Calcestruzzi con armatura tradizionale e fibre d`acciaio nei

Calcestruzzi con armatura tradizionale e fibre d'acciaio nei
rivestimenti di gallerie
Nuove procedure teorico-numeriche per il progetto dei rivestimenti di
gallerie in FRC gettato in opera
B. Chiaia, A.P. Fantilli, P. Vallini, Politecnico di Torino
Nel presente articolo si presentano due nuove procedure teorico-numeriche per il progetto dei
rivestimenti di gallerie di calcestruzzo fibrorinforzato (FRC) gettato in opera. Allo stato limite
ultimo, la rottura duttile di tali elementi massivi è assicurata dalla presenza delle classiche barre
d’acciaio, la cui minima area trasversale è inferiore rispetto a quella calcolata con gli approcci
proposti dalle norme tecniche Europee ed Americane. Ciò grazie alla capacità del conglomerato
cementizio fibroso di sopportare tensioni di trazione anche in presenza di ampie fessure. Nella
fase di esercizio, l’ampiezza massima di fessura è calcolata con un nuovo modello di concio,
capace di tenere in conto sia l’effetto di “bridging” delle fibre, sia il classico fenomeno di
“tension stiffening”. Entrambi i modelli proposti sono stati utilizzati nella progettazione di
alcune gallerie in Italia.
Nel campo delle costruzioni di opere in sotterraneo, quali le gallerie, i conglomerati
fibrorinforzati (FRC) sono da tempo largamente utilizzati per la realizzazione dei rivestimenti
provvisori in calcestruzzo proiettato. È solo negli ultimi vent’anni che le fibre sono state adottate
anche per la realizzazione dei rivestimenti finali, come mostrato da numerose gallerie a conci
prefabbricati sparse in tutto il mondo (Vandewalle, 2005).
La struttura di rivestimento di tali opere, soggetta prevalentemente a sollecitazioni normali e
flessionali, richiede un quantitativo minimo di armatura di rinforzo. Poiché le sezioni trasversali
dell’arco raggiungono lo stato limite ultimo durante la fase di crescita delle fessure formatesi in
zona tesa, lo sforzo massimo di trazione sopportato dall’armatura ordinaria risulta pressappoco
uguale a quello assorbito dal FRC teso. Infatti, proprio per la presenza delle fibre disperse nella
matrice cementizia, è possibile riscontrare tensioni di trazione anche in corrispondenza di ampie
aperture di fessura. Sulla base di quanto affermato, risulta necessario considerare l’effetto
benefico fornito dalle fibre al calcestruzzo in termini di resistenza a trazione. Tale contributo può
essere valutato mediante approcci basati sulla meccanica della frattura non lineare.
Un approccio semplificato per l’analisi strutturale dei compositi cementizi fibrorinforzati è quello
proposto dal Rilem TC-162 TDF (2003). Esso si basa sulla legge costitutiva tensioni deformazioni (-) riportata in Fig.1, nella quale il ramo di softening relativo alla fase di postfessurazione è rappresentato da una bilatera ( > ε1 ). Attraverso la relazione di Fig.1 è possibile
tracciare i diagrammi di interazione momento flettente-sforzo normale, in grado di definire tutte
le possibili coppie M-N resistenti per una qualsiasi sezione in FRC, anche in presenza di armatura
ordinaria (R/FRC).
È a partire da tali diagrammi che si basa la progettazione dei conci prefabbricati in FRC, il cui
utilizzo conferisce alcuni vantaggi rispetto ad analoghi elementi in calcestruzzo ordinario. In essi
la presenza delle fibre consente infatti di ridurre il quantitativo d’armatura, anche se non la
elimina completamente. Le barre d’acciaio vengono concentrate in tali elementi soprattutto ai
bordi, che risultano essere le zone più sensibili in quanto soggette alle azioni di spinta esercitate
dai martinetti della TBM. Un ulteriore vantaggio che risulta dall’aggiunta delle fibre nel
conglomerato è la possibilità di realizzare conci di spessore minore, con conseguenti effetti
benefici da un punto di vista strutturale, in quanto ne derivano una riduzione dei momenti
1
flettenti ed un miglioramento del comportamento membranale, con una più efficace azione di
supporto del terreno.
Sebbene la progettazione dei rivestimenti finali in calcestruzzo ordinario risulti più semplice se
comparata con quella di analoghe strutture realizzate mediante assemblaggio di conci
prefabbricati, non si riscontrano in letteratura esperienze condotte su rivestimenti realizzati in
FRC gettato in opera. Applicazioni recenti del FRC nella realizzazione di rivestimenti finali
gettati in sito (gallerie Faver-S.S 612 e Turina-Craviale-S.S. 23) hanno dimostrato, a conferma
dei benefici derivanti dall’aggiunta di fibre, una riduzione del quantitativo d’armatura, con
conseguenti risparmi nei costi ed un più rapido avanzamento nella costruzione (Chiaia et al.,
2007). Con riferimento a tale tipologia di opere strutturali, considerando il contributo positivo di
resistenza a trazione offerto dalle fibre al calcestruzzo, vengono nel seguito descritti due modelli
d’analisi, adottati rispettivamente per il calcolo dell’armatura minima (relativamente allo stato
limite ultimo) e la previsione del quadro fessurativo (relativamente allo stato limite di esercizio).
1
CALCOLO DELL’ARMATURA MINIMA IN ELEMENTI DI FRC
In strutture di calcestruzzo debolmente armate, il quantitativo d’acciaio non deve essere inferiore
ad un valore minimo, cosicché la condizione di stato limite ultimo può essere raggiunta per un
momento di snervamento dell’armatura ( Mu ) superiore a quello di fessurazione del calcestruzzo
( Mcr ). Anche per lo stato limite di esercizio deve essere garantito un quantitativo minimo
d’armatura in zona tesa, in modo da limitare l’ampiezza delle fessure. Nelle strutture realizzate in
FRC, la presenza delle fibre d’acciaio disperse nella matrice cementizia determina una riduzione
del quantitativo minimo d’armatura necessaria, essendo le stesse in grado di assorbire sforzi di
trazione anche in presenza di ampie fessure. Ciò implica che, a parità di armatura, un elemento
inflesso in FRC è in grado di sopportare, rispetto ad un analogo elemento in calcestruzzo armato
ordinario (RC), momenti flettenti più elevati, mostrando al contempo fessure di ampiezza più
ridotta. Questo concetto assume maggiore rilevanza nel caso di strutture massive, come i
rivestimenti finali di gallerie, per i quali è possibile formulare un nuovo approccio per il calcolo
dell’armatura minima (Chiaia et al., 2007).
Il modello non lineare qui descritto, basato sulla relazione costitutiva del FRC proposta dal Rilem
TC 162-TDF (2003), conduce al calcolo di una sezione d’acciaio minore di quella ottenibile
applicando le formulazioni proposte dalle Normative (Rilem TC 162-TDF, 2003; ACI, 1995;
EC2, 2004), costituendo dunque una valida alternativa ad esse. Questo perché tali formule
derivano dall’analisi di elementi in calcestruzzo armato ordinario soggetti a trazione e, in quanto
tali, sovrastimano l’armatura minima As,min per elementi inflessi, soprattutto se di grandi
dimensioni.
2
Figura 1 – Legge costitutiva del FRC proposta dal Rilem TC 162-TDF (2003).
2.1 IL CONCETTO DI ARMATURA MINIMA
Nelle strutture debolmente armate è necessario un quantitativo minimo d’armatura al fine di
soddisfare i requisiti sia in fase di esercizio (controllo della fessurazione) che in fase di stato
limite ultimo (garantire duttilità al comportamento strutturale prima di arrivare a collasso). Se si
vuole pervenire ad una definizione di armatura minima si può analizzare la risposta di una trave
inflessa su tre punti al variare della percentuale geometrica di armatura  (Fig.2). Essendo As,min
l’armatura necessaria ad assorbire la risultante di trazione che si libera al momento della
formazione della fessura, senza superare la resistenza a snervamento fyk delle armature, si osserva
in Fig.2 come la condizione Mcr = Mu rappresenti la soglia in corrispondenza della quale si
verifica la transizione tra comportamento fragile e duttile. La relativa percentuale geometrica
d’armatura prende il nome di percentuale minima di armatura min .
Figura 2 – Definizione dell’armatura minima (Chiaia et al., 2007): (a) prova a flessione su tre
punti; (b) curve M- al variare di .
L’aggiunta delle fibre nel conglomerato comporta una sensibile riduzione del quantitativo
minimo d’armatura, in virtù del contributo positivo di resistenza a trazione fornito al composito
dalle fibre medesime anche per elevati valori di inflessione e ampiezze di fessura non
trascurabili, essendo quest’ultime situazioni compatibili con il raggiungimento dello stato limite
ultimo. Ciò trova conferma nel caso dei rivestimenti finali di gallerie, le cui sezioni massive
richiederebbero un elevato quantitativo di armatura, qualora il calcolo di As,min fosse condotto
secondo gli approcci proposti dalle Normative, i quali trascurano l’effettivo contributo fornito
dalle fibre.
2.2 VALIDAZIONE DELLA LEGGE COSTITUTIVA DEL FRC
La definizione di un nuovo metodo di calcolo, basato su un modello non lineare (Chiaia et al.,
2007) per la valutazione di As,min in elementi strutturali R/FRC, ha reso necessario verificare
l’attendibilità del legame - (Rilem TC 162-TDF, 2003), adottato per il dimensionamento
strutturale delle sezioni (Fig.1).
Mediante prove di flessione su tre punti su provini intagliati, di dimensioni tali da renderli simili
alla tipologia strutturale dei rivestimenti finali di gallerie (B = 300 mm; H = 150 mm), si sono
potuti stimare i parametri di resistenza a trazione residua in fase post-fessurata, coi quali definire
il legame costitutivo del FRC adottato (costituito da 35 kg/m3 di fibre Dramix RC-60/65-BN).
3
Figura 3 – Trave in FRC sottoposta a prova di flessione su tre punti (Chiaia et al., 2007): (a)
distribuzioni teoriche di M(z) e (z) per una data inflessione ; (b) confronto tra le curve P-
ottenute per via analitica e sperimentale.
La fase post-picco del diagramma - è stata riferita ad una lunghezza Lc opportuna della regione
di softening ove avviene la localizzazione delle deformazioni. Poiché la fessurazione di un
elemento teso in FRC è accompagnata dal meccanismo di estrazione di una singola fibra dalla
matrice, il massimo valore di Lc è stato assunto pari alla lunghezza della fibra stessa. La verifica
dell’affidabilità del legame costitutivo ottenuto per il FRC impiegato per la galleria Craviale è
stata condotta mettendo a confronto le curve carico-freccia ottenute sperimentalmente su travi in
FRC non intagliate, con quelle valutate per via analitica (Fig. 3b).
Il calcolo teorico del diagramma P- ha reso necessaria la definizione preventiva, per una
generica sezione trasversale, del legame momento-curvatura (M-). In particolare, per un
determinato valore di  si può ricavare il corrispondente valore del momento flettente risolvendo
il seguente sistema non lineare:
H /2

 N  0  B    , y dy
H / 2


H /2

 M  B    , y  y dy

H / 2
(1)
Una volta noto il legame M-, è possibile definire, al variare del carico P, i diagrammi del
momento flettente M(z) e della curvatura (z) (Fig. 3a). Attraverso l’equazione dei Lavori
Virtuali, a partire dalle distribuzioni di M(z) e (z) che competono ad un determinato carico P, è
possibile infine calcolare il valore della freccia  in mezzeria.
Il fuso delle curve P- ottenute sperimentalmente da prove condotte su 10 travi non intagliate
viene riportato in Fig. 3b, dove è messo a confronto con le curve ottenute per via teorica, e
calcolati per due casi differenti.
Nel caso 1, la definizione del legame – è avvenuta impiegando i parametri di resistenza stimati
a partire dai risultati di test di compressione (Rilem TC 162-TDF, 2003) e usati per il progetto del
rivestimento finale (Chiaia et al., 2007). Nel caso 2 sono invece considerati i parametri di
resistenza ottenuti da prove a flessione su tre punti di travi intagliate. Dal momento che il
contributo delle fibre diventa determinante per elevati valori di inflessione, risulta di particolare
4
interesse il confronto tra i dati numerici e sperimentali nella fase post-picco. Come mostra la
Fig.3b, la curva P- del caso 2 cade all’interno del fuso dei valori sperimentali per  > 0.5 mm.
La relazione - proposta dal Rilem TC 162-TDF (2003), se associata a una lunghezza Lc della
regione di softening pari alla lunghezza delle fibre (Lc = 60 mm), fornisce dunque una
riproduzione soddisfacente del comportamento strutturale di elementi in FRC in prossimità del
collasso e può dunque trovare valida applicazione nel dimensionamento strutturale delle sezioni,
ed in particolare della minima armatura.
2.3 IL MODELLO NON LINEARE PER IL CALCOLO DI As,min
Nella valutazione dell’area minima d’armatura da inserire in elementi strutturali RC possono
essere adottate le formule proposte dall’Eurocodice 2, “..a meno che da calcoli più rigorosi non
risultino sufficienti aree inferiori” (EC2, 2004). Per elementi in R/FRC è preferibile affrontare la
problematica relativa al rinforzo minimo attraverso un approccio differente che tenga conto dei
benefici apportati dalla presenza delle fibre. Ciò è possibile attraverso l’adozione di un modello
non lineare (Chiaia et al., 2007) che consente di caratterizzare, mediante una procedura numerica,
la risposta meccanica del materiale partendo da un’analisi sezionale. Se sono noti il momento
flettente Mcr , lo sforzo normale applicato Nd e la legge costitutiva del materiale (Fig. 1), la
condizione limite che fornisce il valore di As,min risulta:
(2)
M u  M cr
In condizioni di sezione non fessurata, comportamento lineare elastico e distribuzione lineare
delle deformazioni, Mcr può così essere facilmente valutato:
N 

M cr  W   ct ,max  d 
A 

(3)
dove, W = B·H2/6 = modulo di resistenza della sezione trasversale; Nd = sforzo normale applicato
(positivo se di compressione); A = B·H = area totale della sezione trasversale; ct,max = fctm,fl =
valore medio di resistenza a trazione per flessione del calcestruzzo.
Il momento ultimo Mu , cioè l’azione flettente che provoca la deformazione di snervamento syd
nelle barre d’armatura (Fig. 4b), non può essere invece valutato facendo ricorso ad una semplice
formula come l’Eq.(3) per Mcr . Ciò è dovuto al comportamento non lineare del FRC, sia in
trazione che in compressione. Risulta pertanto necessaria l’introduzione di una procedura
numerica non lineare per il calcolo di Mu e di As,min .
Attraverso tale approccio, il quantitativo minimo d’acciaio viene cambiato in modo iterativo fino
a soddisfare l’Eq.(2). Con riferimento alla Fig. 4, vengono nel seguito illustrati i passaggi in cui
si articola la procedura numerica:
Figura 4 – Modello utilizzato per il calcolo di As,min (Chiaia et al., 2007): (a) proprietà
geometriche della sezione trasversale; (b) diagramma delle deformazioni; (c) diagramma delle
tensioni.
5
1. Occorre definire la geometria della sezione, lo sforzo normale Nd , le leggi costitutive del
FRC (Fig. 1), dell’acciaio ed il momento di fessurazione Mcr (Eq.3).
2. Lo sforzo normale Nd viene portato dal baricentro della sezione a quello delle barre
d’armatura tese ( y = H/2 - c , dove c è il copriferro). Le azioni Nd e Md = Mcr + Nd (H/2-c)
sono riportate in Fig. 4a.
3. Si assume un valore di tentativo per  (Fig.4b) ( = valore di deformazione per y = 0).
4. Se si assume che la deformazione s delle armature tese eguagli quella di snervamento
(s = syd ), si può allora valutare il valore della curvatura  (Fig. 4b).
5. Noti  e , risulta possibile definire l’intero profilo delle (y), mentre l’andamento delle
tensioni (,y) può essere ricavato applicando la legge costitutiva – propria del FRC
(Fig.1):
(4)
  , y        y 
6. Si calcola il momento di risposta Mr rispetto al baricentro dell’armatura tesa considerando
solo le tensioni agenti sul calcestruzzo:
H


(5)
M r     , y    y   c  dA
2


Ac
7. Se il valore calcolato di Mr è differente da Md , occorre attribuire un nuovo valore a  e
ripetere la procedura dal punto 3.
8. Nel caso in cui Mr coincida con Md , è possibile calcolare l’area d’armatura minima
valutando la risultante delle forze sulla sezione trasversale:
N d     , y  dA
Ac
(6)
As ,min 
f yd
Utilizzando la procedura numerica illustrata si è certi di poter contare su un comportamento
duttile della struttura a fessurazione avvenuta. Infatti, per qualunque valore dello sforzo normale
applicato, la condizione di stato limite ultimo viene raggiunta per un momento Mu superiore o al
più uguale a Mcr (Fig. 2).
Occorre evidenziare che il modello proposto non considera il meccanismo di aderenzascorrimento tra le barre d’armatura e il FRC che, se fosse effettivamente preso in conto,
porterebbe a un valore di Mu maggiore di quello calcolato col metodo appena illustrato: ciò
testimonia come il modello proposto risulti conservativo, quindi a favore di sicurezza.
2.4 APPLICAZIONE ALLE STRUTTURE MASSIVE
Le strutture di rivestimento finale delle gallerie rappresentano una delle migliori applicazioni per
il calcestruzzo fibrorinforzato. Il modello proposto ha trovato una valida applicazione nel calcolo
dell’area di rinforzo minima per il rivestimento finale della galleria Craviale (Chiaia et al., 2007).
Da un confronto diretto tra i risultati ricavati seguendo le prescrizioni Normative e quelli ottenuti
con il metodo non lineare precedentemente descritto, sia per strutture RC che R/FRC (Fig. 5a,b)
si può constatare come il modello non lineare fornisca valori di As,min nettamente inferiori. La
differenza tra i risultati aumenta con l’incremento dello sforzo normale NSd, al punto che per
NSd > 2000 kN risulta del tutto superfluo l’inserimento dell’armatura minima. Ciò si verifica
poiché l’aumento della forza assiale di compressione determina un parziale scarico della
struttura, alleggerendo la tensione di trazione indotta dal momento flettente.
La riduzione d’armatura necessaria, conseguente all’impiego del FRC e di un modello di calcolo
non lineare (Chiaia et al., 2007), ha dunque comportato vantaggi non indifferenti in termini di
risparmio nei costi e rapidità nella costruzione.
6
Figura 5 – Calcolo di As,min: (a) caratteristiche geometriche della sezione; (b) valori di As,min
ottenuti applicando il modello non lineare (Chiaia et al., 2007) e le formule proposte dalle
normative (Rilem TC 162-TDF, 2003; EC2, 2004).
2
VALUTAZIONE DEL QUADRO FESSURATIVO IN ELEMENTI
STRUTTURALI IN FRC
In strutture di calcestruzzo armato la valutazione dell’ampiezza di fessura e della spaziatura tra le
medesime è necessaria durante la fase di esercizio al fine di limitare, a seconda dell’aggressività
dell’ambiente, la corrosione dell’armatura. La presenza di fibre all’interno del conglomerato
costituisce un valido contributo per il raggiungimento di tale obiettivo, dal momento che le fibre
stesse incrementano in modo significativo le azioni di cucitura lungo le fessure che attraversano,
riducendone l’apertura e dando luogo ad una microfessurazione diffusa. A tale proposito
risultano necessari nuovi modelli per valutare in modo più attendibile tali effetti, generalmente
trascurati dagli approcci tradizionali. Questi ultimi sono infatti basati su formule semi-empiriche,
ricavate dall’analisi del comportamento di una singola sezione trasversale, anziché di un’ampia
porzione di trave in RC o R/FRC soggetta a flessione. Ne consegue una sovrastima sia
dell’ampiezza che della lunghezza delle fessure. Per valutare in maniera più rigorosa il quadro
fessurativo, si introduce nel seguito un modello basato sull’analisi di un blocco di calcestruzzo
(Chiaia et al., 2009), nel quale vengono presi in considerazione sia le azioni di cucitura esercitate
dalle fibre lungo le fessure che il meccanismo di aderenza-scorrimento tra le barre d’armatura ed
il calcestruzzo teso circostante. Tale modello permette di prevedere contemporaneamente entità
delle ampiezze di fessura, la spaziatura tra le medesime e loro profondità.
3.1 IL CALCOLO DELL’AMPIEZZA DI FESSURA
La valutazione dell’apertura w delle fessure e della loro spaziatura sr in travi RC e R/FRC
soggette a flessione e sforzi normali rimane ancora un problema aperto. Nonostante l’elevato
numero di ricerche condotte per strutture RC in circa un centinaio d’anni, le formule proposte per
il calcolo di w e di sr non hanno riscontrato un consenso unanime.
Un tentativo di estensione di tali formule ai calcestruzzi fibrorinforzati c’è stato da parte del
Rilem TC 162-TDF (2003) sulla base di risultati ottenuti da prove sperimentali (Vandewalle,
2000). Tuttavia, l’ampiezza delle fessure in travi realizzate in FRC continua ad essere valutata
secondo le formule tradizionali, senza tener conto del quantitativo di fibre presenti (è da precisare
7
comunque la presenza di coefficienti che tengono, ad esempio, conto del rapporto d’aspetto delle
fibre, ma questi non modificano in modo apprezzabile il valore finale).
Le formule proposte dalle Normative relativamente alla stima dell’ampiezza w e spaziatura sr,max
tra le fessure si rivelano dunque non molto attendibili per la previsione del reale quadro
fessurativo che si sviluppa in elementi RC o R/FRC soggetti a momenti flettenti e sforzo
normale. In esse, w viene infatti arbitrariamente assunta essere direttamente proporzionale ad un
unico valore di sr,max , generalmente valutato una volta che il quadro fessurativo si è stabilizzato
(situazione che si verifica quando l’acciaio teso giunge a snervamento).
Occorre allora ricorrere ad un approccio che fornisca una valutazione più attendibile del quadro
fessurativo, calcolando contemporaneamente w e sr con un modello relativo ad un elemento finito
di trave (Chiaia et al. 2009). Per valutare i possibili quadri fessurativi nei rivestimenti finali di
gallerie realizzati in FRC, il modello proposto è stato adottato per l’analisi dello stato limite di
esercizio di strutture massive soggette ad azioni combinate di flessione e compressione.
3.2 UN MODELLO PER LA PREVISIONE DEL QUADRO FESSURATIVO
In travi in RC o R/FRC, soggette ad una distribuzione costante o variabile di momenti flettenti,
risulta praticamente impossibile prevedere un’unica modalità di sviluppo del quadro fessurativo.
Per tali strutture, a causa della natura casuale della fessurazione, appare più appropriato definire,
per una data coppia di sollecitazioni M-N applicate, i valori massimo e minimo dell’ampiezza di
fessura e della spaziatura tra due fessure consecutive. Ciò risulta possibile analizzando un
elemento finito di trave in FRC (Chiaia et al., 2009), dove w e sr vengono calcolati considerando
non solo il meccanismo di aderenza-scorrimento tra le barre d’armatura ed il calcestruzzo teso
circostante, ma anche il comportamento non lineare del calcestruzzo fessurato soggetto a sforzi di
trazione. In tal modo è possibile determinare gli stati di sforzo e deformazione nella sezione
trasversale fessurata (tipo 1) del tratto di trave considerato.
Come mostrato in Fig. 6, per un dato valore di w (misurato a livello dell’armatura) e di hw
(Fig.6a), nell’ipotesi di un diagramma lineare delle deformazioni lungo la porzione di sezione
non fessurata (Fig.6b), le deformazioni nel calcestruzzo c(y) e nell’acciaio teso ( s ) e compresso
( s’ ) (e le relative tensioni c(y), s e 's) si possono ricavare a partire dalle seguenti equazioni di
equilibrio:
N    c  y  dA   s As   s As
(7)
Ac
H

H

M    c  y  ydA   s As   c    s As   c 
2
2
Ac




(8)
In una trave soggetta a sforzi di compressione e flessione, l’ampiezza massima di due fessure
consecutive viene raggiunta in corrispondenza dell’incipiente formazione di una nuova fessura
(Fantilli e Vallini, 2004) tra esse interposta ed è in tale istante che si ha la massima distanza tra le
due fessure prese in esame.
La situazione di formazione incipiente di una seconda fessura, sempre facendo riferimento ad un
blocco finito di trave, è schematizzata in Fig. 7a, dove si osserva nella sezione trasversale (tipo 2)
il raggiungimento della resistenza a trazione fct del calcestruzzo al lembo inferiore teso, mentre il
calcestruzzo posto a livello dell’armatura inferiore subisce la deformazione critica c,crit.
Anche per la sezione 2, noti M e N, è possibile calcolare il diagramma delle deformazioni
(Fig.7b) e delle tensioni (Fig.7c) tramite le Eqs.(7)-(8).
Le sezioni trasversali di tipo 1 (Fig.6) e tipo 2 (Fig.7), delimitano il tratto di trave preso in esame
(Fig.8a), il quale rappresenta metà della porzione di trave compresa tra due fessure primarie e
viene valutato nel momento di incipiente formazione di una fessura secondaria nel mezzo delle
due. Con riferimento a tale tratto, le tensioni e le deformazioni nelle barre d’acciaio tese e nel
8
calcestruzzo circostante possono essere valutate attraverso le equazioni di tension-stiffening
descritte nel seguito:
d s
p
(9)
  s 
dz
As
Figura 6 – Sezione traversale fessurata (tipo 1) soggetta a M-N (Chiaia et al., 2009): (a)
caratteristiche geometriche (b) diagramma delle deformazioni; (c) diagramma delle tensioni.
Figura 7 – Sezione trasversale in condizioni di fessurazione incipiente (tipo 2), soggetta a MN (Chiaia et al., 2009): (a) caratteristiche geometriche; (b) diagramma delle deformazioni; (c)
diagramma delle tensioni.
ds
  s  z    c  z 
dz
(10)
con, ps e As , rispettivamente, il perimetro e l’area delle barre d’armatura tese; s = valore dello
scorrimento tra acciaio e calcestruzzo circostante; s ed c rispettivamente deformazioni
dell’acciaio teso e del calcestruzzo a livello del rinforzo; z = coordinata orizzontale;  = tensione
tangenziale all’interfaccia tra acciaio e calcestruzzo. Se sono note le leggi costitutive - dei
materiali, la legge coesiva -w e la relazione di aderenza-scorrimento -s, è possibile procedere
all’analisi del tratto di trave. Per la precisione, per assegnati valori dello sforzo normale N e
dell’ampiezza di fessura w riferita al livello dell’armatura, è possibile ottenere una relazione che
lega tra loro w e M risolvendo le Eqs.(7)-(10) con le condizioni al contorno seguenti:
s(z = 0) = w/2 (nella sezione trasversale di tipo 1, dove z = 0); c (z = ltr ) = c,crit (a livello
dell’armatura, nella sezione trasversale di tipo 2, dove z = ltr ). Per la simmetria deve essere altresì
soddisfatta la condizione s = 0 nella sezione di tipo 2.
Poiché l’intento è quello di descrivere lo stato limite di esercizio di elementi strutturali RC e
R/FRC, si assume per le barre d’armatura un comportamento lineare elastico.
9
Figura 8 – Tratto di trave adottato per la valutazione del quadro fessurativo (Chiaia et al.,
2009): (a) posizione delle sezioni trasversali 1 e 2; (b) diagramma delle deformazioni nel
calcestruzzo a livello dell’armatura tesa; (c) diagramma delle deformazioni nell’acciaio; (d)
scorrimento tra acciaio e calcestruzzo.
3.3 SOLUZIONE DEL PROBLEMA
Il modello descritto nei paragrafi precedenti, può essere risolto per via numerica attraverso la
seguente procedura iterativa (Fig. 8):
1. Si assume un valore per lo sforzo normale N.
2. Si assume un valore per l’ampiezza w della fessura a livello dell’armatura, nella sezione
trasversale fessurata (tipo 1) (Fig. 8a).
3. Si assume un valore di tentativo per la profondità hw della fessura, sempre relativamente
alla sezione trasversale fessurata (Fig. 8a).
4. Dall’equilibrio della sezione 1 [Eqs.(7)-(8)], si ricava il momento flettente M applicato.
5. Dall’equilibrio della sezione 2 [Eqs.(7)-(8)], è possibile ottenere gli stati di sforzo e di
deformazione nella sezione stessa, la quale si trova in condizioni di fessurazione
incipiente (in modo particolare si può ricavare la deformazione c,crit nel calcestruzzo a
livello dell’armatura).
6. Si assume un valore di tentativo per la lunghezza ltr del tratto di trave considerato, la
quale viene suddivisa in n porzioni ciascuna di lunghezza Δz.
7. Essendo note ai bordi sia le condizioni statiche che cinematiche, è possibile integrare
numericamente le Eqs.(9)-(10) a livello dell’armatura. In un generico punto i-esimo del
dominio, gli incrementi di deformazione nel calcestruzzo (Fig.8b) vengono assunti
analoghi ai decrementi di deformazione nell’acciaio (Fig.8c), secondo le formule
seguenti:
 s ,i   s ,0  i  s ,0   s ,n 
(11a)
 c,i   c,0  i  c,0   c,n 
10
(11b)
dove s,n ed c,n sono, rispettivamente, le deformazioni dell’acciaio e del calcestruzzo
circostante nella sezione trasversale di tipo 2; s,0 ed c,0 sono, rispettivamente, le
deformazioni dell’acciaio e del calcestruzzo circostante nella sezione trasversale di tipo 1;
i è un coefficiente che permette di descrivere l’evoluzione delle deformazioni di
acciaio e calcestruzzo lungo il tratto z considerato (0 ≤ i ≤ 1). Applicando alla Eq.(10)
il metodo delle differenze finite e sostituendovi le Eqs.(11a)-(11b), è possibile definire si
in funzione di i , ottenendo l’espressione seguente:
(12)
si  si 1  z  i  s ,0   s ,n   c,0   c,n    s ,0   c,0 
In modo analogo, applicando il metodo delle differenze finite alla Eq. (9), si ricava il
valore della deformazione i-esima dell’acciaio (s,i ):
 s ,i   s ,i 1  z
4
 i 1
Es 
(13)
Attraverso le equazioni ottenute risulta possibile calcolare nell’ordine, a partire dal bordo
sinistro del tratto di trave fino all’estremità destra, i valori di s,i dalla Eq.(13), di i dalla
(11a), di c,i dalla (11b) e di si dalla (12).
8. Se in corrispondenza del punto n-esimo risulta sn ≠ 0, occorre cambiare la lunghezza ltr e
ritornare al punto 6.;
9. Se in corrispondenza del punto n-esimo risulta c,n ≠ c,crit (quindi i ≠1) occorre cambiare
hw e ritornare al punto 3.
Fissata dunque una coppia di valori per N e wmax , attraverso tale procedura si possono calcolare i
valori di momento flettente M, profondità hw della fessura e distanza massima sr,max = 2 ltr tra due
fessure consecutive (la distanza minima è pari a ltr ). Tale approccio, contrariamente alle
formulazioni proposte dalle Normative, consente dunque di valutare in maniera completa tutte le
principali caratteristiche del quadro fessurativo.
3.4 APPLICAZIONE AI RIVESTIMENTI DI GALLERIE
Il calcolo dell’apertura delle fessure nei rivestimenti di galleria realizzati in R/FRC è analogo al
caso delle strutture in calcestruzzo armato ordinario. La differenza risiede nel fatto che nel caso
del FRC viene considerata la resistenza a trazione residua a fessurazione avvenuta.
Le azioni di cucitura esercitate dalle fibre in corrispondenza delle fessure sono in grado di
ridurne le ampiezze che si riscontrerebbero altrimenti nelle travi RC. Ciò si può notare in Fig. 9,
dove sono state calcolate le ampiezze di fessura per l’arco rovescio della galleria Faver (S.S. 612)
sotto la combinazione di carichi quasi permanente, relativamente alla fase di esercizio della
struttura.
11
Figura 9 – Confronto tra i vari modelli per la stima delle ampiezze di fessura nell’arco
rovescio della sezione F27 della galleria Faver (Chiaia et al., 2009).
Nella stessa figura, i risultati ottenuti applicando tre approcci differenti (relativi al calcestruzzo
semplice e al FRC, vengono messi a confronto con quelli valutati utilizzando il modello
proposto. Dalla Fig.9 è possibile osservare come a parità di sollecitazioni applicate (NSd ~ 0 e
MSd = 219 kN m) il modello proposto fornisca un valore di ampiezza di fessura inferiore a 0.2
mm (massimo valore di progetto ammesso per l’esercizio). In altri termini, solo attraverso il
“block model” qui proposto è possibile valutare in maniera attendibile il contributo offerto dalle
fibre sulla riduzione dell’apertura delle fessure in strutture R/FRC ed applicarlo con successo in
sede progettuale. Tale modello, proposto per l’analisi del quadro fessurativo, trova grande
efficacia se utilizzato congiuntamente a quello introdotto per la valutazione dell’armatura
minima. In questo modo è possibile soddisfare sia lo stato limite di esercizio che lo stato limite
ultimo.
3
CONCLUSIONI
La definizione della minima armatura, fondata su un’analisi sezionale, nasce dall’esigenza di
considerare i benefici derivanti dal contributo di resistenza a trazione offerto dal FRC rispetto ad
un calcestruzzo ordinario. Ne deriva, conseguentemente, un quantitativo d’acciaio inferiore
rispetto a quello necessario per un’analoga struttura in calcestruzzo tradizionale, un più rapido
avanzamento del processo costruttivo ed una riduzione dei costi legati all’armatura, solo in parte
ridimensionati dal maggior costo del FRC
Per quanto riguarda invece la fase di esercizio, il modello introdotto per la previsione del quadro
fessurativo in strutture FRC dimostra di tenere in debito conto sia l’effetto di cucitura sulla
fessura svolto dalle fibre, che il meccanismo di aderenza-scorrimento tra barre d’armatura e FRC.
I risultati ottenuti per via analitica, applicando tale modello, hanno avuto un valido riscontro da
analisi sperimentali condotte su vari provini, sottolineando come il modello proposto fornisca
una previsione più accurata del quadro fessurativo in termini di apertura, profondità della fessura
e distanza tra le medesime rispetto alle formulazioni proposte dalla Normativa vigente.
12
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BIBLIOGRAFIA
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Structural Concrete”. Farmington Hills, Michigan.
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members and application to tunnel linings. Materials and Structures 40, 593-604.
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application to tunnel linings. Materials and Structures 42, 339–351.
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rules for buildings.
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(eds) BEFIB 2004. 6th RILEM Symposium on FRC. Varenna September 2004, 847-856.
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Structures 36, 560-567.
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ordinary reinforcement and steel fibers. Materials and Structures 33, 164-170.
Vandewalle M. (2005) Tunnelling is an art. NV Bekaert SA.
RINGRAZIAMENTI
Gli autori desiderano ringraziare la società Bekaert SA per il prezioso supporto tecnico fornito
nella realizzazione del presente lavoro.
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