sistemi a tempo discreto - Automazione@ingre

CONTROLLI DIGITALI
Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica
SISTEMI A TEMPO DISCRETO
Ing. Cristian Secchi
Tel. 0522 522235
e-mail: [email protected]
http://www.dismi.unimo.it/Members/csecchi
Richiami di Controlli Automatici
Il comportamento ingresso-uscita dei sistemi a tempo continuo può
essere descritto da equazioni differenziali, che in generale hanno la
forma:
Molti sistemi di interesse possono essere descritti da equazioni
differenziali lineari a parametri concentrati caratterizzate dalla seguente
forma semplificata.
I sistemi descritti da queste equazioni sono detti sistemi
Lineari Tempo Invarianti (LTI).
Se il sistema che si sta modellando è caratterizzato da un solo ingresso e
una sola uscita, si parlerà di sistemi single input single output (SISO).
Cristian Secchi
Cristian Secchi
CD02 -- 2
Pag. 1
Richiami di Controlli Automatici
Nel corso di Controlli Automatici sono stati trattati sistemi LTI SISO.
E’ possibile passare da una rappresentazione nel dominio dei tempi a
una nel dominio complesso e viceversa tramite le operazioni di
Trasformata e Antitrasformata di Laplace.
Il vantaggio principale nel passare al dominio complesso è che
un’equazione differenziale viene trasformata in un’equazione algebrica più
semplice da gestire.
Cristian Secchi
CD02 -- 3
Richiami di Controlli Automatici
Un sistema LTI-SISO può essere descritto nel dominio complesso tramite
una Funzione di Trasferimento.
La rappresentazione mediante funzione di trasferimento è molto
“comoda” e ha consentito di sviluppare un’analisi approfondita
del comportamento del sistema, un’analisi delle specifiche e
svariate tecniche per il progetto di controllori.
Cristian Secchi
Cristian Secchi
CD02 -- 4
Pag. 2
Richiami di Controlli Automatici
Lo schema di controllo finale è:
r(t)
e(t)
-
Gc(s)
u(t)
Gp(s)
y(t)
Sia il plant che il controllore sono rappresentati da funzioni di trasferimento
e, quindi, sono sistemi a tempo continuo. Ma l’azione di controllo deve
essere implementata su un calcolatore che è un sistema a tempo
discreto
discreto…
Occorre sviluppare un framework per la modellazione dei sistemi discreti in
modo da poter costruire un’azione di controllo che sia implementabile su di
un sistema a microprocessore.
CD02 -- 5
Cristian Secchi
Descrizione di Sistemi a tempo discreto
SISTEMI
TEMPO-CONTINUI
TEMPO-
SISTEMI
TEMPO-DISCRETI
TEMPO-
Equazioni
differenziali
Equazioni alle
differenze
Trasformata di
Laplace
Cristian Secchi
Cristian Secchi
A/D
D/A
Trasformata Z
CD02 -- 6
Pag. 3
Equazioni alle differenze
Si supponga di voler elaborare una sequenza di dati discreti ek=e(kT), con
k=0,1,2,…, per ottenere una sequenza uk=u(kT).
El b
Elaborazione
i
In generale:
Se la funzione f() è lineare e dipendente solo da un valore finito di valori
passatii di uk ed
d ek, l’elaborazione
l’ l b
i
può
ò essere rappresentata da:
d
equazione lineare alle differenze di ordine n
CD02 -- 7
Cristian Secchi
Equazioni alle differenze
Come per le equazioni differenziali lineari, esiste un metodo per trovare la
soluzione in forma chiusa di un’equazione alle differenze lineare. Tuttavia,
nell’ambito dei controlli digitali, ci interesserà molto di più ottenere una
forma ricorsiva :
μp
ek
uk
Memoria
uk-1
uk-2
uk-3
…
uk-n
ek-1
ek-2
ek-3
…
uk-m
Ad ogni istante k, dato un ingresso ek è possibile calcolare, usando i dati
in memoria, l’uscita uk.
Cristian Secchi
Cristian Secchi
CD02 -- 8
Pag. 4
La trasformata Z
La trasformata Z è un metodo utilizzato per studiare i sistemi discreti.
Essa rappresenta essenzialmente l'analogo della trasformata di Laplace
per i sistemi continui.
DEFINIZIONE: Sia data una sequenza di valori xk ∈ R,
R definita per k =
0, 1, 2,… e nulla per k < 0. La Z-trasformata (unilatera) della sequenza
xk è la funzione di variabile complessa z definita come:
La Z-trasformata è definita in una regione del piano complesso z
detta dominio di convergenza, cioè nell'insieme dei punti z per i quali la
serie converge.
Cristian Secchi
CD02 -- 9
La trasformata Zeta
Nel caso in cui la sequenza di valori xk sia ottenuta campionando
uniformemente con periodo T un segnale continuo descritto dalla funzione
x(t), t ¸ 0, si avrà che xk = x(kT) (o più semplicemente xk = x(k), k = t/T
= 0, 1, 2, … ) e corrispondentemente si scriverà
DIPENDE DAL PERIODO (T) DI
CAMPIONAMENTO
Cristian Secchi
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CD02 -- 10
Pag. 5
La ZZ-trasformata
Nell’ambito dei controlli digitali, X(z) avrà spesso un’espressione razionale
fratta:
p1, p2, …, pn sono i poli di X(z) mentre z1,zz2,…,zzm sono gli zeri di X(z)
Cristian Secchi
CD02 -- 11
La ZZ-trasformata
Raccogliendo zn sia al numeratore che al denominatore si ottiene una
rappresentazione più utilizzata nelle applicazioni controllistiche in cui
compaiono solo potenze di z-1:
Cristian Secchi
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CD02 -- 12
Pag. 6
La ZZ-trasformata – Funzioni elementari
•
Impulso discreto unitario. Sia data la funzione, detta anche
funzione delta di Kronecker δ0(t):
•
Gradino unitario. Sia data la funzione
Serie convergente per |z| > 1
Cristian Secchi
CD02 -- 13
La ZZ-trasformata – Funzioni elementari
•
Rampa unitaria. Si consideri la funzione rampa unitaria:
Poichè x(kT) = kT, k = 0, 1, 2, …, la Z-trasformata è
Serie convergente per |z| > 1
Cristian Secchi
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CD02 -- 14
Pag. 7
La ZZ-trasformata – Funzioni elementari
•
Funzione potenza ak. Sia data la funzione:
a costante reale o complessa
Dalla definizione si ha
Serie convergente per |z| > a
Cristian Secchi
CD02 -- 15
La ZZ-trasformata
Le trasformate delle funzioni di maggior interesse sono solitamente
riportate in tabelle che vengono consultate per la determinazione di Ztrasformate di funzione generiche, in modo analogo a quanto avviene per
le tabelle delle trasformate di Laplace.
Tramite le tabelle si possono determinare le Z-trasformate di funzioni di
maggior complessità, scomponendo tali funzioni in somme di funzioni più
semplici e ricomponendo successivamente le corrispondenti Z-trasformate.
Esempio: Determinare la Z-trasformata di
Cristian Secchi
Cristian Secchi
CD02 -- 16
Pag. 8
Tabelle delle ZZ-Trasformate
Cristian Secchi
CD02 -- 17
Tabelle delle ZZ-Trasformate
Cristian Secchi
Cristian Secchi
CD02 -- 18
Pag. 9
La ZZ-trasformata
•
•
•
Dato un segnale x(t) e il periodo di campionamento T, si ottiene una
unica X(z)
A una X(z) possono corrispondere molte funzioni continue x(t)
Questa ambiguità non sussiste se sono verificate le condizioni
restrittive
est itti e ssu T del teo
teorema
ema di Shannon
2
1 .8
1 .6
1 .4
y 0, y 1
1 .2
1x
x
x
x
x
x
2
4
6
t (s)
8
10
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
0
0
12
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CD02 -- 19
Teoremi e propriet
proprietà
à principali
•
Linearità: La Z trasformata è un operatore lineare
Cristian Secchi
Cristian Secchi
CD02 -- 20
Pag. 10
Teoremi e propriet
proprietà
à principali
•
Teorema della traslazione nel tempo: Sia dato un segnale x(t),
nullo per t<0, e sia X(z) = Z[x(t)]. Per n = 0, 1, 2, … si ha che:
ritardo
anticipo
In pratica spesso si scrive, con un certo abuso di notazione:
Cristian Secchi
Ingegneria e Tecnologie dei
Sistemi di Controllo
CD02 -- 21
Teoremi e propriet
proprietà
à principali
Teorema del valore iniziale: Se X(z) = Z[x(t)] ed esiste
allora il valore iniziale x(0) di x(t) è dato da:
Infatti si ha che:
Cristian Secchi
Cristian Secchi
Ingegneria e Tecnologie dei
Sistemi di Controllo
CD02 -- 22
Pag. 11
Teoremi e propriet
proprietà
à principali
Teorema del valore finale: Sia X(z) = Z[x(t)] e siano tutti i poli di X(z)
entro al cerchio unitario, con al più un polo semplice in z =1. Allora il
valore finale di x(k), cioè il valore di x(k) per k!1 è dato da:
Cristian Secchi
CD02 -- 23
Teoremi e propriet
proprietà
à principali
•
Esempio: Si consideri il segnale descritto da
X(kT) = 0, 0.5000, 1.2500, 1.6250, 1.8125, 1.9063, 1.9531, 1.9766, 1.9883,
1.9941, 1.9971, 1.9985, 1.9993, 1.9996, 1.9998, 1.9999, 2.0000, 2.0000, ….
(T = 1 sec)
Cristian Secchi
Cristian Secchi
CD02 -- 24
Pag. 12
Teoremi e propriet
proprietà
à principali
•
Differenziazione complessa
Da cui si deduce che:
Questa relazione permette di calcolare Z-trasformate di funzioni a partire
da Z-trasformate già note.
Cristian Secchi
CD02 -- 25
Teoremi e propriet
proprietà
à principali
Esempio: Gradino unitario. La Z-trasformata del gradino unitario è
Si può usare il teorema della differenziazione complessa per calcolare la
Z-trasformata della rampa unitaria x(kT) = kT:
Cristian Secchi
Cristian Secchi
CD02 -- 26
Pag. 13
Teoremi e propriet
proprietà
à principali
Integrazione complessa: Si consideri la sequenza
dove x(k)/k è finito per k=0 e sia Z[x(k)]=X(z). La Z-trasformata di
x(k)/k è data da:
Cristian Secchi
CD02 -- 27
Teoremi e propriet
proprietà
à principali
Teorema della convoluzione reale: Siano date due funzioni x1(t) e
x2(t), con x1(t) = x2(t) = 0 per t< 0, e siano X1(z) e X2(z) le
corrispondenti Z-trasformate. Allora:
Cristian Secchi
Cristian Secchi
CD02 -- 28
Pag. 14
La antitrasformata Z
X(z)
x(k)
La relazione tra X(z) e x(k) è biunivoca: è possibile ottenere la sequenza
di dati x(k) a partire dalla X(z) e viceversa.
L’antitrasformata Z permette di passare da una Z-trasformata X(z)
alla corrispondente sequenza x(k).
Esistono diversi metodi per antitrasformare una funzione X(z)
•
•
•
•
Metodo della lunga divisione
Metodo computazionale
Metodo della scomposizione in fratti semplici
Metodo dell’integrale di inversione
CD02 -- 29
Cristian Secchi
La antitrasformata Z
x(k)
x(t)
La corrispondenza tra la sequenza campionata xk e il segnale originale
x(t) NON è biunivoca. Se è soddisfatto il Teorema di Shannon sul
campionamento, la funzione continua x(t) può essere determinata
univocamente a partire dalla sequenza xk.
2
1 .8
1 .6
1 .4
y 0, y 1
1 .2
1
x
x
x
0
2
4
x
x
x
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
0
Cristian Secchi
Cristian Secchi
6
t (s )
8
10
12
CD02 -- 30
Pag. 15
La antitrasformata Z – Il metodo computazionale
Si consideri ad esempio la seguente Z trasformata:
Essa può essere riscritta come:
D
Dove
U(
U(z)) è lla Z-trasformata
Zt f
t d
dell’impulso
ll’i
l unitario
it i discreto
di
t e vale
l 1
Cristian Secchi
CD02 -- 31
La antitrasformata Z – Il metodo computazionale
Considerando l’operatore z-1 come un ritardo unitario possiamo riscrivere
l’espressione precedente sotto forma di equazione alle differenze:
da cui
Le condizioni iniziali, necessarie per risolvere l’equazione alle differenze, sono:
Cristian Secchi
Cristian Secchi
CD02 -- 32
Pag. 16
La antitrasformata Z – Il metodo computazionale
La soluzione dell’equazione alle differenze ci dà i termini della sequenza
x(kT)
Il vantaggio di questo metodo è che l’equazione alle differenze da
risolvere per trovare la sequenze può essere facilmente scritta in forma
ricorsiva in qualsiasi linguaggio di programmazione.
Cristian Secchi
CD02 -- 33
La antitrasformata Z – fratti semplici
E’ l’analogo nel discreto della tecnica della scomposizione in fratti semplici
utilizzate con le trasformate di Laplace. Infatti, poichè la Z-trasformata è un
operatore lineare, è possibile scomporre l'espressione di una X(z) in
termini elementari, dai quali si può ricavare l'antitrasformata tramite
tabelle, e sommare i vari elementi cosìì ottenuti.
In gerale, sia data una Z-trasformata:
Per prima cosa occorre calcolare i poli, le radici del polinomio A(z) e riscrivere
X(z) come:
Cristian Secchi
Cristian Secchi
CD02 -- 34
Pag. 17
La antitrasformata Z – fratti semplici
CASO 1: Tutti i poli di X(z) sono semplici
In questo caso si pone:
dove i coefficienti ci sono detti residui e sono dati da:
Cristian Secchi
CD02 -- 35
La antitrasformata Z – fratti semplici
•
Se in X(z) vi è almeno uno zero nell’origine, si usa X(z)/z:
•
Quando sono presenti poli complessi coniugati, i coefficienti ci sono
anch'essi complessi. In questo caso si ricorre alle formule di Eulero
per ottenere funzioni trigonometriche a coefficienti reali.
L’espressione della sequenza x(k) è in forma chiusa ed è data da:
Cristian Secchi
Cristian Secchi
CD02 -- 36
Pag. 18
La antitrasformata Z – fratti semplici
CASO 2 – Vi sono poli multipli in X(z) o in X(z)/z
Siamo nella situazione in cui si ha:
Possiamo scrivere
Dove i residui si calcolano mediante la seguente formula:
Cristian Secchi
CD02 -- 37
La antitrasformata Z – fratti semplici
•
Esempio: Calcolare l'antitrasformata della funzione
•
I due poli risultano z1 = 1 e z2 = 0.6. Inoltre, la X(z) puo` essere scritta come
•
Si utilizza quindi la X(z)/z
da cui
•
Dalle tabelle si ha quindi che
Cristian Secchi
Cristian Secchi
CD02 -- 38
Pag. 19
La antitrasformata Z – fratti semplici
•
Esempio: Antitrasformare la funzione
•
Si ha che
e quindi
e
CD02 -- 39
Cristian Secchi
Funzioni di Trasferimento Discrete
Considereremo sistemi discreti lineari con un ingresso e un’uscita
uk
S
yk
Elaborazione
Discreta
a1 yk + a2 yk −1 + L + an yk − n = b1uk + b2u k −1 + L + bnu k − m
Applicando la Z trasformata ad entrambi i membri e sfruttando la linearità
dell’operatore, si ottiene:
(a1 + a2 z −1 + L + an z − n )Y ( z ) = (b1 + b2 z −1 + L + bn z − m )U ( z )
Cristian Secchi
Cristian Secchi
CD02 -- 40
Pag. 20
Funzioni di Trasferimento Discrete
Y ( z ) (b1 + b2 z −1 + L + bn z − m )
=
G( z) =
U ( z ) (a1 + a2 z −1 + L + an z − n )
G(z) è la funzione di trasferimento del sistema a tempo discreto. Analogamente a
quanto succede per i sistemi tempo continui:
• La sua espressione non dipende dall’ingresso, ma è data dalle proprietà del sistema
• Lega la trasformata Z dell’uscita a quella dell’ingresso tramite Y(z)=G(z)U(z)
• E’ uno strumento molto utile per l’analisi di un sistema discreto e per la sintesi di un
controllore
• E’ razionale fratta e, quindi, molti degli strumenti introdotti per l’analisi dei sistemi
tempo continui possono essere utilizzati, con opportune modifiche, per i sistemi discreti
•Le radici del polinomio al denominatore sono dette poli mentre quelle del polinomio al
numeratore sono dette zeri. L’equazione che si ottiene ponendo uguale a zero il
polinomio al denominatore è detta equazione caratteristica.
CD02 -- 41
Cristian Secchi
Funzioni di Trasferimento Discrete
•
La funzione di trasferimento può essere interpretata come la Ztrasformata della risposta impulsiva
Y ( z ) = G ( z )U ( z ) = G ( z ) Z [δ (k )] = G ( z ) ⋅1 = G ( z )
•
La risposta nel tempo discreto è data dalla sommatoria di
convoluzione tra l’ingresso e la risposta impulsiva del sistema, detta
anche sequenza ponderatrice
y (k ) = Z −1[Y ( z )] = Z −1[G ( z )U ( z )]
Ricordando il teorema della convoluzione reale si ha che:
k
y (k ) = ∑ g hu k − h
h =0
•
Queste proprietà sono analoghe a quelle della funzione di
trasferimento nel dominio di Laplace
Cristian Secchi
Cristian Secchi
CD02 -- 42
Pag. 21
Funzioni di Trasferimento Discrete
E’ possibile rappresentare un sistema a tempo discreto come un blocco
con un ingresso e un’uscita.
U(z)
Y(z)
G(z)
Un sistema discreto può essere rappresentato dall’interconnessione di più
blocchi. Le regole di riduzione per gli schemi a blocchi di sistemi discreti
sono le stesse che valgono per gli schemi a blocchi di sistemi continui
Serie
U(z)
Parallelo
Y(z)
G1(z)
C(z)
G2(z)
Retroazione
U(z) +
G1(z)
U(z)
+
Y(z)
+
G2(z)
G2(z)
U(z)
H(z)
C(z)
H ( z ) = G1 ( z )G2 ( z )
Y(z)
G1(z)
-
U(z)
H(z)
Y(z)
H ( z ) = G1 ( z ) + G2 ( z )
Cristian Secchi
U(z)
H(z)
H ( z) =
Y(z)
G1 ( z )
1 + G1 ( z )G2 ( z )
CD02 -- 43
Stabilità nei sistemi discreti
•
Analogamente al caso tempo continuo, la stabilità di un sistema
tempo discreto è legata alla risposta impulsiva del sistema. Un sistema
discreto si dice:
• Stabile, se la risposta del sistema all’impulso discreto rimane
limitata
• Asintoticamente stabile, se è stabile e la risposta del sistema
converge asintoticamente a 0
• Instabile, se non è stabile
•
Analogamente al caso tempo continuo, la stabilità asintotica e la
stabilità ingresso-limitato uscita-limitata coincidono
•
Nelle applicazioni pratiche si è tipicamente interessati alla asintotica
stabilità
Cristian Secchi
Cristian Secchi
CD02 -- 44
Pag. 22
Stabilità nei sistemi discreti
• Analogamente al caso tempo-continuo, il carattere di convergenza della
risposta impulsiva dipende solamente dalla posizione dei poli della funzione di
trasferimento che rappresenta il sistema tempo discreto. Se il sistema è
descritto da una funzione di trasferimento del tipo:
G( z) =
B ((zz )
A( z )
con A(z) e B(z) primi tra loro
•
•
•
•
Il sistema è asintoticamente stabile se tutte le radici del polinomio A(z), cioè i
poli del sistema, sono entro il cerchio unitario che ha centro nell’origine del
piano z, ossia se |pi|<1 per ogni i
Il sistema è stabile se tutti i poli con modulo unitario (|pi|=1) sono semplici
(ossia hanno molteplicità 1), mentre tutti i rimanenti poli sono entro il cerchio
unitario
Il sistema è instabile se almeno un polo ha modulo strettamente maggiore di
uno oppure se esiste un polo con modulo unitario e molteplicità maggiore di 1
La posizione degli zeri NON influisce sulla stabilità del sistema.
CD02 -- 45
Cristian Secchi
Stabilità nei sistemi discreti - Esempi
G (z) =
Cristian Secchi
Cristian Secchi
1
z − 0 .5
G (z) =
1
z + 0 .5
CD02 -- 46
Pag. 23
Stabilità nei sistemi discreti - Esempi
G (z) =
1
z −1
G (z) =
1
z −1
CD02 -- 47
Cristian Secchi
Stabilità nei sistemi discreti - Esempi
G (z) =
Cristian Secchi
Cristian Secchi
1
z−2
G (z) =
0 .1
( z − 1) 2
CD02 -- 48
Pag. 24
Stabilità nei sistemi discreti
•
L’ uscita del sistema poteva essere ottenuta direttamente
antitrasformando la G(z)
•
Il fatto che la regione di stabilità sia il cerchio unitario, dipende dal
fatto che l’ant
l’antritrasformata
it asfo mata di G(
G(z)) è composta da te
termini
mini in ccuii
compaiono funzioni potenza anziché esponenziali come nel caso
tempo continuo.
CD02 -- 49
Cristian Secchi
Determinazione della stabilità
•
Per determinare la stabilità è sufficiente verificare la posizione delle
radici dell’equazione caratteristica rispetto al cerchio unitario. Se
l’equazione è data da:
z n + a1 z n−1 + L + an = 0
è possibile
•
trovare le radici dell’equazione mediante un programma di analisi
numerica (es. Matlab Æ roots([1 a1,…,an])
•
usare criteri che consentono di determinare la stabilità del sistema
senza dover risolvere l’equazione caratteristica
•
•
Criterio di Routh e trasformazione bilineare
Criterio di Jury (vedi Bonivento-Zanasi-Melchiorri Cap. 4)
Cristian Secchi
Cristian Secchi
CD02 -- 50
Pag. 25
Criterio di Routh
•
Data un’equazione polinomiale di grado n, il criterio di Routh consente
di determinare, senza dover risolvere l’equazione, se tutte le radici
hanno parte reale negativa.
•
Nei sistemi contin
continui,
i ciò è ssufficiente
fficiente per
pe determinare
dete mina e se un
n sistema è
asintoticamente stabile ma questo non è più vero per i sistemi discreti.
•
L’idea è quella di trasformare, mediante una trasformazione bilineare,
la funzione data G(z) in un’altra funzione G(w) di variabile complessa
w tale da permettere l’applicazione a quest’ultima il criterio di Routh.
CD02 -- 51
Cristian Secchi
Criterio di Routh
•
Si utilizza la seguente trasformazione bilineare
z=
w=
z −1
z +1
•
La prima equazione trasforma infatti il cerchio unitario in z nel
semipiano sinistro del piano w (permettendo quindi l’applicazione del
criterio di Routh), mentre la seconda equazione effettua la
trasformazione inversa.
•
Verificare che il sistema G(w) abbia tutti i poli a parte reale negativa
equivale a verificare che il sistema G(z) abbia tutti i poli all’interno del
cerchio unitario e che, quindi, sia asintoticamente stabile.
Cristian Secchi
Cristian Secchi
1+ w
1− w
CD02 -- 52
Pag. 26
Criterio di Routh
Ponendo w=σ+jω, si può facilmente vedere che il cerchio unitario viene
mappato nel semipiano sinistro tramite la trasformazione bilineare
z =
da cui
1 + w 1 + σ + jω
=
<1
1 − w 1 − σ − jω
(1 + σ )2 + ω 2
(1 − σ )2 + ω 2
(1 + σ )2 + ω 2 < (1 − σ )2 + ω 2
<1
σ <0
In modo analogo, è possibile mostrare che i punti sul cerchio unitario
vengono mappati sull’asse immaginario e che i punti esterni al cerchio
unitario vengono mappati nel semipiano destro del piano di Gauss.
CD02 -- 53
Cristian Secchi
Criterio di Routh
Per testare la stabilità di una funzione di trasferimento G(z):
•
Si considera l’equazione caratteristica del sistema
P ( z ) = z n + a1 z n−1 + L + + an −1 z + an = 0
•
Si effettua la trasformazione bilineare per mappare il piano z nel piano w
n
⎛1+ w ⎞
⎛1+ w ⎞
⎟
⎟ + a1 ⎜
⎜
⎝1− w ⎠
⎝1− w ⎠
n −1
⎛1+ w ⎞
+ L + + an −1 ⎜
⎟ + an = 0
⎝1− w ⎠
da cui si ottiene una nuova equazione polinomiale in w
Q( w) = q0 wn + q1w n−1 + L + + qn −1w + qn = 0
Cristian Secchi
Cristian Secchi
CD02 -- 54
Pag. 27
Criterio di Routh
•
in virtù delle proprietà della trasformazione bilineare, radici di Q(w) a
parte reale positiva, nulla, negativa corrispondono rispettivamente a
radici di P(z) a modulo maggiore, uguale, minore di 1. Applicando il
criterio di Routh, si determina la posizione delle radici di Q(w) e, di
conseguenza, la stabilità di G(z).
CD02 -- 55
Cristian Secchi
Esempio
Sia dato un sistema discreto rappresentato da:
G( z) =
z +1
z + 2z 2 + z +1
3
Applicando la trasformazione bilineare all’equazione caratteristica, si ottiene
⎛1+ w ⎞
⎛1+ w ⎞ ⎛1+ w ⎞
Q( w) = ⎜
⎟ + 2⎜
⎟ +⎜
⎟ +1
⎝ 1− w ⎠
⎝1− w ⎠ ⎝1− w ⎠
3
2
da cui
Q( w) = − w3 + 3w2 + w + 5
Cristian Secchi
Cristian Secchi
CD02 -- 56
Pag. 28
Esempio
Applicando il criterio di Routh, si ottiene:
3
-1
1
2
3
5
1
8/3
0
5
da cui si conclude che, essendo presente una sola variazione di
segno in prima colonna, il sistema ha un polo instabile.
Cristian Secchi
CD02 -- 57
Sistemi a tempo discreti
•
Sono definiti in un insieme discreto dei tempi e possono essere
rappresentati da un’equazione alle differenze
•
La trasformata Z è l’analogo discreto della trasformata di Laplace e
consente di defini
definire
e il concetto di ffunzione
n ione di ttrasferimento
asfe imento pe
per i
sistemi discreti.
•
Le regole di interconnessione per i sistemi discreti sono le stesse che
valgono per i sistemi continui
•
La stabilità di un sistema discreto è legata alla molteplicità e alla
posizione dei poli della sua funzione di trasferimento rispetto al
cerchio unitario.
Cristian Secchi
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CD02 -- 58
Pag. 29
CONTROLLI DIGITALI
Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica
SISTEMI A TEMPO DISCRETO
Ing. Cristian Secchi
Tel. 0522 522235
e-mail: [email protected]
http://www.dismi.unimo.it/Members/csecchi
•
mettere dopo il teorema del ritardo:
Il termine z-k è interpretabile come un ritardo
z-k ! ritardo di t = kT
•
Dire quando si parla del metodo computazionale che è quella la
ragione per cui le espressioni razionali fratte vengono espresse in
termini di z-1
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Controlli Digitali
CD02 -- 60
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Soluzione delle equazioni alle differenze
Trovare la soluzione delle equazioni alle differenze è semplice. Basta
conoscere le condizioni iniziali. Si consideri ad esempio:
Condizioni
iniziali:
35
30
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
CD02 -- 61
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Equazione caratteristica
L’ equazione caratteristica (associata all’equazione) è data da
L’equazione alle differenze è instabile. Infatti la soluzione è divergente
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Ingegneria e Tecnologie dei
Sistemi di Controllo
CD02 -- 62
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Soluzione delle equazioni alle differenze
Nel caso generale, si ipotizza che la sequenza soluzione sia nella forma:
q
si ottiene:
Sostituendo la soluzione candidata nell’equazione
Dividendo per czk si ottiene
Poiché l’equazione è lineare, si ha che la combinazione lineare di due
soluzioni è ancora una soluzione. Quindi
è ancora una soluzione
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Sistemi di Controllo
CD02 -- 63
Soluzione delle equazioni alle differenze
Le costanti c1 e c2 si determinano imponendo specifiche condizioni iniziali.
da cui
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CD02 -- 64
Pag. 32
Soluzione delle equazioni alle differenze
L’equazione che si ottiene dopo la sostituzione uk=zk è detta equazione
caratteristica dell’equazione alle differenze.
Se una delle radici dell’equazione caratteristica ha modulo maggiore di 1,
allora la corrispondente equazione alle differenze è instabile (cioè la sua
soluzione divergerà al crescere del tempo per qualsiasi condizione iniziale
finita).
Se tutte le radici dell’equazione caratteristica hanno modulo minore di 1,
allora la corrispondente equazione alle differenze è stabile (cioè la sua
soluzione convergerà a 0 al crescere del tempo per qualsiasi condizione
iniziale finita).
instabile
1
stabile
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CD02 -- 65
La ZZ-trasformata – Funzioni elementari
•
Funzione esponenziale. Sia data la funzione:
a costante reale o complessa
Poichè x(kT) = e-akT, k = 0, 1, 2, …, si ha
Convergente per |z| > e-Re(a)T
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CD02 -- 66
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La ZZ-trasformata – Funzioni elementari
•
Funzione sinusoidale. Sia data la funzione:
Dalle formule di Eulero:
Convergente per |z| > 1
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CD02 -- 67
La ZZ-trasformata – Funzioni elementari
•
Funzione cosinusoidale. Sia data la funzione:
Analogamente a prima, con le formule di Eulero
Convergente per |z| > 1
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CD02 -- 68
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