1 Universit`a Cattolica del Sacro Cuore - sede di Brescia

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Università Cattolica del Sacro Cuore - sede di Brescia - Laurea Magistrale in Matematica
Ottimizzazione Statica e Dinamica
18 Febbario 2016
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L’esame è diviso in due parti indipendenti: lo studente può svolgere una delle due o entrambe; ad ogni parte
viene assegnato un voto in trentesimi, anche in sessioni differenti. Il voto complessivo risulterà dalla media
dei due voti accettati. Per lo svolgimento di ogni parte, lo studente ha diritto ad un’ora e mezza di tempo.
PARTE A: Ottimizzazione statica
A.1 (6 punti)
a. (3 punti) Si dia la definizione di involucro convesso di un sottoinsieme A ⊆ Rn . Indicata con A la
chiusura dell’insieme A e con co(A) il suo involucro convesso, stabilire se gli insiemi co(A) e co(A)
sono entrambi chiusi e convessi e quale legame esiste tra loro.
b. (3 punti) Si dia la definizione di cono in uno spazio vettoriale. Si definisca poi la relazione binaria
associata ad un cono K ⊆ Rn e si individuino le proprietà geometriche del cono che rendono tale
relazione un ordine parziale (fornendo le dimostrazioni di queste affermazioni). Infine si individui
quale proprietà caratterizza i coni che inducono un ordine completo in Rn .
A.2 (12 punti) Si consideri il problema di ottimo
min
(x1 ,x2 )∈S
f (x1 , x2 )
dove
f (x1 , x2 ) = x1 + x2 − ln(1 + x1 ) − ln(1 + x2 )
S = {(x1 , x2 ) : x21 + x22 ≤ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 1/2}
i. (2 punti) Stabilire se si tratta di un problema di programmazione convessa e se si può garantire a
priori che il problema ammette soluzione.
ii. (5 punti) Determinare il minimo globale di f in S.
iii. (5 punti) Scrivere in forma esplicita il problema duale e stabilire se esite il gap di dualità.
A.3 (12 punti) Si consideri la funzione f : X = R → R2 cosı̀ definita
f (x) = (f1 (x), f2 (x)) .
dove
½
f1 (t) =
t
− 1t
se t < 1
se t ≥ 1
½
e f2 (t) =
− 1t
−t
se t < −1
se t ≥ −1
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i. (4 punti) Si individui l’insieme YN dove Y = f (X) e l’insieme XE dei punti efficienti. Esistono punti
propriamente efficienti per f in X? (Si motivi la risposta)
ii. (4 punti) Si consideri ora la funzione f ristretta all’ insieme A = [−1, 1]. Si individuino in questo caso,
se esistono, i punti propriamente efficienti per f in A, giustificando adeguatamente la risposta.
iii. (4 punti) Mostrare che, per la ricerca delle soluzioni del problema di ottimizzazione vettoriale con
funzione obiettivo f e regione ammissibile R, la scalarizzazione lineare non è utilizzabile. Si individuino
infine, mediante l’utilizzo della scalarizzazione lineare, le soluzioni del problema di ottimizzazione
vettoriale quando la regione ammissibile è l’insieme A introdotto al punto (ii).
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PARTE B: Ottimizzazione dinamica
B.1 (12 punti) Si consideri il seguente modello di optimal consumption con utilità logaritmica:
Z ∞



max
e−δt log c dt


c∈C 0



 ẋ = rx − c

x(0) = x0 > 0


x≥0




lim x(t) = 0


 t→∞
C = {c : [0, ∞) → [0, ∞)}
con δ > r ≥ 0 fissati.
a. (3 punti) Si introduca il modello proposto, precisando il ruolo delle variabili c e x, le loro relazioni, il
senso della running-cost e della dinamica;
b. (3 punti) si introduca la nozione di Hamiltoniana corrente H c per un generico problema a orizzonte
infinito e scontato; si enunci e provino le condizioni necessarie di ottimalià per H c ;
c. (6 punti) si risolva il modello proposto nel contesto variazionale.
B.2 (9 punti) Si risolva il seguente problema con il metodo della Programmazione Dinamica:
Z 2



(x2 + u2 ) dt
 min

0
ẋ = x + u



 x(0) = 2
u≥0
In order to solve the PDE xFx + Ax2 + Ft = 0 (with A constant), we suggest to find the solution in the family of functions
F = {F (t, x) = x2 G(t), with G = G(t) function}.
B.3 (9 punti) Si consideri un problema di controllo ottimo

Z t1


J(u) =
f (t, x, u) dt



t0


 ẋ = g(t, x, u)
x(t0 ) = α




max J(u)



 u∈C
C = {u : [t0 , t1 ] → U ⊂ Rk , u ammissibile}
con f ∈ C 1 , g ∈ C 1 . Nel contesto del metodo variazionale
i. (3 punti) si enunci il teorema di Pontryagin;
ii. (6 punti) si fornisca la dimostrazione del teorema di Pontryagin nel caso n = k = 1, U = R e con
l’ipotesi aggiuntiva che C sia aperto e non vuoto (non è richiesta la dimostrazione del lemma tecnico);