Cenni sui moti relativi 1 Generalit`a

Cenni sui moti relativi
F. Demontis
Corsi PAS 2014
Trovate in queste pagine quanto fatto nell’ultima lezione. Vi sarei grato se mi faceste notare gli
errori o i punti in cui la trattazione non dovesse essere chiara.
Buona lettura!!
1
Generalità
Consideriamo due terne trirettangole levogire Ωξηζ e Oxyz l’una in moto rispetto all’altra. Convenzionalmente chiamiamo fissa la terna Ωξηζ e diciamo mobile la terna Oxyz. Sia P un punto
mobile rispetto alle due terne. Nel passare dal riferimento fisso a quello mobile le grandezze cinematiche (per esempio la velocità e l’accelerazione) associate al punto P in generale cambiano. Si
pone quindi il problema di trovare il legame fra tali grandezze qualora il moto di P sia osservato
contemporaneamente da due osservatori (uno solidale alla terna fissa e l’altro solidale a quella mobile). Per risolvere tale problema premettiamo le seguenti definizioni: Si chiama moto assoluto
il moto del punto P rispetto alla terna fissa Ωξηζ, moto relativo il moto del punto P rispetto alla
terna mobile Oxyz e moto di trascinamento il moto rigido della terna mobile rispetto a quella
fissa (cioè il moto dello spazio rigido solidale alla terna mobile rispetto alla terna fissa).
Indichiamo con ~e, f~, ~g i versori degli assi della terna fissa e con ~j1 , ~j2 , ~j3 i versori degli assi
della terna mobile. Siano inoltre ξ(t), η(t), ζ(t) le coordinate del punto P rispetto alla terna fissa
mentre x1 (t), x2 (t), x3 (t) individuino P rispetto alla terna mobile. La dipendenza dal tempo delle
coordinate di P è giustificata dal fatto che esso è in moto rispetto ad entrambe le terne.
Supponiamo che siano date le equazioni del moto relativo di P
x1 = x1 (t), x2 = x2 (t), x3 = x3 (t),
(1)
e che sia assegnato il moto di trascinamento della terna mobile rispetto a quella fissa tramite le
funzioni O(t), ~j1 (t), ~j2 (t), ~j3 (t). L’equazione del moto assoluto di P in forma vettoriale è
P = O + x1~j1 + x2~j2 + x3~j3 ,
(2)
dove x1 , x2 , x3 sono date dalle (1). Proiettando le (2) lungo gli assi della terna fissa si ottengono le
1
x3
P(t)
j3
O
j2
j1
x2
x1
ζ
g
Ω
f
η
e
ξ
Figure 1: Moto del punto P rispetto a due sistemi di riferimento in moto l’uno rispetto all’altro.
equazioni del moto assoluto di P
ξ = α + α1 x1 + α2 x2 + α3 x3 ,
η = β + β1 x1 + β2 x2 + β3 x3 ,
ζ = γ + γ1 x1 + γ2 x2 + γ3 x3 ,
(3a)
(3b)
(3c)
essendo αi , βi , γi (i = 1, 2, 3) i coseni direttori di ~j1 , ~j2 , ~j3 introdotti nelle lezioni precednti. Le
(3) sono molto simili alle equazioni generali di moto di un sistema rigido ma, rispetto ad esse,
x1 , x2 , x3 dipendono dal tempo (essendo date dalle (1)). Quindi, se sono noti il moto relativo di
P e quello di trascinamento, è possibile scrivere esplicitamente le equazioni del moto assoluto di
P . Viceversa, assegnati il moto assoluto e quello di trascinamento, invertendo le (3) si possono
scrivere esplicitamente le equazioni del moto relativo di P .
1.1
Legge di composizione delle velocità e teorema di Coriolis
Denotiamo la velocità e l’accelerazione del punto P rispetto alla terna fissa rispettivamente con ~v (a)
e ~a(a) (il pedice a sta per “assoluto”), mentre la velocità e l’accelerazione del punto P rispetto alla
terna mobile si denoteranno con ~v (r) e ~a(r) (qui il pedice r sta per “relativo”). Infine denoteremo
con ~v (t) e ~a(t) la velocità e l’accelerazione di trascinamento. Per velocità di trascinamento si intende
la velocità di quel punto dello spazio rigido solidale alla terna mobile che, nell’istante considerato,
è sovrapposto al punto P . In maniera analoga si definisce l’accelerazione di trascinamento.
Per stabilire il legame fra velocità assoluta, relativa e di trascinamento deriviamo la (2) rispetto
al tempo e otteniamo
3
3
d(O − Ω) X ~ X d~ji
d(P − Ω)
=
+
ẋi ji +
xi .
dt
dt
dt
i=1
i=1
(4)
dO P3
d~ji
Se consideriamo il quadrinomio
+ i=1 xi
si osserva subito che esso fornisce, istante per
dt
dt
istante, la velocità del punto dello spazio rigido solidale alla terna mobile in moto di trascinamento
rispetto alla terna fissa. Infatti, se, a partire da un certo istante t = t∗ , il punto P si arrestasse
nel suo moto rispetto alla terna Oxyz la (4) darebbe (a partire dall’istante t = t∗ ) la velocità di
un punto le cui componenti sono costanti rispetto alla terna mobile (e quindi tale punto appartiene
allo spazio rigido solidale alla terna Oxyz). Perciò possiamo porre
~v
(t)
3
dO X d~ji
+
=
xi ,
dt
dt
i=1
def
(5)
mentre, per definizione di velocità relativa si ha
def
~v (r) =
3
X
ẋi~ji .
(6)
i=1
Quindi la (4) si può riscrivere come
~v (a) = ~v (r) + ~v (t) .
(7)
L’equazione (7) costituisce il principio dei moti relativi che asserisce che ad ogni istante la velocità assoluta di un punto è la risultante della sua velocità relativa e della sua velocità di trascinamento.
Abbiamo svolto insieme il seguente
Esercizio: Un corso d’acqua, a sponde rettilinee, parallele e distanti l, scorre uniformemente
con velocità costante u parallela alle sponde. Un nuotatore, la cui velocità rispetto alla corrente
ha modulo costante w (w > u), attraversa il fiume e ritorna al punto di partenza seguendo una
traiettoria rettilinea e perpendicolare alle sponde; sia t1 il tempo impiegato. Successivamente egli
percorre un tratto di lunghezza l e quindi ritorna al punto di partenza mantenendosi costantemente
parallelo a una sponda; si denoti con t2 il tempo impiegato. Calcolare il rapporto t1 /t2 .
Piuttosto che riportare la soluzione sottolineo solo che i due riferimenti si possono scegliere in
questo modo: un riferimento “solidale” con una delle due sponde del fiume (riferimento fisso) e un
riferimento “solidale” con la corrente (riferimento mobile). E’ allora chiaro che rispetto al riferimento fisso, per il calcolo del tempo t1 , la velocità assoluta appare come un vettore ortogonale alle
due sponde, mentre la velocità relativa è un vettore “obliquo” (i vettori velocità assoluta, relativa e
della corrente formano un triangolo rettangolo). Per il calcolo del tempo t2 , un osservatore solidale
a una sponda vedrà il vettore velocità assoluta parallelo alle sponde e quindi alla corrente (il verso
sarà concorde o meno con quello di u a seconda che il nuotatore stia facendo il tragitto di andata o
di ritorno verso la posizione da cui è partito); anche la velocità relativa è parallela alle sponde...
Per stabilire il legame fra accelerazione assoluta, relativa e di trascinamento, iniziamo con il
derivare la (4)
3
3
3
X
d2 P
d2 O X ~
d~ji X d2~ji
+
xi 2 .
= 2 +
ẍi ji + 2
ẋi
dt2
dt
dt
dt
i=1
i=1
i=1
(8)
Introducendo la cosiddetta accelerazione complementare (o accelerazione centrifuga composta)
come
def
~a(c) = 2
3
X
i=1
ẋi
d~ji
,
dt
(9)
e poichè, per definizione di accelerazione di trascinamento e relativa, si ha
~a
(t)
3
d2 O X d2~ji
xi 2 ,
= 2 +
dt
dt
i=1
def
~a
(r)
def
=
3
X
ẍi~ji ,
(10)
i=1
possiamo scrivere la (8) nel seguente modo
~a(a) = ~a(r) + ~a(t) + ~a(c) .
(11)
Quest’ultima equazione esprime il teorema di Coriolis: ad ogni istante l’accelerazione assoluta è
la somma vettoriale delle accelerazioni di trascinamento, relativa e complementare.
L’accelerazione complementare si può scrivere in un modo più significativo se si tiene conto
delle formule di Poisson e della definizione di velocità relativa (cioè della (6)). Infatti, si trova
subito:
~a
(c)
3
3
X
X
d~ji
(t)
~
=2
ẋi ω
~ ∧ ji = 2
ω
~ (t) ∧ ẋi~ji
=2
ẋi
dt
i=1
i=1
i=1
!
3
X
= 2~ω (t) ∧
ẋi~ji = 2~ω (t) ∧ ~v (r) ,
def
3
X
(12)
i=1
essendo ω
~ (t) la velocità angolare della terna mobile rispetto a quella fissa (velocità angolare di
trascinamento).
Il teorema di Coriolis mette in evidenza come le accelerazioni di un medesimo punto misurate
in due sistemi di riferimento in moto l’uno rispetto all’altro, siano in generale diverse. Sorge allora
spontanea la curiosità di individuare rispetto a quali classi di sistemi di riferimento l’accelerazione
rimanga invariata. A tale interrogativo risponde il seguente teorema:
Teorema 1.1 Condizione necessaria e sufficiente affinchè l’accelerazione sia invariante nel passaggio da un riferimento in moto rispetto ad un altro è che tale riferimento si muova di moto
traslatorio e uniforme rispetto al primo.
La dimostrazione è per gli appassionati...
Dimostrazione.
caso si ha
Supponiamo che il moto della terna mobile sia traslatorio uniforme. In tal
d2 O ~
= 0.
dt2
Quindi, per la (10) e la (12), l’accelerazione di trascinamento e quella complementare si annullano
e la (11) fornisce ~a(a) = ~a(r) .
Viceversa supponiamo che si abbia ~a(a) = ~a(r) per ogni moto di P . Per la (11) deve quindi
aversi
ω
~ (t) = ~0,
3
2
X
d2~ji
~0 = ~a(t) + ~a(c) = d O +
x
+ 2~ω (t) ∧ ~v (r) .
i
2
dt2
dt
i=1
(13)
Si osservi che la velocità di trascinamento dipende solo dalla posizione del punto P e non dal moto
relativo di P , perciò ~a(t) e ~a(c) sono ambedue (separatamente) nulle, cioè:
 2
d2~ji ~
 d O P3
x
+
= 0,
i
i=1
2
(14)
dt2
 dt
(t)
(r)
~
ω
~ ∧ ~v = 0.
La seconda di queste due equazioni deve essere soddisfatta per ogni moto di P , ovvero per qualunque
valore di ~v (r) e, conseguentemente, essa è equivalente alla condizione ω
~ (t) = ~0. Quindi il moto è
traslatorio. Inoltre, tenendo conto delle formule di Poisson e della formula fondamentale dei corpi
rigidi (v P = v O + ω ∧ (P − O)), possiamo riscrivere l’espressione dell’accelerazione di trascinamento nel seguente modo:
~a
(t)
3
3
d2 O X d2~ji
d2 O X d(~ω (t) ∧ ~ji )
= 2 +
xi 2 = 2 +
xi
dt
dt
dt
dt
i=1
i=1
3
~ (t) ∧ (P − O)
d2 O X d ω
= 2 +
dt
dt
i=1
3
3 X
d
d2 O X ˙ (t)
(t)
ω
~ ∧ (P − O) +
ω
~ ∧ (P − O) .
= 2 +
dt
dt
i=1
i=1
(15)
Se ora si tiene conto della prima delle (15) e che ω
~ (t) = ~0, si trova
~a(t) =
d2 O ~
= 0,
dt2
(16)
e questo assicura che il moto della terma mobile rispetto alla terna fissa oltre che traslatorio è anche
uniforme.