L. ROBBIANO, La matematica nei pozzi petroliferi, nei brillamenti

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La Matematica nei pozzi petroliferi,
nei brillamenti solari e nelle immagini mediche
Lorenzo Robbiano
Università di Genova
Dipartimento di Matematica
Lorenzo Robbiano (Università di Genova)
Matematica
Accademia Ligure, 15 Marzo 2012
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Premessa
Perché un matematico?
I luoghi comuni
Strano personaggio...
Linguaggio astruso e incomprensibile...
Ah, io la matematica non l’ho mai capita!...
Ma, in definitiva, a che cosa serve la matematica?...
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Teoremi
Teorema: Tutti i numeri interi positivi sono interessanti.
Dimostrazione: Per assurdo esiste il più piccolo
intero positivo non interessante.
Ma allora quel numero è molto interessante!
Contraddizione. QED
In generale il quadrato di un polinomio ha nel suo supporto un numero di termini superiore a quelli che sono nel supporto
del polinomio stesso. Ad esempio il polinomio x2 + 3x + 1 ha tre termini, mentre il polinomio
(x2 + 3x + 1)2 = x4 + 6x3 + 11x2 + 6x + 1 ne ha cinque.
Potrà sembrare incredibile, ma non è sempre così. Questo polinomio di grado 12, che ha 13 termini nel suo supporto,
f
=
12
+
2 11
5 x
5
f2
=
−
2
25
x
10
4
1
1375
x −
x24 + 45 x23 +
44
3125
1
− 275
x +
ha come quadrato
che ne ha solo 12.
x
+
4
125
2
6875
9
x −
3
x +
2
125
1
6875
8
x +
2
x −
7
2
125
x −
3
2750
1
6875
x−
1
13750
x
6
18
17
2441
2016
171875 x − 171875 x
16719
141
3
13
− 37812500
x12 + 9453125
x11 − 859375
x7 + 8593750
1
1
1
+ 4296875
x5 + 47265625
x + 189062500
x19 +
Matematica
x6
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Strategia e sunto
ci sono due strategie ottimali per fare
una conferenza di successo.
1. Non rivelare la propria strategia
2.
In questa conferenza cercherò di spiegare in termini molto semplificati come si
costruiscono modelli matematici per capire fenomeni di cui abbiamo conoscenza
solo indiretta.
Faremo un salto nel passato con la legge dei gas ideali;
seguirà un avventuroso viaggio nelle profondità della terra alla scoperta
di pozzi petroliferi;
poi con la dovuta cautela ci avvicineremo al sole;
infine proveremo a decifrare alcune strane forme del midollo spinale.
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PARTE 1
“Vecchie” leggi fisiche
Matematica
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Gas Laws
Legge di Boyle (1622).
PV = k1
A temperatura costante il prodotto della pressione e volume di un gas ideale è
costante.
Legge di Charles (1787).
V = k2 T
Per un gas ideale a pressione costante, il volume è proporzionale alla temperatura
assoluta (in kelvin).
Legge di Gay-Lussac(1809).
P = k3 T
La pressione esercitata sulle pareti di un contenitore da un gas ideale è proporzionale
alla temperatura assoluta del gas.
Legge di Avogadro (1811).
V = k4 n
Il volume occupato da un gas ideale è proporzionale alla quantità di molecole presenti
nel contenitore.
Legge generale dei gas.
PV = k5 T;
PV = nRT
Tutte queste leggi sono state determinate sperimentalmente.
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La legge di Boyle
Matematica
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Dati sperimentali
Consideriamo i seguenti dati sperimentali.
Pts:= [[4.23, 3.545], [4.1, 3.658], [4, 3.755], [3.5, 4.285],
[3.01, 4.983], [2.54, 5.905], [2.02, 7.426], [1.68, 8.928], [1.2, 12.51]]
Calcoliamo
Toler := [0.1, 0.1];
StableBBasis5(Pts, Toler);
Utilizziamo CoCoA e otteniamo il seguente polinomio che
approssimativamente si annulla su quei punti
F := xy − (245253709561844704328134528731282143049/500000000000000000000000000000000000000000) y2 +
(155573886422680051480546137704429187981/100000000000000000000000000000000000000000) x +
(370321541322606715424270227502316031557/50000000000000000000000000000000000000000) y −
150296774097519055579747595046367236053/10000000000000000000000000000000000000
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Ancora sulla legge di Boyle
Usiamo una rappresentazione decimale approssimata dei coefficienti e otteniamo
F = xy − 0.0005 y2 + 0.0015x + 0.007 y − 15.02
Se non puoi realizzare l’ideale, idealizza il reale.
(Dal “Manuale di filosofia genovese”)
L’ essere umano non resiste alla tentazione di idealizzare la situazione, dichiarare
che la vera equazione è
xy = 15
e dire che i gas che la verificano sono gas ideali.
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PARTE 2
I misteri del sottosuolo
Matematica
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The Real World: Approximation
Giacimenti petroliferi I
Un giacimento petrolifero non è paragonabile ad un lago sotterraneo di petrolio.
Nelle aree che producono petrolio e gas la parte più superficiale della crosta
terrestre è fatta di rocce sedimentarie. Il gas è più leggero del petrolio, il petrolio
è più leggero dell’acqua e la porosità della roccia permette alle suddette sostanze
di salire verso la superficie terrestre.
Se in questo processo esse incontrano una trappola, si distribuiscono secondo la
loro densità, quindi il gas si troverà in alto, a metà troveremo il petrolio e più in
basso l’acqua, sempre distribuiti in minuscole gocciole che permeano le porosità
della roccia.
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Giacimenti petroliferi II
I primi minatori all’inizio dell’era industriale ebbero qualche successo, dato che
alcune trappole non erano del tutto sigillate.
Nel ventesimo secolo, ci si rese conto che era necessario studiare la struttura
geologica delle rocce e fare dei fori di prova.
Se si ha fortuna, un lungo tubo metallico si immette nel foro; nasce così un
pozzo petrolifero.
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Giacimenti petroliferi III
Una volta giunti in superficie, i fluidi sono trasportati tramite tubi ad un
recipiente, detto separatore, dove i tre costituenti, petrolio, acqua e gas,
vengono separati.
Durante lo sfruttamento di un giacimento, la pressione dei fluidi varia, in
generale diminuisce. Ad un certo punto non si riesce più ad estrarre petrolio
e il giacimento viene abbandonato.
Perché è difficile studiare e ottimizzare la produzione? Innanzitutto va detto che
l’osservazione diretta dello stato fisico-chimico di un giacimento non è possibile.
Simulazioni in laboratorio sono, appunto, simulazioni; chi può dire quello che
realmente avviene nelle profondità della crosta terrestre? Non potrebbero
intervenire fenomeni governati da leggi fisiche sconosciute?
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Giacimenti petroliferi IV
... what was it
that something more profound
than the well of Democritus ...
da “Ligeia” di Edgar Allan Poe
Gli studi di laboratorio hanno portato alla seguente situazione: quando un
giacimento viene abbandonato si stima che circa il 20% del gas sia andato
perso, ma soprattutto... che circa il 70% di petrolio sia andato perso!!!.
Perché succede ciò? E quale è la soluzione del problema?
Alla seconda domanda alcuni governi rispondono con una dichiarazione di
guerra a paesi ricchi di petrolio. Si può anche rispondere dicendo che sarebbe
opportuno diminuire l’uso del petrolio, soluzione decisamente migliore.
In ogni caso sarebbe utile dare una risposta alla prima domanda. Perché dunque
si perde circa il 70% del petrolio di un giacimento?
Che fare?
Matematica
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A Multizone Well
Matematica
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Introduzione della Computer Algebra:
il procedimento “bottom-up”
Una nuova idea: il procedimento “bottom-up”.
Pensiamo che insiemi finiti di punti sono eccellenti esempi di come la computer
algebra possa essere usata.
Già sappiamo che possono costituire modelli matematici in molti casi: ad
esempio interpolazione, teoria dei codici, statistica.
E ci sono algoritmi efficienti per il calcolo di insiemi finiti anche molto grandi.
Ma recentemente è entrati in scena nuovi attori: insiemi di punti con coordinate
approssimate, che portano nuovi e non del tutto esplorati problemi di stabilità.
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Back to Oil Production
3500
measured
computed
predicted
3000
measured
predicted
1200
1100
1000
2000
Production ==>
Production ==>
2500
1500
900
800
700
1000
600
500
0
6200
0
1000
2000
3000
4000
5000
Sample number t ==>
6000
7000
8000
6400
6600
6800
Sample number t ==>
7000
7200
7400
Figure: Predicted part
Figure: Oil production
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PARTE 3
Brillamenti solari e midollo
spinale
Matematica
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La meridiana di Castelletto d’Orba
Matematica
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La meridiana di Castelletto d’Orba II
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Brillamenti solari e curve “carine”
Figure: Queste curve sono algebriche?
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Curve ellittiche?
Figure: Vedete una curva ellittica?
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Una sestica?
Figure: TAC di una porzione della colonna vertebrale. Vedete una curva sestica?
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Una sestica?
Figure: Forse si...
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La trasformata di Hough
La trasformata di Hough è una tecnica usata soprattutto nella “image analysis” e
nel “digital image processing”.
Fu introdotta da P.V.C. Hough nel 1962 nella forma di un brevetto.
La sua applicazione originale era quella di rilevare segmenti e archi di cerchio
nelle fotografie ottenute da rivelatori di particelle.
Molta ricerca e molti miglioramenti sono stati fatti negli ultimi anni.
Lo strumento principale consiste in una procedura di votazione che si svolge in
uno spazio di parametri.
Matematica
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Punti allineati
Matematica
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Ci sono novità?
Negli ultimi mesi, un gruppo di ricercatori del DIMA (io, Beltrametti, Piana,
Massone) in connessione con specialisti di medicina nucleare (Sambuceti)
stiamo lavorando su più fronti per far avanzare le tecniche di Hough e ottenere
nuove applicazioni.
L’idea matematica fondamentale è quella di utilizzare recenti strumenti di
algebra computazionale (Basi di Gröbner) per cercare curve e superfici speciali
in spazi di parametri.
Abbiamo potuto estendere la nozione di trasformata di Hough a curve spaziali e
abbiamo introdotto e caratterizzato la nozione di Hough regularity.
Matematica
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Torniamo alle immagini I
Figure: Vedete una quartica con tacnodo?
Matematica
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Back to the Pictures
Figure: Si, la vedete!
Matematica
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Torniamo alle immagini II
Figure: Vedete una cubica nodale?
Matematica
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Back to the Pictures
Figure: Si, la vedete!
Per vederla siamo andati in uno spazio astratto!!!!
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% ∗ ∗!!@%@?!&∗ #
Definition
(The Hough Transform)
n
We use the notation introduced above, we let α = (α1 , . . . , αm ) ∈ Am
K and let p = (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ AK . Then the
scheme Γa,p is said to be the Hough transform of the point p with respect to the family Φ . If it is clear from the
context, we simply say that the scheme Γa,p is the Hough transform of the point p .
Theorem
Let K be an algebraically closed field, let m, t be two positive integers, let a = (a1 , . . . , am ), y = (y1 , . . . , ys ),
let p1 (a), . . . , ps (a), d1 (a), . . . , ds (a) be polynomials in K[a] , and let d(a) = lcm(d1 (a), . . . , ds (a)). Let C
p (a)
be an affine rational sub-scheme of Asy defined by the parametrization P given by yi = di (a) , let
i
m
D = Ay \ {d = 0}, and let I(Doub) and I(∆) be the corresponding ideals. Finally, let S(∆) be the saturation
of I(Doub) with respect to I(∆). Then the following conditions are equivalent.
(a) The parametrization P is injective.
(b) The ideal I(∆) is contained in the radical of the ideal I(Doub).
(c) The ideal I(∆) coincides with the radical of the ideal I(Doub).
(d) We have S(∆) = (1).
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Conclusioni
Finalmente una citazione seria!
if people do not believe
that mathematics is simple,
it is only because they do not realize
how complicated life is
(John von Neumann)
Una nota di ottimismo genovese
Ottimista: Se l’economia continua ad andare così,
presto tutti andremo a chiedere l’elemosina
Pessimista: A chi?
La palindromica sete del sapere matematico
e la sete sale
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