Traccia della lezione del 07/10/2016 - Spiro

LOGICA, INDUZIONE, SOMMATORIE:
Logica (connettivi e tabelle di verità).
Principio di induzione.
Sommatorie (principali proprietà e conteggi classici).
6 pezzi facili
1. I sette dei degli Andali si incontrano per prevedere chi uscirà vincitore dalla guerra
tra i cinque re che si sta per sviluppare. Ad ogni incontro dei sette dei, esattamente
uno tra loro dice il vero, gli altri sei dicono il falso.
Il primo, il Padre, dice: “Vincerà re Ceelvyer Lannister.”
Il secondo, la Madre, dice: “Vincerà re Lewyj Stark.”
Il terzo, il Fabbro, dice: “Vincerà re Beapys Baratheon.”
Il quarto, la Vecchia, dice: “Vincerà re Ceelvyer Lannister.”
Il quinto, la Vergine, dice: “Vincerà re Munry Baratheon.”
Il sesto, il Guerriero, dice: “Vincerà re Beapys Baratheon.”
Il settimo, lo Straniero, dice: “Vincerà re Munry Baratheon.”
Nessuno dei sette dei menziona il quinto re Unton Greyjoy. Qual è il numero totale
delle lettere del nome e del cognome del vincitore?
2. Quante affermazioni vere ci sono nel rettangolo?
In questo rettangolo c’è esattamente una affermazione falsa.
In questo rettangolo ci sono esattamente due affermazioni false.
In questo rettangolo ci sono almeno tre affermazioni false.
In questo rettangolo ci sono al più tre affermazioni false.
3. Ad un convegno all’università di Padova sono presenti sia ingegneri che matematici: i
primi sono mentitori e dicono sempre il falso, mentre i secondi dicono sempre la verità.
Al convegno erano presente esattamente 4029 persone, sedute ad intervalli regolari ad
un immenso tavolo circolare. A un certo punto, ognuno di loro contemporaneamente
puntò il dito accusatore verso le due persone sedute proprio di fronte a sé dal lato
opposto del tavolo ed esclamò: “Quei due sono mentitori!”. Quanti erano, come minimo,
i matematici presenti al convegno?
4. Nello zoo di Tadfield, la ridente cittadina dove inizierà l’Apocalisse, ci sono cinque
scimmie di nome Alberto, Berto, Certo, Derto ed Erto. Sylvier, il curatore dello zoo,
ha insegnato alle scimmie a indossare magliette. Alle scimmie piace molto mostrare
la loro nuova abilità, ma nessuna indosserebbe mai una maglietta di un colore che
detesta: Alberto detesta il rosso e il blu, Berto il verde; Certo detesta il rosso e
il verde, Derto il rosso ed Erto odia il blu e il verde. Sylvier non conosce le loro
avversioni ai colori: ha comprato magliette gialle, blu, verdi e rosse e le ha lasciate
nella loro camera da gioco sperando che ciascuna di loro esca con una maglietta indosso,
come effettivamente accade. Le scimmie si sono appollaiate su un ramo in ordine di
nome: due indossano una maglietta rossa, e la scimmia in maglietta blu è accanto ad
una in maglietta verde. Determinare che colori indossano Berto, Certo, Derto ed Erto,
scrivendo in ordine i codici dei colori indossati, usando il codice seguente: 1=giallo,
2=blu, 3=verde, 4=rosso.
5. Provare che la somma dei primi n quadrati è uguale a
n(n+1)(2n+1)
.
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6. Quanto vale la somma dei valori che assume il polinomio p(x) = 3x2 + 5x + 5 se
x = 0, . . . , 15, x ∈ N?
Federico Fighera
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5 pezzi meno facili
1. Ad un convegno all’università di Padova sono presenti sia ingegneri che matematici: i
primi sono mentitori e dicono sempre il falso, mentre i secondi dicono sempre la verità.
Al convegno erano presente esattamente 4029 persone, sedute ad intervalli regolari ad
un immenso tavolo circolare. A un certo punto, ognuno di loro contemporaneamente
puntò il dito accusatore verso le due persone sedute proprio di fronte a sé dal lato
opposto del tavolo e pronunciò un’affermazione riguardo alle due persone in questione.
Quali tra queste affermazioni possono essere state dette?
(a) Quei due sono ingegneri!
(b) Quei due sono matematici!
(c) Di quei due uno è un matematico ed uno è un ingegnere!
Calcolare per ogni caso il numero minimo di matematici presente al convegno.
2. In una cava su un’isola del Mare Stretto, ci sono 5 scatole parlanti di materiali diversi.
Ogni scatola contiene un numero naturale e dice solo il vero o solo il falso. La scatola
1 è in ferro e dà due informazioni:
• “il numero dentro di me è il quoziente del numero nella scatola 5 e del numero
nella scatola 2”
• “un terzo del numero dentro la scatola 3 è il prodotto di tutti i numeri primi
minori di 15 eccetto uno (di questi numeri primi)”
La scatola 2 è in legno di pino e dà due informazioni:
• “almeno una scatola di metallo dice il falso”
• “il numero nella scatola 1 è minore di 200”
La scatola 3 è in rame e dà due informazioni:
• “il numero dentro di me è la differenza tra il numero nella scatola 5 e il numero
nella scatola 2”
• “il numero dentro la scatola 1 è primo”
La scatola 4 è in legno di noce e dà due informazioni:
• "la scatola 5 dice il falso"
• "il numero nella scatola 3 è divisibile per 11"
La scatola 5 è in piombo e dice
• “il numero nella scatola 1 è minore di 220”
• “tutte le scatole di legno dicono il falso”
Che numero c’è nella scatola 5?
3. Le quattro galassie dell’aldilà hanno tutte lo stesso numero di abitanti, 2496, numerati
da 1 a 2496. Gli abitanti della Galassia del Nord e di quella del Sud parlano spesso
gli uni degli altri. Per n = 1, 2, . . . , 1248,
• Quello del Nord di numero 2n − 1 dice: “Almeno n abitanti della Galassia del Sud
sono cavalieri.”
• Quello del Nord di numero 2n dice: “Almeno n abitanti della Galassia del Sud
sono furfanti.”
Federico Fighera
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e altrettanto dicono quelli del sud sugli abitanti della Galassia del Nord. Gli abitanti
delle altre due galassie tendono invece a parlare dell’aldilà nel suo complesso. Per
n = 1, 2, . . . , 2496,
• Quello dell’Est di numero n dice: “Almeno n abitanti dell’aldilà sono cavalieri.”
• Quello dell’Ovest di numero n dice: “Almeno n abitanti dell’aldilà sono furfanti.”
Premesso che, anche nell’aldilà, un cavaliere dice sempre il vero e un furfante dice
sempre il falso, quanti sono come minimo i cavalieri tra gli abitanti di tutte le galassie?
4. Davanti ai ninja del servizio segreto giapponese, James Bond, agente del SIS (Secret
Intelligence Service), non riesce a trattenere una battuta: «Siete più bassi degli agenti
nel SIS». Colpito nell’orgoglio, Tiger, il capo dei ninja, gli chiede: «Che cosa intendi
dire? Vuoi dire che
1. Ogni ninja è più basso di ogni agente del SIS?
2. Ogni ninja è più basso di qualche agente del SIS?
3. Si possono allineare i ninja e gli agenti del SIS su due file, una di fronte all’altra,
in modo che ogni ninja abbia di fronte un agente del SIS più alto e ogni agente
del SIS abbia di fronte un ninja?
4. Il più alto tra gli agenti del SIS è più alto del più alto dei ninja?
5. Il più basso agente del SIS è più alto di un numero di ninja superiore al numero di
agenti del SIS più bassi del più alto ninja?
6. L’altezza media dei ninja è minore dell’altezza media degli agenti del SIS?»
James non sa che cosa dire, ma si sforza di determinare tutte le coppie di domande
(a, b) con 1 ≤ a ≤ 6 e 1 ≤ b ≤ 6 tali che la risposta “sì” alla prima comporta la risposta
“sì” alla seconda. Quante sono queste coppie?
5. Dimostrare per induzione che ∀n ∈ N, n ≥ 0, x ∈ R, x > −1 è vera la disuguaglianza:
(1 + x)n ≥ 1 + nx.
(Disuguaglianza di Bernoulli)
Federico Fighera
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