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CONTROLLO CONTROLLO DI ROBOT INDUSTRIALI ROBOT
CONTROLLO ROBOT INDUSTRIALI Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica CONTROLLO DI ROBOT INDUSTRIALI STABILITA’ Ing. Cristian Secchi Tel. 0522 522235 e-mail: [email protected] www.dismi.unimo.it/Members/csecchi Stabilità del movimento In sintesi, il problema della stabilità consiste nell’esaminare se il comportamento di un sistema perturbato è simile a quello nominale. Il comportamento del sistema è un particolare movimento: dove ed è individuato dall’istante iniziale, dallo stato iniziale e dalla funzione di ingresso, cioè dalla tripla La perturbazione considerata consiste nella sola variazione dello stato iniziale. Diremo che il comportamento del sistema è stabile se, perturbando lo stato iniziale, il movimento risultante è “abbastanza” simile a quello nominale. Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 2 Pag. 1 Stabilità del movimento Per poter definire il concetto di “abbastanza simile” è necessario che sia definita una distanza, e, quindi, una norma, nello spazio degli stati X. In tal caso è possibile dare la seguente definizione: y p ]]: Un movimento Definizione [Stabilità secondo Lyapunov si dice: semplicemente stabile, se ∀ ε > 0 ∃ δ >0 tale che per ogni soddisfa che si ha Cristian Secchi Stabilità -- 3 Stabilità del movimento asintoticamente stabile, se è stabile e inoltre: instabile, se non è stabile Mentre la semplice stabilità richiede che il movimento perturbato rimanga vicino al movimento nominale, l’asintotica stabilità impone qualcosa di più, cioè che la perturbazione venga in qualche modo “assorbita” e che il movimento perturbato tenda a quello nominale. Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 4 Pag. 2 Interpretazione geometrica della stabilità 2ε x2 Movimento stabile 2δ movimento nominale t movimento perturbato x1 Stabilità -- 5 Cristian Secchi Interpretazione geometrica della stabilità 2ε x2 Movimento asintoticamente stabile 2δ movimento nominale t movimento perturbato x1 Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 6 Pag. 3 Interpretazione geometrica della stabilità 2ε x2 Movimento instabile 2δ movimento perturbato movimento nominale t x1 Cristian Secchi Stabilità -- 7 Stabilità del movimento La definizione di stabilità è locale poiché non vengono posti limiti per la scelta di δ che può essere scelto piccolo a piacere. E’ possibile dare una definizione globale di stabilità: Definizione (GAS): Un movimento si dice globalmente asintoticamente stabile (GAS), se ∀ ∈X Un movimento GAS è in grado di assorbire una perturbazione di qualsiasi entità. Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 8 Pag. 4 Stabilità del movimento L’esame della stabilità è legata al particolare movimento che si sta considerando. In uno stesso sistema possono esistere, al variare di istante iniziale, stato iniziale o funzione di ingresso, sia movimenti stabili che movimenti instabile. Pertanto, non ha senso, in generale, dire che un sistema è stabile o instabile in quanto la proprietà di stabilità è associata a un singolo movimento. Stabilità -- 9 Cristian Secchi Esempio – Stabilità semplice Consideriamo un sistema dinamico composto da un generatore di corrente u(t) e da un condensatore C; scegliamo come variabile di stato x(t) la tensione ai capi del condensatore. Il generico movimento del sistema è rappresentato da: u(t) Cristian Secchi Cristian Secchi C x(t) Stabilità -- 10 Pag. 5 Esempio – Stabilità semplice Consideriamo il movimento corrispondente a: In tal caso: Il movimento perturbato è dato da: Pertanto, preso δ=ε, si ha che per risulta Pertanto il movimento è stabile. Stabilità -- 11 Cristian Secchi Esempio – Stabilità asintotica Consideriamo un sistema dinamico composto da un generatore di corrente u(t), da un condensatore C e da una resistenza R; scegliamo come variabile di stato x(t) la tensione ai capi del condensatore. Il sistema è retto dall’equazione differenziale: R u(t) Cristian Secchi Cristian Secchi C x(t) Stabilità -- 12 Pag. 6 Esempio – Stabilità asintotica considerando le condizioni nominali: e sfruttando il fatto che: Si ottiene tti che h il movimento i t nominale i l è: è Cristian Secchi Stabilità -- 13 Esempio – Stabilità asintotica Il movimento perturbato è dato da: Pertanto preso δ=ε si ha che per Pertanto, risulta I lt Inoltre Pertanto il movimento è asintoticamente stabile. Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 14 Pag. 7 Stabilità dell’equilibrio La definizione di stabilità del movimento si applica anche al caso particolare di movimenti costanti, cioè al caso di stati di equilibrio. E’ utile specializzare la definizione generale per il caso della stabilità di stati di equilibrio. Definizione: D fi i i U stato Uno t t di equilibrio ilib i corrispondente i d t ad d un ingresso i ad un istante iniziale si dice semplicemente stabile se per ogni ε>0 esiste un δ>0 tale che per tutti gli che soddisfano la relazione: e si ha Cristian Secchi Stabilità -- 15 Stabilità dell’equilibrio Lo stato di equilibrio si dice asintoticamente stabile, se è stabile ed inoltre vale la relazione: Lo stato di equilibrio si dice instabile se non è stabile. Prima di studiare la stabilità di un punto di equilibrio occorre trovare quali sono i punti di equilibrio di un sistema dinamico … Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 16 Pag. 8 L’equilibrio nei sistemi regolari Consideriamo il problema di determinare gli stati di equilibrio di un sistema regolare e tempo invariante. Non si perde di generalità nel considerare solo funzioni di ingresso costanti u(t)=u0. Infatti per un sistema regolare e tempo invariante tutti gli stati di equilibrio sono ottenibili medianti funzioni di ingresso costanti. Un sistema regolare e tempo invariante può essere descritto da: Cristian Secchi Stabilità -- 17 L’equilibrio nei sistemi regolari Lo stato xe è uno stato di equilibrio relativo all’ingresso costante u(t)=u0 per il sistema se: Definendo la funzione: L’evoluzione del sistema autonomo (cioè senza ingresso) : a partire da qualsiasi stato x(t0) coincide con quello del sistema originario sollecitato dall’ingresso u0. In particolare xe è stato di equilibrio per il sistema autonomo se e solo se è stato di equilibrio per il sistema originale. Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 18 Pag. 9 L’equilibrio nei sistemi regolari Pertanto la ricerca degli stati di equilibrio relativi a un certo ingresso può essere ricondotto allo studio degli stati di equilibrio di un sistema autonomo. Gli stati di equilibrio di un sistema autonomo sono tutte e sole le soluzioni dell’equazione algebrica: D’ora innanzi ci concentreremo sulla stabilità dell’equilibrio per sistemi autonomi. Vedremo poi come poter generalizzare alla stabilità del movimento i risultati che otterremo. Stabilità -- 19 Cristian Secchi Esempio Si consideri un pendolo semplice di massa m e lunghezza l sotto l’azione della forza di gravità: l ϑ m mg Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 20 Pag. 10 Esempio Considerando come variabili di stato la posizione angolare rispetto alla verticale e la velocità angolare, cioè: si ha che il comportamento del sistema può essere modellato (provare a ricavare il modello!) dalle seguenti equazioni: Cristian Secchi Stabilità -- 21 Esempio Il sistema è autonomo e, pertanto, gli stati di equilibrio si ottengono risolvendo: La prima equazione ci dice che gli stati di equilibrio sono ovviamente caratterizzati da velocità nulla. Dalla seconda equazione otteniamo che: Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 22 Pag. 11 Esempio Limitandoci a 0 ≤ ϑ < 2π abbiamo due stati di equilibrio: corrispondenti alle seguenti configurazioni del pendolo: x1=0 x2=0 Cristian Secchi x1=π x2=0 Stabilità -- 23 Esempio Dall’esempio è evidente che non ha senso dire se il sistema è stabile o instabile. Infatti il pendolo possiede sia configurazioni stabili (es.: (0,0)) che configurazioni instabili (es.: (π,0)). Ha senso parlare di stabilità solo in relazione a un particolare movimento o a un particolare stato di equilibrio. Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 24 Pag. 12 Significato pratico della stabilità La definizione di stabilità data considera solo perturbazioni sullo stato iniziale. Tuttavia in pratica le perturbazioni agiscono sul sistema durante tutta la sua evoluzione e non solo all’istante iniziale. Tali perturbazioni, dette anche disturbi, sono ad esempio dovute a: • Errori nella modellazione del sistema • Applicazioni di un carico al sistema • Rumore elettromagnetico Un importante risultato afferma che se un movimento è asintoticamente stabile nel senso di Lyapunov (cioè per perturbazioni sullo stato iniziale) allora è stabile anche nel caso di perturbazioni persistenti. Cristian Secchi Stabilità -- 25 Proprietà di Malkin (1958) Sia xe uno stato di equilibrio asintoticamente stabile in corrispondenza di un ingresso costante u(t)=u0 per il sistema regolare e tempo invariante allora 8 ε>0 esistono un η>0 e un δ>0 tali che per tutti gli x(t0) che soddisfano la relazione e per tutti i disturbi p(x(t),t) che soddisfano il movimento relativo al sistema perturbato φp(t,t (t t0,x(t x(t0),u ) u0) soluzione di è semplicemente stabile, cioè: Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 26 Pag. 13 Criteri di stabilità Esistono due metodi per testare la stabilità di un punto di equilibrio: 1) Primo metodo di Lyapunov: Si esegue un’analisi diretta sulle soluzioni dell’equazione di stato 2) Secondo metodo di Lyapunov: L’analisi della stabilità si effettua utilizzando, oltre l’equazione di stato, opportune funzioni scalari definite sullo spazio di stato dette Funzioni di Lyapunov. Il primo metodo di Lyapunov è di scarsa applicabilità poiché, come già sottolineato in precedenza precedenza, l’equazione l equazione di stato è un un’equazione equazione differenziale non lineare e non esiste una forma chiusa per trovare una soluzione. Il secondo metodo non richiede di risolvere l’equazione di stato ed è di gran lunga il più utilizzato in pratica. Noi analizzeremo in dettaglio il secondo metodo di Lyapunov. Cristian Secchi Stabilità -- 27 Criteri di stabilità Supporremo, per semplicità, che il sistema dinamico regolare e tempo invariante preso in considerazione abbia uno stato di equilibrio nell’origine. E’ sempre possibile, nel caso il sistema ammetta almeno uno stato di equilibrio, riportarsi in questa situazione con una trasformazione degli assi cartesiani. Pertanto, in virtù di quanto detto finora, nel seguito svilupperemo il secondo metodo di Lyapunov per lo studio della stabilità dello stato di equilibrio xe=0 del sistema autonomo: Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 28 Pag. 14 Funzioni definite e semidefinite positive Definizione: Sia W ⊆ X=Rn un intorno dell’origine. Una funzione continua: si dice semidefinita positiva se: si dice invece definita positiva se Stabilità -- 29 Cristian Secchi Esempi di funzioni definite positive Sia Rn=R2. y x x Cristian Secchi Cristian Secchi y Stabilità -- 30 Pag. 15 Funzioni definite e semidefinite negative Definizione: Sia W ⊆ X=Rn un intorno dell’origine. Una funzione continua: si dice semidefinita negativa se: si dice invece definita negative se Cristian Secchi Stabilità -- 31 Esempi di funzioni definite negative Sia Rn=R2. Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 32 Pag. 16 Forme Quadratiche Una matrice quadrata n x n e simmetrica si dice: 1) definita positiva: se tutti i suoi autovalori sono maggiori di zero 2) semidefinita positiva: se tutti i suoi autovalori sono maggiori o uguali a zero. zero Sia P una matrice quadrata n x n, simmetrica e (semi)definita positiva. La forma quadratica: è una funzione (semi)definita positiva. Cristian Secchi Stabilità -- 33 Derivata della funzione V(x(t)) Si consideri il sistema regolare tempo invariante e autonomo: e sia W ⊆ X un intorno dell’origine, sul quale è definita una funzione V(x) scalare continua e con derivate prime continue: Definiamo: Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 34 Pag. 17 Derivata della funzione V(x(t)) Se x(t) è una soluzione del sistema si ha che, lungo tale soluzione: Si noti che la derivata di V(x(t)) NON richiede la determinazione del movimento e, quindi, non richiede l’integrazione (spesso molto difficoltosa) dell’equazione di stato. Cristian Secchi Stabilità -- 35 Criterio di Stabilità di Lyapunov Sia x=0 uno stato di equilibrio per il sistema se in un intorno W dell’origine esiste una funzione V(x):WÆ R definita positiva e con derivate prime continue e se è semidefinita negativa , allora l’origine è stabile. Se è definita negativa, allora l’origine è asintoticamente stabile. Una funzione V(x) che soddisfa le precedenti ipotesi è detta funzione di Lyapunov per il sistema. Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 36 Pag. 18 Criterio di Stabilità di Lyapunov Il criterio di Lyapunov è una condizione sufficiente ma non necessaria. Non è detto, in generale, che l’origine non sia stabile se non esiste una funzione di Lyapunov definita in un intorno dell’origine. Tuttavia esistono i cosiddetti teoremi inversi di Lyapunov che dimostrano che l’esistenza di una funzione di Lyapunov è anche condizione necessaria per la stabilità à dello stato di equilibrio nella maggior parte dei sistemi dinamici di interesse. Non esiste un algoritmo per trovare la funzione di Lyapunov relativa a un sistema. i La L funzione f i di Lyapunov L sii deve d cercare per tentativi, i i basandosi sul tipo di funzione di stato e su eventuali considerazioni fisiche. Cristian Secchi Stabilità -- 37 Interpretazione del criterio di Lyapunov Il criterio di Lyapunov non è altro che una generalizzazione del fatto, ben noto dalla fisica, che un sistema meccanico, se lasciato libero di evolvere, tende a portarsi in una configurazione dove la sua energia potenziale è minima. LLa funzione f i di Lyapunov L può ò essere interpretata i t t t come una funzione f i di energia potenziale generalizzata. Il criterio di Lyapunov dice che uno stato di equilibrio è stabile se: a) E’ il minimo per una certa funzione di energia generalizzata (cioè se esiste un funzione di Lyapunov definita positiva) b) Se il sistema tende a portarsi verso la configurazione di minimo della funzione di Lyapunov (cioè se la derivata della funzione di Lyapunov è semidefinita negativa) In virtù di tali considerazioni, quando si analizza la stabilità di stati di equilibrio di sistemi fisici, un buon punto di partenza per la scelta della funzione di Lyapunov consiste nel considerare una funzione legata all’energia del sistema. Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 38 Pag. 19 Esempio Si consideri un pendolo semplice di massa m e lunghezza l sotto l’azione della forza di gravità: l ϑ m mg Il sistema ha due punti di equilibrio: (x1,x2)=(0,0) e (x1,x2)=(π,0). Supponiamo di voler studiare la stabilità del punto (0,0). Stabilità -- 39 Cristian Secchi Esempio Consideriamo come funzione di Lyapunov l’energia totale del sistema: Energia cinetica Energia potenziale Consideriamo il seguente intorno dell’origine: x2 x1 Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 40 Pag. 20 Esempio V(0,0)=0 e V(x1,x2)>0 ∀ (x1,x2) ∈ W (x1,x2) ≠ (0,0), pertanto V(x1,x2) è definita positiva. La derivata di V(x1,x2) è semidefinita negativa e pertanto, lo stato di equilibrio (0,0), come era intuitivo aspettarsi, è stabile in virtù del criterio di Lyapunov Lyapunov. Cristian Secchi Stabilità -- 41 Esempio Supponiamo ora che sia presente un attrito che genera una forza proporzionale alla velocità angolare con un coefficiente b>0. In tal caso, il modello del pendolo semplice smorzato risulta (provare a ricavarlo!): I punti di equilibrio del sistema sono gli stessi del pendolo semplice non smorzato. Analizziamo ancora una volta la stabilità dello stato di equilibrio (x1,x2)=(0,0). Consideriamo lo stesso intorno dell’origine e la stessa funzione di Lyapunov considerati per il pendolo semplice non smorzato. V(x ( 1,,x2) è definita positiva p in W ma,, nel caso in considerazione,, si ha che: La derivata risulta definita negativa e, quindi, (0,0) è asintoticamente stabile Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 42 Pag. 21 Teorema di BarbashinBarbashin-Krasowskii Siccome le proprietà di stabilità e asintotica stabilità sono locali anche il criterio di Lyapunov è locale (infatti è richiesto che la funzione di Lyapunov sia definita solamente in un intorno dell’origine). Se nello stato di equilibrio è soddisfatto il criterio di Lyapunov, y p , significa g che,, p per perturbazioni p abbastanza piccole dello stato iniziale, il movimento del sistema rimane vicino allo stato di equilibrio (nel caso di stabilità) oppure vi torna asintoticamente (nel caso di asintotica stabilità). Il criterio di Lyapunov non è sufficiente per testare se lo stato di equilibrio è globalmente asintoticamente stabile (GAS), cioè se, a partire da un q alsiasi stato ini qualsiasi iniziale, iale il sistema to torna na asintoticamente nello stato di equilibrio. Per poter testare se un punto di equilibrio è GAS occorre imporre qualche ulteriore condizione sulla funzione di Lyapunov. Cristian Secchi Stabilità -- 43 Teorema di BarbashinBarbashin-Krasowskii Teorema di Barbashin-Krasowskii: Sia x=0 uno stato di equilibrio per il sistema Lo stato di equilibrio è GAS se esiste un funzione definita su tutto lo spazio degli stati V(x):X Æ R continua e con derivate prime continue tale che: 1. V(x) è definita positiva 2. è definita negativa 3. V(x) radialmente illimitata, cioè Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 44 Pag. 22 Esempio Il punto di equilibrio (0,0) del pendolo semplice smorzato è asintoticamente stabile ma NON globalmente asintoticamente stabile. Infatti, nonostante V(x) sia definita su tutto X e la sua derivata sia definita negativa su tutto X: A causa della presenza del coseno, coseno il limite non è definito e, e pertanto, pertanto la funzione di Lyapunov non è radialmente illimitata e, quinidi, il teorema di Barbashin-Krasowskii non è soddisfatto. Cristian Secchi Stabilità -- 45 Criterio di stabilità di LaSalleLaSalle-Krasowskii Il criterio di stabilità di LaSalle-Krasowskii è un raffinamento del criterio di Lyapunov; esso consente di verificare l’asintotica stabilità di un punto di equilibrio anche nei casi in cui il criterio di Lyapunov può garantire solo la stabilità semplice. Criterio di LaSalle-Krasowskii Sia x=0 uno stato di equilibrio per il sistema descritto da Se: 1. In un intorno W dell’origine esiste una funzione V(x):WÆR definita positiva continua con derivate continue 2. La funzione è semidefinita negativa 3. L’insieme N={ x ∈ W | =0} non contiene traiettorie perturbate Allora x=0 è un punto di equilibrio asintoticamente stabile. Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 46 Pag. 23 Esempio Consideriamo il circuito elettrico in figura in cui è presente un elemento non lineare N con una caratteristica corrente–tensione IN=g(v) in cui g(v) è una funzione tale per cui vg(v)>0. Consideriamo il vettore di stato x=(I,v)T. Il sistema è descritto dalle seguenti equazioni: g(v) v I IN N C L v Cristian Secchi Stabilità -- 47 Esempio L’origine (I,v)=(0,0) è un punto di equilibrio. Per studiarne la stabilità consideriamo la funzione definita positiva: che rappresenta l’energia totale accumulata nel sistema. quindi, per il criterio di Lyapunov, il punto di equilibrio è almeno semplicemente stabile. Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 48 Pag. 24 Esempio L’insieme dei punti in cui si annulla la derivata di V(x) sono: Un movimento è totalmente contenuto in N se e solo se in ogni istante v(t)=0. Imponendo questa condizione, dalla seconda equazione di stato, si ottiene: Ma allora il movimento si riduce all’origine e, pertanto, non esistono traiettorie perturbate completamente contenute in N. Quindi, applicando il criterio di LaSalle-Krasowskii si conclude che l’origine è asintoticamente stabile. Cristian Secchi Stabilità -- 49 Criterio di instabilità di Lyapunov Sia x=0 uno stato di equilibrio per il sistema descritto da e sia W un intorno dell’origine nel quale sia definita una funzione V(x):WÆ R continua e con derivate prime continue. Se: 1. V(x) è definita positiva 2. è definita positiva Allora ll’origine origine è un punto di equilibrio instabile Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 50 Pag. 25 Criterio di instabilità di Lyapunov Il criterio di instabilità di Lyapunov è il risultato più basilare per testare l’instabilità di un punto di equilibrio. Esistono svariate generalizzazioni e raffinamenti del criterio; in particolare, il risultato più generale per testare l’instabilità l instabilità di un punto di equilibrio è il criterio di Cetaev. Cetaev Cristian Secchi Stabilità -- 51 Stabilità del movimento I criteri visti finora servono per testare la stabilità o l’instabilità di un punto di equilibrio. Tuttavia, è possibile generalizzare quanto visto finora per valutare la stabilità di un movimento. Lo studio della stabilità di un movimento, infatti, può essere ricondotto allo studio di un punto di equilibrio corrispondente all’origine ed è, quindi, possibile utilizzare i criteri illustrati. Si indichi con: Il movimento nominale del sistema regolare e tempo invariante preso in considerazione. Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 52 Pag. 26 Stabilità del movimento Si avrà: Indicando con: Il generico movimento perturbato, si avrà: Si consideri il movimento perturbato relativamente al movimento nominale, cioè la differenza z(t) tra movimento perturbato e movimento nominale: Cristian Secchi Stabilità -- 53 Stabilità del movimento Dalle equazioni di stato si ha che: E’ evidente che z=0 è uno stato di equilibrio. Siccome il movimento nominale è noto, sono noti i termini: Pertanto l’unica incognita nell’equazione è z(t). Pertanto possiamo scrivere: Possiamo usare i criteri visti finora per testare la stabilità o l’instabilità del punto z=0. Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 54 Pag. 27 Stabilità del movimento Se lo stato di equilibrio z=0 è: 1) Stabile, significa che il movimento perturbato x(t) rimane vicino a quello nominale q 2) Asintoticamente stabile, significa che il movimento perturbato x(t) rimane vicino a quello nominale e, inoltre, tende al movimento nominale 3) Instabile, significa che il movimento perturbato x(t) diverge dal movimento nominale. E’ quindi possibile ricavare le caratteristiche di stabilità di un movimento dallo studio della stabilità del punto di equilibrio relativo al sistema che rappresenta il generico movimento perturbato rispetto al movimento nominale. Stabilità -- 55 Cristian Secchi Stabilità nei Sistemi Lineari Lo studio della stabilità risulta notevolmente semplificato nel caso di sistemi LTI. Una semplificazione notevole deriva dal fatto che mentre nel caso più generale non lineare il concetto di stabilità è riferito a un particolare movimento,, nel caso di sistemi lineari (anche p ( non tempo p invarianti), è possibile parlare di stabilità del sistema. Infatti: Proposizione: In un sistema LTI un movimento è stabile (instabile) se e solo se tutti i movimenti sono stabili (instabili). Dimostrazione Si consideri un movimento nominale x (t ) di un sistema lineare. Vale, quindi: x& (t ) = Ax (t ) + Bu (t ) Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 56 Pag. 28 Stabilità nei Sistemi Lineari Consideriamo ora il movimento perturbato x(t), relativo allo stesso ingresso del movimento nominale. Posto: si ha che: z& (t ) = Ax(t ) + Bu (t ) − Ax (t ) − Bu (t ) = A( x(t ) − x (t )) = Az (t ) Lo stato z=0 è uno stato di equilibrio. Pertanto, il movimento nominale considerato è stabile (instabile) se e solo se lo stato z=0 è stabile (instabile). Tuttavia, nel sistema: z& (t ) = Az (t ) non vi è alcun riferimento allo specifico movimento nominale preso in considerazione. Infatti, a causa della linearità, si arriva allo stesso sistema in z considerando qualsiasi movimento nominale. Quindi se un movimento è stabile lo sono anche tutti gli altri. [QED] Stabilità -- 57 Cristian Secchi Stabilità nei sistemi lineari La stabilità di un sistema lineare dipende solamente dal movimento libero e dalla matrice di stato. Vale il seguente importante risultato: Proposizione: Il sistema lineare autonomo di dimensione n x& (t ) = Ax(t ) è stabile se e solo se esiste un numero reale M>0 tale che sia: e At ≤ M < ∞ ∀t ≥ 0 ed è asintoticamente stabile se e solo se è stabile ed inoltre vale la relazione At lim e = 0 t →∞ dove eAt è la matrice di transizione dello stato. Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 58 Pag. 29 Stabilità nei sistemi LTI La matrice di transizione dello stato eAt è costituita dai modi del sistema. Ricordando l’analisi modale fatta per sistemi LTI e la proposizione appena enunciata è possibile legare la stabilità di un sistema lineare autonomo agli autovalori della matrice di stato ed enunciare il seguente: Criterio per la stabilità dei sistemi LTI: Il sistema LTI autonomo di dimensione n è: 1)) asintoticamente stabile se e solo se g gli autovalori di A hanno parte p reale negativa 2) semplicemente stabile se e solo se gli autovalori di A hanno parte reale negativa o nulla e gli autovalori a parte reale nulla sono semplici 3) instabile, se esiste almeno un autovalore con parte reale positiva o un autovalore non semplice con parte reale nulla Cristian Secchi Stabilità -- 59 Interpretazione del criterio di stabilità Siccome gli elementi della matrice di transizione dello stato di un sistema LTI sono i modi del sistema, la norma della matrice di transizione di stato è determinata dai modi. La limitatezza della matrice di transizione dello stato, e, quindi, la stabilità del sistema, pertanto, sarà determinata dal carattere di convergenza dei modi del sistema. Siccome il carattere di convergenza dei modi dipende dall’autovalore a cui sono associati, il sistema sarà asintoticamente stabile solo se la matrice di stato ha autovalori con p parte reale negativa g (cioè ( se vi sono solo modi convergenti), semplicemente stabile solo se eventuali autovalori a parte reale nulla non sono multipli (cioè se vi sono solo modi limitati o convergenti) e instabile se esiste almeno un autovalore con parte reale positiva (cioè se vi è almeno un modo divergente) . Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 60 Pag. 30 Interpretazione del criterio di stabilità In conclusione, per i sistemi LTI: • Un movimento è stabile (instabile) se e solo se tutti i movimenti sono stabili ((instabili). ) E’ pertanto p possibile p associare il concetto di stabilità al sistema anziché al singolo movimento. • La stabilità dipende solo dalla matrice di stato A, in particolare dai modi della matrice di transizione dello stato eAt • Per determinare la stabilità basta testare gli autovalori della matrice di stato e non occorre procedere per tentativi nella ricerca di una funzione di Lyapunov. Lyapunov Testare la stabilità di un sistema LTI è semplice Cristian Secchi Stabilità -- 61 Equazione di Lyapunov La teoria generale continua a valere, ovviamente, anche nel caso particolare dei sistemi LTI. In particolare vale il seguente risultato: Proposizione: Condizione necessaria e sufficiente perché il sistema LTI: sia asintoticamente stabile è che per ogni matrice simmetrica e definita positiva Q esiste un matrice simmetrica e definita positiva P tale che sia soddisfatta la seguente equazione matricale matricale, detta equazione di Lyapunov: Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 62 Pag. 31 Equazione di Lyapunov Nel caso in cui il sistema sia asintoticamente stabile, la funzione è una funzione di Lyapunov per il sistema e la sua derivata,definita negativa, è Siccome V(x) è definita su tutto X e cioè V(x) è radialmente illimitata, il teorema di Barbashin-Krasowskii è soddisfatto ddi f tt per ognii sistema i t LTI asintoticamente i t ti t stabile. t bil Quindi: Q i di In un sistema LTI i concetti di stabilità asintotica e stabilità globale asintotica coincidono: se un sistema è asintoticamente stabile allora è automaticamente GAS. Stabilità -- 63 Cristian Secchi Esempio x1 x2 m k F=u F u b y Il sistema ha uno stato di equilibrio in (x1,x2)=(0,0). Il sistema è stabile? Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 64 Pag. 32 Esempio Il sistema considerato è un sistema LTI e, quindi, per vedere se è stabile basta analizzare gli autovalori della matrice di stato. Gli autovalori della matrice di stato sono: Supponiamo che m=1kg, m=1kg b=1Nsec/m e K=1 N/m. N/m In tal caso: quindi il sistema è asintoticamente stabile Cristian Secchi Stabilità -- 65 Linearizzazione di sistemi non lineari L’analisi della stabilità per sistemi LTI si può ottenere semplicemente studiando la parte reale e la molteplicità degli autovalori ed esistono strumenti molto potenti (come ad esempio il criterio di Routh) per portarla avanti anche per p p sistemi di dimensioni elevate. Se fosse possibile ricondurre l’analisi di stabilità di uno stato di equilibrio di un sistema non lineare all’analisi della stabilità di un sistema LTI, il lavoro da fare sarebbe notevolmente semplificato. Sotto opportune ipotesi è possibile, nell’intorno di un punto di equilibrio, considerare equivalenti il comportamento di un sistema non lineare e quello di un particolare sistema lineare. Il procedimento di linearizzazione ci consente di determinare l’equivalente lineare di un sistema non lineare nell’intorno di un punto di equilibrio. Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 66 Pag. 33 Linearizzazione di sistemi non lineari Consideriamo il sistema non lineare regolare autonomo e descritto da: e supponiamo che l’origine sia uno stato di equilibrio per tale sistema. Se f è sviluppabile in serie di Taylor, è possibile scrivere lo sviluppo di f nell’intorno di 0: dove la matrice A è il jacobiano di f calcolato in x=0: e h(x) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a x Cristian Secchi Stabilità -- 67 Linearizzazione di sistemi non lineari Siccome f(0)=0 per definizione di stato di equilibrio, è possibile, trascurando i termini di ordine superiore, approssimare il comportamento del sistema nell’intorno dello stato di equilibrio, con il sistema LTI: Tale procedimento è detto linearizzazione del sistema nell’intorno dell’origine. La matrice di stato dipende dal punto di equilibrio che si sta considerando. Se si cambia il punto di equilibrio attorno a cui è sviluppata la funzione di stato, in generale la matrice di stato cambia. E’ possibile studiare la stabilità di un punto di equilibrio mediante lo studio della stabilità del sistema lineare ottenuto tramite la linearizzazione di f(·). Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 68 Pag. 34 Analisi della stabilità mediante linearizzazione Criterio ridotto di Lyapunov: Sia dato il sistema non lineare autonomo: e sia l’origine un punto di equilibrio del sistema. Sia il sistema LTI ottenuto linearizzando il sistema intorno all’origine. Allora: 1. Se gli autovalori di A hanno parte reale negativa, l’origine è un punto di equilibrio asintoticamente stabile per il sistema non lineare 2. Se almeno uno degli autovalori di A ha parte reale positiva, l’origine è un punto di equilibrio instabile per il sistema non lineare. 3. Se gli autovalori hanno parte reale negativa e alcuni hanno parte reale nulla, non è possibile concludere nulla sulla stabilità dell’origine per il sistema non lineare. Cristian Secchi Stabilità -- 69 Analisi della stabilità mediante linearizzazione • • • Il fatto che l’instabilità o l’asintotica stabilità del sistema linearizzato implichino quelle dell’origine del sistema originario significa che l’approssimazione è sufficientemente accurata per catturare queste caratteristiche La presenza di autovalori a parte reale nulla significa che il sistema linearizzato non è sufficientemente accurato per catturare le proprietà di stabilità del punto di equilibrio del sistema non lineare. Occorrerebbe rendere l’approssimazione più accurata considerando, nello sviluppo in serie di f, termini successivi a quelli del primo ordine ma in tal modo l’approssimazione sarebbe non lineare e perderebbe la sua utilità Nonostante per sistemi LTI stabilità asintotica e stabilità asintotica globale coincidano, questo non significa che se il sistema linearizzato è asintoticamente stabile, l’origine del sistema non lineare sia GAS, in quanto l’approssimazione lineare del sistema vale solo in un intorno dell’origine. Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 70 Pag. 35 Esempio – Pendolo semplice smorzato Si consideri un pendolo semplice di massa m=1 Kg e lunghezza l=1 m sotto l’azione della forza di gravità g=9.8 m/sec^2 e di un attrito viscoso con coefficiente b=1 Nsec/m: Il sistema ha due punti di equilibrio: (x1,x2)=(0,0) e (x1,x2)=(π,0). Supponiamo di voler studiare la stabilità del punto (0,0) mediante il criterio ridotto di Lyapunov. Cristian Secchi Stabilità -- 71 Esempio – Pendolo semplice smorzato Gli autovalori di A sono: E, quindi, l’origine è un punto di equilibrio asintoticamente stabile. Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 72 Pag. 36 Stabilità nei sistemi discreti ⎧ x(k + 1) = f ( x(k ), u (k )) ⎨ ⎩ y (k ) = g ( x(k ), u (k )) • Il concetto di stabilità rimane invariato, utilizzando i movimenti del sistema discreto • Uno stato di equilibrio xe associato a un ingresso costante u0 è uno stato tale per cui 0 = f ( xe , u0 ) • La proprietà di Malkin continua a valere Stabilità -- 73 Cristian Secchi Stabilità nei sistemi discreti • Il secondo criterio di Lyapunov per lo studio della stabilità di un punto di equilibrio continua a valere • Si utilizza la variazione della funzione anziché la derivata orbitale: ΔV = V (k + 1) − V (k ) • Lo studio della stabilità di un movimento si riconduce allo studio della stabilità di un punto di equilibrio di un sistema ausiliario • In un sistema LTI discreto un movimento è stabile (instabile) se e solo se tutti i movimenti sono stabili (instabili) (instabili). • Un sistema LTI discreto è semplicemente stabile solo se la matrice di transizione dello stato Ak è limitata ed è asintoticamente stabile solo se la matrice di transizione dello stato è convergente Cristian Secchi Cristian Secchi Stabilità -- 74 Pag. 37 Stabilità nei sistemi discreti Criterio per la stabilità dei sistemi LTI: Il sistema LTI autonomo di dimensione n è 1) asintoticamente stabile se e solo se gli autovalori di A hanno modulo strettamente minore di 1 2) semplicemente stabile se e solo se gli autovalori di A hanno modulo minore o uguale a 1 e gli autovalori a modulo unitario sono semplici 3) instabile, se esiste almeno un autovalore con modulo maggiore di 1 o un autovalore non semplice con modulo unitario La procedura di linearizzazione di un sistema discreto nonlineare rimane invariata Stabilità -- 75 Cristian Secchi CONTROLLO ROBOT INDUSTRIALI Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica CONTROLLO DI ROBOT INDUSTRIALI STABILITA’ Ing. Cristian Secchi Tel. 0522 522235 e-mail: [email protected] www.dismi.unimo.it/Members/csecchi Cristian Secchi Pag. 38
