’equazione:
2 ¼ að5 þ 3Þ2 þ 2
[y ¼ x2 6x 7]
da cui a ¼ ::::: Quindi l’equazione della parabola è y ¼ ::::::::::::::::::::
186
Þ
Dal grafico all’equazione. Determina le equazioni delle parabole disegnate nelle seguenti figure.
y
y
y
2
O
3
x
4
−2
O
O
−3
−5
432
x
x
1
2
2
y ¼ 2ðx þ 2Þ 3; y ¼ ðx 3Þ þ 2; y ¼ ðx 4Þ 5
2
2
Scrivi l’equazione della parabola, con asse parallelo all’asse y, che ha vertice in V e passa per P.
2 2
3 2
x
x
187
V(0,
0);
P(3,
2)
y
¼
191
V(2,–3);
P(0,0)
y
¼
3x
Þ
Þ
9
4
3
1
9
2
2
188 V(1, 1);
P(2, 3)
[y ¼ 2x 4x þ 3]
Þ
192
V
þ
6x
,
0
;
P
,
2
y
¼
2x
Þ
2
2
2
189 V(2, 0);
P(3, 2)
[y ¼ 2x2 8x þ 8]
Þ
1 2
x
193
Vð2,
1Þ;
P(0,
3)
y
¼
þ
2x
þ
3
2
Þ
190 V(0, 3);
P(1, 2)
[y ¼ x þ 3]
2
Þ
194
Þ
Unità 8
Equazione di una parabola, dati due elementi scelti fra vertice, fuoco e direttrice
ESERCIZIO GUIDATO
Dai dati segue che l’asse della parabola è l’asse y. Puoi risolvere l’esercizio in vari modi.
y
1o modo
Considera l’equazione generica della parabola, y ¼ ax2 þ bx þ c, e imposta il sistema:
8
b
>
>
>
¼0
>
>
2a
<
c¼2
>
>
>
>
1 ðb2 4acÞ
>
:
¼ 1
4a
Parabola
Scrivi l’equazione della parabola che ha vertice nel punto Vð0, 2Þ e fuoco nel punto Fð0, 1Þ.
V
O(0, 0)
x
F
L’ascissa di V è 0
Passaggio per V
L’ordinata del fuoco è 1
Risolvendolo trovi i coefficienti a, b e c della parabola cercata.
2o modo
Poiché il vertice deve essere equidistante dal fuoco e dalla direttrice, la direttrice dovrà essere la retta di equazione
y ¼ 5. Grazie a questa osservazione, puoi scrivere la parabola come luogo dei punti equidistanti dal fuoco e dalla
direttrice:
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x2 þ ðy þ 1Þ2 ¼ jy 5j
Elevando al quadrato e risolvendo rispetto a y trovi l’equazione della parabola.
3o modo
La parabola, avendo vertice in Vð0, 2Þ, deve avere un’equazione del tipo:
y ¼ ax2 þ 2
Esprimi l’ordinata del fuoco di questa parabola in funzione di a e imponi che tale ordinata sia uguale a 1. Risol
vendo l’equazione trovi il coefficiente a incognito.
1 2
x þ2
y¼
12
Dal grafico all’equazione. Scrivi le equazioni delle parabole che hanno come vertice, fuoco o direttrice i
punti e le rette rappresentati in ciascuna figura.
195
Þ
y
y
y
F
y =2
V
O(0, 0)
y = −3
direttrice
x
x
O(0, 0)
x
O(0, 0)
V
F
direttrice
y¼
1 2 1
1
1
1 2 1
15
x xþ
; y ¼ x2 ; y ¼
x x
12
6
12
8
16
8
16
196 Scrivi l’equazione della parabola avente vertice in Vð1, 1Þ e come direttrice l’asse x.
Þ
y¼
1 2 1
5
x xþ
4
2
4
197 Scrivi l’equazione della parabola avente il fuoco in F(0, 0) e per direttrice la retta y ¼ 1.
Þ
y¼
1 2
ðx 1Þ
2
433
Le coniche
Tema C
1 2
198 Scrivi l’equazione della parabola avente il fuoco in Fð1, 1Þ e per direttrice l’asse x.
y ¼ ðx 2x þ 2Þ
Þ
2
1 2
x
199
Scrivi
l’equazione
della
parabola
avente
il
vertice
in
V(0,
0)
e
per
direttrice
la
retta
y
¼
1.
y
¼
Þ
4
1 2
200 Scrivi l’equazione della parabola avente il vertice in V(2, 1) e fuoco in F(2, 0).
y ¼ x þx
Þ
4
Equazione di una parabola, data una condizione di tangenza
201
Þ
ESERCIZIO GUIDATO
Scrivi l’equazione della parabola tangente alla retta di equazione y ¼ x þ 1 nel suo punto P di ascissa 2, passante per il punto Qð1, 3Þ.
y
Considera l’equazione generica della parabola y ¼ ax2 þ bx þ c e imposta il sistema:
8
Passaggio per P
>
< 4a þ 2b þ c ¼ 3
abþc ¼3
>
:
2a 2 þ b ¼ 1
Q
Passaggio per Q
3
P
Il coefficiente angolare della retta tangente in P è 1
–1 O 2
x
Risolvendolo trovi i coefficienti a, b e c della parabola cercata.
Nota Dal momento che è noto il punto di contatto tra la retta tangente e la parabola, invece di imporre che il discriminante dell’equazione risolvente il sistema tra la generica parabola e la retta sia nullo, abbiamo utilizzato la formula m ¼ 2ax0 þ b e abbiamo imposto che il coefficiente angolare della retta tangente in P sia 1. Ciò è più conveniente perché comporta calcoli meno complessi e fornisce una condizione di
primo grado (anziché di secondo come nel caso del discriminante). Se non è noto il punto di contatto, ma solo l’equazione di una retta tangente, questa «scorciatoia» non è praticabile e occorre considerare il sistema formato dall’equazione della parabola e della retta e imporre
che il discriminante dell’equazione risolvente sia nullo.
y¼
1 2 1
7
x xþ
3
3
3
202 Dal grafico all’equazione. Scrivi le equazioni delle parabole rappresentate nelle seguenti figure. La prima è
Þ
tangente in P alla retta r e passa per Q. La seconda è tangente in P alla retta r ed è ulteriormente tangente alla retta s.
y
1
O
y
r
P
4
x
1
−2
r
Q
s
2
P
O
−1
x
3
2
y¼
203 Scrivi le equazioni delle parabole, aventi asse di
Þ
simmetria parallelo all’asse y, tangenti alla retta di
equazione y ¼ 2x e passanti per Að0, 1Þ e Bð2, 5Þ.
[y ¼ x2 þ 1; y ¼ 4x2 þ 6x þ 1
204 Scrivi l’equazione della parabola tangente in
Þ
Að1, 1Þ alla retta di equazione y ¼ 2x 1 e passante
per Bð3, 0Þ.
5 2 9
9
y ¼ x þ x
4
2
4
205 Scrivi l’equazione della parabola tangente in
Þ
Að1, 2Þ alla retta di equazione y ¼ 2x e passante per il
punto Bð2, 3Þ.
y ¼ x2 þ 4x 1
434
2 2 7
2
5
x þ x ; y ¼ x2 x þ
3
3
3
4
Scrivi l’equazione della parabola avente vertice
in Vð1, 2Þ e tangente alla retta di equazione
y ¼ 2x þ 3.
y ¼ x2 þ 2x þ 3
206
Þ
Scrivi le equazioni delle parabole tangenti all’asse
x, alla retta di equazione y ¼ 2x e passanti per
1
1
1 2
2
.
y ¼x þxþ ; y ¼ x þxþ1
P 1,
4
4
4
207
Þ
Scrivi l’equazione della parabola tangente in
Að0, 1Þ alla retta di equazione y ¼ 2x þ 1 e tangente
ulteriormente alla retta di equazione y ¼ 3x.
1 2
y ¼ x þ 2x þ 1
4
208
Þ
Unità 8
Scrivi l’equazione della parabola avente asse parallelo all’asse x, sapendo che il vertice è il punto
Vð0, 2Þ e che passa per Pð1, 0Þ.
1
x ¼ y2 þ y þ 1
4
Parabola
Parabole con asse parallelo all’asse x
equazione y ¼ 1.
Scrivi l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse x, passante per i punti Að2, 0Þ, Bð1, 1Þ,
Cð0, 3Þ.
1
7
x ¼ y2 y þ 2
6
6
209
Þ
x ¼ y2 þ 2y
212
Þ
210 Scrivi l’equazione della parabola con asse paralleÞ
lo all’asse x, avente vertice in Vð0, 1Þ e passante per
Pð2, 1Þ.
1
1
x ¼ y2 þ y þ
2
2
Scrivi l’equazione della parabola avente asse parallelo all’asse x, tangente alla bisettrice del primo e
del terzo quadrante nel punto Pð1, 1Þ e passante per
Qð3, 2Þ.
x ¼ y2 y þ 1
213
Þ
Scrivi l’equazione della parabola passante per i
punti Oð0, 0Þ e Að1, 1Þ, avente come asse la retta di
211
Þ
Esercizi riassuntivi sulla ricerca dell’equazione di una parabola
214 Scrivi le equazioni delle parabole rappresentate nelle seguenti figure. Nella seconda figura la retta AB è tanÞ
gente alla parabola in A.
−2
O
−6
y
y
y
3
x
O
9
A
V
x
3
−1
−6 B
y ¼ ðx þ 2Þðx 3Þ; y ¼
O 2
5
x
2 2
x 2x; y ¼ ðx þ 1Þðx 5Þ
3
215 Scrivi l’equazione della parabola con asse paralleÞ
lo all’asse y, passante per Að1, 1Þ, Bð0, 0Þ e Cð2, 3Þ.
1 2 7
y¼ x x
6
6
222
Þ
Scrivi l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse x, passante per Að0, 2Þ, Bð0, 1Þ e Cð3, 0Þ.
3
3
x ¼ y2 þ y þ 3
2
2
Scrivi l’equazione della parabola avente per diret5
e vertice in
trice la retta di equazione y ¼ 2
Vð2, 2Þ.
1 2
y ¼ x 2x
2
224 Scrivi l’equazione della parabola che ha vertice
Þ
in Vð0, 2Þ e come direttrice la retta di equazione
x ¼ 1.
1
x ¼ y2 y þ 1
4
225
Scrivi
l’equazione
della
parabola
avente
per diretÞ
5
trice la retta di equazione y ¼ e vertice in
4
Vð0, 1Þ.
y ¼ x2 1
216
Þ
217 Scrivi l’equazione della parabola passante per
Þ
Að0, 3Þ e per Bð2, 2Þ e avente come
asse di simmetria
1
1
1
y ¼ x2 þ x þ 3
la retta di equazione x ¼ .
2
2
2
218 Scrivi l’equazione della parabola passante per
Þ
Að2, 1Þ, tangente all’asse x e avente come asse di sim
metria la retta di equazione x ¼ 1.
y ¼ x2 2x þ 1
Scrivi l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y, avente vertice in Vð0, 1Þ e passante per
Pð1, 4Þ.
y ¼ 1 þ 3x2
219
Þ
220 Scrivi l’equazione della parabola che ha come asÞ
se di simmetria l’asse x e passa per i punti Að0, 2Þ e
Bð4, 0Þ.
x ¼ 4 y2
Scrivi le equazioni delle parabole con asse parallelo all’asse y, passanti per il punto Pð3, 4Þ e aventi il
fuoco nell’origine.
1
1 2 9
y ¼ ðx2 1Þ, y ¼ x þ
2
18
2
221
Þ
Scrivi l’equazione della parabola avente come direttrice la retta di equazione y ¼ 3 e fuoco in
Fð0, 1Þ.
1
y ¼ x2 2
4
223
Þ
Scrivi le equazioni delle parabole con asse parallelo all’asse y, che intersecano l’asse x nei punti Að2, 0Þ e
Bð4, 0Þ e che sono tangenti alla retta di equazione
y ¼ 3x þ 4.
1
9
y ¼ x2 3x þ 4; y ¼ x2 27x þ 36
2
2
227
Scrivi
l’equazione
della
parabola,
il cui asse è paÞ
rallelo all’asse x, avente fuoco nell’origine Oð0, 0Þ e
vertice appartenente alla retta di equazione:
1
3
4x 2y þ 3 ¼ 0
x ¼ y2 3
4
226
Þ
435
Le coniche
Tema C
228 Scrivi l’equazione della parabola, con asse paralÞ
lelo all’asse y, che ha vertice in Vð2, 1Þ ed è tangente alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
1
y ¼ x2 þ x
4
229 Scrivi le equazioni delle parabole, con asse paralÞ
lelo all’asse y, passanti per Að0, 2Þ e per Bð4, 18Þ e
tangenti all’asse x.
1
y ¼ 2ðx þ 1Þ2 ; y ¼ ðx 2Þ2
2
230 Scrivi l’equazione della parabola, con asse paralÞ
lelo all’asse y, che passa per Að1, 3Þ e per Bð0, 4Þ ed è
tangente alla retta parallela ad AB e passante per l’ori
gine.
y ¼ 16x2 þ 17x þ 4
231 Scrivi l’equazione della parabola che ha fuoco in
Þ
Fð1, 2Þ e vertice in Vð1, 0Þ.
1
y ¼ ðx 1Þ2
8
232 Scrivi le equazioni delle parabole, con asse paralÞ
lelo all’asse y, aventi fuoco in Fð2, 0Þ e passanti per l’o
rigine.
1
1
y ¼ x2 þ x; y ¼ x2 x
4
4
Scrivi le equazioni delle parabole, con asse parallelo all’asse y, passanti per il punto Pð4, 2Þ e aventi
fuoco in Fð0, 1Þ.
1
1 2
x þ3
y ¼ x2 2; y ¼ 4
16
233
Þ
Scrivi le equazioni delle parabole aventi per diret5
trice la retta di equazione y ¼ , passanti per il pun2
to Pð2, 2Þ e per l’origine.
1 2
2
y ¼ x 3x; y ¼ x 2x
2
234
Þ
Scrivi le equazioni delle parabole aventi per diret5
trice la retta di equazione y ¼ , passanti per i punti
4
Að0, 1Þ e Bð1, 0Þ.
y ¼ x2 1; y ¼ 2x2 x 1
235
Þ
Scrivi l’equazione della parabola, con asse parallelo all’asse y, avente vertice in Vð0, 1Þ e tangente alla
parabola di equazione y ¼ x2 þ 4x.
y ¼ 1 þ 3x2
236
Þ
PROVA DI VERIFICA 1
Equazione di una parabola, posizione reciproca tra retta e parabola,
area del segmento parabolico
Siano 1 e 2 due parabole aventi il medesimo fuoco F : dette r ed s, rispettivamente, le direttrici di 1 e
2 , dimostra che, se 1 e 2 hanno qualche punto in
comune, tali punti appartengono alle bisettrici delle
rette r ed s.
Data la parabola di equazione y ¼ x2 2x 8,
determina i vertici del rettangolo inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola e dall’asse x,
avente il lato parallelo all’asse y doppio del lato parallelo all’asse x.
Che cosa si può dire delle equazioni delle
parabole disegnate nella
figura qui a fianco?
6
Þ
1
Þ
2
Þ
y
5
Þ
Considera le due parabole e 0 di equazioni:
: y ¼ x2 3x e
O
x
0 : y ¼ x2
Determina la retta parallela all’asse y che interseca le
due parabole e 0 , rispettivamente, nei due punti P e
Q tali che le tangenti a e 0 in P e Q sono fra loro parallele.
Scrivi l’equazione della parabola, con asse parallelo all’asse y, che ha il vertice in Vð1, 2Þ e passa per
il punto Að0, 4Þ.
7
Þ
A
B
C
D
Hanno tutte lo stesso coefficiente di x2 .
Hanno tutte lo stesso coefficiente di x:
Hanno tutte lo stesso termine noto.
Nessuna delle precedenti risposte è corretta.
Motiva adeguatamente la risposta.
3 Discuti, al variare di k, il numero dei punti di inÞ
tersezione fra la parabola di equazione y ¼ x2 e la retta
di equazione: x ky 1 ¼ 0. Specifica, in particolare,
per quale valore di k la retta è tangente alla parabola.
Scrivi l’equazione della parabola, avente come asse la retta di equazione y ¼ 1, passante per l’origine e
per il punto P(1, 1).
4
Þ
436
Determina l’area della regione di piano limitata
dalle parabole di equazione y ¼ x2 4x e y ¼ x2 þ 6x.
8
Þ
Scrivi l’equazione della parabola che ha fuoco in
F(1, 2) e come direttrice l’asse x.
9
Þ
Scrivi le equazioni delle tangenti comuni alle parabole di equazioni y ¼ x2 e y ¼ 2x2 þ 4x 4.
10
Þ
1 punto per ogni esercizio risolto correttamente;
sufficienza: almeno 6 punti
Le soluzioni sono in fondo al volume
Considera i punti Að2, 0Þ, Bð0, 2Þ, Cð0, 4Þ; determina:
a. l’equazione della circonferenza circoscritta al triangolo ABC;
b. l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse x, passante per A, B e C.
238
Þ
Parabola
237 In un sistema di assi cartesiani sono dati i punti Oð0, 0Þ e Að2, 2Þ, e la circonferenza avente per diametro il segÞ
mento OA. Determina l’equazione della parabola, con asse parallelo all’asse delle ordinate, passante per i due punti
dati e tale che abbia in A come tangente la retta tangente alla circonferenza.
[y ¼ x2 þ 3x]
Unità 8
Esercizi riassuntivi sull’equazione della parabola e della circonferenza
Esiste una parabola con asse parallelo all’asse y passante per A, B e C?
1
x2 þ y 2 þ 6x 6y þ 8 ¼ 0; x ¼ ðy 2Þðy 4Þ
4
239 Le parabole 1 , 2 rappresentate in figura hanno vertice in A(–1, 0) e passano rispettivamente per C(3, 4) e
Þ
D(3, –4). Le parabole 3 ; 4 hanno vertice in B(7, 0) e passano rispettivamente per C e D. La circonferenza ha diametro AB. Tutte le parabole hanno asse parallelo all’asse y.
a. Determina l’equazione della circonferenza.
b. Determina l’equazione di ciascuna delle quattro parabole.
c. Determina l’area della regione di piano colorata in azzurro.
d. Deduci l’area di ciascuna delle quattro regioni di piano colorate in giallo.
y
C
γ1
γ3
A
O
x
B
γ4
γ2
D
a. x2 þ y 2 6x 7 ¼ 0; b. 1 : y ¼
1 2 1
1
1
1
1
1
7
49
x þ x þ , 2 : y ¼ x2 x , 3 : y ¼ x2 x þ
,
4
2
4
4
2
4
4
2
4
1
7
49
64
16
; c.
; d. 4 4 : y ¼ x2 þ x 4
2
4
3
3
a. Scrivi l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y che è tangente nel punto Að0, 1Þ alla retta di
equazione y ¼ 4x þ 1 e passa per il punto Bð2, 5Þ.
b. Scrivi l’equazione della parabola simmetrica di rispetto alla retta di equazione y ¼ 1.
c. Determina l’area della regione finita di piano limitata dalle due parabole.
d. Scrivi l’equazione della circonferenza che ha come diametro i vertici delle due parabole.
64
2
2
2
2
; d. x þ y 4x 2y 11 ¼ 0
a. y ¼ x þ 4x þ 1; b. y ¼ x 4x þ 1; c.
3
240
Þ
a. Scrivi l’equazione della circonferenza avente come diametro il segmento AB di estremi Að3, 0Þ e Bð3, 4Þ.
b. Determina l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y che ha come vertice il centro della circonferenza e passa per il punto A.
c. Determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza e parallele alla bisettrice del primo e del terzo
quadrante.
d. Determina l’equazione della retta tangente alla parabola e parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
e. Determina per quali valori di k la retta y ¼ x þ k ha almeno un punto in comune sia con la circonferenza sia
con la parabola.
pffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffi
2
25
25
a. x2 þ y 2 4y 9 ¼ 0; b. y ¼ x2 þ 2; c. y ¼ x þ 2 26; d. y ¼ x þ
; e. 2 26 k 9
8
8
241
Þ
437
Le coniche
Tema C
Considera la parabola con asse parallelo all’asse y passante per Að1, 0Þ, Bð4, 0Þ e Cð0, 4Þ.
a. Determina l’equazione della parabola.
b. Determina l’equazione della retta r tangente alla parabola in B.
c. Determina l’equazione della retta s, parallela a r, che individua sulla parabola una corda DE di lunghezza
pffiffiffiffiffiffi
4 35.
d. Determina l’area del triangolo DEB.
e. Scrivi l’equazione della circonferenza tangente alla retta r in B e avente il centro sulla retta di equazione
pffiffiffiffiffiffi
x ¼ 7.
[a. y ¼ x2 5x þ 4; b. y ¼ 3x 12; c. y ¼ 3x þ 2; d. 14 14; e. x2 þ y 2 14x þ 2y þ 40 ¼ 0]
242
Þ
a. Scrivi l’equazione della circonferenza tangente alle due rette di equazioni x ¼ 2 e y ¼ 4, avente il centro
sul semiasse delle ascisse positive.
b. Traccia una retta di equazione y ¼ t, con t > 0, che interseca la circonferenza in due punti A e B (con
xA < xB ). Indica con A0 e B0 , rispettivamente, le proiezioni di A e B sull’asse x e determina il valore di t per cui risulta AB ¼ 2BB0 .
In corrispondenza della retta determinata al punto precedente, risolvi i seguenti ulteriori quesiti.
c. Scrivi l’equazione della parabola con asse verticale che ha come vertice il centro di e che passa per i due
punti A e B.
_
d. Determina il rapporto tra il segmento circolare limitato dalla corda AB e dal minore dei due archi AB della circonferenza e il segmento parabolico limitato dalla corda AB e dalla parabola .
pffiffiffi
pffiffiffi
3
2
2
2
2
a. x þ y 4x 12 ¼ 0; b. y ¼ 2 2; c. y ¼
ðx 2Þ ; d. ð 2Þ
8
4
pffiffiffi
244 Considera la parabola con asse parallelo all’asse y che ha vertice in Vð0, 12Þ e passa per il punto Að 3, 0Þ.
Þ
a. Scrivi l’equazione della parabola .
b. Determina i vertici del quadrato inscritto nel segmento parabolico limitato da e dall’asse x.
c. Determina il rapporto tra l’area del quadrato inscritto nel segmento parabolico e l’area del segmento parabolico stesso.
d. Determina l’equazione della circonferenza circoscritta al quadrato inscritto nel segmento parabolico.
pffiffiffi
3
3
3 3
9
2
a. y ¼ 4x 12; b. , 0 , , 3 ; c.
; d. x2 þ y 2 þ 3y ¼ 0
2
2
16
4
1 2
x þ 2x.
245 Considera la parabola 1 di equazione y ¼ Þ
2
a. Rappresentala graficamente e calcola l’area del segmento parabolico limitato dalla parabola 1 e dall’asse x.
b. Scrivi l’equazione della parabola 2 , avente asse parallelo all’asse y e concavità rivolta verso il basso, sapendo
che incontra l’asse x nell’origine e nel punto ð6, 0Þ e che forma con l’asse x un segmento parabolico di area
9
dell’area del segmento parabolico di cui al punto precedente.
uguale a
16
c. Determina le equazioni delle rette r ed s, tangenti rispettivamente alle parabole 1 e 2 nell’origine.
d. Scrivi le equazioni delle circonferenze tangenti alle due rette r ed s, aventi il centro sulla retta di equazione
y ¼ 3.
16
1 2 1
1
2
2
2
2
; b. y ¼ x x; c. y ¼ 2x, y ¼ x; d. x þ y 18x 6y þ 45 ¼ 0, x þ y þ 2x 6y þ 5 ¼ 0
a.
3
12
2
2
243
Þ
246 Considera le tre parabole 1 , 2 , 3 rappresentate in figura, aventi asse parallelo all’asse y e vertici rispettivaÞ
mente V1 , V2 , V3 ;
x=4
y
la parabola 1 passa per l’origine O e per il punto Að4, 0Þ;
la parabola 2 è la simmetrica di 1 rispetto alla retta di equazione x ¼ 4;
la parabola 3 passa per l’origine O e per il punto Bð8, 0Þ.
V3
La distanza di V3 dall’asse x è il doppio della distanza di V1 dall’asse x e
l’area della parte colorata è 48.
a. Determina le coordinate dei vertici delle tre parabole.
b. Determina le equazioni delle tre parabole.
c. Scrivi l’equazione della circonferenza che passa per i tre punti O, B
e V3 .
a. V1 ð2, 3Þ, V2 ð6, 3Þ, V3 ð4, 6Þ;
b. 1 : y ¼
438
3 2
3
3
x 3x, 2 : y ¼ x2 9x þ 24, 3 : y ¼ x2 þ 3x;
4
4
8
10
2
2
c. x þ y 8x y¼0
3
γ3
γ1
B
A
O
V1
γ2
V2
x
Unità 8
Parabola
Un triangolo rettangolo ABC è tale che i due cateti AC e BC misurano rispettivamente 4 5, 8 5. Posto il
triangolo in un opportuno sistema di riferimento cartesiano ortogonale, scrivi l’equazione della circonferenza circoscritta al triangolo e l’equazione della parabola, passante per A, B e C, il cui asse è parallelo all’altezza del triangolo relativa all’ipotenusa.
In un sistema di riferimento in cui A appartiene al semiasse negativo delle x, B al semiasse positivo delle x,
C ha ordinata positiva e l’origine coincide con il punto medio di AB, si ha Að10, 0Þ, Bð10, 0Þ, Cð6, 8Þ
1 2 25
2
2
e le equazioni della circonferenza e della parabola sono: x þ y ¼ 100, y ¼ x þ
8
2
3
5
248 Considera la parabola avente fuoco in F 1, e per direttrice la retta di equazione y ¼ .
Þ
4
4
a. Scrivi l’equazione della parabola.
b. Scrivi l’equazione della circonferenza avente centro nel vertice della parabola e passante per i punti di intersezione di quest’ultima con l’asse x.
c. Determina i punti della circonferenza tali che, condotte da uno di tali punti le tangenti alla parabola, queste
pffiffiffiffiffiffi
risultino perpendicolari.
5
31
2
2
2
a. y ¼ x 2x; b. ðx 1Þ þ ðy þ 1Þ ¼ 2; c. 1 ,
4
4
247
Þ
Considera i punti Að1, 0Þ e Bð3, 2Þ. Determina:
a. l’equazione della circonferenza di diametro AB;
b. l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y passante per A e B, tangente alla retta passante per l’origine e parallela alla retta AB, verificando che tale parabola è tangente all’asse x;
c. le equazioni delle tangenti alla parabola e alla circonferenza in A e B, dopo aver dimostrato che tali punti sono i soli punti in comune alle due curve.
1
a. x2 þ y 2 2x 2y 3 ¼ 0; b. y ¼ ðx þ 1Þ2 ; c. tangenti in A: y ¼ 0, y ¼ 2ðx þ 1Þ;
8
tangenti in B: y ¼ x 1, y ¼ 2x þ 8
249
Þ
Considera i tre punti Aðk 5, 3 kÞ, Bðk þ 1, 0Þ, Cð0, k 1Þ.
a. Determina k in modo che il baricentro del triangolo ABC appartenga alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
250
Þ
In corrispondenza del valore di k individuato al punto precedente, rispondi ai seguenti ulteriori quesiti.
b. Determina l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y che è tangente in A alla retta AC e passa per B.
c. Determina l’equazione della circonferenza che è tangente in A alla retta AC e passa per B.
d. Verifica che la parabola e la circonferenza non sono tangenti solo in A, ma anche in B (ossia anche in B hanno la stessa retta tangente).
e. Detto D il centro della circonferenza, stabilisci la natura del quadrilatero ADBC. Calcolane l’area e stabilisci se
è inscrivibile in una circonferenza.
1
1
4
a. k ¼ 3; b. y ¼ x2 þ x þ ; c. x2 þ y 2 2x þ 6y 8 ¼ 0;
6
3
3
d. la tangente comune è la retta y ¼ 4 x; e. trapezio rettangolo, non inscrivibile, di area 15
5. Fasci di parabole
TEORIA a p. 408
Fascio generato da due parabole
Vero o falso?
a. il fascio generato dalle due parabole di equazioni y ¼ x2 þ 1 e y ¼ x2 þ 1 è un fascio di parabole
secanti, che ha due punti base distinti
V F
b. un fascio che ha come generatrici due parabole congruenti non può avere più di un punto base
V F
c. il fascio di parabole di equazione y ¼ ðk 1Þx2 2x þ 1 non contiene parabole degeneri
V F
d. l’equazione y ¼ x2 3x þ k þ 1 rappresenta un fascio di parabole tangenti
V F
2
e. tutte le parabole del fascio di equazione y ¼ ðk 1Þx ðk þ 3Þx þ 4 passano per i punti di coordinate
(1, 0) e (0, 4)
V F
251
Þ
439
Le coniche
Tema C
252 Scrivi l’equazione del fascio generato dalle paraÞ
bole di equazioni y ¼ x2 e y ¼ 2x2 3x 4 e descrivi
le sue caratteristiche.
½Fascio di parabole secanti nei punti
di coordinate ð1, 1Þ, ð4, 16Þ
bole di equazioni y ¼ x2 5x þ 6 e y ¼ 2x2 x þ 10 e
descrivi le sue caratteristiche.
½Fascio di parabole tangenti nel punto
di coordinate ð2, 20Þ
bole di equazioni y ¼ x2 þ 2x 8 e y ¼ 2x2 2x 4.
Descrivi le caratteristiche delle parabole del fascio e determina l’equazione della parabola del fascio che passa
per l’origine degli assi cartesiani.
½Fascio di parabole tangenti nel punto di coordinate
ð2, 0Þ; la parabola richiesta ha equazione y ¼ 3x2 6x
Scrivi l’equazione del fascio generato dalle parabole di equazioni x ¼ y 2 e x ¼ y 2 þ 4.
Descrivi le caratteristiche delle parabole del fascio e determina l’equazione della parabola del fascio che passa
per il punto Pð2, 0Þ.
½Fascio di parabole
secanti nei punti
pffiffiffi
di coordinate 2, 2 ; x ¼ 2y2 2
255
Þ
Scrivi l’equazione del fascio generato dalle parabole di equazioni y ¼ x2 þ 6x 9 e y ¼ 2x2 .
Descrivi le caratteristiche delle parabole del fascio e determina l’equazione della parabola del fascio che ha
come asse la retta di equazione x ¼ 1.
½Fascio di parabole tangenti nel punto di coordinate
ð3, 18Þ; la parabola richiesta ha equazione
y ¼ 3x2 6x þ 9]
256
Þ
Scrivi l’equazione del fascio generato dalle parabole di equazioni x ¼ y 2 1 e x ¼ 2y 2 y.
Descrivi le caratteristiche del fascio e determina l’equazione della parabola del fascio passante per il punto P(2, 1).
½Fascio di parabole non congruenti,
privo di punti base; la parabola richiesta
ha equazione x ¼ 3y2 2y þ 1
257
Þ
Scrivi l’equazione del fascio generato dalle para3
bole di equazione y ¼ x2 3x e y ¼ x2 x þ .
2
Descrivi le caratteristiche delle parabole del fascio e determina l’equazione della parabola del fascio tangente
all’asse x.
Fascio di parabole secanti nei punti
1 7
3
9
di coordinate ,
;
,
; non esiste
2 4
2
4
alcuna parabola del fascio tangente all’asse x
258
Þ
Il fascio di parabole di equazione y ¼ ða þ ka 0 Þx 2 þ ðb þ kb0 Þx þ c þ kc 0
Studia i seguenti fasci di parabole, individuando i punti base, le rette appartenenti al fascio e le caratteristiche delle parabole del fascio (nelle risposte sono indicati i punti base e le eventuali rette del fascio).
259
Þ
260
Þ
261
Þ
262
Þ
263
Þ
264
Þ
265
Þ
266
Þ
267
Þ
268
Þ
y ¼ x2 þ ðk 1Þx þ 1
269
Þ
ESERCIZIO SVOLTO
[(0, 1) è l’unico punto base, non doppio; non contiene rette
2
y ¼ kx ðk þ 1Þx 2
½ð0, 2Þ, ð1, 3Þ; y ¼ x 2
y ¼ ðk þ 1Þx2 2x þ k 2
½Nessun punto base; y ¼ 2x 3
y ¼ kx2 þ k 3
½Nessun punto base; y ¼ 3
y ¼ kx2 þ ð1 2kÞx þ k 3
½ð1, 2Þ è punto base doppio; y ¼ x 3
y ¼ kx2 þ ð1 3kÞx þ 2k 5
½ð1, 4Þ, ð2, 3Þ; y ¼ x 5
y ¼ x2 þ x þ k 2
[Nessun punto base; non contiene rette]
y ¼ kx2 þ 3x k
½ð1, 3Þ, ð1, 3Þ; y ¼ 3x
y ¼ kx2 x 3
y ¼ 2x2 ðk þ 3Þx þ k þ 1
½ð0, 3Þ è punto base doppio; y ¼ x 3
½ð1, 0Þ è l’unico punto base, non doppio; nessuna retta
Consideriamo il fascio di parabole di equazione y ¼ x2 ðk þ 1Þx þ k. Determiniamo:
a. i punti base e le caratteristiche del fascio;
b. la parabola del fascio passante per il punto Að2, 1Þ;
c. la parabola del fascio avente come asse di simmetria la retta di equazione x ¼ 2;
d. la parabola del fascio tangente all’asse x;
e. le parabole del fascio aventi fuoco appartenente all’asse x.
440
1 ¼ 4 ðk þ 1Þ 2 þ k
da cui si ricava k ¼ 3. Sostituendo questo valore di k nell’equazione del fascio si ottiene la parabola di equazione
y ¼ x2 4x þ 3.
kþ1
. Dunque l’asse è la retta
c. L’asse di simmetria di una generica parabola del fascio è la retta di equazione x ¼
2
kþ1
di equazione x ¼ 2 se e solo se
¼ 2, da cui k ¼ 3: sostituendo questo valore di k nell’equazione del fascio si
2
Parabola
b. Imponendo il passaggio per il punto Að2, 1Þ si ottiene l’equazione:
Unità 8
a. Si tratta di un fascio di parabole congruenti, aventi un unico punto base (non doppio): il punto di coordinate
(1, 0). Tutte le parabole del fascio passano per questo punto.
ottiene la parabola di equazione y ¼ x2 4x þ 3.
d. Dobbiamo imporre che sia nullo il discriminante dell’equazione risolvente il sistema:
y ¼ x2 ðk þ 1Þx þ k
y¼0
L’equazione risolvente è x2 ðk þ 1Þx þ k ¼ 0.
La condizione ¼ 0 equivale all’equazione ðk þ 1Þ2 4k ¼ 0, da cui k ¼ 1. In corrispondenza di questo valore di k
si ottiene la parabola di equazione y ¼ x2 2x þ 1.
e. Ricordando la formula che esprime l’ordinata del fuoco, si deduce che la condizione da imporre è che il discriminante dell’equazione x2 ðk þ 1Þx þ k ¼ 0 sia 1; si perviene cosı̀ all’equazione ðk þ 1Þ2 4k ¼ 1, che ha come soluzioni k ¼ 0 e k ¼ 2. In corrispondenza di questi valori di k si ottengono le parabole di equazioni y ¼ x2 x e
y ¼ x2 3x þ 2.
270
Þ
Considera il fascio di parabole di equazione y ¼ kx2 4kx þ 3; determina:
b. la parabola del fascio passante per il punto di coordinate (1, 1);
c. la parabola del fascio avente vertice sulla retta di equazione y ¼ 5;
d. le parabole del fascio tangenti alla retta y ¼ 2x.
2
8
a. Fascio di parabole secanti, punti base: (0, 3), (4, 3); b. y ¼ x2 x þ 3;
3
3
c. y ¼ 2x2 8x þ 3; d. non esistono
271
Þ
Considera il fascio di parabole di equazione y ¼ x2 2kx k 1; determina:
b. la parabola del fascio passante per il punto di coordinate (1, 1);
c. la parabola del fascio avente come asse la retta di equazione x ¼ 3;
d. le parabole del fascio tangenti alla retta di equazione y ¼ 1;
e. la parabola del fascio avente il vertice sulla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
1
3
a. Fascio di parabole congruenti, passanti per l’unico punto base, di coordinate , ;
2
4
2
2
b. y ¼ x2 þ x ; c. y ¼ x2 6x 4; d. y ¼ x2 1, y ¼ x2 þ 2x; e. y ¼ x2 þ 2x
3
3
272
Þ
È dato il fascio di parabole di equazione x ¼ ky2 2y þ k 2. Determina:
a. i punti base del fascio;
b. la parabola del fascio passante per l’origine;
c. la parabola del fascio avente come asse la retta di equazione y ¼
1
;
3
d. le parabole del fascio aventi come direttrice l’asse y.
1
5
5
1
a. Non ci sono punti base; b. x ¼ 2y 2 2y; c. x ¼ 3y 2 2y þ 1; d. x ¼ y 2 2y , x ¼ y 2 2y þ
2
2
2
2
441
Le coniche
Tema C
Considera il fascio di parabole di equazione y ¼ kx2 2x k þ 1; determina:
c. la parabola del fascio tangente alla retta di equazione y ¼ 2x 1;
d. la parabola del fascio avente il vertice sulla retta di equazione x þ y ¼ 3.
½a. Fascio di parabole passanti per ð1, 1Þ e ð1, 3Þ; b. y ¼ x2 2x; c. y ¼ 2x2 2x 1; d. y ¼ 2x2 2x þ 3
273
Þ
Considera il fascio di parabole di equazione y ¼ kx2 þ 5x þ k þ 5; determina:
15
;
c. la parabola del fascio che ha come asse la retta di equazione x ¼
2
d. le parabole del fascio che hanno il fuoco sull’asse x;
pffiffiffiffiffiffi
e. le parabole del fascio che individuano sull’asse x un segmento di misura 41.
1
14
a. Fascio privo di punti base; b. y ¼ 5x2 þ 5x; c. y ¼ x2 þ 5x þ
;
3
3
5
50
d. y ¼ x2 þ 5x þ 6, y ¼ 6x2 þ 5x 1; e. y ¼ x2 þ 5x þ 4, y ¼ x2 þ 5x þ
9
9
274
Þ
275
Þ
Considera il fascio di parabole di equazione:
y ¼ ðk 1Þx2 2x þ 3
Dopo aver determinato i punti base e studiato le caratteristiche delle parabole del fascio, determina le parabole del
½Fascio di parabole tangenti nel punto di coordinate ð0, 3Þ
fascio congruenti alla parabola di equazione y ¼ 2x2 .
alla retta y ¼ 2x þ 3; y ¼ 2x2 2x þ 3 e y ¼ 2x2 2x þ 3
276
Þ
Considera il fascio di parabole di equazione:
y ¼ kx2 þ ðk þ 1Þx 2k þ 1
Dopo averne determinato i punti base A e B, scrivi le equazioni delle parabole del fascio aventi vertici rispettivamente in A e B e verifica che sono simmetriche rispetto al punto medio di AB.
1 2 4
1
1 2 2
5
Að1, 2Þ, Bð2, 1Þ; y ¼ x þ x þ , y ¼ x þ x þ
3
3
3
3
3
3
Considera il fascio di parabole di equazione y ¼ kx2 þ ð1 2kÞx 2 3k.
a. Studia le caratteristiche del fascio e determina i punti base.
b. Determina l’equazione della retta r contenuta nel fascio.
3
c. Determina la parabola del fascio avente come asse di simmetria la retta di equazione x ¼ .
4
d. Determina l’area del segmento parabolico limitato dalla parabola e dalla retta r.
64
a. Punti base: ð1, 3Þ, ð3, 1Þ; b. y ¼ x 2; c. y ¼ 2x2 3x 8; d.
3
277
Þ
Considera il fascio di parabole di equazione y ¼ kx2 x þ 1 9k.
a. Studia le caratteristiche del fascio e determina i punti base.
b. Determina l’equazione della retta r contenuta nel fascio.
c. Determina la parabola del fascio passante per il punto di coordinate ð2, 4Þ.
278
Þ
d. Determina l’area del segmento parabolico limitato dalla parabola e dalla retta r.
[a. Punti base: ð3, 4Þ, ð3, 2Þ; b. y ¼ x þ 1; c. y ¼ x2 x þ 10; d. 36]
Il metodo dei fasci
279
Þ
ESERCIZIO SVOLTO
Scriviamo l’equazione del fascio di parabole passanti per Að0, 1Þ e Bð1, 0Þ.
L’equazione del fascio si può ottenere eseguendo la combinazione lineare tra l’equazione della parabola degenere rappresentata dalla coppia di rette verticali passanti per A e per B e l’equazione della retta AB.
La parabola degenere ha equazione xðx 1Þ ¼ 0, cioè x2 x ¼ 0.
La retta AB, si verifica facilmente, ha equazione y ¼ x 1.
Pertanto l’equazione del fascio è y ¼ x 1 þ kðx2 xÞ, ossia y ¼ kx2 þ ð1 kÞx 1.
442
283
Þ
ESERCIZIO SVOLTO
½y ¼ kx2 2kx 3k
Scrivi l’equazione del fascio di parabole passanti per i punti Að1, 2Þ e Bð3, 6Þ. ½y ¼ kx2 þ 4ð1 kÞx þ 3k 6
Scrivi l’equazione del fascio di parabole passanti per i punti in cui la retta di equazione x 2y 4 ¼ 0 interse
ca gli assi cartesiani.
1
y ¼ kx2 þ ð1 8kÞx 2
2
Parabola
Scrivi l’equazione del fascio di parabole passanti per i punti Að1, 0Þ e Bð3, 0Þ.
Unità 8
280
Þ
281
Þ
282
Þ
Scriviamo l’equazione del fascio di parabole tangenti alla retta di equazione y ¼ 2x nel suo punto Pð1, 2Þ.
L’equazione del fascio si può ottenere eseguendo la combinazione lineare tra l’equazione della parabola degenere rappresentata da due rette verticali coincidenti passanti per P e l’equazione della retta data.
La parabola degenere rappresentata da due rette verticali coincidenti passanti per P ha equazione ðx 1Þ2 ¼ 0.
Pertanto l’equazione del fascio è y ¼ 2x þ kðx 1Þ2 .
Svolgendo i calcoli l’equazione del fascio si può scrivere nella forma equivalente:
y ¼ kx2 þ 2ð1 kÞx þ k
284
Þ
Scrivi l’equazione del fascio di parabole tangenti alla retta di equazione y ¼ x þ 4 nel suo punto Pð1, 5Þ.
½y ¼ kx2 þ ð1 2kÞx þ k þ 4
Scrivi l’equazione del fascio di parabole tangenti alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante nel punto
della bisettrice di ascissa 2.
½y ¼ kx2 þ ð4k 1Þx þ 4k
285
Þ
286 Scrivi l’equazione del fascio di parabole tangenti alla retta di equazione 2x y þ 3 ¼ 0 nel punto in cui la retÞ
ta incontra l’asse y.
½y ¼ kx2 þ 2x þ 3
Utilizzando il metodo dei fasci, scrivi le equazioni delle parabole che soddisfano le condizioni assegnate.
1
5
287 Passa per Að2, 0Þ, Bð1, 1Þ e Cð0, 3Þ.
y ¼ x2 x þ 3
Þ
2
2
1
ðx
2Þðx
4Þ
288
Passa
per
Að2,
0Þ,
Bð4,
0Þ
e
Cð1,
1Þ.
y
¼
Þ
3
27
.
289 Passa per Að1, 0Þ e per Bð2, 0Þ e, detto V il suo vertice, l’area del triangolo ABV è
Þ
4
½y ¼ 2ðx þ 1Þðx 2Þ, y ¼ 2ðx þ 1Þðx 2Þ
1 2 4
2
290
Passa
per
Að0,
1Þ
e
per
Bð1,
0Þ
e
stacca
sull’asse
x
una
corda
di
misura
2.
y
¼
x
þ
1,
y
¼
þ
x
x
þ
1
Þ
3
3
291
Þ
292
Þ
293
Þ
Passa per A(2, 0) e per B(4, 0) e ha il vertice sulla retta di equazione 9x þ y ¼ 0.
294
Þ
295
Þ
Passa per Að1, 1Þ e per Bð1, 1Þ ed è tangente alla parabola di equazione y ¼ x2 þ x þ 2.
È tangente in Að1, 2Þ alla retta r: y ¼ 2x e passa per il punto Bð2, 3Þ.
½y ¼ x2 2x 8
½y ¼ x2 þ 4x 1
È tangente in Að0, 1Þ alla retta r: y ¼ 2x þ 1 ed è ulteriormente tangente alla retta di equazione y ¼ 3x.
1
y ¼ x2 þ 2x þ 1
4
½y ¼ 2x2 þ x þ 2
Passa per Pð0, 2Þ ed è tangente in A alla parabola passante per Að1, 1Þ, per Bð3, 0Þ e per l’origine degli assi.
1
3
5
11
Parabola per A, B e O: y ¼ x2 þ x; y ¼ x2 þ
x2
2
2
2
2
Scrivi l’equazione della parabola che passa per i punti di intersezione delle parabole 1 : y ¼ x2 3x þ 1 e 2 :
y ¼ 2x2 2x þ 4 e per l’origine degli assi.
296
Þ
(Suggerimento: la parabola cercata appartiene al fascio di parabole di generatrici 1 e 2 , non è necessario determina
re i punti di intersezione delle due parabole)
10
y ¼ 2x2 x
3
Scrivi l’equazione della parabola passante per il punto Pð1, 1Þ e per i punti di intersezione delle parabole di
equazioni y ¼ 2x2 þ 3x, y ¼ x2 4x þ 3.
½y ¼ 4x2 11x þ 6
297
Þ
298 Scrivi l’equazione della parabola passante per l’origine e per i punti di intersezione delle parabole di equazioÞ
ni y ¼ x2 2x þ 3 e y ¼ x2 þ 5.
½y ¼ 4x2 5x
443
Le coniche
Tema C
6. La parabola e le funzioni
TEORIA a p. 412
Esercizi preliminari
Associa a ciascun grafico l’equazione corrispondente, scelta tra le seguenti:
a. y ¼ 4 x
b. y ¼ 4 x
c. y ¼ 2 þ 4 x
299
Þ
y
d. y ¼ 2 y
y
y
4x
2
2
x
O
4
x
O
4
A
B
x
x
O
4
O
C
4
D
Test
300
Þ
Il grafico in figura è quello della funzione:
2
302
Þ
A
y ¼ j4 x2 j
y ¼ 4 xjxj
B
y ¼ 4 xjxj
C
y ¼ 4jxj x2
C
y ¼ 4jxj x2
D
y ¼ j4x x2 j
D
y ¼ j4x x2 j
A
y ¼ j4 x j
B
y
O
301
Þ
y ¼ j4 x2 j
B
y ¼ 4 xjxj
C
y ¼ 4jxj x2
D
4
x
4
A
y
–2
303
Þ
y
2
y ¼ j4x x j
O
2
x
A
y ¼ j4 x2 j
B
y ¼ 4 xjxj
C
y ¼ 4jxj x2
D
y ¼ j4x x2 j
y
4
x
–4
O
4
x
O
Grafici di funzioni
Traccia il grafico delle seguenti funzioni irrazionali.
304 y ¼ 4x 6
Þ
305
Þ
y ¼ xþ2
306
Þ
y ¼2
307
Þ
y¼
pffiffiffi
x
xþ21
308 y ¼ 2 x þ 3
Þ
309 y ¼ 3 2x 4
Þ
310 y ¼ jx 2j
Þ
444
1 jxj
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ 1 þ x jxj
pffiffiffiffiffiffi
¼ jxj 3
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ 2 j2x 4j
pffiffiffiffiffiffi
¼ 2 jxj 1
4 2x
¼
x2 4x þ 4
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
4x x2
¼
2
x 4x
311
Þ
312
Þ
313
Þ
314
Þ
315
Þ
y¼
316
Þ
y
317
Þ
y
y
y
y
y
se x 2
se x > 2
se 0 x 4
se x < 0 _ x > 4
2
Unità 8
318
Þ
ESERCIZIO SVOLTO
Tracciamo il grafico delle funzioni:
b. y ¼ jx2 4jxjj
Parabola
a. y ¼ 2x þ jx2 4j
a. In base alla definizione di valore assoluto l’equazione della funzione data si può riscrivere come segue:
se x 2 _ x 2
2x þ ðx2 4Þ
y¼
2x þ ð4 x2 Þ
se 2 < x < 2
2
2x 4
se x 2 _ x 2
ossia: y ¼ x þ
x2 þ 2x þ 4 se
2<x<2
Bisogna quindi considerare:
il grafico della parabola di equazione y ¼ x2 þ 2x 4 nell’intervallo x 2 e nell’intervallo x 2;
il grafico della parabola di equazione y ¼ x2 þ 2x þ 4 nell’intervallo 2 < x < 2.
L’unione degli archi tracciati è il grafico della funzione (fig. a).
b. Ricordando quanto visto nell’Unità 5 a proposito dei grafici delle funzioni del tipo y ¼ f ðjxjÞ e y ¼ jf ðxÞj, possiamo tracciare prima il grafico di y ¼ x2 4jxj e poi dedurre da esso quello di y ¼ jx2 4jxjj.
Per tracciare il grafico di y ¼ x2 4jxj (fig. b), basta tracciare:
per x 0 il grafico della parabola di equazione y ¼ x2 4x;
per x < 0 il simmetrico rispetto all’asse y del grafico tracciato per x 0.
Infine, per tracciare il grafico di y ¼ jx2 4jxjj (fig. c) basta simmetrizzare, rispetto all’asse x, le parti del grafico di
y ¼ x2 4jxj che hanno ordinate negative.
y
y
y
y = x 2– 4 x
y = x 2– 4 x
–2
y = x 2 +2x– 4
x
O 2
y = – x 2+ 2x + 4
–4
x
O
x
4
–4
O
4
y = 2x + x 2– 4
a
b
c
Traccia il grafico delle seguenti funzioni.
319
Þ
320
Þ
321
Þ
322
Þ
323
Þ
324
Þ
325
Þ
326
Þ
327
Þ
328
Þ
329
Þ
330
Þ
331
Þ
332
Þ
333
Þ
y ¼ x2 2jxj 3
2
y ¼ jx 2x 3j
y ¼ x2 þ x jxj
y ¼ x2 4jxj
y ¼ 1 xjxj
y ¼ jx2 þ 5x 6j
y ¼ x2 jx 1j þ 1
y ¼ jx2 1j 3
y ¼ x2 jx2 4j
y ¼ x2 þ 2jxj 1
y ¼ jx2 1j
334
Þ
335
Þ
336
Þ
337
Þ
338
Þ
339
Þ
340
Þ
341
Þ
y ¼ xjx 3j
y ¼ jx 2j þ x2
y ¼ x2 jx 2j
y ¼ jx2 1j x
y ¼ jx2 þ 5x 6j þ x
y ¼ x2 þ jxj jx 2j
y ¼ x2 jx þ 2j jx 1j
y ¼ x2 jxj jx 2j
jx3 4x2 j
x
3
jx 4xj
343 y ¼
Þ
xþ2
342
Þ
y¼
344
Þ
y¼
x4 3x2 4
jx2 4j
345
Þ
y¼
x3 þ 2x2 x 2
jx þ 1j
y ¼ x2 2jxj 1
2
y ¼ x þ 2jx 1j 2
y ¼ j1 2x x2 j
2
y ¼ 2x þ jx 4j
445
Le coniche
Tema C
Traccia il grafico delle curve di cui è data l’equazione. Per ciascuna curva, stabilisci se si tratta del grafico di
una funzione.
346
Þ
347
Þ
348
Þ
x ¼ jy 2 þ 4y 5j
349
Þ
350
Þ
351
Þ
2jxj þ x2 þ y ¼ 0
2jxj jyj ¼ x2
jx 2j þ y 2 ¼ 6
pffiffiffi
j x 1j þ y ¼ 0
x ¼ y 2 6jyj þ 9
352 Dal grafico all’equazione. Scrivi l’equazione di ciascuna delle funzioni di cui è dato il grafico. Gli archi tracÞ
ciati sono archi di parabola o di circonferenza.
y
y
4
4
y
–2
x
45°
O
4
–2
x
O
2
6
45°
O
–1
23
x
–2
pffiffiffi
x se
x2 se
spressione analitica dell’inversa.
x 0 , traccia il suo grafico, verifica che è invertibile e determina l’ex<0
x2pffiffiffiffiffiffiffi se x 0
1
f ðxÞ ¼
x se x < 0
354 Determina l’area della regione di piano limitata dalla curva di equazione y ¼ 4 x e dagli assi cartesiani.
Þ
16
3
" pffiffiffi #
8 2
355 Determina l’area della regione di piano limitata dalla curva di equazione y ¼
2 jxj e dall’asse x.
Þ
3
353
Þ
Data la funzione f ðxÞ ¼
Considera le due funzioni:
1
f ðxÞ ¼ x2 2jxj e gðxÞ ¼ 16 x2
2
a. Tracciane i grafici.
b. Determina l’area della regione finita di piano contenuta nel terzo e nel quarto quadrante, limitata dai grafici
di f e di g.
32
b. 8 3
356
Þ
Risoluzione grafica di equazioni e disequazioni
Interpretando graficamente le seguenti equazioni, stabilisci il numero delle loro soluzioni e cerca di dare
una stima delle soluzioni stesse. Risolvi poi le equazioni algebricamente.
pffiffiffi
4
357
2
x
¼
3x
0,
360
6 2x x ¼ 3
[3]
Þ
Þ
9
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
9
2
¼
jx
5j
,
6
361
358
5
x
1
¼
x
[1]
Þ
Þ
2
2
pffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffi
359 2 x 1 ¼ x 2
[2 2 þ 4]
362
j2x 4j ¼ x
[ 5 1]
Þ
Þ
Risolvi graficamente le seguenti disequazioni irrazionali.
"
pffiffiffiffiffiffi #
5 þ 41
x þ 2 < 2x 1
x>
363
367
Þ
Þ
8
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
364
1 x < x
[Impossibile]
Þ
368
Þ
p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ffi
1
3
xþ1<xþ1
x>
365
Þ
369
2
4
Þ
366
370
6 2x x þ 1
½1 x 3
Þ
Þ
446
h
pffiffiffii
1
xþ3> xþ1
3 x < 2 2
2
h
pffiffiffi
pffiffiffii
pffiffiffi 1
2 x< xþ1
0x<64 2 _ x>6þ4 2
2
j5 xj x þ 1
½x 1
1 x < jx þ 1j
½x < 3 _ 0 < x 1
Parabola
378
Þ
Unità 8
Risolvi graficamente le seguenti disequazioni contenenti termini in valore assoluto.
"
pffiffiffi
pffiffiffi #
pffiffiffiffiffiffi
3
5
3
þ
5
_ x
371 x2 2jxj x 1
x
377 Considera le due funzioni f ðxÞ ¼
jxj 1 e
Þ
Þ
2
2
gðxÞ ¼ jxj 3.
a. Tracciane i grafici.
372 xjxj > x þ 2
½x > 2]
Þ
b. Determina le coordinate dei loro punti di intersepffiffiffi
pffiffiffi
373 x2 3x > jx 1j
½x < 1 2 _ x > 2 þ 3
zione A e B (con xA < xB Þ.
Þ
p
ffiffiffi
c. Risolvi graficamente la disequazione f ðxÞ gðxÞ.
374 x2 x þ jxj 4 0
½1 5 x 2
Þ
d. Determina l’area della regione finita di piano limitata dai grafici di f e di g.
375 jx2 2xj > 3
½x < 1 _ x > 3
Þ
32
2
b.
Að4,
1Þ,
Bð4,
1Þ;
c.
4
x
4;
d.
376 x 3jxj 2x 4
½1 x 4
Þ
3
ESERCIZIO SVOLTO
Discutiamo graficamente, al variare di k, il numero delle soluzioni dell’equazione
pffiffiffi
x ¼ x þ k.
pffiffiffi
pffiffiffi
Le eventuali soluzioni dell’equazione x ¼ x þ k sono le ascisse dei punti di intersezione tra il grafico di y ¼ x
e quello di y ¼ x þ k. Discutere graficamente l’equazione equivale quindi a studiare graficamente, al variare di k,
pffiffiffi
il numero dei punti di intersezione tra il grafico di y ¼ x e le rette del fascio improprio di equazione y ¼ x þ k.
Osservando la figura qui a fianco puoi vedere che ci sono due rette
1
che fanno da «spartiacque» tra situazioni diverse: la retta del fascio
0< k <
1
4
k=
passante per l’origine, che corrisponde al valore k ¼ 0, e quella tangen4
y
k=0
1
te che, come si può facilmente verificare, corrisponde al valore k ¼ :
k<0
4
– se k < 0, le rette del fascio intersecano il grafico della funzione in
1
un solo punto, quindi l’equazione ha una sola soluzione;
k cresce
1
– se 0 k < , le rette del fascio intersecano il grafico della funzione
4
in due punti distinti, quindi la soluzione ha due soluzioni distinte;
1
x
– se k ¼ , si ottiene la retta del fascio tangente al grafico della funO
1
4
zione, quindi l’equazione ha due soluzioni coincidenti;
1
– se k > , le rette del fascio non intersecano il grafico della funzione, quindi l’equazione non ha soluzioni.
4
Discuti graficamente, al variare di k, il numero delle soluzioni delle seguenti equazioni.
15
15
379
x 1 ¼ 2x þ k
Se k < 2: una soluzione; se 2 k : due soluzioni coincidenti per k ¼ ;
Þ
8
8
15
: nessuna soluzione
se k > 8
pffiffiffi
pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1þ 2
1þ 2
k 1: due soluzioni coincidenti per k ¼ ;
380
2 x ¼ kx 3k 1
Se Þ
2
2
pffiffiffi
1þ 2
se 1 < k < 0: una soluzione; se k < _ k 0: nessuna soluzione
2
3
3
381
jx 1j ¼ x þ k
Se k < 1 _ k > : una soluzione; se 1 < k : tre soluzioni
Þ
4
4
3
; se k ¼ 1: due soluzioni
di cui due coincidenti per k ¼ 4
382
Þ
x2 2jxj ¼ k
[Se k < 1: nessuna soluzione; se 1 k < 0: quattro soluzioni (a due a due coincidenti
per k ¼ 1Þ; se k ¼ 0: tre soluzioni; se k > 0: due soluzioni]
383
Þ
xjxj ¼ 2x þ k
[Se k < 1 _ k > 1: una soluzione; se 1 k 1: tre soluzioni
(di cui due coincidenti per k ¼ 1Þ]
384
Þ
jx2 2x 3j ¼ k
[Se k < 0: nessuna soluzione; se k ¼ 0: due soluzioni; se 0 < k 4: quattro soluzioni
(di cui due coincidenti per k ¼ 4Þ; se k > 4: due soluzioni]
447
Le coniche
Tema C
Problemi con le funzioni
PROBLEMI GEOMETRICI
385 Data una circonferenza di diametro AB e raggio
Þ
1, considera su di essa un punto P; sia H la proiezione
di P su AB e Q il simmetrico di P rispetto ad AB. Indicata con x la misura di BH, esprimi, in funzione di x, la
somma y delle aree dei quadrati costruiti sul lati del
triangolo PAQ. Traccia il grafico della funzione ottenuta, mettendone in evidenza il tratto relativo al problema.
½y ¼ 4ðx2 þ x þ 2Þ, con 0 x 2
Considera un punto P su di una semicirconferenza di diametro AB e raggio 1 e sia H la proiezione di P
su AB. Sul prolungamento di AB dalla parte di B, considera inoltre il punto C distante 1 da B. Indicata con x
la misura di AH, esprimi in funzione di x la misura y
del segmento PC. Traccia il grafico della funzione ottenuta, mettendone in evidenza il tratto relativo al propffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
blema.
½y ¼ 9 4x , con 0 x 2
386
Þ
Sia P un punto di una circonferenza di diametro
AB e raggio 1; indicata con H la proiezione di P su AB,
indica con x la misura di AH. La circonferenza avente
centro in B passante per P interseca il diametro AB in
Q: esprimi in funzione di x la misura y del segmento
AQ e traccia il grafico della funzione ottenuta, mettendone in evidenza il tratto relativo al problema.
½y ¼ 2 4 2x, con 0 x 2
387
Þ
388 In un trapezio isoscele (non degenere) circoscritÞ
to a una circonferenza, il lato obliquo misura x e la base maggiore misura 4. Esprimi, in funzione di x, il raggio y della circonferenza e traccia il grafico della funzione ottenuta, mettendone in evidenza il tratto relatipffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
vo al problema.
½y ¼ 2x 4, con 2 < x < 4
PROBLEMI DI GEOMETRIA ANALITICA
Scrivi l’equazione della parabola avente il vertice nel punto Að2, 0Þ e passante per il punto Bð0, 4Þ.
_
Considera un punto P sull’arco AB della parabola e
indica con H e K, rispettivamente, le proiezioni di P
sull’asse x e sulla retta AB. Esprimi in funzione di x la
pffiffiffi
funzione y ¼ PH þ 2 5 PK e tracciane il grafico indipendentemente dalle limitazioni geometriche, ma
mettendo in evidenza il tratto relativo al problema.
[: y ¼ ðx 2Þ2 ; y ¼ x2 þ 4, con 0 x 2]
389
Þ
Considera le due circonferenze 1 , avente centro
in C1 ð2, 0Þ e raggio 2, e 2 , avente centro in C2 ð1, 1Þ e
raggio 1. Traccia una retta parallela all’asse x, di equazione y ¼ t, che interseca 1 in A e B e 2 in C e D. Scrivi
in funzione di t l’espressione analitica della funzione:
390
Þ
f ðtÞ ¼
1
2
2
ð AB þ CD Þ
8
e tracciane il grafico in un sistema di assi cartesiani
tOy, indipendentemente dalle limitazioni geometriche, ma mettendo in evidenza il tratto relativo al problema.
[ f ðtÞ ¼ t 2 þ t þ 2, con 0 t 2]
Scrivi l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y avente vertice in Vð0,1Þ e passante per
Að2,5Þ. Considera sulla parabola un punto P di ascissa x e traccia il grafico della funzione y ¼ PH 2PK, essendo H e K le proiezioni di P, rispettivamente, sull’asse x e sull’asse y.
½La parabola ha equazione
y ¼ x2 þ 1; y ¼ x2 þ 1 2jxj
391
Þ
Scrivi l’equazione della parabola passante per
A(0, 3), B(1, 0) e C(3, 0). Sia P un punto di ascissa x appartenente alla parabola; esprimi, in funzione di x, l’area y del triangolo APB e traccia il grafico della funzio
ne ottenuta.
1 2
2
y ¼ x 4x þ 3; y ¼ jx xj
2
392
Þ
È data la parabola di equazione y ¼ x2 3x þ 3.
Determina per quali valori di k la retta di equazione
y ¼ x þ k interseca la parabola in due punti (eventualmente coincidenti) A e B: Esprimi, in funzione di k, la
misura del segmento AB e traccia il grafico della funzione f ðkÞ ¼ AB che hai ottenuto.
½k 1, f ðkÞ ¼ 2 2 þ 2k; in un sistema
di riferimento dove k è posto in ascissa il grafico
della funzione è un arco di parabola]
393
Þ
Considera la parabola di equazione y ¼ x2 . Traccia la tangente t e la normale n alla parabola nel suo
punto A di ascissa 1. Detto P un punto di ascissa x appartenente alla parabola, indica con H e K, rispettivamente, le proiezioni di P su t e su n. Traccia il grafico
pffiffiffi
della funzione: y ¼ 5ðPH þ PKÞ.
1
3
t : y ¼ 2x 1, n: y ¼ x þ ;
2
2
394
Þ
y ¼ ðx 1Þ2 þ j 2x2 þ x 3 j
Problemi di massimo e minimo
PROBLEMI DALLA REALTÀ
395 Si vuole costruire un recinto, di forma rettangolaÞ
re, con un filo lungo 320 m. Qual è la massima area
che si può recintare?
[6400 m2 ]
396 Una compagnia aerea decide di stabilire il prezzo
Þ
del biglietto di un volo (per persona) nel seguente mo-
448
do: 200 euro più 10 euro per ogni posto che resterà libero. L’aereo dispone di 150 posti. Quanti posti devono restare liberi perché la compagnia ottenga il massimo ricavo?
[65 posti]
Si deve decidere a quale prezzo affittare 20 appartamenti. In base alle esperienze precedenti, ci si aspet-
397
Þ
Determina il punto P, sull’asse y, in corrispondenza del quale è minima la somma dei quadrati delle
distanze di P da Að4, 0Þ e Bð2, 1Þ.
1
P 0,
2
403
Þ
Siano A e B i punti di intersezione della parabola
di equazione y ¼ x2 3x con l’asse x. Determina, sul_
l’arco AB, il punto P in corrispondenza del quale è
massima la somma delle distanze di P dagli assi cartesiani.
½Pð2, 2Þ
404
Þ
Parabola
Un filo lungo 20 cm viene tagliato in due parti.
Con i due pezzi ottenuti si formano due quadrati. In
quale punto bisogna tagliare il filo perché la somma
delle aree dei quadrati sia minima?
398
Þ
PROBLEMI DI GEOMETRIA ANALITICA
Unità 8
ta che, al prezzo di 300 euro al mese, tutti gli appartamenti verranno affittati mentre, per ogni aumento di
25 euro al mese, un appartamento resterà sfitto. A quale prezzo conviene affittare gli appartamenti per ottenere il massimo ricavo?
[400 euro al mese]
Siano A e B i punti di intersezione della parabola
di equazione y ¼ x2 2x con l’asse x. Determina, sul_
l’arco AB, il punto P in corrispondenza del quale è
massima la somma delle distanze di P dagli assi carte siani.
3 3
P ,
2 4
405
Þ
?
20 cm
Q
Q'
[Nel punto medio]
Una finestra è costituita da un rettangolo, sormontato da un semicerchio, di
diametro coincidente con un
x
lato del rettangolo. Supponiamo che il perimetro della finestra sia 24 metri. Determina x
in modo che dalla finestra entri
la massima luce possibile (ov2x
vero, si deve rendere massima
l’area della finestra).
399
Þ
[x ’ 3,36 m]
400 In una città di 15 000 abitanti la velocità di proÞ
pagazione di un virus influenzale, espressa in termini
del numero di nuovi casi registrati al giorno, è direttamente proporzionale al prodotto tra il numero degli
individui infetti e il numero di individui non infetti.
Quando il 20% della popolazione è infetta, il virus si
propaga alla velocità di 400 nuovi casi al giorno. Qual
è la massima velocità di propagazione del virus?
[625 nuovi casi al giorno]
401 Matematica e fisica In base alle leggi della fisica,
Þ
una palla lanciata verticalmente verso l’alto da un’altezza di 1 m con una velocità iniziale v0 ¼ 10 m/s, dopo t secondi dal lancio si trova a un’altezza, in metri,
espressa dalla funzione hðtÞ ¼ 1 þ 10t 4,9t 2 . In quale
istante la palla raggiunge la massima altezza?
[Dopo circa 1 secondo]
402
Þ
Matematica e fisica Un sasso viene lanciato verti-
calmente verso l’alto, da un’altezza incognita, con velocità di 8 m/s. Il sasso raggiunge il suolo dopo un
tempo di 4 s. Calcola:
a. da quale altezza è stato lanciato il sasso;
b. la massima altezza raggiunta dal sasso.
[a. 46,4 m; b. circa 49,7 m]
Scrivi l’equazione della parabola passante per
A(1, 0) e B(0, 2), tangente in B alla retta di equazione
_
y ¼ 3x þ 2. Sull’arco AB di parabola determina il punto
P in modo che l’area del triangolo APB sia massima.
1 3
y ¼ x2 þ 3x þ 2; P ,
2 4
406
Þ
Determina i vertici del rettangolo di perimetro
massimo (avente i lati paralleli agli assi cartesiani) inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola
di equazione y ¼ x2 4x e dall’asse x.
½(1, 0), (1, 3), (3, 3), (3, 0)
407
Þ
Dopo aver determinato per quali valori di k l’equazione x2 þ y 2 2kx 2y þ 2k2 þ 2k 4 ¼ 0 rappresenta una circonferenza (eventualmente degenere),
determina la circonferenza della famiglia di raggio
massimo.
pffiffiffi
pffiffiffi
½1 6 k 1 þ 6; x2 þ y 2 þ 2x 2y 4 ¼ 0
408
Þ
in Vð2, 4Þ, passante per l’origine O del sistema di riferimento.
a. Determina il punto A (diverso da O) in cui la parabola incontra la bisettrice del primo e del terzo
quadrante.
b. Determina l’equazione della retta t, tangente alla
parabola e parallela alla bisettrice del primo e del
terzo quadrante.
_
c. Considera sull’arco OA un punto P e indica con
H e K rispettivamente le proiezioni di P sull’asse x e
sulla retta t. Determina le coordinate del punto P
pffiffiffi
per cui è minima la somma PH þ 4 2 PK.
9
y ¼ x2 þ 4x; a. Að3, 3Þ; b. y ¼ x þ ;
4
c. la somma è minima quando P
4 32
,
ha coordinate
3 9
409
Þ
449
Le coniche
Tema C
Considera la parabola di equazione x ¼ y 2 4 e
indica con A il suo punto di intersezione con l’asse x
e con B il suo punto di intersezione con il semiasse
_
delle ordinate negative. Considera sull’arco AB un
punto P e indica con H e K rispettivamente le proiezioni di P sull’asse x e sulla retta tangente alla parabola in B. Determina le coordinate del punto P per cui è
pffiffiffiffiffiffi
minima la somma PH þ 17 PK e il valore minimo di
tale somma.
7
3
7
P ,
; valore minimo della somma ¼
4
2
4
410
Þ
2x
Q
C
x
x
D
x
B
C
a. Quali valori può assumere x?
b. Per quale valore di x l’area dell’esagono è massima?
[x ’ 5,29]
A
B
x¼
9
2
412 I lati di un rettangolo ABCD sono lunghi 12 cm e
Þ
8 cm. Facendo riferimento alla figura, determina qual
è il minimo valore dell’area del parallelogramma
PQRS.
R
D
x
x
x
x
P
a. una circonferenza 0 , concentrica a ;
b. una circonferenza 00 , tangente a e 0 .
Determina il raggio di 0 in modo che la somma delle
aree dei due cerchi limitati da 0 e 00 sia minima.
[La misura del raggio di 0 deve essere 1]
Un triangolo acutangolo ABC, isoscele sulla base
AB, è inscritto in una circonferenza di raggio unitario.
Quanto può valere, al massimo, la somma delle misure
delle aree dei quadrati costruiti sui lati di ABC?
Indicata con x la distanza di AB dal centro
416
Þ
P
A
x
Sia una circonferenza il cui raggio misura 5. Internamente a , costruisci:
411 Il lato del quadrato ABCD mostrato in figura miÞ
sura 6 e QC ¼ 2PC. Determina PC ¼ x, in modo che
l’area del triangolo APQ sia massima.
S
x
A
415
Þ
PROBLEMI GEOMETRICI
D
La misura del perimetro dell’esagono ABCDEF è
24 e la misura dei lati dei tiangoli equilateri ABF e CDE
è x.
F
E
x
x
414
Þ
C
della circonferenza, si ricava che la somma massima
1
vale 9 e viene raggiunta quando x ¼
2
In un triangolo rettangolo ABC l’ipotenusa AB
misura 4 e ABbC ¼ 30 . Indica con M il punto medio di
BC e con N il punto medio di AB; preso un punto P sul
lato AC, tale che AP ¼ x, determina per quale valore di
x è minima la somma dei quadrati delle misure dei lati
del triangolo PMN.
2
2
2
Posto y ¼ PM þ PN þ MN si ricava che
417
Þ
y ¼ 2x2 6x þ 12, con 0 x 2.
3
Il minimo si ottiene per x ¼
2
Q
B
[46 cm2 ]
In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, risulta AC ¼ 10 cm e AB ¼ 12 cm. Traccia una corda DE del
triangolo, parallela ad AB. Determina DE, in modo che
l’area del triangolo DEH sia massima.
413
Þ
C
Un triangolo rettangolo ABC ha i cateti AB e AC
che misurano, rispettivamente, 3 e 4. Considerati i
punti E, F e G, rispettivamente su AB, AC e BC, in modo che BE ¼ AF ¼ CG, determina la misura di BE in
modo che sia minima l’area del triangolo EFG.
Indicata con x la misura di BE e con y la misura
418
Þ
dell’area del triangolo EFG, si trova
D
A
450
E
H
6 2 47
x x þ 6.
5
10
47
Il minimo si ottiene quando x ¼
’ 1,96
24
che y ¼
B
[DE ¼ 6 cm]
Fasci di parabole, applicazioni alle funzioni, problemi di massimo e minimo
Sia P un punto di ascissa x appartenente alla parabola di equazione y ¼ x2 ; indicate con H e K, rispettivamente, le proiezioni di P sull’asse x e sull’asse y,
traccia il grafico della funzione f definita da
y ¼ PH 2PK.
2
Þ
3 Utilizzando il metodo dei fasci, scrivi l’equazione
Þ
della parabola passante per Að0, 0Þ e per Bð6, 2Þ e tangente in B alla circonferenza di diametro AB.
4 Descrivi le caratteristiche delle parabole del faÞ
scio di parabole di equazione:
y ¼ x2 þ ax a þ 1
e indica con P il suo punto base. Determina quale relazione deve sussistere fra i parametri a1 , a2 affinché le
parabole del fascio corrispondenti a tali valori del parametro abbiano nel punto P tangenti fra loro perpendicolari.
5 Siano A e B, rispettivamente, i punti di ascissa 0 e
Þ
2 appartenenti alla parabola di equazione
_
y ¼ x2 5x þ 6. Determina il punto P sull’arco AB per
cui è massima l’area del triangolo APB.
6 Traccia i grafici delle due funzioni y ¼ 4 2x e
Þ
y ¼ jx þ 2j; utilizzando tali grafici, risolvi la disequapffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
zione 4 2x jx þ 2j.
7
Þ
Considera i fasci di parabole di equazione:
a. y
b. y
c. y
d. y
¼ ax2 3x þ 5
¼ x2 bx þ 5
¼ kx2 3kx þ 5
¼ x2 3x þ c
Parabola
1 Scrivi l’equazione del fascio di parabole passanti
Þ
per Að1, 2Þ e Bð0, 3Þ. Determina le parabole del fascio tangenti alla retta di equazione y ¼ 4x þ 2.
Unità 8
PROVA DI VERIFICA 2
Uno solo di essi è costituito da parabole congruenti e
aventi la stessa concavità, tutte passanti per lo stesso
punto. Individua quale, dandone esauriente spiegazione. Individua la parabola di tale fascio che ha come asse la retta di equazione x ¼ 10.
Dimostra che due numeri aventi somma costante k hanno prodotto massimo quando sono uguali.
8
Þ
Scrivi l’equazione del fascio di parabole generato
dalle parabole di equazione y ¼ x2 þ 1 e y ¼ 2x2 3.
Descrivi le caratteristiche delle parabole del fascio e
determina l’equazione della parabola del fascio che
passa per l’origine.
9
Þ
jx3 4xj
.
x
Specifica il dominio e l’immagine della funzione.
10
Þ
Traccia il grafico della funzione y ¼
1 punto per ogni esercizio risolto correttamente;
sufficienza: almeno 6 punti
RIEPILOGO E APPROFONDIMENTO
Esercizi di riepilogo
Risolvi i seguenti esercizi di riepilogo sulla parabola.
419 Determina l’equazione della parabola passante
Þ
per A(1, 0), B(4, 0) e C(0, 4). Tracciane il grafico e determina l’equazione della retta tangente alla parabola
e parallela alla retta di equazione y ¼ 2x.
7
2
y ¼ x 5x þ 4; y ¼ 2x þ
4
420 Traccia il grafico della parabola di equazione
Þ
y ¼ x2 x 6 e determina le coordinate dei punti di
intersezione A e B con l’asse x ðxA < xB Þ. Scrivi le equazioni delle rette tangenti alla parabola in A e B, indicando con C il loro punto di intersezione. Determina
125
4
Scrivi l’equazione della parabola che ha fuoco in
3
e come direttrice la retta di equazione
F 2, 4
5
y ¼ . Indica con A e B ðxA < xB Þ i punti di interse4
zione della parabola con la retta di equazione
y ¼ 2x þ 1. Determina l’area del trapezio AA0 B0 B, essendo A0 e B0 le proiezioni di A e B sull’asse x. ½14pffiffiffi
7
421
Þ
Determina l’equazione della parabola passante
per Að1, 0Þ e Bð3, 0Þ tale che l’area del quadrilatero
avente per vertici i punti A e B, il vertice della parabola
stessa e il suo punto di intersezione con l’asse y abbia
area 8.
½y ¼ 2ðx 1Þðx 3Þ
422
Þ
451
Le coniche
Tema C
nel punto Vð2, 4Þ e passa per l’origine. Scrivi le equazioni delle rette tangenti alla parabola passanti per
Pð3, 7Þ e indica con A e B i punti di contatto delle tangenti con la parabola. Calcola l’area del triangolo APB.
[y ¼ x2 þ 4x; y ¼ 2x þ 1, y ¼ 25 6x;
A(1,3), B(5, 5); Area ¼ 16
423
Þ
424 Traccia il grafico della parabola di equazione
Þ
y ¼ x2 2x þ 1. Indica con A e B ðxA < xB Þ i punti in
cui la retta di equazione y ¼ x þ 1 interseca la parabola
_
e determina il punto P dell’arco AB di parabola in corrispondenza del quale è massima l’area del triangolo
APB.
3 1
,
Að0, 1Þ, Bð3, 4Þ; P
2 4
Considera un triangolo equilatero ABC, di lato
AB ¼ 6. Riferisci il triangolo a un conveniente sistema
di riferimento e scrivi l’equazione della parabola tangente in A al lato AC e passante per B. Determina l’area
di ciascuna delle due parti in cui il triangolo ABC resta
_
diviso dall’arco AB di parabola.
Rispetto a un sistema di riferimento in cui Að3, 0Þ,
pffiffiffi
Bð3, 0Þ e Cð0, 3 3Þ, la parabola ha equazione
pffiffiffi
3 2
y¼
ðx 9Þ e le aree delle due parti
6
pffiffiffi
pffiffiffi
in cui resta diviso il triangolo misurano 6 3 e 3 3
425
Þ
Considera la parabola di equazione y ¼ x2 k2 ,
con k > 0. Determina k in modo che l’area del segmento parabolico limitato dalla parabola e dall’asse x
sia 36. Determina poi i vertici del rettangolo inscritto
nel segmento parabolico di perimetro massimo.
½k ¼ 3; ð1, 8Þ, ð1, 0Þ, ð1, 8Þ, ð1, 0Þ
426
Þ
427 Scrivi l’equazione della parabola avente vertice
Þ
in Vð2, 3Þ, asse parallelo all’asse y, passante per il
punto Pð3, 1Þ. Determina i vertici del rettangolo di
perimetro 7 inscritto nella regione finita di piano limitata dalla parabola e dall’asse x.
3
5
5
5
2
y ¼ 2x 8x þ 5;
,
,
,
,
2
2
2
2
3
5
,0 ,
,0
2
2
x2
3x þ k in2
dividua per quale valore di k la retta di equazione
2y ¼ x þ 2 stacca sulla parabola una corda AB di misupffiffiffi
5 5
. Condotte in A e B le tangenti alla parabola
ra
2
trovata e indicato con C il loro punto di intersezione,
calcola l’area del triangolo ABC.
3
7
k ¼ 4; A 1,
, Bð6, 4Þ; y ¼ 2x þ , y ¼ 3x 14;
2
2
7
7
125
C
,
; Area ¼
2
2
8
428
Þ
452
Tra le parabole di equazione y ¼
1 2
x .
2
Siano r ed s le rette tangenti a condotte dal punto
Pð0, 8Þ e t la retta tangente a nel suo punto Q di
ascissa 2. Determina l’ortocentro del triangolo individuato dalle rette r, s, t e verifica che appartiene alla di
rettrice di .
r: y ¼ 4x 8, s: y ¼ 4x 8, t: y ¼ 2x 2;
1
ortocentro: 15, 2
429
Þ
Considera la parabola di equazione y ¼
Determina i punti base A e B (con xA < xB ) del fascio di parabole di equazione:
430
Þ
y ¼ kx2 þ ð1 2kÞx þ 1 3k
e l’equazione della parabola del fascio avente come
1
asse di simmetria la retta di equazione x ¼ . Deter4
mina inoltre i punti P di che formano con A e B
triangoli isosceli sulla base AB.
2
1
Að1, 0Þ, Bð3, 4Þ; y ¼ x2 x 1;
3
3
P1 ð2, 1Þ, P2 ð3, 6Þ
431
Þ
Studia il fascio di parabole di equazione:
y ¼ x2 ðk þ 1Þx þ 2k 2
determinando in particolare gli eventuali punti base.
Considera il triangolo che ha come vertici i punti di
intersezione di una generica parabola del fascio con gli
assi cartesiani. Esprimi l’area di tale triangolo in funzione di k e traccia il grafico della funzione f ottenuta.
Determina quindi le parabole del fascio in corrispondenza delle quali l’area del suddetto triangolo è 1.
[Punto base: (2, 0); f ðkÞ ¼ jk2 4k þ 3 j;
pffiffiffi
k ¼ 2 _ k ¼ 2 2
Determina la tangente comune r alle parabole di
equazioni y ¼ x2 , y ¼ x2 þ 6x þ 3. Indicati con A e B
(xA < xB Þ i punti di contatto di r con le parabole e con
C il punto di intersezione delle parabole stesse, calcola
1 1
y ¼ 2x 1, Að2, 5Þ, Bð1, 1Þ, C ,
;
2 4
27
Area ¼
8
433
Considera
i
punti
Að1,
4Þ,
Bð3,
0Þ.
Þ
a. Determina il punto C appartenente all’asse y che
forma con A e B un triangolo isoscele sulla base AB;
b. Scrivi l’equazione della parabola 1 tangente in C
al lato AC e passante per B;
c. Scrivi l’equazione della parabola 2 passante per
A, B e C.
d. Nel fascio di parabole generato da 1 e 2 , determina l’equazione della parabola avente come asse
di simmetria la retta di equazione x ¼ 3 e verifica
che tale parabola è tangente all’asse x.
10 2
a. Cð0,1Þ; b. 1 : y ¼ x þ 3x þ 1;
9
5
14
1
x þ 1; d. y ¼ ðx 3Þ2
c. 2 : y ¼ x2 þ
3
3
9
432
Þ
435
Þ
Parabola
Verifica che il rapporto tra le corde AB e CD è costante e determina per quali valori di t risulta AB þ CD ¼ 4EF.
pffiffiffi
1
a. y ¼ 2ðx þ 1Þ2 , y ¼ ðx 2Þ2 ; b. y ¼ 2x þ 2, y ¼ 4x þ 2; c. t ¼ 3 5
2
Unità 8
a. Scrivi le equazioni delle parabole 1 e 2 , passanti per Pð0, 2Þ e per Qð4, 18Þ e tangenti all’asse x.
b. Determina le equazioni delle rette t1 e t2 , tangenti in P rispettivamente a 1 e 2 .
c. Condotta la retta r : y ¼ t, con t > 0, indica con A e B le intersezioni di r con 1 , con C e D le intersezioni di r
con 2 , con E e F le intersezioni di r con t1 e t2 .
434
Þ
Considera il fascio di parabole di equazione y ¼ ax2 þ 2ax 6a þ 3.
a. Studia le caratteristiche del fascio e determina gli eventuali punti base.
b. Determina la parabola 1 del fascio passante per il punto di coordinate ð2, 3Þ e la parabola 2 del fascio
congruente a 1 ma avente concavità opposta.
c. Verifica che 1 e 2 sono simmetriche rispetto alla retta di equazione y ¼ 3.
d. Determina i vertici del rettangolo con i lati paralleli agli assi cartesiani inscritto nella regione finita di piano
limitata da 1 e 2 , avente perimetro 29.
e. Determina l’area della regione finita di piano limitata dalle due parabole.
pffiffiffi
a. Punti base: ð1 7, 3Þ; b. 1 : y ¼ x2 þ 2x 3, 2 : y ¼ x2 2x þ 9;
d.
436
Þ
3 39
,
2
4
1 39
1
15
3
15
56 pffiffiffi
, ,
, ,
, ,
; e.
7
2
4
2
4
2
4
3
Considera la funzione f definita da y ¼ jx2 3xj.
a. Traccia il grafico della funzione.
b. Discuti graficamente, al variare di k, l’equazione jx2 3xj ¼ k.
c. Scrivi l’equazione della retta t; tangente al grafico della funzione f nel suo punto di ascissa 2.
d. Determina l’area della regione finita di piano limitata dal grafico della funzione f e dalla retta t.
9
b. Se k < 0, nessuna soluzione; se k ¼ 0, due soluzioni; se 0 < k , quattro soluzioni
4
pffiffiffi
9
9
20 5
di cui due coincidenti per k ¼
; se k > , due soluzioni; c. y ¼ 4 x; d.
9
4
4
3
437
Þ
Risolvi i seguenti quesiti.
a. Scrivi l’equazione della
ascissa 1.
b. Scrivi l’equazione della
1
vertice è il punto V ,
2
parabola 1 passante per A(1, 6) e tangente alla retta r: y ¼ 2x nel punto di r di
parabola 2 , congruente a 1 e avente concavità opposta a 1 , sapendo che il suo
1
.
2
c. Verifica che 1 e 2 sono simmetriche rispetto al punto medio M del segmento che congiunge i vertici di 1 e 2 .
d. Scrivi una isometria diversa dalla simmetria di centro M che trasforma 1 in 2 .
[a. 1 : y ¼ 2x2 2x þ 2; b. 2 : y ¼ 2x2 2x; d. si può considerare per esempio la trasformazione
dove è la simmetria rispetto all’asse x e è la traslazione che trasforma la simmetrica di 1
rispetto all’asse x nella parabola 2 ]
438
Þ
Determina le equazioni delle due parabole 1 e 2 , sapendo che:
a. 1 e 2 sono simmetriche rispetto al punto Pð2, 1Þ;
b. 1 passa per l’origine e 2 passa per il punto Qð0, 10Þ;
c. la retta di equazione x ¼ 2 interseca 1 e 2 , rispettivamente, in due punti A e B tali che AB ¼ 2.
3 2
3 2
2
2
1 : y ¼ x þ 2x, 2 : y ¼ x 6x þ 10 oppure 1 : y ¼ x þ 4x, 2 : y ¼ x 8x þ 10
2
2
j2 xj, traccia il suo grafico e determina l’equazione della retta parallela
16
.
½y ¼ 2
all’asse x che individua, con il grafico della funzione f , un triangolo mistilineo di area
3
439
Þ
Data la funzione f definita da y ¼
453
Le coniche
Tema C
440 Considera un triangolo isoscele ABC, in cui la base AB misura 6 e i lati obliqui AC e BC misurano 5. Riferito il
Þ
triangolo a un opportuno sistema di riferimento cartesiano, scrivi l’equazione della parabola che ha vertice nel
punto medio dell’altezza del triangolo relativa alla base AB e che passa per A e per B. Verifica che:
a. la parabola è tangente alle rette AC e BC in A e B;
_
b. condotta da un punto P appartenente all’arco AB di parabola la tangente alla parabola stessa e indicati
rispettivamente con Q ed R i suoi punti di intersezione con i lati AC e BC, la misura del segmento Q 0 R0 è
costante al variare di P, essendo Q 0 ed R0 le proiezioni di Q ed R sulla retta AB.
Rispetto a un sistema di riferimento in cui Að3, 0Þ; Bð3, 0Þ e Cð0, 4Þ, la parabola ha equazione
2
y ¼ x 2 þ 2 e Q 0 R0 ¼ 3
9
441 Considera la funzione di equazione y ¼ a x, con a > 0. Determina a in modo che l’area della regione finiÞ
pffiffiffi
ta limitata dal grafico di questa funzione e dagli assi cartesiani sia 4 6. In corrispondenza del valore di a trovato,
traccia il grafico della funzione e scrivi l’equazione della retta t; tangente al grafico della funzione nel suo punto di
intersezione con il semiasse positivo delle y. Determina l’area del triangolo mistilineo limitato dal grafico della
pffiffiffi
funzione f , dalla retta tangente e dall’asse x.
pffiffiffi
pffiffiffi
6
a ¼ 6; tangente: y ¼ x þ 6; Area ¼ 2 6
12
442
Þ
Siano A e B (xA < xB ) i punti base del fascio di parabole di equazione y ¼ ax2 3ax þ 2a þ 1.
Determina quale relazione deve sussistere fra i parametri a1 , a2 affinché le parabole corrispondenti a tali valori del
parametro:
a. abbiano in A tangenti perpendicolari;
b. siano simmetriche rispetto alla retta AB.
Determina la coppia di parabole del fascio che soddisfa sia la condizione a sia la condizione b.
[Punti base: Að1, 1Þ, Bð2, 1Þ; a. a1 a2 ¼ 1, b. a1 þ a2 ¼ 0; y ¼ x2 3x þ 3, y ¼ x2 þ 3x 1]
Risolvi i seguenti esercizi di riepilogo su parabola e circonferenza.
Considera i punti Oð0, 0Þ e Að1, 1Þ. Determina il vertice B del triangolo rettangolo OAB, di ipotenusa OB,
1
sapendo che il punto B appartiene alla retta passante per O e avente coefficiente angolare .
2
443
Þ
Scrivi l’equazione della parabola, avente asse parallelo all’asse y, passante per A, B e O, e l’equazione della circonferenza circoscritta al triangolo OAB.
Verifica che la parabola e la circonferenza sono tangenti in A, cioè hanno in A la medesima retta tangente.
1 2
1
1
2
2
Bð4, 2Þ; y ¼ ðx 3xÞ; x þ y 4x 2y ¼ 0; tangente in A: y ¼ x 2
2
2
Dal grafico all’equazione. Data la figura, determina l’equazione della circonferenza 1 e quella della parabopffiffiffi
la 2 , sapendo che il raggio di 1 è 2, il triangolo OAB è equilatero e il triangolo AVB ha area 6 3.
444
Þ
y
V
γ2
B
A
γ1
O
x
½1 : x2 þ y 2 4y ¼ 0; 2 : y ¼ 2x2 þ 9
454
Risolvi i seguenti esercizi.
446
Þ
Parabola
a. Scrivi l’equazione della parabola 1 avente asse coincidente con l’asse x e passante per Að1, 1Þ e per Bð4, 2Þ.
b. Scrivi l’equazione della parabola 2 , avente asse parallelo all’asse y, passante per A, per B e per l’origine degli
assi cartesiani.
c. Determina gli ulteriori punti di intersezione C e D ( xC > xD Þ di 1 e 2 (oltre ad A e BÞ.
d. Calcola l’area del quadrilatero convesso ABCD e verifica che è inscrivibile in una circonferenza, di cui si
chiede l’equazione.
1
7
a. 1 : x ¼ y 2 ; b. 2 : y ¼ x2 þ x; c. Cð9, 3Þ, Dð0, 0Þ; d. Area ¼ 16; x2 þ y 2 8x þ 6y ¼ 0
6
6
Unità 8
445
Þ
Considera la famiglia di curve di equazione:
3x2 þ ðk þ 1Þy 2 12x 6ky þ k2 k 2 ¼ 0
a. Determina l’equazione della circonferenza della famiglia e rappresentala graficamente.
b. Determina l’equazione della parabola della famiglia e rappresentala graficamente.
c. Stabilisci per quali valori del parametro h la retta di equazione y ¼ x þ h interseca sia la parabola sia la
circonferenza.
d. Determina le aree delle due parti in cui il cerchio che ha come contorno la circonferenza resta diviso dalla
parabola.
1
1
4
4
d. 6 e 2 þ
a. x2 þ y 2 4x 4y ¼ 0; b. y ¼ x2 þ 2x; c. 4 h 2
2
3
3
Considera i punti Að0, 1Þ e Bð3, 4Þ. Determina:
a. l’equazione della parabola passante per A e per B e avente come asse di simmetria la retta di equazione x ¼ 1;
447
Þ
b. l’equazione della circonferenza di diametro AB;
c. l’area del quadrilatero che ha come vertici i punti di intersezione della parabola e della circonferenza.
pffiffiffi
[a. y ¼ x2 2x þ 1; b. x2 þ y 2 3x 5y þ 4 ¼ 0; c. 3 5]
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
448 Traccia il grafico della funzione definita da y ¼
jx 1j. Determina le equazioni delle rette tangenti a f nei
Þ
suoi punti di ascissa 0 e 2. Scrivi quindi le equazioni delle circonferenze tangenti a queste due rette e aventi il cen-#
tro sulla retta di equazione y ¼ x þ 2.
1
1
3 2
1 2 5
þ y
¼
y ¼ 1 x, y ¼ x; ðx 1Þ2 þ ðy 3Þ2 ¼ 5; x þ
2
2
2
2
4
Considera la circonferenza di equazione x2 þ y 2 5x y þ 4 ¼ 0.
3 5
,
ed Rð0, 2Þ è tangente a .
a. Verifica che la retta passante per P
2 2
b. Determina il vertice Q del triangolo PQR circoscritto a , verificando che tale triangolo è rettangolo.
c. Scrivi l’equazione della circonferenza circoscritta al triangolo PQR.
d. Scrivi l’equazione della parabola, con asse parallelo all’asse x, passante per i punti di contatto di con i lati
del triangolo PQR.
e. Determina per quali valori di a 2 R il punto Pð3 2a, 1 aÞ è interno al triangolo PQR.
1
1
15 1
a. PR: y ¼ 3x 2; b. RQ: y ¼ x 2; QP: y ¼ x þ 3; Q
;
,
3
3
2
2
3
6
2
2
2
c. 2x þ 2y 15x þ 3y 2 ¼ 0; d. punti di contatto: ð1, 1Þ, ð3, 1Þ, ð3, 2Þ; x ¼ y y þ 1; e. < a <
5
5
449
Þ
Considera il fascio di circonferenze di equazione x2 þ y 2 ðk þ 2Þx þ k þ 3 ¼ 0.
a. Studia le caratteristiche del fascio, determinando in particolare gli eventuali punti base, l’asse radicale e la
retta dei centri.
b. Determina l’equazione della circonferenza del fascio passante per Að4, 1Þ e le coordinate dei vertici B e
CðxB < xC Þ del triangolo equilatero ABC inscritto in .
c. Scrivi le equazioni delle parabole aventi vertice nell’origine e asse verticale, passanti per i punti di di ascissa
uguale a 2, indicando con quella avente la concavità rivolta verso l’alto.
d. Verifica che la parabola e la circonferenza sono tangenti nel punto ð2, 1Þ, ossia hanno in tale punto la
stessa retta tangente, di cui devi determinare l’equazione.
a. Fascio privo di punti base, asse radicale: x ¼ 1, retta dei centri: asse x; b. x2 þ y 2 6x þ 7 ¼ 0;
pffiffiffi
pffiffiffi 5 3 1 3
5þ 3 1þ 3
1 2
,
,
B
,C
; c. y ¼ x ; d. y ¼ x 1
2
2
2
2
4
450
Þ
455
Le coniche
Tema C
f ðxÞ ¼ ax x2 e gðxÞ ¼ b x
451
Þ
a. Determina i valori di a e di b in modo che i grafici di f e di g intersechino entrambi l’asse x nel punto di
coordinate ð4, 0Þ.
b. Traccia i grafici delle due funzioni f e g.
c. Determina l’area della regione finita di piano limitata dai grafici di f e di g e dall’asse y.
d. Determina la retta r tangente al grafico di g nel suo punto di intersezione con l’asse y.
e. Determina la retta tangente al grafico di f , parallela alla retta r.
pffiffiffiffiffiffi
16
1
1
17 1
a. a ¼ b ¼ 4; c. 2 þ
; d. y ¼ x 2; e. y ¼ x þ
3
4
4
2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
f ðxÞ ¼ a þ 2x x2 e gðxÞ ¼ x2 þ bx þ c
452
Þ
a. Determina il valore del parametro a in modo che la semicirconferenza grafico della funzione f sia tangente
alla retta di equazione y ¼ 3. Traccia il grafico della funzione corrispondente al valore di a trovato, indicando
con A e B ðxA < xB Þ i punti di intersezione di tale grafico con l’asse x e con C il punto del grafico di ordinata
massima.
b. Determina i valori dei parametri b e c in modo che il grafico della funzione g intersechi l’asse x nei punti A e B.
c. Determina l’area della regione finita di piano limitata dai grafici delle due funzioni f e g.
d. Sia r la retta tangente al grafico di f in C e siano s e t, rispettivamente, le rette tangenti al grafico di g in A e B.
Scrivi le equazioni delle rette r, s, t e determina l’area del triangolo individuato da queste tre rette.
9
147
a. a ¼ 8, Að2, 0Þ, Bð4, 0Þ, Cð1, 3Þ; b. b ¼ 2, c ¼ 8; c. 36 þ
; d.
2
2
Esercizi di approfondimento
453
Þ
Considera la funzione f definita da y ¼
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
jxjx 2x þ 1.
a. Tracciando i grafici delle funzioni: y ¼ jxjx e y ¼ 2x 1 , risolvi graficamente la disequazione jxjx 2x 1 e
deduci il dominio di f .
b. Traccia il grafico di f .
c. Determina la retta t tangente al grafico di f nel suo punto P di ascissa 2 e scrivi l’equazione della parabola,
avente asse parallelo all’asse x, passante per l’origine e tangente in P a t.
pffiffiffi
[a. x 1 2; c. t: y ¼ x þ 3, x ¼ 3y 2 5y]
454 Determina l’equazione della parabola, con asse parallelo all’asse y, che soddisfa le condizioni indicate. AttenÞ
zione: alcuni casi sono impossibili e altri indeterminati!
a. passa per i punti Að1, 0Þ, Bð0, 1Þ, Cð2, 5Þ
b. passa per i punti Að0, 2Þ e Bð2, 2Þ e ha come asse la retta x ¼ 1
c. ha vertice in Vð1, 3Þ e come asse la retta x ¼ 2
d. passa per i punti Að0, 2Þ e Bð2, 3Þ e ha come asse la retta x ¼ 1
e. ha vertice in Vð1, 3Þ e passa per Að0, 2Þ
[Solo due problemi sono determinati; uno ha come soluzione la parabola di equazione y ¼ 2x2 x 1
e l’altro ha come soluzione la parabola di equazione y ¼ x2 þ 2x þ 2]
455
Þ
Risolvi i seguenti quesiti.
a. Scrivi l’equazione della parabola , sapendo che ha la concavità rivolta verso il basso, passa per l’origine e per
il punto Pð4, 0Þ ed è tale che il lato del quadrato inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola e
dall’asse x misura 2.
b. Studia il fascio di parabole di equazione:
y ¼ kx2 þ
8
x 6 9k
3
determinando in particolare i punti base e la retta del fascio.
c. Stabilisci se la parabola appartiene al fascio.
2 2
8
a. : y ¼ ðx 4xÞ; b. punti base: ð3, 2Þ, ð3, 14Þ, retta del fascio: y ¼ x 6; c. appartiene al fascio
3
3
456
Unità 8
Parabola
8
se x < 0
< 2x
456 Traccia il grafico della funzione f cosı̀ definita: y ¼
e indica con t la retta tangente
Þ
: 1 ðx2 2xÞ se x 0
2
a f nel suo punto di intersezione con l’asse x diverso dall’origine. Sia P un punto di f di ascissa x e H la proiezione
pffiffiffi
di P su t; posto y ¼ 2 PH, esprimi y in funzione di x e traccia il grafico della funzione ottenuta.
8
se x < 0 < jx þ 2j
t : y ¼ x 2; y ¼
: 1 ðx 2Þ2 se x 0
2
Un triangolo equilatero ABC, i cui vertici appartengono alla parabola di equazione y ¼ x2 3x þ 2, ha il lato
AB (xA < xB Þ parallelo alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante. Determina le coordinate di A, B e C.
pffiffiffi
pffiffiffi
pffiffiffi
pffiffiffi
½Að1 3; 3 þ 3Þ, Bð1 þ 3, 3 3Þ, Cð4, 6Þ]
457
Þ
Nel triangolo rettangolo ABC, di ipotenusa BC, è BC ¼ 5 e AB ¼ 3. Sia D il punto in cui la bisettrice di ABbC interseca il cateto AC. Sul segmento BD, considera un punto P la cui distanza da AB (o da BC) è uguale a x; per quale
valore di x è minima la somma dei quadrati delle distanze di P dai vertici del triangolo ABC?
3
16
2
2
2
Posto y ¼ PA þ PB þ PC , si ricava che y ¼ 15x2 32x þ 34, con 0 x ; minimo per x ¼
2
15
458
Þ
Esercizi dalle gare di matematica e in inglese
Considera la parabola grafico della funzione f ðxÞ ¼ ax2 þ bx þ c, con a, b, c numeri interi non nulli. Quale
delle seguenti eventualità non può verificarsi?
459
Þ
A
B
C
D
E
La parabola interseca l’asse x in un solo punto di ascissa positiva.
La parabola interseca l’asse x in un solo punto di ascissa negativa.
La parabola interseca l’asse x in un solo punto di ascissa razionale.
La parabola interseca l’asse x in un solo punto di ascissa irrazionale.
La parabola non interseca l’asse x in alcun punto.
(High School Mathematics Competition, University of Maryland 2000)
I due punti A e B appartengono alla parabola di equazione y ¼ 4x2 þ 7x 1 e l’origine è il punto medio di AB.
Qual è la lunghezza del segmento AB?
pffiffiffi
(High School Math Contest, Texas 2006)
[5 2]
460
Þ
461
Þ
Solve math in English The parabolas y ¼ x2 and y ¼ 2x2 3x þ 2 intersect in the points P and Q. What is the
slope of the straight line through P and Q?
A
1
B
0
C
2
D
3
E
3
[D]
(High School Mathematics Competition, University of Maryland 2004)
462
Þ
Solve math in English For what values of c do the parabolas y ¼ x2 þ x þ 3, y ¼ 2x2 c have exactly one com-
mon point?
(High School Math Contest, Texas 2010)
463
Þ
13
4
Solve math in English Determine the positive value of a such that the parabola y ¼ x2 þ 1 bisects the area of
the rectangle with vertices ð0, 0Þ, ða, 0Þ, ð0, a2 þ 1Þ and ða, a2 þ 1Þ.
(Harvard-MIT Mathematics Tournament 2002)
pffiffiffi
[ 3]
457
Le coniche
Tema C
VERSO L’ESAME
LA PARABOLA
Problemi
1
Þ
a. Scrivi l’equazione della parabola che ha vertice in Vð0, 4Þ e passa per il punto Pð2, 1Þ.
b. Scrivi l’equazione della parabola 0 , simmetrica
di rispetto alla retta di equazione y ¼ 1.
c. Determina l’area della regione finita di piano limitata da e 0 .
d. Determina i vertici del rettangolo di perimetro
massimo inscritto nella regione finita di piano limitata da e 0 .
e. Scrivi l’equazione della circonferenza circoscritta
al rettangolo di perimetro massimo.
2 Considera la funzione y ¼ f ðxÞ ¼
jx þ hj.
Þ
a. Determina i valori di h per cui f ð0Þ ¼ 2 e indica
con f1 la funzione corrispondente al valore di h positivo e con f2 la funzione corrispondente al valore
di h negativo.
b. Traccia i grafici delle due funzioni f1 ed f2 e scrivi
l’equazione di una traslazione che trasforma f1 in
f2 .
c. Determina l’area del triangolo mistilineo limitato
dall’asse x e dai grafici di f1 ed f2 .
d. Una retta parallela all’asse x, di equazione y ¼ t,
con t > 0, incontra il grafico di f1 in A e B, con
xA < xB , e il grafico di f2 in C e D, con xC < xD . Traccia il grafico della funzione gðtÞ ¼ BC, in un sistema
di assi cartesiani in cui t è posto in ascissa, mettendo in evidenza il tratto del grafico che rappresenta il
problema.
e. Determina, se esiste, l’equazione della retta parallela all’asse x per cui AB ¼ BC ¼ CD.
Quesiti
3 Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o
Þ
false: in caso sia vera, spiega perché, altrimenti fornisci
un controesempio.
a. Se due parabole con asse parallelo all’asse y hanno gli stessi punti di intersezione con l’asse x, allora
hanno lo stesso vertice.
b. Se una parabola con asse parallelo all’asse y ha la
concavità rivolta verso l’alto, il vertice nel terzo
quadrante e interseca l’asse y in un punto di ordinata positiva, allora ha due punti (distinti) in comune
con l’asse x, entrambi di ascissa negativa.
Descrivi le caratteristiche del fascio di parabole di
equazione:
4
Þ
y ¼ ða 1Þx2 2x a
individuandone in particolare i punti base.
Scrivi poi l’equazione della parabola del fascio avente per asse di simmetria la retta di equazione x ¼ 3.
Scrivi l’equazione della parabola, simmetrica rispetto all’asse y, tangente alla parabola di equazione
y ¼ x2 3x nel suo punto P di ascissa 2.
5
Þ
in Vð1, 1Þ e come direttrice l’asse x. Determina il punto P della parabola per cui la tangente alla parabola in
P forma con l’asse x un angolo di 135 .
6
Þ
Considera il fascio di circonferenze di equazione
x2 þ y 2 þ 2ðk 4Þx þ 2ðk 4Þy þ 2 k ¼ 0. Dopo aver
verificato che l’equazione del fascio rappresenta una
circonferenza per ogni k 2 R, determina per quale valore di k si ottiene la circonferenza del fascio di raggio
minimo.
7
Þ
Discuti graficamente, al variare del parametro k,
il numero di soluzioni dell’equazione 2 x þ 4 ¼ x þ k.
8
Þ
Traccia il grafico della curva di equazione
jx 4j þ jyj ¼ 5 e determina l’area della regione finita
di piano limitata dalla curva.
9
Þ
2
Dimostra che le rette tangenti a una parabola
condotte da un punto P appartenente alla direttrice
della parabola stessa sono perpendicolari.
10
Þ
Considera una parabola avente fuoco in F e per
direttrice la retta d. Siano A e B due punti della parabola allineati con F; indicati con A’ e B0 i punti simmetrici di A e B rispetto alla direttrice d, dimostra che il quadrilatero ABB0 A0 è circoscrivibile a una circonferenza.
11
Þ
1 2
x x 4,
2
determina l’area del triangolo individuato dalle rette
tangenti alla parabola nei suoi punti di intersezione
con gli assi cartesiani.
12
Þ
Data la parabola di equazione y ¼
458

Parabola: teoria ed esercizi

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