Integrale doppio - Matematica e Applicazioni

Appunti sul corso di Complementi di Matematica- modulo Analisi
Prof. B.Bacchelli
09- Integrale doppio:
Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 5.1, 5.2 , 5.4.
Esercizi 5.3, 5.4
Integrale doppio (secondo Riemann), in un rettangolo, in un dominio
chiuso e limitato, significato geometrico, proprietà, domini y-semplici, xsemplici, calcolo mediante iterazione di integrali definiti unidimensionali,
cambiamento di variabili negli integrali doppi.
Integrale doppio
Sia D ⊂ R2 un insieme chiuso e limitato del piano che chiamiamo dominio di integrazione. Vogliamo dare la definizione di integrale doppio (secondo Reimann) di una funzione f definita e limitata su D :
Z Z
f (x, y)dxdy
D
1◦ caso ) Integrale doppio su un rettangolo.
Iniziamo dal caso in cui il dominio di integrazione D sia un rettangolo
chiuso e limitato:
©
ª
D = (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d = [a, b] × [c, d]
e sia P una partizione del rettangolo D in rettangoli
Rij = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ], i = 1, ..., n, j = 1, ...m
dove x0 = a < x1 < ... < xn = b, y0 = c < y1 < ... < yn = d
di area
∆Aij = (xi − xi−1 )(yj − yj−1 ),
e diametro
q
diam(Rij ) =
(xi − xi−1 )2 + (yj − yj−1 )2 ,
e chiamiamo norma (o ampiezza) della partizione P il numero reale positivo
|P | = max diam(Rij ),
i=1,...,n
j=1,...,m
1
Sia ora f : D → R una funzione definita e limitata su D. Formiamo le
somme di Riemann
S(f, P ) =
n X
m
X
f (x∗i , yj∗ )∆Aij
i=1 j=1
dove (x∗i , yj∗ ) ∈ Rij è un punto scelto a caso in ciascun rettangolo della
partizione.
Def. Diciamo che f è integrabile secondo Reimann su D se esiste finito il
limite I delle somme di Reimann S(f, P ) al tendere a zero della norma della
partizione P, indipendentemente dalla scelta dei punti (x∗i , yj∗ ), e definiamo
tale limite il valore dell’integrale doppio di f su D:
Z Z
f (x, y)dxdy = lim S(f, P )
I=
|P |→0
D
cioè, per ogni ε > 0 esiste un δ dipendente da ε tale che, per ogni partizione P che soddisfa |P | < δ, e comunque si scelgano i punti (x∗i , yj∗ ) nei
sottorettangoli della partizione, vale |S(f, P ) − I| < ε.
Oss. Il simbolo dxdy ha il significato di elemento d’area, e può essere
indicato anche come dydx o dA.
2◦ caso) Integrale doppio su un dominio chiuso e limitato
Sia f definita e limitata su un dominio chiuso e limitato D del piano
( non necessariamente un rettangolo).
Sia Q = [a, b] × [c, d] un rettangolo contenente D ( tale rettangolo esiste
sempre perchè D è limitato) e sia fe : Q → R l’estensione di f uguale a zero
all’esterno di D :
½
f (x, y),
se (x, y) ∈ D
e
f (x, y) =
0
se (x, y) ∈ QD
Allora,
Def. Diciamo che f è integrabile su D se f˜ è integrabile su Q e si
definisce l’integrale doppio di f su D come il valore dell’integrale doppio di
f˜ su Q :
Z Z
Z Z
f˜(x, y)dxdy
f (x, y)dxdy :=
D
Q
2
Interpretazione geometrica. Se f (x, y) ≥ 0 su D tale integrale ha il
significato geometrico di volume del solido che si trova verticalmente sopra
D e sotto la superficie z = f (x, y), (x, y) ∈ D. Se f (x, y) = 1, (x, y) ∈ D
allora è anche l’area di D.
Def. Diciamo che un insieme E ⊂ R2 è di misura nulla se E è un
insieme contenuto nella unione finita di grafici di curve continue del piano.
Esempi: Il grafico di una curva continua γ del piano; un segmento nel
piano; l’insieme vuoto, un punto.
Proprietà dell’integrale:
Siano E,D,T,S insieme limitati di R2 e f sia definita e limitata nel dominio
di integrazione indicato. Allora
1) Se E è un insieme di misura nulla l’integrale è nullo:
RR
f (x, y)dxdy = 0.
E
2) L’integrale è additivo rispetto all’unione di domini ”disgiunti”:
se T = D ∪ S con {D ∩ S} = E insieme di misura nulla, allora
RR
RR
RR
f=
f+
f.
T
D
S
3) L’integrale è lineare:
RR
RR
RR
(f + g) =
f+
g ;
D
D
D
RR
RR
αf (x, y)dxdy = α D f (x, y)dxdy , α ∈ R.
D
RR
RR
4) L’integrale è monotono: se f ≤ g ⇒
f
≤
g.
D
D
¯R R ¯ R R
5) Vale la disuguaglianza triangolare: ¯
f¯ ≤
|f | .
D
D
Teorema. Sia f definita e limitata su un dominio D chiuso e limitato e
sia E ⊆ D un insieme di misura nulla. Se f è continua in DE allora f è
integrabile in D.
3
Integrale doppio su domini regolari
Def. D si dice y − semplice se esistono due funzioni φ1 , φ2 definite e
continue su [a, b], con φ1 (x) ≤ φ2 (x), x ∈ [a, b], tali che D si possa descrivere
nel seguente modo
©
ª
D = (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, φ1 (x) ≤ y ≤ φ2 (x)
D si dice x − semplice se esistono due funzioni g1 , g2 definite e continue
su [c, d], con g1 (y) ≤ g2 (y), y ∈ [c, d], tali che D si possa descrivere nel
seguente modo
©
ª
D = (x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, g1 (y) ≤ x ≤ g2 (y)
D si dice dominio regolare se è unione finita di domini x-semplici o
y-semplici.
Teorema. Sia f definita e continua
su un dominio D x-semplice o yRR
0
semplice. Allora l integrale doppio
f esiste e si ottiene per integrazioni
D
successive monodimensionali. Precisamente
1) se D è y-semplice
!
Z Z
Z ÃZ
b
φ2 (x)
f (x, y)dxdy =
D
f (x, y)dy dx
a
φ1(x)
Z
Z
b
=:
φ2 (x)
dx
f (x, y)dy
a
φ1(x)
2) se D è x-semplice
Z Z
Z
d
ÃZ
f (x, y)dxdy =
D
!
g2 (y)
f (x, y)dx dy
c
g1(y)
Z
Z
d
=:
g2 (y)
dy
c
f (x, y)dx
g1(y)
Esempio. Il triangolo T di vertici (0, 0), (1, −1), (1, 1), è un dominio
y − semplice :
T = {(x, y)| 0 ≤ x ≤ 1, − x ≤ y ≤ x}
e quindi
Z Z
Z
1
µZ
x
f (x, y)dxdy =
T
¶
f (x, y)dy dx
0
4
−x
N.B. T è unione di due domini x − semplici : T = A ∪ B, con
A = {(x, y)| − 1 ≤ y ≤ 0, − y ≤ x ≤ 1} , B = {(x, y)| 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1} ,
RR
RR
RR
e
f
(x,
y)dxdy
=
f
(x,
y)dxdy
+
f (x, y)dxdy
T
A
B
Simmetrie
Si possono a volte semplificare i calcoli se si presentano delle simmetrie
del dominio rispetto ad uno o ad entrambi gli assi cartesiani e alle quali
corrispondono simmetrie di tipo pari o dispari per la funzione da integrare.
Per esempio (simmetria centrale)
½
Z Z
(x, y) ∈ D ⇔ (−x, −y) ∈ D
⇒
f (x, y)dxdy = 0
f (x, y) = −f (−x, −y)
D
e anche
½
(x, y) ∈ D ⇔ (−x, −y) ∈ D
f (x, y) = f (−x, −y)
Z Z
Z Z
⇒
f (x, y)dxdy = 2
D
f (x, y)dxdy
D∩{x≥0}
Cambiamento di variabili nell’integrale doppio
Siano S ⊂ R2 , D ⊂ R2 due insiemi del piano, e sia τ : S → D una trasformazione dai punti (u, v) ∈ S di un piano cartesiano uv, ai punti (x, y) ∈ D
del piano cartesiano xy, tale che τ (S) = D :
½
x = x(u, v)
τ (u, v) =
y = y(u, v)
Supponiamo che le funzioni scalari x = x(u, v), y = y(u, v) abbiano derivate
parziali continue su S e che la matrice jacobiana della trasformazione


ax ax
¶
µ
x y

av 
=  au
J

ay
ay
u v
au av
sia non singolare in S, cioè il determinante jacobiano della trasformazione sia
diverso da zero in S
µ
¶
x y
det J
6= 0, (u, v) ∈ S.
u v
Tale condizione (essendo anche τ (S) = D) garantisce che la trasformazione
τ sia biunivoca da S su D.
5
Allora vale la formula del cambiamento di variabili nell’integrale doppio:
¯ µ
¶¯
Z Z
Z Z
¯ x y ¯
¯
¯ dudv
f (x, y)dxdy =
f (x(u, v), y(u, v)) ¯J
¯
u
v
D
S
¯ ¡ ¢¯
dove lo jacobiano ¯J ux yv ¯ indica il valore assoluto del determinante jacobiano.
¯ ¡ ¢¯
N.B. ¯J ux yv ¯ dudv esprime l’elemento d’area dxdy del piano xy in termini dell’elemento d’area dudv del piano uv.
Si può dimostrare che la formula vale anche se il determinante jacobiano
si annulla in un insieme di misura nulla.
Si può dimostrare che
µ
x y
det J
u v
Ã
¶
=
1
¡ ¢
det J ux yv
!
³
x=x(u,v)
y=y(u,v)
´
¯ ¡ ¢¯
Il fattore ¯J ux yv ¯ ha il ruolo del fattore g 0 (t) che compare nella formula
unidimensionale
Z b
Z d
f (x)dx =
f (g(t))g 0 (t)dt
a
c
dove a = g(c) e b = g(d), valida se g ha derivata continua e non nulla su
[c, d].
Cambiamento di variabili particolari.
Traslazione:τ (u, v) : R2 −→ R2
¯ µ
½
¶¯
¯ x y ¯
x = x0 + u
¯=1
τ (u, v) =
, ¯¯J
y = y0 + v
u v ¯
Coordinate polari
L’equazione della circonferenza, di centro (0, 0) e raggio ρ è
x2 + y 2 = ρ 2
Posto
½
τ (ρ, θ) =
x = x0 + ρ cos θ
y = y0 + ρ sin θ
¯ µ
¶¯
¯ x y ¯
¯=ρ
, ρ ≥ 0, θ ∈ [0, 2π), ¯¯J
ρ θ ¯
6
fissato ρ, al variare di θ in [0, 2π] il punto (x, y) varia su una circonferenza
di centro (x0 , y0 ) e raggio ρ.
·
¸
¡x y ¢
cos θ −ρ sin θ
La matrice jacobiana della trasformazione è J ρ θ =
e
sin θ ρ cos θ
il determinante jacobiano vale ρ.
Se τ (S) = D, la formula diventa
Z Z
Z Z
f (x, y)dxdy =
f (x0 + ρ cos θ, y0 + ρ sin θ)) ρ dρdθ
D
S
.
Per esempio:
1) Il dominio D = {(x, y)| y ≥ x} , usando la trasformazione
in coordinate
½
¾
π
7
polari di centro (0, 0) è trasformato nel dominio S = ρ ≥ 0, ≤ θ ≤ π .
4
4
2) Il dominio D = {(x, y)| y ≥ 2x} , usando la trasformazione in coordinate polari di centro (0, 0) è trasformato in
S = {(ρ, θ)| ρ ≥ 0, arctan 2 ≤ θ ≤ arctan 2 + π} .
Infatti D è il semipiano delimitato dalla retta y = 2x e contenente il punto
(−1, 1); il vincolo
y ≥ 2x
diventa.
ρ sin θ ≥ 2ρ cos θ,
che si risolve considerando gli angoli θ per cui vale l’uguaglianza sin θ =
2 cos θ, cioè θ = arctan 2 + kπ, k ∈ Z.
3) Il dominio D = {(x, y)| x2 + (y − 2)2 ≤ 4, x ≥ 0},
polari di centro (0, 2)
¯ µ
½
¯ x
x = ρ cos θ
, ρ ≥ 0, θ ∈ [0, 2π), ¯¯J
y = 2 + ρ sin θ
ρ
con le coordinate
¶¯
y ¯¯
=ρ
θ ¯
diventa. S = {(ρ, θ)| 0 ≤ ρ ≤ 2, − π ≤ θ ≤ π} .
Coordinate ellitiche
L’equazione dell’ellisse in forma normale, di centro (0, 0) e semiassi ρa, ρb
x2 y 2
(a > 0, b > 0) è 2 + 2 = ρ2
a
b
7
Posto
½
τ (ρ, θ) =
x = x0 + aρ cos θ
y = y0 + bρ sin θ
¯ µ
¶¯
¯ x y ¯
¯=abρ
, ρ ≥ 0, θ ∈ [0, 2π], ¯¯J
ρ θ ¯
fissato ρ, al variare di θ in [0, 2π] il punto (x, y) varia su una ellisse di centro
(x0 , y0 ) e semiassi aρ, bρ.
·
¸
¡x y ¢
a cos θ −aρ sin θ
La matrice jacobiana della trasformazione τ è J ρ θ =
b sin θ bρ cos θ
e il determinante jacobiano vale abρ.
Se τ (S) = D, la formula diventa
Z Z
Z Z
f (x, y)dxdy =
f (x0 + aρ cos θ, y0 + bρ sin θ)) ab ρ dρdθ
D
S
Esempio. Il dominio D = {(x, y)| y ≥ x} , usando la trasformazione in
coordinate ellittiche di centro (0, 0) e semiassi ρa, ρb, è trasformato in
n
o
a
a
S = (ρ, θ)| ρ ≥ 0, arctan ≤ θ ≤ arctan + π .
b
b
Infatti D è il semipiano delimitato dalla retta y = x e contenente il punto
(−1, 1); il vincolo
y≥x
diventa.
ρa sin θ ≥ ρb cos θ,
che si risolve considerando gli angoli θ per cui vale l’uguaglianza a sin θ =
a
b cos θ, cioè θ = arctan + kπ, k ∈ Z.
b
Esempi: vedi il file ESERCIZI integraz.
8