Elaborazione multifrequenza - Dipartimento di Informatica

Teoria dei Segnali – Elaborazione multifrequenza
Valentino Liberali
Dipartimento di Fisica
Università degli Studi di Milano
[email protected]
Teoria dei Segnali – Elaborazione multifrequenza – 22 novembre 2010
Valentino Liberali (UniMI)
Teoria dei Segnali – Elaborazione multifrequenza – 22 novembre 2010
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Contenuto
1
Decimazione
2
Interpolazione
3
Decimazione e interpolazione in più stadi
4
Esempio
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Decimation by an Integer Factor M
DECIMATION := reduction of sampling rate
The new sampling period is T ′ = MT
The new sampling rate is Fs′ = FMs
→ Sampling theorem requires an ANTI-ALIASING FILTER before re-sampling
x(k)
w(k)
h(k)
Fs
y(m)
M
Fs
Anti-aliasing
filter
Sampling rate
compressor
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F' s =
F s /M
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Sampling Rate Reduction
X(f)
-
-F s
1
2
Fs
1
0
2
Fs
Fs f
Fs
Fs f
W (f)
-
-F s
1
2
1
0
Fs
2
Y(f)
-MF'
s
-2F' s
-F' s -
1
2
F' s 0
1
2
F' s F' s
2F' s
MF'
s
f
Typical spectra for decimation by M
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Decimation in Practice
Sampling rate compression is done by taking only one sample out of M.
The remaining M − 1 samples are lost.
A delay z −r in the input sequence x[k] (or in the sequence w [k]) modifies the
output sequence y [m], unless r is an integer multiple of M.
Therefore, decimation is NOT a time-invariant process.
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Interpolation by an Integer Factor L
INTERPOLATION := increase of sampling rate
The new sampling period is T ′ = TL
The new sampling rate is Fs′ =£ LF¤s
In case of “ideal” sampling, x kT
= 0 when k is not an integer multiple of L
L
(zero padding)
→ a SMOOTHING FILTER is required after interpolation
x(k)
L
Fs
Sampling rate
expander
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w(m)
F' s =
L Fs
h(m)
Smoothing
filter
y(m)
F' s =
L Fs
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Sampling Rate Increase
X(f)
x(k)
t
1
0
2
Fs
Fs
2F s
LF
s
f
W (f)
w(m)
t
1
0
2
F' s
F' s f
F' s
F' s f
Y(f)
y(m)
t
1
0
2
Time and frequency representation of interpolation by L
A delay in the input sequence produces the same (delayed) output sequence →
interpolation is time-invariant
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Multistage Decimators
If the decimation ratio can be factored into the product of integer numbers:
M=
I
Y
Mi
i=1
then the decimator can be realized with I independent stages.
STAGE 1
x(k)
h 1(k)
F0
STAGE 2
M1
h 2 (k)
STAGE I
M2
h I(k)
F2 =
F 0 /M 1M 2
F1 =
F 0 /M 1
y(m)
MI
FI =
F 0 /M
Multistage decimator
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Multistage Interpolators
In a similar way, if the interpolation ratio can be factored:
L=
I
Y
Li
i=1
then the interpolator can be realized with I independent stages.
STAGE 1
x(k)
L1
STAGE 2
h 1 (k)
F0
L2
STAGE I
h 2 (k)
LI
F2 =
L 1 L 2F 0
F1 =
L 1F 0
y(m)
h I(k)
FI =
LF 0
Multistage interpolator
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PROs and CONs of multistage
PRO
,
,
,
CON
Simple filter stages with reduced computation
Reduced storage
Reduced finite word-length effects
Increased control structures
Choice of optimum number of stages I
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/
/
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Esempio (1/8)
L’esempio presentato contiene un’immagine tratta dal cartone animato
th
“Duck Dodgers in the 24 12 century”
(in italiano: “Daffy Rogers nel 24◦ secolo e un pezzo e mezzo”), prodotto dalla
Warner Bros nel 1953 ed interpretato da una grande star del cinema d’animazione:
Daffy Duck.
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Esempio (2/8)
immagine a colori di 480 × 640 pixel
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Esempio (3/8)
Un’immagine è una matrice di pixel.
Ogni pixel è costituito da una terna di numeri interi che indicano il contenuto di
ciascuno dei tre colori primari rosso, verde e blu (in inglese: RGB = Red, Green,
Blue).
In pratica, un’immagine può essere pensata come una matrice tridimensionale a
tre “strati”: ogni strato contiene le informazioni su un colore.
Solitamente, ciascun colore è codificato con 8 bit senza segno, e assume i valori
da 0 (totale assenza del colore) a 255 (massima intensità del colore).
(0, 0, 0) = NERO
(0, 255, 0) = VERDE
(255, 255, 0) = GIALLO
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(255, 0, 0) = ROSSO
(0, 0, 255) = BLU
(255, 255, 255) = BIANCO
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Esempio (4/8)
R
G
B
Y
Y = (R + G + B + 1) / 3
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Esempio (5/8)
immagini ridotte a 240 × 320 pixel
senza filtraggio
con filtro a media mobile
L’immagine a sinistra è ottenuta semplicemente eliminando tutti i pixel delle righe
e delle colonne pari.
Nell’immagine a destra, ogni pixel risulta dalla media aritmetica di 4 pixel
dell’immagine originale.
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Esempio (6/8)
immagine a colori di 720 × 960 pixel, con zero-padding
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Esempio (7/8)
immagine a colori di 720 × 960 pixel, con holding
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Esempio (8/8)
immagine a colori di 720 × 960 pixel, con filtro lineare
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