1 FACOLT`A DI SCIENZE MM.FF.NN. CORSO DI LAUREA IN

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FACOLTÀ DI SCIENZE MM.FF.NN.
CORSO DI LAUREA IN CHIMICA
Chimica Fisica II a.a. 2012-2013
Testo di riferimento: D.A. McQuarrie, J.D.Simon, ‘Chimica Fisica. Un approccio molecolare”, Zanichelli Editore, Bologna 2000.
Possibili domande d’esame: teoria
1. L’effetto fotoelettrico: descrizione dell’esperimento ed interpretazione basata sull’esistenza di fotoni.
2. Radiazione del corpo nero: perché la fisica classica fallisce nella spiegazione
dello spettro? Perché funziona la spiegazione basata sulla ipotesi di Plank
di quantizzazione dell’energia?
3. Il primo postulato della meccanica quantistica. Perché una funzione d’onda deve essere normalizzata? Come si procede per normalizzare una
funzione? Utilizzare come esempio la funzione d’onda che descrive una
particella in una buca di potenziale a pareti infinite.
4. Il principio di indeterminazione di Heisenberg: enunciarlo e spiegare le sue
conseguenze sulla descrizione del moto dei corpi microscopici.
5. Enunciare e commentare il secondo postulato della meccanica quantistica.
Quali operatori conoscete?
6. Enunciare e commentare il terzo postulato della meccanica quantistica.
Che significato hanno gli autovalori e le autofunzioni dell’operatore Hamiltoniano?
7. Il quarto postulato della meccanica quantistica. Calcolare il valore medio
della posizione di una particella in una buca di potenziale a pareti infinite.
8. Come evolve nel tempo la funzione d’onda, quando l’Hamiltoniano non
dipende dal tempo?
9. Che forma ha un operatore Hamiltoniano per un sistema costituito da una
sola particella? Quali potenziali avete visto nel corso di Chimica Fisica
II?
10. Risolvere l’equazione d’onda per una particella in una buca di potenziale
a pareti infinite: definire la forma dell’operatore Hamiltoniano; ricavare
autofunzioni ed autovettori; tenendo conto delle condizioni al contorno,
spiegare l’origine della quantizzazione.
11. Quale forma deve avere l’Hamiltoniano perché l’equazione Schrödinger per
un sistema di N particelle possa essere fattorizzata in N equazioni, ciascuno
nelle coordinate di una sola particella? Che forma hanno le soluzioni
(autovalori ed autofunzioni)?
12. Quando è possibile fattorizzare l’equazione di Schrödinger per sistemi
a due particelle, in cui il potenziale dipenda dalle coordinate delle due
particelle?
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13. L’oscillatore armonico: descrizione del sistema, forma dell’Hamiltoniano.
Quali sono le energie permesse? La differenza di energia fra i livelli dipende
dal numero quantico?
14. Il momento angolare: definizione dell’operatore Hamiltoniano. Modello
vettoriale del momento angolare. Quali sono le energie permesse? Vi sono
livelli degeneri? Che significa “degenerazione di un livello energetico”?
15. Le armoniche sferiche, autofunzioni del momento angolare. Forma delle
funzioni e significato dei numeri quantici, secondo il modello vettoriale.
16. Il rotatore rigido: descrizione del sistema, forma dell’operatore Hamiltoniano. I livelli rotazionali. Quale è la minima energia rotazionale
permessa? La differenza di energia fra livelli dipende dal numero quantico?
17. Separazione del moto interno e del moto traslazionale per fattorizzazione
della soluzione dell’equazione di Schrödinger per gli atomi idrogenoni.
18. L’equazione di Schrödinger per l’atomo di idrogeno: descrizione del sistema, forma dell’Hamiltoniano. Energie permesse. Spiegazione dell’origine
dello spettro a righe dell’idrogeno tenendo conto della soluzione esatta
dell’equazione di Schrödinger.
19. Autofunzioni di un Hamiltoniano idrogenoide (che vuol dire idrogenoide?):
significato dei numeri quantici n, l, m. Descrizione delle funzioni radiali e
delle funzioni angolari.
20. Quali autovalori dell’Hamiltoniano idrogenoide sono degeneri? Che significa “degenerazione” di un livello energetico? Quale è la minima energia
permessa?
21. Il principio di antisimmetria. Forma di una funzione d’onda polielettronica. Come si tiene conto dello spin nella costruzione delle funzioni
monoelettroniche?
22. Lo spin: perché è necessario introdurre un quarto numero quantico per
caratterizzare la funzione d’onda per un elettrone? Quali valori può assumere? Che significa “singoletto” e “tripletto” in un sistema a due
elettroni?
23. Enunciare il teorema variazionale. Perché è utile? Descrivere la procedura
del metodo variazionale.
24. In che consiste il metodo LCAO-MO?
25. Che cosa si intende con ‘simbolo di termine”? A quale effetto è dovuto la
differenza di energia fra vari termini corrispondenti alla stessa configurazione elettronica? Fare un esempio di calcolo dei termini relativi ad una
configurazione elettronica a guscio aperto, con un elettrone (s1,p1, d1).
26. Derivare la configurazione elettronica della molecole di O2 e della molecola
di N2 a partire da quelle degli atomi isolati (fare riferimento ad uno schema
in cui sono riportati i livelli energetici degli atomi isolati e delle molecole),
e spiegare la diversa reattività delle due molecole in base ad essa.
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27. Impostare il calcola della funzione d’onda per la molecola di H2 con il
metodo LCAO-MO, usando come base variazionale la funzione 1s centrata
su ogni atomo di idrogeno.
28. Rappresentare gli orbitali molecolari (graficamente e con simbologia opportuna) che compaiono nello stato fondamentale delle molecole biatomiche omonucleari seguenti: Li2 , B2 , O2 , N2 , F2 .
29. Spiegare perché la molecola BeH2 è lineare e quella di H2 O è angolare.
30. Spiegare perché la molecola BH3 è planare e quella di NH3 non lo è.
Possibili domande d’esame: esercizi
1. Effetto fotoelettrico. La frequenza di soglia del sodio metallico è 4.40·1014
Hz.
a) Quale valore ha la funzione di lavoro f ?
b) Quale è l’energia cinetica degli elettroni estratti da una radiazione di
300 nm? (verificare che l’estrazione possa avvenire)
c) Quale è la lunghezza d’onda di de Broglie degli elettroni emessi?
2. Effetto fotoelettrico. Una superficie pulita di argento irradiata con luce di
lunghezza d’onda 230 nm emette elettroni con energia cinetica 0.805 eV.
a) Quale è la lunghezza d’onda di de Broglie degli elettroni emessi?
b) Quale valore ha la funzione di lavoro?
c) Quale valore ha la frequenza di soglia?
3. Quale è la minima incertezza sulla componente x della velocità di un
elettrone la cui posizione è misurata con un’incertezza di 5· 10−11 m? Se
la massa fosse 1 gr, la stessa incertezza sulla misura della componente x
della posizione a quale imprecisione porterebbe sulla componente x della
velocità? Commentare i risultati ottenuti.
4. Consideriamo una buca di potenziale a pareti infinite di larghezza 20 nm.
Quale è la minima energia di eccitazione nel caso in cui la particella nella
buca sia A) un elettrone; B) una molecola di ossigeno. Commentare i
risultati ottenuti.
5. Calcolare la lunghezza d’onda del fotone necessario ad eccitare la transizione fra i livelli vibrazionali della molecola di 16 O2 , e la sue energia
residua al punto zero. (k = 1142 Nm−1 )
6. Lo spettro infrarosso di H35 Cl presenta una intensa linea a 2886 cm−1 .
Calcolare la costante di forza del legame H-Cl.
7. Con buona approssimazione lo spettro di microonde di H35 Cl consiste
in una serie di righe equidistanti, separate da 6.26·1011 Hz. Calcolare
la lunghezza di legame H-Cl. Di quanto sono separate le righe dovute
alla rotazione di H37 Cl (supponendo che la lunghezza del legame non sia
modificata)?
4
8. Lo spettro rotazione puro di H131 Xe è costituito da una serie di righe
distanti 13.10 cm−1 . Calcolare la lunghezza del legame.
9. La costante di forza della molecola 79 Br79 Br è 240 Nm−1 . Calcolare la
frequenza della vibrazione fondamentale e l’energia al punto zero.
2
10. Calcolare la derivata prima e seconda di eαx .
R∞
2
11. Calcolare l’integrale 0 e−αx dx.
12. Sia la funzione
V (x) = D(1 − e−βx )2
a) calcolare la derivata prima e seconda;
b) trovare il punto di minimo;
c) farne il grafico appropriato;
d) farne uno sviluppo in serie di Taylor nell’intorno di x=0.
13. Calcolare la massa ridotta di un atomo di idrogeno, tenuto conto che le
masse dell’elettrone e del protone valgono rispettivamente 9.109390·10−31
kg e 1.672623·10−27 kg. Qual è la differenza percentuale tra questo
valore e la massa a riposo dell’elettrone?
14. Nello spettro infrarosso di H79 Br c’è una riga intensa a 2559 cm−1 . Calcolare la costante di forza e il periodo della vibrazione.
15. Nello spettro di lontano infrarosso di H79 Br c’è una serie di righe separate
da 16.72. Calcolare i valori del momento di inerzia e della distanza H-Br.
16. La transizione da J=0 a J=1 per il monossido di carbonio (12 C16 O) avviene a 1.153·105 MHz. Calcolare la lunghezza di legame del monossido
di carbonio.
17. Sai derivare le relazioni di ricorrenza tra polinomi di Hermite?
bx , L
by e L
b z , mostrare che
18. Partendo dalle definizioni di L
h
i
h
i
h
i
bx , L
b y = i~L
bz
by , L
b z = i~L
bx
bz , L
b x = i~L
by
L
L
L
b 2 commuta con L
bx , L
by e L
b z , sapendo che
19. Provare che L
h
i
h
i
h
i
bx , L
b y = i~L
bz
by , L
b z = i~L
bx
bz , L
b x = i~L
by
L
L
L
Vedi un motivo ricorrente in queste formule?
20. Siano dati i due operatori (non necessariamente Hermitiani)
b+ = L
b x + iL
by
L
Usando i risultati dell’esercizio
h
i
bz , L
b+
L
=
h
i
bz , L
b−
L
=
and
b− = L
b x − iL
by
L
18, mostra che
bz L
b+ − L
b+ L
b z = ~L
b+
L
bz L
b− − L
b− L
b z = −~L
b−
L
5
e
h
i h
i
b2 , L
b+ = L
b2 , L
b− = 0
L
21. Trova gli stati compatibili con le configurazioni
np2
np3
np4
np5
np1 n0 p1
22. Risolvere la parte in ϕ dell’equazione di Schrödinger dell’atomo di H.
23. Sai descrivere la forma dell’autofunzione generica per l’atomo di H, parte
in r, ϑ, ϕ?
Sai quali polinomi compaiono?
E per lo stato fondamentale, Ψ000 , come si semplifica il tutto?
24. Sai scrivere l’Hamiltoniano per la molecola di H2 e per l’atomo di He?
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ISTRUZIONI
• Scrivere in testa ad ogni foglio cognome; numerare i fogli (ogni singola
facciata).
• Leggere con cura le domande, e rispondere solo ai quesiti posti dalla
domanda.
• Non usare abbreviazioni stenografiche tipo “xché”.
• Segnare, sul foglio che riporta le domande, a quali è stata data risposta.
Nella soluzione dei problemi posti negli esercizi, spiegare chiaramente
il procedimento seguito, e concludere con la/le risposta/e esplicite alle
domande poste.
• Gli esercizi per cui vengano indicati solo passaggi numerici non verrano
considerati svolti completamente.
• Nell’eseguire i calcoli, prestare la massima attenzione al numero di cifre
significative; approssimare e non troncare.
• Indicare sempre le unità di misura di tutte le grandezze numeriche.
• Quando i risultati ottenuti vi sembrano fisicamente irragionevoli, scrivetelo. La valutazione dell’esercizio non sarà totalmente negativa, anche se
i risultati sono sbagliati.
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• L’esame scritto può essere ripetuto due volte senza registrazione del risultato, se negativo.
• I risultati dell’esame scritto verranno messi sul sito di Chimica, in un
giorno indicato durante lo scritto.
La correzione pubblica dei compiti e la registrazione dei voti viene fatta
in un giorno indicato insieme ai risultati degli scritti.
• Nei casi dubbi, lo scritto può essere integrato, a discrezione del docente, da
una interrogazione orale (nel giorno di consegna dei risultati), allo scopo
di convalidare o modificare il voto proposto.