Esercitazioni 3

Esercitazioni 3 - Geometria delle aree
In questa esercitazione si studiano alcune aree a geometria complessa, che pero' possono riguardarsi come
l'unione di aree a geometria piu' semplice. In sostanza, si applicano i risultati ricavati per le sezioni rettangolari,
triangolari, circolari ed ellittiche, assieme alle proprieta' distributiva dei momenti statici e dei momenti di inerzia:
Assegnate N aree A1 , A2 , ... An , il momento statico dell'unione di queste aree e' la somma dei momenti statici
delle singole aree, ed analoga proprieta' vale per i momenti del secondo ordine:
N
i N
y
z
j
z
Sj
=
A
S HAi L
Ê
‚
j
z
i
j
z
ki=1 { i=1
(1)
N
i N
y
z
j
z
Ij
A
=
I HAi L
Ê
‚
j
iz
j
z
ki=1 { i=1
(2)
Esercizio n.1: la sezione ad L
Calcolare le coordinate del baricentro ed i momenti di inerzia della sezione ad L di Figura 1.
X2
80
20
100
20
Figura 1 - La sezione ad L
X1
30
Esercitazioni 3 - Geometria delle aree.nb
à Soluzione
Si suddivide la sezione nei due rettangoli di Figura 2, di base b1 = 20cm e b2 = 60cm ed altezza h1 =100cm ed
h2 =20cm, rispettivamente. Tale scelta e' ovviamente arbitraria, nel senso che altre scelte sarebbero altrettanto
legittime. L'area della sezione e' fornita da:
A = A1 + A2 = b1 h1 + b2 h2 = 3200 cm2
X2
b1
(3)
b2
1
h1
2
h2
X1
Per calcolare il baricentro, si calcolino i due momenti statici rispetto ai due assi di Figura:
h1
h2
H2L
3
= A1 xH1L
S1 = S1H1L + SH2L
1
2 G + A2 x2 G = b1 h1 + b2 h2 = 112000 cm
2
2
(4)
S2 =
b1
b2
H2L
3
S2H1L + SH2L
= A1 xH1L
2
1 G + A2 x1 G = b1 h1 + b2 h2 Jb1 + N = 80000 cm
2
2
(5)
da cui le coordinate del baricentro dell'intera figura:
S2
x1 G = =
A
b1
b2
b1 h1 h2 Hb1 + L
80000
2 + b2
2 = = 25 cm
b1 h1 + b2 h2
3200
(6)
S1
x2 G = =
A
h1
h2
b1 h1 h2 112000
2 + b2
2
= = 35 cm
b1 h1 + b2 h2
3200
(7)
Per calcolare i momenti di inerzia rispetto agli assi di Figura, si puo' scrivere:
H2L
I11 = IH1L
11 + I11 =
b1 h31
b2 h32
+ = 6.82667 × 106 cm4
3
3
' H2L
+ A2 HxH2L
I22 = IH1L
22 + I22
1G L =
(8)
2
b31 h1
b32 h2
b2 2
+ + b2 h2 Jb1 + N = 3.62667 × 106 cm4
3
12
2
(9)
31
Esercitazioni 3 - Geometria delle aree.nb
H1L
H2L H2L
I12 = A1 xH1L
1 G x2 G + A2 x1 G x2 G =
b1 h1
h2
b2
b1 h1 + b2 h2 Jb1 + N = 1600000 cm4
2 2
2
2
(10)
Si osservi che nel calcolo di I22 si e' calcolato l'apporto del secondo rettangolo come somma del momento di
inerzia rispetto all'asse verticale passante per il suo baricentro, e poi si e' aggiunto il momento di trasporto
secondo Huygens, mentre nel caso dei momenti centrifughi si e' calcolato per ambedue i rettangoli il solo
momento di trasporto, poiche' il momento centrifugo baricentrico e' nullo.
In riferimento agli assi baricentrici paralleli alla coppia di assi X1 ed X2 si ha, per la legge di Huygens:
I'11 = I11 − A x22 G = 6.82667 × 106 − 3200 352 = 2.90667 × 106 cm4
(11)
I'22 = I22 − A x21 G = 3.62667 × 106 − 3200 252 = 1.62667 × 106 cm4
(12)
I'12 = I12 − A x1 G x2 G = 1600000 − 3200 ⋅ 25 ⋅ 35 = −1200000 cm4
(13)
Infine, per ottenere i momenti d'inerzia centrali occorre ruotare la coppia di assi di un angolo f* pari a:
1
2 I'12
1
2 I'12
φ∗ = ArcTan J N
=
ArcTan
J
N = 0.54042
2
I'22 − I'11
2
I'22 − I'11
(14)
pari a 30.96 gradi. I momenti d'inerzia richiesti valgono:
Ir22 = I'11 Sin2 φ∗ + 2 I'12 Sin φ∗ Cosφ∗ + I'22 Cos2 φ∗ = 906667 cm4
(15)
Ir11 = I'11 Cos2 φ∗ − 2 I'12 Sin φ∗ Cosφ∗ + I'22 Sin2 φ∗ = 3.62667 × 106 cm4
(16)
Ir12 = H I'11 − I'22 L Sin φ∗ Cosφ∗ + I'12 HCos2 φ∗ − Sin2 φ∗ L = 0
(17)
X2
2
25
1
f*
G
35
X1
Figura 3 - Baricentro ed assi centrali di inerzia del profilato ad L
32
Esercitazioni 3 - Geometria delle aree.nb
Esercizio n.2 - Una travata da ponte
Calcolare le coordinate del baricentro ed i momenti di inerzia della sezione aperta di Figura 4.
X2
200
500
200
30
170
X1
40
40
Figura 4 - Una sezione da ponte aperta
à Soluzione
Si consideri la sezione come composta da un rettangolo di base 9 metri ed altezza 2 metri, a cui vanno sottratti i
tre rettangoli "interni". In quest'ottica si ha un'area:
A = 900 ⋅ 200 − 180 ⋅ 170 − 460 ⋅ 170 − 180 ⋅ 170 = 40600 cm2
(18)
ed un momento statico rispetto all'asse orizzontale pari a:
170
S1 = H900 ⋅ 200L 100 − H180 ⋅ 170L −
2
170
170
H460 ⋅ 170L − H180 ⋅ 170L = 6151000 cm3
2
2
(19)
Il baricentro della sezione e' quindi posto alle ascisse:
x1 G = 450 cm
6151000
x2 G = = 151.5 cm
40600
(20)
Ovviamente, la prima coordinata discende da proprieta' di simmetria.
I momenti di inerzia rispetto agli stessi assi si calcolano come:
900 ⋅ 2003
180 ⋅ 1703
460 ⋅ 1703
180 ⋅ 1703
I11 = − − − =
3
3
3
3
1.05711 × 109 cm4
(21)
33
Esercitazioni 3 - Geometria delle aree.nb
1803 ⋅ 170
4603 ⋅ 170
9003 ⋅ 200
I22 = − − − 460 ⋅ 170 ⋅ 4502 −
3
3
12
3
180 ⋅ 170
− 180 ⋅ 170 ⋅ 8102 = 1.08958 × 1010 cm4
12
(22)
9002 ⋅ 2002
1802 ⋅ 1702
I12 = − −
4
4
170
170
460 ⋅ 170 ⋅ 450 − 180 ⋅ 170 ⋅ 810 = 2767950000 cm4
2
2
(23)
Per ricavare i momenti di inerzia baricentrici, si puo' utilizzare il teorema di Huygens
I'11 = I11 − A x21 G = 1.05711 × 109 − 40600 151.52 = 1.25252 × 108 cm4
(24)
I22 = I22 − A x22 G = 1.08958 × 1010 − 40600 4502 = 2.67431 × 109 cm4
(25)
6151000
I12 = I12 − A x1 G x2 G = 2767950000 − 40600 ⋅ ⋅ 450 = 0
40600
(26)
à Calcoli
Grafici